Racionālā nevienādība ir nevienādība veidā \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), kur \(P(x)\) un \(Q(x)\) ir polinomi, bet zīmes \(>\) vietā var būt \(<\), \(\ge\) vai \(\le\). Šādas nevienādības risina ar intervālu metodi: visu pārnes uz kreiso pusi, sadala reizinātājos, uz skaitļu ass atzīmē skaitītāja nulles un saucēja nulles un izvieto zīmes. Tālāk — definīcija, pilns algoritms, izsvītrojamo punktu likums, sakņu multiplicitāte, atrisināti piemēri un treniņprogramma ar pārbaudi.
Kas ir racionālā nevienādība
Racionālā nevienādība ir nevienādība, kuras abas daļas ir uzrakstītas ar racionāliem izteiksmēm, proti, polinomiem un polinomu daļām. Pēc visa pārnešanas vienā pusē tā vienmēr tiek reducēta uz veidu
kur \(P(x)\) un \(Q(x)\) ir polinomi, bet \(\vee\) vietā ir viens no zīmēm \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Labajā pusē obligāti ir nulle — tas ir nosacījums, bez kura intervālu metode nedarbojas.
Racionālās nevienādības iedalās divos veidos. Ja mainīgais parādās tikai skaitītājā, nevienādība tiek saukta par veselu racionālu: dalīt nav ar ko, un der jebkuras \(x\) vērtības. Ja mainīgais ir saucējā, nevienādība ir kavadrātiskā (to sauc arī par daļveida nevienādību vai nevienādību ar daļskaitli) — un tad uzreiz parādās ierobežojums \(Q(x) \neq 0\).
Kāpēc nedrīkst abas daļas reizināt ar saucēju
Vislielākais kārdinājums, risinot nevienādību ar daļskaitli, ir „atbrīvoties no saucēja”, abas daļas reizinot ar to. Ar vienādojumiem tā drīkst darīt, ar nevienādībām — nē. Iemesls ir vienkāršs: reizinot ar negatīvu skaitli, nevienādības zīme apgriežas, bet izteiksmes \(Q(x)\) zīme iepriekš nav zināma — tā ir atkarīga no \(x\).
Aplūkosim nevienādību \(\frac{5}{x-3} < 1\). Abas daļas reizinām ar \(x - 3\), it kā tas būtu pozitīvs skaitlis: sanāk \(5 < x - 3\), proti, \(x > 8\). Pārbaudīsim atbildi, ieliekot \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — nevienādība ir patiesa, tātad nulle arī ir atrisinājums, bet atbildē \(x > 8\) tā neiekļuva. Atbilde pazaudēta.
Pareizais ceļš ir visu pārnest pa kreisi un reducēt pie viena daļskaitļa:
Pēdējā solī mēs abas daļas reizinājām ar \(-1\) un apgriezām zīmi — tas ir likumīgi, jo \(-1\) vienmēr ir negatīvs. Tālāk darbojas intervālu metode, un atbilde sanāk \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — tajā ir arī pazaudētā nulle.
Atcerēties visvienkāršāk ir tā: abas daļas nedrīkst reizināt ar izteiksmi ar mainīgo, bet pārvietot saskaitāmos drīkst vienmēr. Pārvietošana nemaina nevienādības zīmi.
Intervālu metode: risināšanas algoritms pa soļiem
Intervālu metode balstās uz vienu īpašību: starp blakus esošajām racionālā izteiksmes nullēm tā zīme ir nemainīga. Tātad pietiek atrast visus punktus, kur skaitītājs vai saucējs kļūst par nulli, sadalīt ar tiem skaitļu asi un noteikt zīmi katrā fragmentā — pa vienam testa punktam vai pēc sakņu multiplicitātes.
Izsvītrojamie un aizkrāsojamie punkti: AVA un nevienādības zīme
Kļūda vienā iekavā pārvērš pareizu risinājumu par nepareizu atbildi, tāpēc par punktu likumu ir vērts izstudēt atsevišķi. Darbojas tieši divi apsvērumi.
