Proporcija ir divu attiecību vienādība, piemēram, \(2:3 = 8:12\). Lai risinātu proporcijas, nepieciešams tikai viens rīks — proporcijas pamatīpašība: ārējo locekļu reizinājums ir vienāds ar vidējo locekļu reizinājumu. Skolā to sauc par "krustu šķērsu" likumu. Tālāk — kas ir attiecība un proporcija, kā atrast nezināmo locekli, kā tiešā proporcionalitāte atšķiras no apgrieztās, uzdevumu analīze par receptēm, mērogu un cenu, pāreja uz procentiem un treniņš no 10 uzdevumiem.
Kas ir attiecība un proporcija
Attiecība diviem skaitļiem ir to dalījums. Attiecība \(2:3\) (lasa "divi pret trim") parāda, cik reizes viens skaitlis ir lielāks par otru vai kādu daļu viens sastāda no otra. To var pierakstīt divos veidos: \(2:3\) vai kā daļu \(\frac{2}{3}\) — tas ir viens un tas pats.
Proporcija ir divu attiecību vienādība:
Proporcijā ir tikai četri skaitļi, un tiem ir vārdi. Skaitļi ieraksta malās ir ārējie locekļi, skaitļi vidū — vidējie locekļi. Proporcija ir pareiza, ja abas attiecības ir vienādas ar vienu un to pašu skaitli.
Proporcijas pamatīpašība: "krustu šķērsu" likums
Proporcijas pamatīpašība: ārējo locekļu reizinājums ir vienāds ar vidējo locekļu reizinājumu.
Kāpēc tā notiek? Pareizināsim vienādības \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) abas puses ar \(b \cdot d\). Kreisajā pusē saīsināsies \(b\), labajā — \(d\), un paliks tieši \(a \cdot d = c \cdot b\). Nekāda maģija — parasta vienādību īpašība.
Tieši to skolēni sauc par "proporciju risināšanu krustu šķērsu": skaitļus reizina pa diagonāli, krustu šķērsu. Īpašība darbojas arī otrādi: ja četriem skaitļiem (neviens no tiem nav nulle) izpildās \(a \cdot d = b \cdot c\), tad no tiem var sastādīt pareizu proporciju.
No tā uzreiz rodas divas prasmes: pārbaudīt, vai proporcija ir pareiza, un atrast tajā nezināmu skaitli.
Kā atrast proporcijas nezināmo locekli
No pamatīpašības izriet divi īsi noteikumi:
- nezināmais ārējais loceklis = vidējo locekļu reizinājums : zināmais ārējais loceklis;
- nezināmais vidējais loceklis = ārējo locekļu reizinājums : zināmais vidējais loceklis.
Tos nav obligāti iegaumēt no galvas. Pietiek ar vienu universālu paņēmienu: sareizināt krustu šķērsu, iegūt vienādību "skaitlis \(\cdot\, x\) = skaitlis" un izdalīt. Analizēsim to pa soļiem proporcijā \(x : 7 = 12 : 21\).
Pēdējais solis — pārbaude — aizņem piecas sekundes un noķer gandrīz jebkuru aritmētisko kļūdu, tāpēc to nevajadzētu izlaist.
Tiešā un apgrieztā proporcionalitāte
Divus lielumus sauc par tieši proporcionāliem, ja, vienam palielinoties vairākas reizes, otrs palielinās tikpat reižu. Nopirkts divreiz vairāk burtnīcu — samaksāts divreiz vairāk. Šādiem lielumiem ir pastāvīga to attiecība.
Lielumi ir apgriezti proporcionāli, ja, vienam palielinoties vairākas reizes, otrs tikpat reižu samazinās. Divreiz vairāk strādnieku — divreiz mazāk dienu vienam un tam pašam darbam. Šādiem lielumiem ir pastāvīgs to reizinājums.
