Dalāmības pazīmes ir noteikumi, kas ļauj noskaidrot, vai skaitlis dalās bez atlikuma, neveicot pašu dalīšanu: pietiek aplūkot pēdējos ciparus vai saskaitīt visus skaitļa ciparus. Šajā lapā apkopota tabula ar dalāmības pazīmēm uz 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 un 25, uzskatāma analīze pazīmēm uz 3 un 9 caur ciparu summu, piemēri ar risinājumu, biežākās kļūdas un interaktīvs treniņš, kur var uzreiz pārbaudīt sevi.
Kas ir dalāmības pazīme
Dalāmības pazīme ir noteikums, pēc kura var noskaidrot, vai skaitlis dalās bez atlikuma ar citu skaitli, neveicot pašu dalīšanu. Pietiek aplūkot pēdējos ciparus vai saskaitīt visus skaitļa ciparus.
Dalāmības pazīmes noder visur, kur nepieciešams ātri saprast skaitļa "uzbūvi":
- vienkāršojot daļas — uzreiz redzams, ar ko saīsināt skaitītāju un saucēju;
- sadalot skaitli pirmreizinātājos;
- meklējot kopīgo dalītāju un kopīgo multiplu;
- ātri pārbaudot atbildi piemēros un uzdevumos.
Svarīgi nesajaukt divus dažādus jautājumus. "Vai 3726 dalās ar 9?" — uz to atbild dalāmības pazīme: ciparu summa 3 + 7 + 2 + 6 = 18 dalās ar 9, tātad jā. Bet "cik sanāks?" — tas ir pats dalīšanas process: 3726 : 9 = 414. Pazīme dod tikai atbildi "jā" vai "nē", taču acumirklī un prātā.
Dalāmības pazīmju tabula
Visas skolas dalāmības pazīmes ērti turēt acu priekšā vienā tabulā. Krāsa norāda, kur skatīties: uz pēdējo ciparu, uz ciparu summu, uz divu-trīs pēdējo ciparu "astīti" vai uzreiz uz divām pazīmēm.
| Uz ko | Dalāmības pazīme | Piemērs |
|---|---|---|
| 2 | pēdējais cipars ir 0, 2, 4, 6 vai 8 | 3726 → 6 |
| 3 | ciparu summa dalās ar 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | pēdējie divi cipari veido skaitli, kas dalās ar 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | pēdējais cipars ir 0 vai 5 | 1435 → 5 |
| 6 | dalās gan ar 2, gan ar 3 vienlaicīgi | 5124 → 4 un 12 |
| 8 | pēdējie trīs cipari veido skaitli, kas dalās ar 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | ciparu summa dalās ar 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | pēdējais cipars ir 0 | 2340 → 0 |
| 11 | cipari no beigām caur + un −; summa dalās ar 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | pēdējie divi cipari ir 00, 25, 50 vai 75 | 1875 → 75 |
Dalāmības pazīmes uz 2, 5 un 10
Visvienkāršākā grupa: skatāmies tikai uz pēdējo ciparu, pārējie nav svarīgi.
- uz 2 dalās visi pāra skaitļi — tie, kas beidzas ar 0, 2, 4, 6 vai 8;
- uz 5 — skaitļi, kas beidzas ar 0 vai 5;
- uz 10 — skaitļi, kas beidzas ar 0.
Skaitļa garumam nav nozīmes: 987 654 320 dalās gan ar 2, gan ar 5, gan ar 10, jo beidzas ar nulli. Bet 1435 dalās ar 5 (pēdējais cipars 5), taču nedalās ne ar 2, ne ar 10 — skaitlis ir nepāra.
No tā izriet noderīgs secinājums: uz 10 dalās tieši tie skaitļi, kas dalās gan ar 2, gan ar 5 vienlaicīgi.
Dalāmības pazīmes uz 3 un 9: ciparu summa
Šeit pēdējais cipars neko neizšķir — darbojas visu skaitļa ciparu summa:
- skaitlis dalās ar 3, ja tā ciparu summa dalās ar 3;
- skaitlis dalās ar 9, ja tā ciparu summa dalās ar 9.
Ja summa izrādās liela, pazīmi var piemērot tai vēlreiz: skaitlim 899 991 ciparu summa 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, bet 45 summai 4 + 5 = 9 — tātad sākotnējais skaitlis dalās gan ar 9, gan ar 3.