Pirmais — atļauto vērtību apgabals. Saucēja nulle tiek izsvītrota vienmēr, pie jebkuras nevienādības zīmes. Šajā punktā daļa vienkārši neeksistē: dalīt ar nulli nedrīkst, tāpēc skaitlis nevar būt atrisinājums, pat ja zīme ir nepietiekama.
Otrais — stingra vai nepietiekama zīme. Skaitītāja nulles pārvērš daļu par nulli. Pie nepietiekamas zīmes (\(\le\) vai \(\ge\)) vienādība nullei mūs apmierina, tātad punkts tiek aizkrāsots un iekļauts atbildē ar kvadrātveida iekavu. Pie stingras zīmes (\(<\) vai \(>\)) nulle neder, un punkts tiek izsvītrots.
Piemēram, nevienādībai \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) punkts \(x = 6\) tiek aizkrāsots (skaitītāja nulle, nepietiekama zīme), bet punkts \(x = -1\) tiek izsvītrots (saucēja nulle). Atbilde: \(x \in (-1; 6]\).
| Kas par punktu | Kā atzīmējam |
|---|---|
| Saucēja nulle, Q(x) = 0 | izsvītrojamais vienmēr, pie jebkuras zīmes — punkts nav AVA |
| Skaitītāja nulle, zīme stingra < vai > | izsvītrojamais daļa ir nulle, bet vajadzīga stingri cita zīme |
| Skaitītāja nulle, zīme nepietiekama ≤ vai ≥ | aizkrāsojamais vienādība nullei der, punkts iekļaujas atbildē |
Sakņu multiplicitāte: kur zīme mainās, kur ne
Zīmes intervālos neobligāti vienkārši mijas — tas ir visbiežāk sastopamais maldīgais priekšstats šajā tēmā. Mijāšanās darbojas tikai tad, ja visas iekavas ir pirmajā pakāpē. Likums precīzāk skan caur saknes multiplicitāti — attiecīgās iekavas pakāpes rādītāju.
Pārejot caur nepāra multiplicitātes sakni (pakāpe 1, 3, 5) izteiksmes zīme mainās. Pārejot caur pāra multiplicitātes sakni (pakāpe 2, 4) zīme nemainās: pakāpē ar pāra skaitli esoša iekava ir nenegatīva un izteiksmes zīmi nebojā. Kārtība tiek skaitīta vienādi gan skaitītājam, gan saucējam.
Paņemsim \((x-9)^2(x+3) > 0\). Saknes: \(x = 9\) multiplicitāte 2 un \(x = -3\) multiplicitāte 1. Pa labi no deviņas izteiksme ir pozitīva. Pārejam caur 9 — multiplicitāte ir pāra, zīme saglabājas, intervālā \((-3; 9)\) arī ir plus. Pārejam caur \(-3\) — multiplicitāte ir nepāra, zīme mainās uz mīnusu. Stingrās nevienādības atbilde: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), punkts 9 ir izsvītrots, jo tur izteiksme ir nulle. Bet nepietiekamajai \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) atbilde ir cita: \(x \in [-3; +\infty)\) — deviņi tiek aizkrāsoti un „salīmē” divus fragmentus vienā.
| Saknes multiplicitāte | Zīme pārejot |
|---|---|
| Nepāra: (x − a), (x − a)3 | mainās |
| Pāra: (x − a)2, (x − a)4 | nemainās |
Skaitļu ass piemērā: izvietojam zīmes
Apkoposim visu kopā nevienādībā \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Skaitītāja nulles: \(x = -7\). Saucēja nulles: \(x = 2\) un \(x = 5\), tās arī nosaka AVA. Visas trīs iekavas ir pirmajā pakāpē, tāpēc zīmes mijas. Testa punkts \(x = 10\) vislabākajā fragmentā dod \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — sākam ar plusu un ejam pa kreisi, mainot zīmi pie katra punkta.
