Kvadrātvienādojuma formula atrisina jebkuru kvadrātvienādojumu formā \(ax^2 + bx + c = 0\) (kur \(a \neq 0\)). Tā saknes tiek noteiktas ar formulu \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Šajā lapā uzzināsi, ko nozīmē katra daļa, kā soli pa solim izmantot formulu, kā diskriminants norāda sakņu skaitu, un aplūko pilnībā izstrādātus piemērus — kā arī izmanto interaktīvo trenažieri, lai nekavējoties sāktu praktizēties.
Kas ir kvadrātvienādojuma formula
Kvadrātvienādojums ir jebkurš vienādojums, ko var uzrakstīt standarta formā \(ax^2 + bx + c = 0\), kur \(a\), \(b\) un \(c\) ir skaitļi un \(a \neq 0\). Skaitļus \(a\), \(b\) un \(c\) sauc par koeficientiem: \(a\) ir \(x^2\) koeficients, \(b\) ir \(x\) koeficients, un \(c\) ir brīvais loceklis.
Kvadrātvienādojuma formula sniedz risinājumus (saknes) tieši no šiem trim koeficientiem — nav nepieciešama sadalīšana reizinātājos. Tā darbojas jebkuram kvadrātvienādojumam, pat tiem, kurus nav viegli sadalīt reizinātājos.
Izcelsme (atvasināšana): formula ir iegūta, papildinot līdz pilnajam kvadrātam vispārīgo vienādojumu. Izsaki \(ax^2 + bx + c = 0\) ar \(a\), pārcel brīvo locekli uz otru pusi, pieskaiti \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) abām pusēm, lai izveidotu pilno kvadrātu, un izvelc kvadrātsakni. Rezultāts ir zemāk redzamā formula, kas derīga jebkuriem \(a\), \(b\), \(c\).
Diskriminants: cik ir sakņu
Daļu zem kvadrātsaknes, \(b^2 - 4ac\), sauc par diskriminantu (bieži apzīmē ar \(D\)). Tev nav jāizpilda visa formula, lai zinātu, cik risinājumu ir vienādojumam — diskriminanta zīme to pasaka uzreiz.
Tā kā nevar izvilkt reālu kvadrātsakni no negatīva skaitļa, \(D\) zīme sadala katru kvadrātvienādojumu tieši trīs gadījumos: divas saknes, viena atkārtota sakne vai nav reālu sakņu. Grafiski tas parāda, kur parabola \(y = ax^2 + bx + c\) krusto x asi — divreiz, vienreiz (virsotnē) vai nemaz.
| Diskriminants D = b² − 4ac | Reālas saknes | Ko iegūsti |
|---|---|---|
| D > 0 | Divas dažādas reālas saknes | Parabola krusto x asi divreiz. Izmanto abas zīmes: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Viena reāla sakne (atkārtota) | Parabola pieskaras x asij savā virsotnē. ± pazūd: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Nav reālu sakņu | Parabola nekad nepieskaras x asij. Nav reālas kvadrātsaknes no negatīva skaitļa. |
Kā izmantot kvadrātvienādojuma formulu: soļi
Kvadrātvienādojuma formula vienmēr darbojas vienādi. Izpildi šos piecus soļus secībā, un tā tevi nepievils — grūtākais ir tikai pareizi nolasīt koeficientus (ar to zīmēm).
Kvadrātvienādojuma formulas piemēri (soli pa solim)
1. piemērs. Divas reālas saknes (D > 0)
Atrisini \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
1.–2. solis. Tas jau ir standarta formā, tāpēc nolasi koeficientus: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
3. solis. Diskriminants: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
4. solis. \(D = 25 > 0\), tāpēc ir divas dažādas reālas saknes.
5. solis. Ievieto: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Izmantojot plus zīmi: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Izmantojot mīnusa zīmi: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Saknes: \(x = 3\) un \(x = \tfrac{1}{2}\).
2. piemērs. Viena atkārtota sakne (D = 0)
Atrisini \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
1.–2. solis. Standarta forma jau ir: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
3. solis. Diskriminants: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
4. solis. \(D = 0\), tāpēc ir tieši viena reāla sakne (atkārtota sakne). \(\pm\) loceklis pazūd, jo \(\sqrt{0} = 0\).
5. solis. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Sakne: \(x = 3\) (šis kvadrātvienādojums ir pilnais kvadrāts \((x-3)^2 = 0\)).
