Nevienādība — ir divi izteikumi, kas savienoti ar zīmi \(<\), \(>\), \(\le\) vai \(\ge\). Atrisināt nevienādību — nozīmē atrast visas mainīgā vērtības, pie kurām tā pārvēršas par patiesu skaitlisku nevienādību. Atbilde būs nevis viens skaitlis, bet vesela kopa: intervāls uz skaitļu ass vai intervālu apvienojums. Šajā lapā ir apkopota bāze, kas ir kopīga visiem nevienādību veidiem: kā lasīt zīmes, kādi pārveidojumi ir atļauti, kāpēc zīme apgriežas, dalot ar negatīvu skaitli, un kā pareizi pierakstīt atbildi. Un tālāk — visu nevienādību veidu apskats ar saitēm uz detalizētu analīzi un treniņu sevis pārbaudīšanai.
Ko nozīmē atrisināt nevienādību
Nevienādības atrisinājums — ir jebkura mainīgā vērtība, kas nevienādību pārvērš par patiesu skaitlisku. Bet atrisināt nevienādību — nozīmē atrast visas šādas vērtības un pierakstīt tās kā kopu.
Salīdzini ar vienādojumu. Vienādojumam \(2x = 8\) atbilde ir viens skaitlis \(x = 4\). Nevienādībai \(2x < 8\) atbilde ir bezgalīgi daudz skaitļu: derēs gan \(3\), gan \(0\), gan \(-100\), gan \(3{,}999\). Pierakstīt tos pa vienam nav iespējams, tāpēc atbildi noformē ar intervālu: \(x < 4\), tas ir, \((-\infty;\ 4)\).
Pārbaudīt, vai konkrēts skaitlis ir atrisinājums, ir viegli: ievieto to mainīgā vietā un paskaties, vai sanāk patiesa nevienādība.
- \(x = 1\) nevienādībā \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — patiesa, tātad \(1\) — atrisinājums.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — netiesa, tātad \(5\) nav atrisinājums.
Divas nevienādas sauc par ekvivalentām, ja tām sakrīt atrisinājumu kopas. Viss nevienādības atrisinājums — ir virkne pāreju pie vienkāršākas ekvivalentas nevienādības, līdz kreisajā pusē paliek viens \(x\).
Nevienādību zīmes: stingras un nestringras
Zīmes ir četras, un no tā, kura no tām ir, ir atkarīga gan atbilde, gan noformējums. Stingrās zīmes \(<\) un \(>\) pašu robežpunktu atbildē neiekļauj, nestringrās \(\le\) un \(\ge\) — iekļauj.
Šī atšķirība saglabājas visā risinājumā: stingra zīme dod izsvītrotu (tukšu) punktu uz ass un apaļu iekavu atbildē, nestringa — aizkrāsotu punktu un kvadrātveida iekavu.
| Zīme | Kā nolasa un ko dod atbildē |
|---|---|
| < | mazāksstingraizsvītrots punkts, apaļa iekava |
| > | lielāksstingraizsvītrots punkts, apaļa iekava |
| ≤ | mazāks vai vienādsnestringaaizkrāsots punkts, kvadrātveida iekava |
| ≥ | lielāks vai vienādsnestringaaizkrāsots punkts, kvadrātveida iekava |
Ekvivalentas pārveidošanas: ko drīkst darīt ar nevienādību
Ar nevienādību drīkst darīt gandrīz to pašu, ko ar vienādojumu, bet ar vienu svarīgu piebildi. Sastādīt un atņemt var brīvi: ja abām pusēm pieskaita vai no abām pusēm atņem vienu un to pašu, atrisinājumu kopa nemainās. Tieši tā locekļi «pārvieto» pāri zīmei, mainot tiem plusu uz mīnus.
Apmēram tāda pati ir reizināšana un dalīšana, kas ir atkarīga no reizinātāja zīmes. Reizinot vai dalot abas puses ar negatīvu skaitli, nevienādības zīme mainās uz pretējo: \(<\) kļūst \(>\), \(\le\) kļūst \(\ge\) un otrādi. Iemesls ir redzams uz skaitļiem: no patiesas \(3 < 5\) pēc reizināšanas ar \(-1\) sanāk \(-3\) un \(-5\), bet \(-3 > -5\) — skaitļu kārta ir apgriezta.