Racionālo nevienādību risināšanas piemēri
1. piemērs. Vienkārša daļveida nevienādība
Atrisināt \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
1. solis. Labajā pusē jau ir nulle, daļa jau ir viena — pārvietot un reducēt nav ko.
2. solis. AVA. \(x + 5 \neq 0\), proti, \(x \neq -5\).
3. solis. Nulles. Skaitītājs ir nulle pie \(x = 3\), saucējs — pie \(x = -5\).
4. solis. Punkti uz ass. \(x = 3\) aizkrāsojam (skaitītāja nulle, nepietiekama zīme), \(x = -5\) izsvītrojam (saucēja nulle).
5. solis. Zīmes. Testa punkts \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — labajā pusē plus. Abas iekavas ir pirmajā pakāpē, tātad zīmes mijas: intervālā \((-5; 3)\) ir mīnuss, intervālā \((-\infty; -5)\) ir plus. Pārbaudīsim: pie \(x = -6\) sanāk \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — sakrīt.
6. solis. Atbilde. Vajadzīgs zīme „plus vai nulle”: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
2. piemērs. Labajā pusē nav nulle — pārvietojam
Atrisināt \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
1. solis. Pārvietojam vieninieku pa kreisi. Reizināt ar \(x - 4\) nedrīkst, šīs izteiksmes zīme nav zināma:
2. solis. Reducējam pie viena daļskaitļa.
3. solis. AVA. \(x \neq 4\).
4. solis. Punkti. \(x = -5\) — skaitītāja nulle, nepietiekama zīme, aizkrāsojam. \(x = 4\) — saucēja nulle, izsvītrojam.
5. solis. Zīmes. Pie \(x = 5\) daļa ir \(\frac{10}{1} > 0\). Tātad intervālā \((4; +\infty)\) ir plus, intervālā \((-5; 4)\) ir mīnuss, intervālā \((-\infty; -5)\) ir plus.
6. solis. Atbilde. \(x \in [-5; 4)\). Robežpunktu pārbaude: pie \(x = -5\) daļa ir nulle — der priekš \(\le\); pie \(x = 4\) daļas nav — neder.
3. piemērs. Sakne ar pāra multiplicitāti un izolēts punkts
Atrisināt \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
1. solis. AVA. \(x \neq 9\).
2. solis. Nulles un multiplicitātes. \(x = 2\) — multiplicitāte 2 (pāra), \(x = -6\) — multiplicitāte 1, \(x = 9\) — multiplicitāte 1 saucējā.
3. solis. Punkti. \(x = 2\) un \(x = -6\) aizkrāsojam (skaitītāja nulles pie nepietiekamas zīmes), \(x = 9\) izsvītrojam.
4. solis. Zīmes. Testa punkts \(x = 10\): skaitītājs ir pozitīvs, saucējs ir 1 — plus. Ejot pa kreisi. Caur 9 (nepāra multiplicitāte) zīme mainās: intervālā \((2; 9)\) ir mīnuss. Caur 2 (pāra multiplicitāte) zīme nemainās: intervālā \((-6; 2)\) arī ir mīnuss. Caur \(-6\) (nepāra multiplicitāte) zīme mainās: intervālā \((-\infty; -6)\) ir plus.
5. solis. Atbilde. Paņemam fragmentus ar zīmi „plus” plus visus punktus, kur izteiksme ir nulle. Punkts \(x = 2\) atrodas mīnusintervāla iekšienē, bet pati izteiksme tur ir nulle, tātad tas iekļaujas atbildē atsevišķi:
Šāds „viensētas” punkts atbildē — ir pareiza pazīme saknei ar pāra multiplicitāti pie nepietiekamas zīmes.
