Vjēta teorēma saista kvadrātvienādojuma saknes ar tā koeficientiem: reducētajam vienādojumam \(x^2 + px + q = 0\) sakņu summa ir \(-p\), bet reizinājums ir \(q\). Tas ļauj saknes atrast mutiski — piemeklējot, bez diskriminanta. Šajā lapā — precīzas formulas reducētajam vienādojumam un vispārīgajam veidam, apgrieztā Vjēta teorēma, sakņu piemeklēšanas algoritms, atrisināti piemēri un interaktīvais trenažieris.
Kas ir Vjēta teorēma
Vjēta teorēma ir likums, kas saista kvadrātvienādojuma saknes ar tā koeficientiem. Tā formulējas šādi: ja \(x_1\) un \(x_2\) ir reducētā kvadrātvienādojuma \(x^2 + px + q = 0\) saknes, tad
Vārdiem sakot: sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretējo zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo locekli. Mīnus zīme summā — visa temata svarīgākā vieta: raksta tieši \(-p\), nevis \(p\).
Vispārīgā veida vienādojumam \(ax^2 + bx + c = 0\) (kur \(a \neq 0\)) formulas iegūst, dalot ar \(a\):
Teorēma darbojas tikai tad, kad reālas saknes pastāv, proti, ja \(D \ge 0\). Ja diskriminants ir negatīvs, nav ko piemeklēt: nav tādu reālu skaitļu ar šādu summu un šādu reizinājumu.
Reducētais vienādojums un vispārīgais veids: kur jādalās ar a
Reducētais ir kvadrātvienādojums, kura koeficients pie \(x^2\) ir vienāds ar viens: \(x^2 + px + q = 0\). Tieši tam Vjēta teorēma skan visīsāk, tāpēc sakņu piemeklēšanu vienmēr sāk ar reducēšanu.
Ja \(a \neq 1\), vienādojumu vispirms izdala ar \(a\) pa locekļiem. Piemēram, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) pēc dalīšanas ar \(3\) pārvēršas par \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), proti, \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). No tā \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) un \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
To pašu domu var pierakstīt uzreiz vispārīgajam veidam, nenoreducējot vienādojumu: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Visbiežāk pieļautā kļūda — piemērot "īsās" formulas \(-p\) un \(q\) nenoreducētam vienādojumam un iegūt summu \(10\) vietā \(\frac{10}{3}\).
Apgrieztā Vjēta teorēma
Vjēta teorēmai ir apgrieztā, un tieši tā ļauj risināt vienādojumus ar piemeklēšanu. Tā skan šādi: ja skaitļi \(m\) un \(n\) ir tādi, ka
tad \(m\) un \(n\) ir vienādojuma \(x^2 + px + q = 0\) saknes.
Atšķirība ir principiāla. Tiešā teorēma iet no saknēm pie koeficientiem: saknes jau ir zināmas, mēs iegūstam saites starp tām. Apgrieztā iet no koeficientiem pie saknēm: mēs uzminam skaitļu pāri ar vajadzīgo summu un vajadzīgo reizinājumu — un mums ir pilnas tiesības tos nosaukt par saknēm, nekas vairāk nav jāpierāda.
No tā izriet arī noderīgs likums: ja \(x_1\) un \(x_2\) ir saknes, tad polinoms sadalās reizinātājos \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Piemēram, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Sakņu piemeklēšana pēc Vjēta teorēmas: algoritms
Sakņu piemeklēšana — galvenais teorēmas praktiskais pielietojums. Tā darbojas ātrāk nekā diskriminants, kad saknes ir veseli skaitļi, un aizņem piecus soļus.
Sakņu zīmes pēc koeficientiem p un q
Vēl pirms piemeklēšanas var saprast, kādas zīmes būs saknēm — pietiek aplūkot \(p\) un \(q\) zīmes. Tas ievērojami saīsina meklēšanu: uzreiz ir skaidrs, vai meklēt pāri no diviem pozitīviem skaitļiem, diviem negatīviem vai dažādu zīmju skaitļiem.
| p un q | Saknes | Piemērs |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | abas > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | abas < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | pretēju zīmju | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 un −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Vjēta teorēma vai diskriminants: ko izvēlēties
Sakņu formula caur diskriminantu \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) darbojas vienmēr, bet prasa aprēķinus. Vjēta teorēma darbojas acumirklī, bet tikai tad, ja saknes var uzminēt — parasti tie ir nelieli veseli skaitļi.
Praktisks likums ir šāds:
- vienādojums reducēts, un \(q\) sadalās nelielu dalītāju pāros → mēģini piemeklēt pēc Vjēta, atbilde sanāk mutiski;
- koeficienti lielāki vai daļveida, saknes nevar uzminēt 10–15 sekunžu laikā → rēķini diskriminantu;
- vajadzīgs tikai sakņu skaits vai sakņu zīmes, bet pašas saknes nav vajadzīgas → pietiek ar \(D\) un tabulu ar zīmēm iepriekš.