Galvenā atšķirība redzama brīdī, kad sastādām proporciju. Tiešai sakarībai tā tiek sastādīta "kā ir": \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Apgrieztajai otra attiecība tiek apgriezta: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Kāpēc? Apgrieztajai sakarībai pastāvīgs ir reizinājums: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Dalīsim abas puses ar \(a_2 \cdot b_1\) — un iegūsim tieši \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Tātad "apgrieziens" nav burvestība, kas jāatceras, bet gan sekas tam, ka pastāvīgs paliek reizinājums, nevis attiecība.
| Iezīme | Tiešā | Apgrieztā |
|---|---|---|
| Saites | vairāk → vairāk | vairāk → mazāk |
| Pastāvīgi | attiecība a : b | reizinājums a × b |
| Pieraksts | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Piemērs | 3 pildspalvas — 90 ₽, 5 pildspalvas — 150 ₽ | 4 krāsotāji — 9 dienas, 6 krāsotāji — 6 dienas |
Kā sastādīt proporciju uzdevumam: recepte, mērogs, cena
Tekstu uzdevumi "par proporciju" tiek risināti pēc viena scenārija:
- Uzrakstīt nosacījumu divās kolonnās tā, lai vienādas vērtības stāvētu viena zem otras (porcijas zem porcijām, grami zem gramiem).
- Apzīmēt meklējamo ar \(x\).
- Noteikt sakarības tipu: domās palielināt pirmo lielumu un paskatīties, vai otrs palielinās vai samazinās.
- Sastādīt proporciju — apgrieztajai sakarībai apgriezt otro attiecību.
- Atrisināt krustu šķērsu un pārbaudīt, vai atbilde ir saprātīga.
Parādīsim uz receptes. Uz 4 porcijām pankūku vajag 300 g miltu — cik gramu miltu vajag 6 porcijām? Porciju vairāk, tātad arī miltu vairāk: sakarība ir tiešā, proporcija tiek sastādīta "kā ir":
Uz 6 porcijām vajag 450 g miltu. Atbilde ir saprātīga: porciju kļuvis pusotru reizi vairāk, un miltu vajadzēja pusotru reizi vairāk.
Tieši tāpat tiek risināti uzdevumi par mērogu (attālums kartē attiecas uz attālumu dabā tāpat kā 1 pret mēroga skaitli) un par cenu (preces daudzums attiecas uz daudzumu tāpat kā izmaksas pret izmaksām). Pilna analīze — tālākajos piemēros.
Procenti caur proporciju
Procents ir skaitļa simtā daļa, tāpēc jebkurš vienkāršs uzdevums par procentiem pārvēršas proporcijā:
Kaut kur viens no četriem skaitļiem ir nezināms — to arī atrodam krustu šķērsu.
Atrast daļu. Cik būs 15% no 240? Sastādām \(x : 240 = 15 : 100\), tātad \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) un \(x = 36\).
Atrast veselo. Skaitlis 21 sastāda 35% no kāda skaitļa. Sastādām \(21 : x = 35 : 100\), tātad \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) un \(x = 60\).
Atrast procentu. Cik procentus sastāda 18 no 45? Sastādām \(18 : 45 = p : 100\), tātad \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) un \(p = 40\), proti, 40%.
Viens paņēmiens — trīs dažādi uzdevumu tipi, nekas papildus nav jāatceras. Atsevišķi ir tikai jautājums "par cik procentiem lielums izauga vai samazinājās": tur vispirms atrod izmaiņu, un tad to dala ar sākotnējo vērtību — tā jau ir procentu izmaiņas formula, nevis vienkārša proporcija.
Proporciju risināšanas piemēri ar soli pa solim analīzi
1. piemērs. Nezināmais vidējais loceklis
Uzdevums. Atrodiet nezināmo locekli proporcijā \(15 : x = 45 : 24\).
1. solis. Nosakām, kurš loceklis ir kurš. Ārējie ir 15 un 24, vidējie — \(x\) un 45.
2. solis. Lietojam pamatīpašību: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), proti, \(360 = 45x\).
3. solis. Dalām: \(x = 360 : 45 = 8\).
Pārbaude. \(15 : 8 = 1{,}875\) un \(45 : 24 = 1{,}875\) — attiecības ir vienādas.
Atbilde: \(x = 8\).
2. piemērs. Tiešā proporcionalitāte: cena un daudzums
Uzdevums. Sešas burtnīcas maksā 210 ₽. Cik maksās 10 tādas pašas burtnīcas?
1. solis. Burtnīcu vairāk — izmaksa lielāka, tātad sakarība ir tiešā.
