Saīsinātās reizināšanas formulas (SRF) ir gatavas algebriskas identitātes, kas ļauj atvērt iekavas un sadalīt izteiksmes reizinātājos bez garas reizināšanas. Šajā lapā atradīsi tabulu ar visām septiņām formulām: summas un starpības kvadrātu, kvadrātu starpību, summas un starpības kubu, kā arī kubu summu un starpību. Katru formulu izskaidrojam ar atvasinājumu un piemēriem, bet beigās ir interaktīvs trenažieris, kurā uzreiz varēsi patrenēties lietot SRF.
Kas ir saīsinātās reizināšanas formulas
Saīsinātās reizināšanas formulas ir identitātes, kuras iegūst, vienu reizi rūpīgi sareizinot polinomus un iegaumējot rezultātu. Turpmāk vairs nav nepieciešams katru reizi atvērt iekavas: pietiek atpazīt «šablonu» un ievietot savus skaitļus vai burtus.
Skolas algebras kursā 7. klasē SRF darbojas divos virzienos:
- no kreisās uz labo pusi — lai ātri atvērtu iekavas un kāpinātu izteiksmi kvadrātā vai kubā;
- no labās uz kreiso pusi — lai sadalītu polinomu reizinātājos (tas nepieciešams daļu saīsināšanai un vienādojumu risināšanai).
Kopumā jāiegaumē septiņas formulas. Zemāk ir tabula-atgādne, bet pēc tam — katras formulas atsevišķs izskaidrojums.
Saīsinātās reizināšanas formulu tabula
Visas septiņas saīsinātās reizināšanas formulas ir ērti turēt acu priekšā vienā tabulā. Burti \(a\) un \(b\) šeit ir jebkuras izteiksmes: skaitlis, mainīgais vai vesels vienloceklis, piemēram, \(2x\).
| Formula | Pieraksts |
|---|---|
| Summas kvadrāts | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Starpības kvadrāts | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Kvadrātu starpība | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Summas kubs | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Starpības kubs | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Kubu summa | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Kubu starpība | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Summas kvadrāts un starpības kvadrāts
Summas kvadrātu iegūst, sareizinot \((a+b)\) pašu ar sevi:
Vārdiem sakot: summas kvadrāts ir vienāds ar pirmās izteiksmes kvadrātu plus divkāršots pirmās un otrās izteiksmes reizinājums plus otrās izteiksmes kvadrāts. Tieši tāpat tiek atvasināts starpības kvadrāts — vidējā locekļa zīme kļūst par mīnusu:
Galvenais — nepazaudēt vidējo locekli \(2ab\): tieši tā dēļ \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Summas kvadrātam un starpības kvadrātam atšķiras tikai zīme pirms \(2ab\), bet galējiem locekļiem \(a^2\) un \(b^2\) vienmēr ir plus zīme.
Piemērs. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Summas kvadrātam ir uzskatāma ģeometriska jēga: tas ir lielā kvadrāta laukums ar malu \((a+b)\).
Kvadrātu starpība
Ja sareizina vienu un to pašu izteiksmju summu un starpību, vidējie locekļi savstarpēji iznīcinās:
Sanāk kvadrātu starpības formula: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Šī ir visnoderīgākā SRF sadalīšanai reizinātājos: tiklīdz redzi divu kvadrātu starpību — uzreiz sadali reizinājumā.
Piemērs (atvērt iekavas). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Piemērs (sadalīt reizinātājos). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Svarīgi: kvadrātu summa \(a^2 + b^2\) pēc šīs formulas reizinātājos nesadalās — darbojas tikai starpība.
Summas kubs, starpības kubs, kubu summa un starpība
Summas kubs un starpības kubs jau satur četrus saskaitāmos:
Starpības kubam zīmes mainās: \(+\,-\,+\,-\). Un atkal bieža lamatas: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — nevar vienkārši «sadalīt» pakāpi, vidējos locekļus \(3a^2b\) un \(3ab^2\) pazaudēt nedrīkst.
Piemērs. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Atsevišķi stāv kubu summa un starpība — tās, gluži pretēji, sadala izteiksmi reizinātājos:
Otro reizinātāju sauc par summas vai starpības nepilno kvadrātu. Zīme tā vidējā loceklī vienmēr ir pretēja zīmei pirmajās iekavās: kubu summai — \(-ab\), kubu starpībai — \(+ab\).
Piemērs. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Saīsinātās reizināšanas formulu lietošanas piemēri
1. piemērs. Atvērt iekavas: summas kvadrāts
Uzdevums. Kāpināt kvadrātā \((2x+5)^2\).