Noderīga ir arī kombinācija: aprēķināji diskriminantu un atradi saknes — pārbaudi atbildi pēc Vjēta. Summai jābūt \(-p\), reizinājumam \(q\). Šāda pārbaude aizņem pāris sekunžu un noķer gandrīz jebkuru aritmētisko kļūdu.
Piemēri risināšanai pēc Vjēta teorēmas
1. piemērs. Sakņu piemeklēšana: abas saknes ir pozitīvas
Atrisināt \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
1. solis. Vienādojums ir reducēts: \(p = -9\), \(q = 20\).
2. solis. Pārbaudām diskriminantu: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — divas saknes ir.
3. solis. Pierakstām saites: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
4. solis. Pārskatām skaitļa 20 sadalījumus: \(1\cdot 20\) (summa 21), \(2\cdot 10\) (summa 12), \(4\cdot 5\) (summa 9) — pēdējais pāris der. Abi reizinātāji ir pozitīvi, jo \(q > 0\), bet \(p < 0\).
5. Pārbaude ar ievietošanu. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Atbilde: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
2. piemērs. Saknes dažādu zīmju
Atrisināt \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
1. solis. Vienādojums ir reducēts: \(p = 3\), \(q = -28\).
2. solis. \(q < 0\), tātad saknes ir dažādu zīmju un diskriminants ir garantēti pozitīvs: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
3. solis. Saites: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
4. solis. Skaitļa 28 sadalījumi: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Vajadzīga starpība 3 — der pāris 4 un 7. Tā kā summa ir negatīva, lielāko sakni pēc modula ņemam ar mīnus zīmi: 4 un \(-7\).
5. Pārbaude. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Atbilde: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
3. piemērs. Vispārīga veida vienādojums (a ≠ 1)
Atrisināt \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
1. solis. Koeficients \(a = 3\), tāpēc "īsas" formulas \(-p\) un \(q\) nevar lietot. Izmantojam vispārīgo veidu: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
2. solis. Reizinājums ir 1 — tātad saknes ir savstarpēji apgrieztas: ja viena ir \(t\), otra ir \(\tfrac{1}{t}\). Summa \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) norāda uz \(t = 3\), jo \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
3. Pārbaude ar ievietošanu. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Atbilde: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
4. piemērs. Sastādīt vienādojumu pēc tā saknēm
Uzdevums. Sastādīt reducētu kvadrātvienādojumu, kura saknes ir \(-4\) un \(6\).
1. solis. Aprēķinām summu un reizinājumu: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
2. solis. Pēc apgrieztās Vjēta teorēmas koeficienti ir \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) un \(q = x_1 x_2 = -24\). Šeit slēpjas galvenā ķezla: \(p\) ir summa ar pretējo zīmi.
3. solis. Pierakstām vienādojumu: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
4. Pārbaude ar ievietošanu. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Atbilde: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). To pašu rezultātu dod sadalījums \((x + 4)(x - 6) = 0\).
5. piemērs. Pārbaudīt kāda cita atbildi pēc Vjēta teorēmas
Uzdevums. Skolēns atrisināja vienādojumu \(x^2 + 5x + 6 = 0\) un pierakstīja atbildi: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Pārbaudīt, vai viņš nekļūdījās.
1. solis. Pēc Vjēta jābūt \(x_1 + x_2 = -p = -5\) un \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
2. solis. Piedāvātajai atbildei reizinājums sakrīt (\(2\cdot 3 = 6\)), bet summa — nē: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Tātad atbilde ir nepareiza: zīme ir zaudēta.
3. solis. Meklējam pareizo pāri: vajadzīgi skaitļi ar reizinājumu 6 un summu \(-5\) — tie ir \(-2\) un \(-3\) (abi negatīvi, jo \(q > 0\) un \(p > 0\)).
4. Pārbaude ar ievietošanu. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Atbilde: pareizās saknes — \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Biežākās kļūdas, strādājot ar Vjēta teorēmu
-
Zaudē mīnus summas vietā: raksta $x_1 + x_2 = p$ vietā $x_1 + x_2 = -p$.
Mīnus ir tikai pie summas, reizinājums tiek ņemts ar to pašu zīmi: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Pārbaudi vienkāršā vienādojumā \(x^2 - 5x + 6 = 0\): šeit \(p = -5\), sakņu summa ir 5, un saknes tiešām ir 2 un 3.
-
Lieto formulas $-p$ un $q$ pie nenoreducēta vienādojuma: $2x^2 - 9x + 4 = 0$ saka "summa 9, reizinājums 4".
Kamēr \(a \neq 1\), darbojas vispārīgā veida formulas: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Saknes šeit ir 4 un \(\tfrac{1}{2}\), nevis 4 un 1. Vai arī vispirms izdali visu vienādojumu ar \(a\).