2. solis. Pierakstām nosacījumu tā, lai vienādas vērtības būtu blakus, un sastādām proporciju "kā ir":
3. solis. Krustu šķērsu: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), tātad \(x = 2100 : 6 = 350\).
Pārbaude. Viena burtnīca maksā \(210 : 6 = 35\) ₽, bet desmit — \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Sakrīt.
Atbilde: 350 ₽.
3. piemērs. Apgrieztā proporcionalitāte: strādnieki un dienas
Uzdevums. Astoņi strādnieki veic pasūtījumu 15 dienās. Cik dienās to veiks 12 strādnieki, ja viņi strādā ar tādu pašu ātrumu?
1. solis. Strādnieku vairāk — vajadzēs mazāk dienu. Sakarība ir apgrieztā.
2. solis. Sastādām proporciju, apgriežot otro attiecību:
Šeit \(x\) ir dienas 12 strādniekiem, bet 15 — dienas 8 strādniekiem: viņi ir mainījušies vietām, jo sakarība ir apgrieztā.
3. solis. Krustu šķērsu: \(8 \cdot 15 = 12x\), proti, \(120 = 12x\) un \(x = 10\).
Pārbaude. Pastāvīgs ir reizinājums: \(8 \cdot 15 = 120\) un \(12 \cdot 10 = 120\). Sakrīt, un atbilde ir saprātīga — dienu kļuvis mazāk.
Atbilde: 10 dienas.
4. piemērs. Kartes mērogs
Uzdevums. Kartes mērogs ir \(1 : 200\,000\). Attālums starp ciematiem kartē ir 7 cm. Kāds ir attālums starp tiem dabā?
1. solis. Mērogs \(1 : 200\,000\) nozīmē: 1 cm kartē atbilst 200 000 cm dabā. Tā ir gatava attiecība.
2. solis. Sastādām proporciju:
3. solis. Krustu šķērsu: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), proti, \(x = 1\,400\,000\) cm.
4. solis. Pārveidojam ērtās vienībās: vienā kilometrā ir 100 000 cm, tāpēc \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Atbilde: 14 km.
5. piemērs. Procenti caur proporciju
Uzdevums. Klasē ir 25 skolēni, uz pārgājienu devās 60% no viņiem. Cik cilvēku devās pārgājienā?
1. solis. Veselais ir visi 25 skolēni, tiem atbilst 100%. Meklējamā daļa — \(x\) cilvēku, tiem atbilst 60%.
2. solis. Sastādām proporciju "daļa : vesels = procents : 100":
3. solis. Krustu šķērsu: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), tātad \(x = 15\).
Pārbaude. 15 cilvēki no 25 — tas ir \(15 : 25 = 0{,}6\), proti, tieši 60%.
Atbilde: 15 cilvēki.
Biežākās kļūdas, risinot proporcijas
-
Skaitļus reizina "garumā", nevis krustu šķērsu: proporcijā 5 : 2 = 20 : 8 aprēķina 5 · 2 un 20 · 8.
Pamatīpašība saista ārējos locekļus ar vidējiem, proti, skaitļus pa diagonāli: 5 · 8 = 40 un 2 · 20 = 40. Reizinājumi sakrita — proporcija ir pareiza. Bet 5 · 2 un 20 · 8 nav vienādi un neko neizsaka.
-
Uzdevumā par apgriezto sakarību sastāda "tiešo" proporciju. Seši sūkņi piepilda baseinu 10 stundās; pieraksts 6 : 15 = 10 : x dod 25 stundas 15 sūkņiem.
Sūkņu kļuvis vairāk — laika jābūt mazāk, bet sanācis vairāk: tātad proporcija sastādīta nepareizi. Otro attiecību vajag apgriezt: 6 : 15 = x : 10, tad 15x = 60 un x = 4 stundas. Vienmēr pārbaudiet atbildi ar veselo saprātu.
-
Pēc "krustu šķērsu" dalīšanas apgriezti: no vienādības 8x = 96 iegūst x = 8 : 96.
Lai atrastu x, reizinājumu dala ar koeficientu, kas stāv blakus x: x = 96 : 8 = 12. Noderīgs ieradums — ievietot atrasto skaitli atpakaļ: 8 · 12 = 96, viss pareizi.