Tas pats notiek, ja apgriež vietām kreiso un labo pusi: no \(7 < y\) sanāk \(y > 7\).
| Ko darām ar abām pusēm | Ko ar zīmi |
|---|---|
| Pieskaitām vai atņemam vienu un to pašu skaitli vai izteikumu | zīme saglabājas |
| Reizinām vai dalām ar pozitīvu skaitli | zīme saglabājas |
| Reizinām vai dalām ar negatīvu skaitli | zīme mainās |
| Apgriežam vietām kreiso un labo pusi | zīme mainās |
| Reizinām vai dalām ar izteikumu ar mainīgo (x − 2) | tā nedrīkst |
Kā pierakstīt atbildi: skaitļu ass un intervāli
Kad mainīgais palicis viens, atrisinājums gandrīz gatavs — atliek tikai noformēt. Ērtākais veids ir vispirms atzīmēt atbildi uz skaitļu ass, un jau no ass skaitīt intervālu.
Pierakstīšanas noteikumi ir tikai trīs, un tie nemainās atkarībā no nevienādības veida:
- apaļā iekava — punkts atbildē neietilpst (stingra zīme, izsvītrots punkts);
- kvadrātveida iekava — punkts ietilpst (nestringa zīme, aizkrāsots punkts);
- pie bezgalības iekava vienmēr ir apaļa: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — pieraksts veidā \([-\infty;\ 4]\) neeksistē, bezgalība nav skaitlis un to nevar sasniegt.
Ja atrisinājums izrādījās divi ass gabali, tos savieno ar apvienojuma zīmi \(\cup\): piemēram, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Nevienādību veidi un to risināšanas paņēmieni
Nevienādības atšķiras pēc tā, kā tajās ienāk mainīgais — vai tas ir pirmajā pakāpē, zem kvadrāta, saucējā vai zem moduļa. Tieši tas nosaka risināšanas paņēmienu, tāpēc pirmais solis jebkurā risinājumā ir noteikt nevienādības veidu. Tālākā kopējā loģika ir viena: novest nevienādību pie veida «izteikums tiek salīdzināts ar nulli», un pēc tam pielietot paņēmienu, kas atbilst šim veidam. Veidu un metožu kopsavilkums — zemāk esošajā tabulā.
Atsevišķi jāatceras, kā atveras modulis — tabulā tas neietilpst. Ja \(a > 0\), nevienādība \(|f(x)| < a\) ir ekvivalenta dubultajai nevienādībai \(-a < f(x) < a\) (sanāk sistēma), bet \(|f(x)| > a\) — sakopojumam \(f(x) < -a\) vai \(f(x) > a\) (sanāk intervālu apvienojums). Ja \(a < 0\), vispār nav par ko domāt: modulis ir nenegatīvs, tāpēc \(|f(x)| < a\) nav atrisinājumu, bet \(|f(x)| > a\) ir patiesa visiem pieļaujamiem \(x\).
Irracionālās (ar sakni) un eksponenciālās nevienādības tiek aplūkotas vidusskolā: pie parastajām pārveidošanām tur pievienojas darbs ar pieļaujamo vērtību apgabalu.
Detalizēta atsevišķu veidu analīze: lineārās nevienādības, rationālās nevienādības un intervālu metode, bet kvadrātiskā trinomu saknes ērti piemeklēt pēc Vjētas teorēmas.
| Veids | Kā izskatās un ar ko risina |
|---|---|
| Lineārs | ax + b > 0pārvietojam locekļus un dalām ar koeficientu pie x |
| Kvadrātisks | ax2 + bx + c > 0meklējam trinomu saknes un skatāmies uz parabolu |
| Daļveida-rationāls | P(x) / Q(x) ≥ 0intervālu metode, saucēja nulles izsvītrojam |
| Ar moduli | | f(x) | < aatveram moduli pēc definīcijas |
| Sistēma | divas nevienādības figūriekavāsrisinām katru, ņemam kopni |
Nevienādību sistēmas un sakopojumi
Bieži viena nevienādība sadalās divās, un tad ir svarīgi nepārprot, ko darīt ar iegūtajām kopām.
Sistēma (figūriekava) nozīmē «un tas, un tas vienlaicīgi». Risinām katru nevienādību atsevišķi, atzīmējam abas atbildes uz vienas ass un ņemam kopni — kopīgo daļu. Ja kopīgas daļas nav, sistēmai nav atrisinājumu.
Sakopojums (kvadrātveida iekava) nozīmē «vai nu viens, vai otrs». Šeit ņem apvienojumu — visu, kas ir aizkrāsots vismaz ar vienu no atbildēm. Sakopojums parādās, piemēram, atverot moduli ar zīmi «lielāks».