Pazīmes ir līdzīgas, bet neaizstāj viena otru. Jebkurš skaitlis, kas dalās ar 9, dalās arī ar 3 — jo pati deviņi dalās ar trīs. Apgrieztais nav spēkā: ciparu summa var dalīties ar 3 un tajā pašā laikā nedalīties ar 9, un tad skaitlis izpilda tikai vienu no divām pazīmēm. Abi gadījumi analizēti zemāk.
Dalāmības pazīmes uz 4, 8 un 25: skatāmies uz skaitļa "asti"
Vienas pēdējās ciparas šeit ir par maz — nepieciešams "aste" no vairākiem pēdējiem cipariem:
- uz 4 dalās skaitlis, kura pēdējie divi cipari veido skaitli, kas dalās ar 4;
- uz 8 — ja pēdējie trīs cipari veido skaitli, kas dalās ar 8;
- uz 25 — ja pēdējie divi cipari ir 00, 25, 50 vai 75.
Kāpēc pietiek ar asti: 100 dalās gan ar 4, gan ar 25, bet 1000 dalās ar 8. Tāpēc viss, kas atrodas pa kreisi, jau pats par sevi dalās ar vajadzīgo skaitli un neietekmē rezultātu.
No tā izriet svarīgs secinājums: pāra skaitļa īpašība nav pietiekama četriniekam un astotniekam. Skaitlis var būt pāra, bet, ja tā divu vai trīs ciparu aste nedalās bez atlikuma, tad nedalās arī viss skaitlis. Astu analīze — zemāk esošajā ielikumā.
Dalāmības pazīme uz 6
Sešiniekam nav savas atsevišķas pazīmes: 6 = 2 · 3, un reizinātāji ir savstarpēji pirmskaitļi. Tāpēc pazīme ir salikta — skaitlis dalās ar 6, ja tas dalās vienlaicīgi ar 2 un ar 3.
Pārbaudīsim 5124: pēdējais cipars 4 — skaitlis ir pāra, tātad dalās ar 2; ciparu summa 5 + 1 + 2 + 4 = 12 dalās ar 3. Abi nosacījumi izpildīti → 5124 : 6 = 854.
Vienas pāra skaitļa īpašības nav pietiekami: 1000 ir pāra, bet tā ciparu summa ir 1 un nedalās ar 3, tāpēc ar 6 skaitlis nedalās. Nedarbojas arī apgrieztā puse: 4521 ciparu summa 12 dalās ar 3, bet pats skaitlis ir nepāra — ar 6 tas arī nedalās.
Tieši tāpat tiek veidotas citas saliktās pazīmes: uz 12 — dalās ar 3 un ar 4, uz 15 — ar 3 un ar 5, uz 18 — ar 2 un ar 9, uz 45 — ar 5 un ar 9.
Dalāmības pazīme uz 11
Dalāmības pazīme uz 11 izmanto ciparu zīmju pārmaiņu summu. Ciparus saskaita, sākot no pēdējā, pamīšus mainot zīmi: plus, mīnus, plus, mīnus. Ja rezultāts dalās ar 11 (tai skaitā ir nulle), tad arī viss skaitlis dalās ar 11.
Šo pašu pazīmi bieži formulē citādi: starpība starp nepāra vietās esošo ciparu summu un pāra vietās esošo ciparu summu jādalās ar 11. Tas ir viens un tas pats noteikums.
Piemēri uz dalāmības pazīmēm
1. piemērs. Ar kuriem skaitļiem dalās 7254
Uzdevums. Noteikt, ar kuriem no skaitļiem 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 dalās 7254.
1. solis. Uz 2. Pēdējais cipars 4 — pāra. Dalās: 7254 : 2 = 3627.
2. solis. Uz 5 un uz 10. Skaitlis beidzas ar 4, nevis ar 0 vai 5. Nedalās ne ar 5, ne ar 10.
3. solis. Uz 3 un uz 9. Ciparu summa: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Tā dalās gan ar 3, gan ar 9. Tātad 7254 : 3 = 2418 un 7254 : 9 = 806.
4. solis. Uz 6. Skaitlis dalās gan ar 2, gan ar 3 — tātad dalās ar 6: 7254 : 6 = 1209.
5. solis. Uz 4. Pēdējie divi cipari veido 54, bet 54 ar 4 nedalās. Nedalās.