-
Nesaskaņo mērvienības. Uzdevumā ar mērogu 1 : 50 000 pie 3 cm kartē raksta atbildi "1,5" bez vienībām vai nosauc to par metriem.
Vispirms aprēķinām tajās vienībās, kādās dots mērogs: 3 · 50 000 = 150 000 cm. Un tikai tad pārveidojam: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Vienības atbildē ir tikpat svarīgas, cik pats skaitlis.
-
Jauc attiecību un proporciju: uz lūgumu sastādīt proporciju raksta vienu attiecību "12 : 4".
Attiecība ir viens dalījums: 12 : 4 = 3. Proporcija ir divu attiecību vienādība, tajā obligāti ir četri skaitļi un vienādības zīme: 12 : 4 = 30 : 10 (pārbaudām: 12 · 10 = 120 un 4 · 30 = 120).
Jautājumi un atbildes
Kā attiecība atšķiras no proporcijas?
Attiecība ir divu skaitļu dalījums, piemēram, 12 : 4. Proporcija ir divu attiecību vienādība, tajā ir četri skaitļi: 12 : 4 = 30 : 10. Attiecība atbild uz jautājumu "cik reizes", bet proporcija apgalvo, ka divi šādi salīdzinājumi dod vienādu rezultātu.
Kas ir proporcijas ārējie un vidējie locekļi?
Pierakstā a : b = c : d ārējie locekļi ir tie, kas atrodas malās, proti, a un d. Vidējie — tie, kas atrodas vidū, proti, b un c. Ja proporcija pierakstīta kā daļas, ārējie locekļi ir pirmās daļas skaitītājs un otrās daļas saucējs, bet vidējie — pirmās daļas saucējs un otrās daļas skaitītājs.
Kā pārbaudīt, vai proporcija ir pareiza?
Pareizināt krustu šķērsu un salīdzināt reizinājumus. Piemēram, priekš 9 : 12 = 15 : 20 aprēķinām 9 · 20 = 180 un 12 · 15 = 180 — skaitļi sakrita, tātad proporcija ir pareiza. Ja reizinājumi ir dažādi, proporcija ir nepareiza.
Vai proporcijas locekļus drīkst mainīt vietām?
Jā, ja to dara pēc noteikumiem. Pareizā proporcijā drīkst mainīt vietām ārējos locekļus, drīkst mainīt vietām vidējos, vai arī apgriezt abas daļas uzreiz — proporcija paliks pareiza. No 4 : 6 = 10 : 15 iegūstam 4 : 10 = 6 : 15 vai 6 : 4 = 15 : 10 — reizinājums pa diagonāli visur ir 60. Bet tikai vienu skaitli pārvietot nedrīkst.
Ko nozīmē "risināt proporciju krustu šķērsu"?
Tā ir proporcijas pamatīpašības sarunvalodas nosaukums. Skaitļus reizina pa diagonāli, krustu šķērsu: ārējo ar ārējo un vidējo ar vidējo. Tiek iegūta vienādojums ar vienu nezināmo, kas tiek atrisināts ar vienu dalīšanu. Nekādas atsevišķas "krusta metodes" ārpus pamatīpašības nepastāv.
Kā saprast, vai uzdevumā sakarība ir tiešā vai apgrieztā?
Domās palieliniet pirmo lielumu 2 reizes un paskatieties uz otro. Ja tas arī palielinājās divreiz — sakarība ir tiešā, proporcija tiek sastādīta "kā ir". Ja samazinājās divreiz — sakarība ir apgrieztā, otro attiecību vajag apgriezt. Vēl viena pazīme: tiešajai sakarībai ir pastāvīga lielumu attiecība, apgrieztajai — to reizinājums.
Kā risināt uzdevumus par procentiem caur proporciju?
Sastādiet proporciju "daļa : vesels = procents : 100" un atrodiet nezināmo krustu šķērsu. Piemēram, 12% no 350: iegūstam x : 350 = 12 : 100, tātad 100x = 4200 un x = 42. Ar tādu pašu paņēmienu meklē arī veselo pēc zināmās daļas un pašu procentu.