Atsevišķi jāmin dubultā nevienādība veidā \(-3 < 2x + 1 \le 7\): tas ir sistēmas saīsināts pieraksts. Pārveidojumus veic uzreiz visām trim daļām — atņem, dala, un, dalot ar negatīvu skaitli, apgriež abas zīmes kopā.
Nevienādību risināšanas piemēri
1. piemērs. Pārbaudīt, vai skaitlis ir atrisinājums
Uzteikums. Vai \(x = -1\) ir nevienādības \(3x + 5 \ge 1\) atrisinājums?
1. solis. Ievietojam \(-1\) \(x\) vietā: \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
2. solis. Salīdzinām ar labo pusi: \(2 \ge 1\) — patiesa skaitliska nevienādība.
Atbilde. Jā, \(-1\) — viens no atrisinājumiem. Bet atrisināt nevienādību — nozīmē atrast visus šādus skaitļus, nevis vienu: šeit atbilde ir \(x \ge -\frac{4}{3}\).
2. piemērs. Lineāra nevienādība ar zīmes maiņu
Uzteikums. Atrisināt \(7 - 3x < 1\).
1. solis. Pārvietojam \(7\) pa labi (tas ir, atņemam \(7\) no abām pusēm — nevienādības zīme nemainās): \(-3x < 1 - 7\), tātad \(-3x < -6\).
2. solis. Dalām abas puses ar \(-3\). Dalītājs ir negatīvs, tāpēc zīme apgriežas: \(x > 2\).
3. solis. Atzīmējam uz ass: izsvītrots punkts pie \(2\), aizkrāsojam visu pa labi.
Atbilde. \(x > 2\), tas ir, \(x \in (2;\ +\infty)\).
3. piemērs. Kvadrātiskā nevienādība
Uzteikums. Atrisināt \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
1. solis. Atrodam trinomu saknes: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), no kā \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
2. solis. Koeficients pie \(x^2\) ir pozitīvs, tātad parabolas zari vērsti uz augšu: starp saknēm trinomu ir negatīvs, bet ārpus saknēm — pozitīvs.
3. solis. Mums vajadzīga zīme \(\le 0\), tas ir, negatīvas vērtības un pašas saknes (zīme nestringa) — ņemam nogriezni starp saknēm kopā ar galapunktiem.
Atbilde. \(x \in [-1;\ 5]\).
4. piemērs. Nevienādība ar moduli
Uzteikums. Atrisināt \(|x + 1| > 4\).
1. solis. Modulis ir lielāks par pozitīvu skaitli — tātad izteikums zem moduļa ir vai nu lielāks par \(4\), vai mazāks par \(-4\). Iegūstam sakopojumu: \(x + 1 > 4\) vai \(x + 1 < -4\).
2. solis. Risinām katru: no pirmās \(x > 3\), no otrās \(x < -5\).
3. solis. Šis ir sakopojums, tāpēc ņemam intervālu apvienojumu, nevis kopni.
Atbilde. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
5. piemērs. Nevienādību sistēma
Uzteikums. Atrisināt sistēmu \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
1. solis. Pirmā nevienādība: \(2x > -4\), dalām ar pozitīvu \(2\) — zīme saglabājas, \(x > -2\).
2. solis. Otrā nevienādība: \(x \le 4\).
3. solis. Atzīmējam abas atbildes uz vienas ass un ņemam kopni — daļu, kas nokrāsota divreiz. Kreisā robeža neietilpst (stingra zīme), labā ietilpst (nestringa).
Atbilde. \(x \in (-2;\ 4]\).
Biežākās kļūdas nevienādību risināšanā
-
Dalīts ar negatīvu skaitli un atstāta iepriekšējā zīme.
Reizinot un dalot abas puses ar negatīvu skaitli, zīme obligāti mainās uz pretējo. No \(-5x \ge 10\) sanāk \(x \le -2\), nevis \(x \ge -2\). Var pārbaudīt sevi ar ievietošanu: \(x = -3\) dod \(15 \ge 10\) — patiesa, tātad pareizā atbilde tiešām ir «mazāks vai vienāds».
-
Raksta kvadrātveida iekavu pie bezgalības: $[-\infty;\ 7]$.
Bezgalība — nav skaitlis, to nevar «sasniegt», tāpēc iekava pie \(+\infty\) un \(-\infty\) vienmēr ir apaļa: \((-\infty;\ 7]\). Kvadrātveida iekava tiek likta tikai pie galīgas robežas, kas ietilpst atbildē.