Atbilde. 7254 dalās ar 2, 3, 6 un 9.
2. piemērs. Vai 4715 dalās ar 3 un ar 9
Uzdevums. Pārbaudīt skaitļa 4715 dalāmību ar 3 un 9.
1. solis. Saskaitām ciparus: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
2. solis. Uz 3. 17 ar 3 nedalās (tuvākie multipli — 15 un 18). Tātad arī 4715 ar 3 nedalās.
3. solis. Uz 9. 17 ar 9 nedalās jo vairāk. Tātad 4715 nedalās arī ar 9.
Ko skaitlis tomēr prot. Pēdējais cipars 5 → skaitlis dalās ar 5: 4715 : 5 = 943. Ar 2 un 10 nedalās — tas ir nepāra skaitlis.
Atbilde. Ne ar 3, ne ar 9 skaitlis 4715 nedalās.
3. piemērs. Dalāmība uz 4 un 8: skaitlis 6248
Uzdevums. Pārbaudīt, vai 6248 dalās ar 4 un 8.
1. solis. Uz 4. Ņemam pēdējos divus ciparus: 48. Skaitlis 48 dalās ar 4 (48 : 4 = 12), tātad arī 6248 dalās: 6248 : 4 = 1562.
2. solis. Uz 8. Ņemam pēdējos trīs ciparus: 248. Dalām: 248 : 8 = 31 — dalās. Tātad 6248 : 8 = 781.
Uzmanīgi ar apgriezto spriedumu. No dalāmības uz 4 nenāk dalāmība uz 8: skaitlim 6244 aste 44 dalās ar 4 (6244 : 4 = 1561), bet pēdējie trīs cipari 244 ar 8 nedalās — ar 8 skaitlis nedalās.
Atbilde. 6248 dalās gan ar 4, gan ar 8.
4. piemērs. Dalāmības pazīme uz 11: skaitlis 2926
Uzdevums. Pārbaudīt, vai 2926 dalās ar 11.
1. solis. Pierakstām ciparus un izvietojam zīmes no beigām: pēdējam ciparam plus zīme, tālāk pamīšus mīnus un plus.
2. solis. Saskaitām zīmju pārmaiņu summu: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
3. solis. Rezultāts 11 dalās ar 11 → dalās arī viss skaitlis.
Pārbaude ar dalīšanu. 2926 : 11 = 266.
Atbilde. 2926 dalās ar 11.
5. piemērs. Saīsinām daļu, izmantojot dalāmības pazīmes
Uzdevums. Saīsināt daļu 270/378.
1. solis. Saskaitām ciparu summas: 2 + 7 + 0 = 9 un 3 + 7 + 8 = 18. Abas dalās ar 9 → gan skaitītājs, gan saucējs dalās ar 9.
2. solis. Saīsinām ar 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Iegūstam 30/42.
3. solis. Abi skaitļi ir pāra → saīsinām ar 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Iegūstam 15/21.
4. solis. Ciparu summas 6 un 3 dalās ar 3 → saīsinām ar 3.
Atbilde. 270/378 = 5/7.
Biežākās kļūdas dalāmības pazīmēs
-
Dalāmību uz 6 pārbauda tikai pēc pāra skaitļa īpašības: ja skaitlis ir pāra — tātad tas dalās ar 6.
Nepieciešami abi nosacījumi vienlaicīgi: gan uz 2, gan uz 3. Skaitlis 7124 ir pāra, bet tā ciparu summa 14 nedalās ar 3, tāpēc ar 6 tas nedalās. Un otrādi: 3471 izpilda trīnieka pazīmi (summa 15, 3471 : 3 = 1157), bet ir nepāra — ar 6 tas arī nedalās.
-
Uz 4 skata vienu pēdējo ciparu: "8 dalās ar 4, tātad arī 9138 der".
Priekš četrinieka ņemam DIVUS pēdējos ciparus. Skaitlim 9138 tie ir 38, bet 38 ar 4 nedalās. Pareizs piemērs: skaitlim 9136 aste ir 36, 36 : 4 = 9, tātad 9136 : 4 = 2284. Priekš astotnieka aste ir vēl garāka — trīs cipari.
-
Dalāmības pazīmi uz 9 pārbauda pēc pēdējā cipara: meklē skaitļus, kas beidzas ar 9 vai 0.