-
Piemeķlē saknes, nepārbaudot diskriminantu: $x^2 + x + 1 = 0$ mēģina atrast skaitļu pāri ar summu $-1$ un reizinājumu $1$.
Vispirms pārliecinies, ka saknes pastāv: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), reālu sakņu nav, piemeklēšana nav iespējama. Vjēta teorēma darbojas tikai pie \(D \ge 0\).
-
Piemeķlē pāri tikai pēc reizinājuma, nepārbaudot summu: $x^2 - 8x + 12 = 0$ paņem 3 un 4, jo to reizinājums ir 12.
Jāpārbauda abas saites uzreiz. \(x^2 - 8x + 12 = 0\) reizinājumu 12 dod pāri (1; 12), (2; 6), (3; 4), bet summu 8 — tikai pāris 2 un 6. Pārbaude: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) un \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Sastādot vienādojumu pēc saknēm, ņem $p$ vienādu ar summu: saknēm 2 un 5 raksta $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Koeficients \(p\) ir vienāds ar summu ar pretējo zīmi: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), proti, \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Ievietošana apstiprina: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Uzskata, ka Vjēta teorēma ir spēkā tikai veseliem saknēm, un nelieto to atbildes pārbaudei.
Saites \(x_1 + x_2 = -p\) un \(x_1 x_2 = q\) izpildās pie jebkurām reālām saknēm — veselām, daļveida un iracionālām. Tikai mutiska piemeklēšana ir ērta veseliem skaitļiem, bet pārējām teorēma paliek ātrs veids, kā pārbaudīt ar diskriminantu atrastu atbildi.
Jautājumi un atbildes
Kā skan Vjēta teorēma vienkāršiem vārdiem?
Ja reducētajam kvadrātvienādojumam \(x^2 + px + q = 0\) ir saknes, tad to summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretējo zīmi, bet reizinājums ir vienāds ar brīvo locekli: \(x_1 + x_2 = -p\) un \(x_1 x_2 = q\).
Cik lielas ir $ax^2 + bx + c = 0$ vienādojuma sakņu summa un reizinājums?
Vispārīgā veida vienādojumam sakņu summa ir \(-\dfrac{b}{a}\), bet reizinājums \(\dfrac{c}{a}\). Šīs formulas iegūst no reducētā gadījuma, dalot visu vienādojumu ar \(a\).
Kā apgrieztā Vjēta teorēma atšķiras no tiešās?
Tiešā teorēma iet no saknēm pie koeficientiem: zinot saknes, mēs iegūstam summu \(-p\) un reizinājumu \(q\). Apgrieztā iet pretēji: ja skaitļu pāris dod vajadzīgo summu un vajadzīgo reizinājumu, tad šie skaitļi ir vienādojuma saknes. Tieši apgrieztā teorēma ļauj risināt vienādojumus ar piemeklēšanu.
Kā piemeklēt saknes pēc Vjēta teorēmas?
Reducē vienādojumu līdz veidam \(x^2 + px + q = 0\), pārliecinies, ka \(D \ge 0\), izraksti \(x_1 + x_2 = -p\) un \(x_1 x_2 = q\), pārskati skaitļa \(q\) sadalījumus pāros un izvēlies to pāri, kura summa ir \(-p\). Piemēram, \(x^2 + 6x + 8 = 0\) vajadzīgi skaitļi ar reizinājumu 8 un summu \(-6\) — tie ir \(-2\) un \(-4\).
Vai Vjēta teorēma darbojas, ja koeficients pie $x^2$ nav viens?
Jā, bet vispārīgā veidā: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Īsās formulas \(-p\) un \(q\) ir spēkā tikai reducētam vienādojumam, tāpēc pie \(a \neq 1\) vienādojumu vispirms izdala ar \(a\).
Ko darīt, ja saknes pēc Vjēta teorēmas nepiemeklējas?
Tas nozīmē, ka saknes nav veseli skaitļi vai to vispār nav. Aprēķini diskriminantu: ja \(D < 0\), reālu sakņu nav, bet ja \(D \ge 0\), atrodi saknes pēc formulas \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) un tikai tad pārbaudi atbildi pēc Vjēta teorēmas.
Kā noteikt sakņu zīmes, nerisinot vienādojumu?
Pēc \(p\) un \(q\) zīmēm pie \(D \ge 0\): ja \(q > 0\) un \(p < 0\) — abas saknes ir pozitīvas; ja \(q > 0\) un \(p > 0\) — abas negatīvas; ja \(q < 0\) — saknes ir dažādu zīmju; ja \(q = 0\) — viena no saknēm ir nulle.
Kurā klasē māca Vjēta teorēmu?
- klasē algebras stundās, uzreiz pēc kvadrātvienādojumiem un diskriminanta. Tālāk to izmanto, sadalot kvadrātisko trinomu reizinātājos \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), izpētot saknes ar parametru un OGE un EGE uzdevumos.