-
Jauc iekavu un punkta tipu: stingro zīmi pieraksta ar kvadrātveida iekavu.
Stingra zīme (\(<\), \(>\)) — robeža neietilpst: izsvītrots punkts un apaļa iekava. Nestringa (\(\le\), \(\ge\)) — robeža ietilpst: aizkrāsots punkts un kvadrātveida iekava. Pārbaude ir vienkārša: ievieto pašu robežpunktu sākotnējā nevienādībā un paskaties, vai sanāk patiesa.
-
Reizina abas puses ar izteikumu ar mainīgo, lai «atbrīvotos no daļas».
Šāda izteikuma zīme nav zināma, tāpēc nav skaidrs, vai apgriezt nevienādības zīmi vai nē — pārveidojums nav ekvivalents. Tā vietā visu pārvieto uz vienu pusi, noved pie vienas daļas un pielieto intervālu metodi.
-
Atbildē pieraksta vienu skaitli: «$x = 3$» kopas vietā.
Nevienādības atrisinājums — ir vērtību kopa. Pieraksti to ar intervālu: \(x > 3\), tas ir, \((3;\ +\infty)\). Viens skaitlis var būt tikai atbildes elements, bet ne pati atbilde.
-
Sistēmai ņem apvienojumu, bet sakopojumam — kopni.
Sistēmai (figūriekava, «un») — kopne, intervālu kopīgā daļa. Sakopojumam (kvadrātveida iekava, «vai») — apvienojums caur zīmi \(\cup\). Un vēl: pieraksts veidā «\(-2 < x > 5\)» nav jēgpilns — šāda atbilde tiek noformēta kā divu intervālu apvienojums.
Jautājumi un atbildes
Ko nozīmē atrisināt nevienādību?
Atrisināt nevienādību — nozīmē atrast visas mainīgā vērtības, pie kurām tā pārvēršas par patiesu skaitlisku nevienādību, un pierakstīt tās kā kopu. Atbilde būs intervāls vai intervālu apvienojums, nevis atsevišķs skaitlis.
Kādi ir nevienādību veidi?
Pēc izteikuma ar mainīgo veida izšķir lineārās (\(ax + b > 0\)), kvadrātiskās (\(ax^2 + bx + c > 0\)), daļveida-rationālās (mainīgais saucējā), ar moduli, iracionālās un eksponenciālās. Atsevišķi izšķir nevienādību sistēmas un sakopojumus. Pēc nevienādības zīmes tās dala stingrajās (\(<\), \(>\)) un nestringrajās (\(\le\), \(\ge\)).
Kad nevienādības zīme mainās uz pretējo?
Divos gadījumos: kad abas puses reizina vai dala ar negatīvu skaitli un kad kreiso un labo pusi maina vietām. Pieskaitot, atņemot un dalot ar pozitīvu skaitli, zīme paliek iepriekšējā.
Kad iekava ir apaļa, bet kad — kvadrātveida?
Apaļa — ja robežpunkts atbildē neietilpst (stingra zīme, izsvītrots punkts uz ass). Kvadrātveida — ja ietilpst (nestringa zīme, aizkrāsots punkts). Pie \(+\infty\) un \(-\infty\) iekava vienmēr ir apaļa.
Ar ko nevienādības atrisinājums atšķiras no vienādojuma atrisinājuma?
Pārveidojumi gandrīz tie paši, bet vienādojumam atbilde parasti sastāv no atsevišķiem skaitļiem, bet nevienādībai — no veseliem intervāliem. Turklāt nevienādībai ir zīmes maiņas likums, reizinot un dalot ar negatīvu skaitli, kāda vienādojumos nav.
Kāda nevienādība tiek uzskatīta par daļveida un kur to aplūko?
Dļveida (daļveida-rationālā) sauc nevienādību, kurā mainīgais atrodas saucējā, — piemēram \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); sakarā ar saucēju tai parādās pieļaujamo vērtību apgabals, un ar parastu dalīšanu to nevar atrisināt. Sol pēc soļa algoritms ar piemēriem — atsevišķā materiālā rationālās nevienādības un intervālu metode.
Kuras klases programmā māca nevienādību risināšanu?
Lineārās nevienādas un skaitļu intervālus apgūst 8. klasē (pie Merzļaka — 9. klasē), kvadrātiskās un daļveida-rationālās nevienādas ar intervālu metodi — 8.–9. klasēs, bet iracionālās un eksponenciālās — vidusskolā.