3. piemērs. Nav reālu sakņu (D < 0)
Atrisini \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
1.–2. solis. Standarta forma: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
3. solis. Diskriminants: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
4. solis. \(D = -16 < 0\). Tā kā nevar izvilkt reālu kvadrātsakni no negatīva skaitļa, šim vienādojumam nav reālu sakņu — tā parabola nekad nešķērso x asi.
5. solis. Tālāka rīcība reālu sakņu iegūšanai nav nepieciešama. (Ja esi apguvis kompleksos skaitļus, saknes ir \(x = -1 \pm 2i\), bet reālai atbildei šeit apstājamies.)
Biežākās kļūdas, izmantojot kvadrātvienādojuma formulu
-
Nepareiza b zīmes noteikšana, īpaši, ja b ir negatīvs.
Formula sākas ar −b. Ja b = −7, tad −b = +7 — divas mīnusa zīmes atceļ viena otru. Uzraksti ievietošanu pilnībā, piem. −(−7), pirms vienkāršošanas.
-
Aizmirst par ± un norāda tikai vienu sakni.
Kad D > 0, ± rada divas atbildes: vienu ar + un vienu ar −. Vienmēr aprēķini abus (−b + √D)/(2a) un (−b − √D)/(2a), ja vien D = 0.
-
Tikai daļas no skaitītāja dalīšana ar 2a.
Viss skaitītājs, −b ± √D, tiek dalīts ar 2a — ne tikai √D daļa. Saglabā to kā vienu daļu: (−b ± √D) / (2a).
-
Nepareiza diskriminanta aprēķināšana, ja a vai c ir negatīvs.
Formulā D = b² − 4ac, atņemot 4ac, kad a·c ir negatīvs, patiesībā pieskaiti. Piemēram, 3x² − 2x − 1 gadījumā, −4·3·(−1) = +12, tāpēc D = 4 + 12 = 16, nevis 4 − 12.
-
Formulas izmantošana pirms vienādojuma uzrakstīšanas standarta formā.
Vispirms pārcel visus locekļus uz vienu pusi, lai vienādojums izskatās ax² + bx + c = 0. Piemēram, x² = 5x − 6 jākļūst par x² − 5x + 6 = 0, pirms nolasi a, b, c.
Biežāk uzdotie jautājumi
Kas ir kvadrātvienādojuma formula?
Kvadrātvienādojuma formula ir x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Tā sniedz risinājumus jebkuram kvadrātvienādojumam ax² + bx + c = 0 (kur a ≠ 0) tieši no koeficientiem a, b un c.
Kā soli pa solim izmantot kvadrātvienādojuma formulu?
Uzraksti vienādojumu standarta formā ax² + bx + c = 0, identificē a, b un c ar to zīmēm, aprēķini diskriminantu D = b² − 4ac, pārbaudi tā zīmi, lai redzētu, cik ir sakņu, tad ievieto formulā x = (−b ± √D) / (2a) un vienkāršo gan plus, gan mīnusa versijas.
Kas ir diskriminants un kāpēc tas ir svarīgs?
Diskriminants ir D = b² − 4ac, izteiksme zem kvadrātsaknes. Tā zīme pasaka reālo sakņu skaitu bez aprēķina pabeigšanas: D > 0 dod divas reālas saknes, D = 0 dod vienu atkārtotu sakni, un D < 0 dod nulli reālu sakņu.
Kad man vajadzētu izmantot kvadrātvienādojuma formulu, nevis sadalīšanu reizinātājos?
Sadalīšana reizinātājos ir ātra, ja kvadrātvienādojums sadalās ar maziem veseliem skaitļiem. Kvadrātvienādojuma formula darbojas jebkuram kvadrātvienādojumam, ieskaitot tos, kurus nav viegli sadalīt vai kuriem ir iracionālas vai neveselas saknes, tāpēc tas ir uzticams risinājums, kad sadalīšana nav acīmredzama.
No kurienes nāk kvadrātvienādojuma formula?
Tā ir atvasināta, papildinot līdz pilnajam kvadrātam vispārīgo vienādojumu ax² + bx + c = 0: izsaki ar a, papildini kvadrātu, pieskaitot (b/2a)², pārraksti kreiso pusi kā pilno kvadrātu un izvelc kvadrātsakni no abām pusēm. Rezultāts ir kvadrātvienādojuma formula.
Vai kvadrātvienādojuma formula var nedot atbildi?
Ja diskriminants ir negatīvs (D < 0), nav reāla risinājuma, jo nevar izvilkt reālu kvadrātsakni no negatīva skaitļa. Vienādojumam joprojām ir divas kompleksas saknes, bet nav reālu sakņu — grafiski parabola vienkārši nekad nepieskaras x asij.