1. solis. Atpazīstam summas kvadrāta formulu: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), kur \(a = 2x\), \(b = 5\).
2. solis. Aprēķinām katru locekli:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Atbilde. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
2. piemērs. Savilkt kvadrātu starpības formulā
Uzdevums. Atrast reizinājumu \((3x-4)(3x+4)\).
1. solis. Mūsu priekšā ir vienādu izteiksmju starpības un summas reizinājums — tā ir kvadrātu starpība \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), kur \(a = 3x\), \(b = 4\).
2. solis. Kāpinām kvadrātā katru izteiksmi: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Atbilde. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
3. piemērs. Sadalīt reizinātājos
Uzdevums. Sadalīt reizinātājos \(x^2 - 36\) un \(x^3 + 27\).
Kvadrātu starpība. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Kubu summa. Pamanām, ka \(27 = 3^3\), tātad \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Pielietojam formulu \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) kur \(a = x\), \(b = 3\):
Pievērs uzmanību zīmei \(-3x\) nepilnajā kvadrātā — kubu summai vidējais loceklis ir ar mīnusa zīmi.
4. piemērs. Summas kubs
Uzdevums. Atvērt iekavas \((x+2)^3\).
1. solis. Summas kuba formula: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), kur \(a = x\), \(b = 2\).
2. solis. Aprēķinām locekļus pēc kārtas:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Atbilde. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Biežas kļūdas strādājot ar SRF
-
Aizmirst divkāršoto reizinājumu: raksta $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Summas un starpības kvadrātā vienmēr ir vidējais loceklis \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Pārbaudīt ir viegli — atver \((a+b)(a+b)\) stabiņā, un vidējais loceklis parādīsies pats.
-
Jauc zīmes starpības kvadrātā un kvadrātu starpībā.
Starpības kvadrātā mīnuss ir tikai pie vidējā locekļa: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (galējie — ar plusu). Bet kvadrātu starpībā mīnuss ir starp pašiem kvadrātiem: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Tās ir dažādas formulas.
-
«Sadala» pakāpi kubam: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Tā darīt nedrīkst. Summas kubs satur četrus locekļus: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Formula \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — tas ir pavisam kas cits (kubu summa), tā ir par sadalīšanu reizinātājos.
-
Nepilnajā kvadrātā pie kubu summas/starpības liek divkāršoto reizinājumu $2ab$.
Nepilnais kvadrāts ir \(a^2 \pm ab + b^2\), bez divnieka pirms \(ab\). Zīme ir pretēja pirmās iekavas zīmei: kubu summa \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), kubu starpība \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Mēģina sadalīt kvadrātu summu $a^2 + b^2$ reizinātājos.
Reizinātājos sadalās tikai kvadrātu starpība \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Kvadrātu summa \(a^2 + b^2\) skolas kursā reizinātājos nesadalās.
Jautājumi un atbildes
Cik kopā ir saīsinātās reizināšanas formulas?
Septiņas: summas kvadrāts, starpības kvadrāts, kvadrātu starpība, summas kubs, starpības kubs, kubu summa un kubu starpība. Visas tās ir apkopotas tabulā augstāk.
Kam ir vienāds summas kvadrāts?
Pirmās izteiksmes kvadrātam plus divkāršots pirmās un otrās izteiksmes reizinājums plus otrās izteiksmes kvadrāts: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Starpības kvadrātam vidējais loceklis ir ar mīnusa zīmi: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Kā sadalīt kvadrātu starpību reizinātājos?
Pēc formulas \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Piemēram, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Pietiek ieraudzīt, ka abi saskaitāmie ir pilni kvadrāti, bet starp tiem ir mīnuss.
Kāpēc $(a+b)^2$ nav vienāds ar $a^2 + b^2$?
Tāpēc, ka sareizinot \((a+b)(a+b)\) parādās vēl divi vienādi saskaitāmie \(ab\), kas dod vidējo locekli \(2ab\). To nedrīkst pazaudēt: pareizi ir \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Ar ko atšķiras summas kubs no kubu summas?
Summas kubs \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — tā ir iekavu atvēršana. Kubu summa \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — gluži pretēji, izteiksmes sadalīšana reizinātājos. Tās ir dažādas formulas, nejauc tās.
Kurā klasē mācās saīsinātās reizināšanas formulas?
Parasti 7. klasē algebras stundās: sākumā summas un starpības kvadrātu, kvadrātu starpību, pēc tam formulas kubiem. Tās aktīvi izmanto tālāk, vienkāršojot izteiksmes, saīsinot daļas un risinot vienādojumus.