Pēdējais cipars deviņiniekam neko nenozīmē. Saskaita visu ciparu summu: skaitlim 4563 tā ir 18, summa dalās ar 9 — un skaitlis dalās (4563 : 9 = 507), lai gan beidzas ar 3.
-
Saskaita, ka, ja skaitlis dalās ar 3, tad tas dalās arī ar 9.
Darbojas tikai vienā virzienā: dalās ar 9 → dalās ar 3. Apgrieztais nav spēkā. Skaitlim 8241 ciparu summa ir 15: ar 3 dalās (8241 : 3 = 2747), bet ar 9 nē.
-
Priekš vienpadsmitnieka vienkārši saskaita visus ciparus, kā priekš 3 un 9.
Vienpadsmitniekam summa ir zīmju pārmaiņu: ciparus saskaita no beigām, mainot zīmi ik pēc viena. Skaitlim 6479 tas ir 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → dalās (6479 : 11 = 589). Parastā ciparu summa šeit ir 26 un neko nenozīmē.
-
Dalāmības pazīmi jauc ar pašu dalīšanu: uz jautājumu "vai 5391 dalās ar 9" atbild "jā, 18".
18 — tā ir ciparu summa, starprezultāts pazīmei. Dalījumu aprēķina atsevišķi: 5391 : 9 = 599. Pazīme atbild tikai "dalās / nedalās".
Jautājumi un atbildes
Kas ir dalāmības pazīme vienkāršiem vārdiem?
Tas ir noteikums, kas ļauj noskaidrot, vai skaitlis dalīsies bez atlikuma, neveicot pašu dalīšanu. Parasti pietiek aplūkot skaitļa pēdējos ciparus vai saskaitīt visus tā ciparus.
Kā uzzināt, vai skaitlis dalās ar 3?
Saskaitiet visus skaitļa ciparus. Ja iegūtā summa dalās ar 3, tad arī pats skaitlis dalās ar 3. Piemēram, skaitlim 2571 ciparu summa ir 2 + 5 + 7 + 1 = 15, bet 15 dalās ar 3 → 2571 : 3 = 857.
Kā dalāmības pazīme uz 3 atšķiras no pazīmes uz 9?
Noteikums ir vienāds — skaitām ciparu summu, bet pārbaudām to uz dažādiem skaitļiem: priekš trīnieka summa jādalās ar 3, priekš deviņinieka — ar 9. Tāpēc jebkurš skaitlis, kas dalās ar 9, dalās arī ar 3, bet ne vienmēr apgriezti: skaitlim 9420 ciparu summa ir 15, dalās ar 3 (9420 : 3 = 3140), bet ne ar 9.
Ko darīt, ja ciparu summa izrādās liela?
Piemērojiet pazīmi vēlreiz — jau summai. Skaitlim 777 771 ciparu summa ir 36, skaitlim 36 summa 3 + 6 = 9. Deviņi dalās ar 9, tātad arī sākotnējais skaitlis dalās ar 9 (un arī ar 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Vai ir dalāmības pazīme uz 7?
Vienkāršas pazīmes kā ciparu summa septītniekam nav, un to neiekļauj skolu dalāmības pazīmju tabulās. Ir paņēmiens: atmet pēdējo ciparu, dubulto to un atņem no atlikušā skaitļa. Piemēram, skaitlim 343: atmetam 3, dubultojam — 6, rēķinām 34 − 6 = 28. Skaitlis 28 dalās ar 7, tātad arī 343 dalās: 343 : 7 = 49.
Kādas ir dalāmības pazīmes uz 12, 15 un 45?
Tās ir saliktas — skaitlim jāizpilda uzreiz divas pazīmes: uz 12 — jādalās ar 3 un ar 4, uz 15 — ar 3 un ar 5, uz 45 — ar 5 un ar 9. Svarīgi, lai reizinātāji būtu savstarpēji pirmskaitļi: sadalījums 12 = 2 · 6 neder, jo 18 dalās gan ar 2, gan ar 6, bet ar 12 nedalās.
Kurā klasē māca dalāmības pazīmes?
- klasē matemātikas stundās: vispirms pazīmes uz 10, 5 un 2, pēc tam uz 3 un 9. Pazīmes uz 4, 8, 11 un 25 parasti analizē papildus — tās noderēs, saīsinot daļas un olimpiādēs.