4. piemērs. Saīsināšana: lamatas ar AVA
Atrisināt \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
1. solis. Sadalām reizinātājos. Skaitītājs ir pilns kvadrāts: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Saucējam aprēķinām diskriminantu: \(D = 81 + 40 = 121\), saknes \(x_1 = \frac{1}{5}\) un \(x_2 = -2\), tāpēc \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
2. solis. AVA — pirms jebkādas saīsināšanas. \(5x - 1 \neq 0\) un \(x + 2 \neq 0\), proti, \(x \neq \frac{1}{5}\) un \(x \neq -2\).
3. solis. Saīsinām. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), bet tikai pie \(x \neq \frac{1}{5}\) — saīsināšana neatgriež izsvītroto punktu atpakaļ.
4. solis. Risinām \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nulles: \(\frac{1}{5}\) un \(-2\). Pie \(x = 1\) daļa ir \(\frac{4}{3} > 0\). Tātad intervālā \((\frac{1}{5}; +\infty)\) ir plus, intervālā \((-2; \frac{1}{5})\) ir mīnuss, intervālā \((-\infty; -2)\) ir plus.
5. solis. Atgriežam AVA. Intervāls \((-2; \frac{1}{5}]\) derētu pēc zīmes, bet punkts \(\frac{1}{5}\) ir izsvītrots: sākotnējā nevienādībā saucējs \(5x^2+9x-2\) pie \(x = \frac{1}{5}\) kļūst par nulli, daļas tur nav.
Atbilde: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — abas iekavas ir apaļas.
5. piemērs. Kvadrātiskais trīnslieknis skaitītājā
Atrisināt \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
1. solis. Sadalām skaitītāju. Pēc Vjeta teorēmas sakņu summa ir 7, reizinājums 10, tātad \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Nevienādība pieņem veidu \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
2. solis. AVA. \(x \neq -4\).
3. solis. Punkti. Visas trīs nulles ir izsvītrojamas: \(-4\) — saucēja nulle, \(2\) un \(5\) — skaitītāja nulles pie stingras zīmes.
4. solis. Zīmes. Testa punkts \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Visas iekavas ir pirmajā pakāpē, tāpēc zīmes mijas: intervālā \((5; +\infty)\) ir plus, intervālā \((2; 5)\) ir mīnuss, intervālā \((-4; 2)\) ir plus, intervālā \((-\infty; -4)\) ir mīnuss.
5. solis. Atbilde. Vajadzīgs stingrs mīnuss: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontrole ar ievietošanu: pie \(x = -5\) sanāk \(\frac{70}{-1} < 0\), pie \(x = 3\) sanāk \(\frac{-2}{7} < 0\) — abi intervāli der.
Biežākās kļūdas, risinot racionālās nevienādības
-
Abas daļas reizina ar saucēju: no $\frac{3}{x-8} > 1$ taisa $3 > x - 8$ un raksta $x < 11$.
Izteiksmes \(x - 8\) zīme nav zināma, bet reizinot ar negatīvu skaitli nevienādība apgriežas. Pārbaude: \(x = 0\) dod \(\frac{3}{-8} < 1\) — nulle nav atrisinājums, lai gan iekļuva atbildē \(x < 11\). Pareizi: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), proti, \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), no kā \(x \in (8; 11)\).
-
Aizkrāso saucēja nulli, jo zīme ir nepietiekama: pie $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ raksta atbildi ar kvadrātveida iekavu pie septiņnieka.
Saucēja nulle tiek izsvītrota vienmēr, pie jebkādas zīmes: šajā punktā daļas vienkārši nav. Pareizā atbilde: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — vieniniekam iekava ir kvadrātveida, septiniekam — apaļa.
-
Saīsina daļu un pazaudē AVA: no $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ iegūst $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ un iekļauj atbildē punktu $x = -3$.
AVA izraksta pirms saīsināšanas, pēc sākotnējā saucēja: \(x \neq -3\) un \(x \neq 5\). Saīsinātā daļa \(\frac{x+3}{x-5}\) ir nenegatīva intervālā \([-3; 5)\) — pie \(x = 0\) tā ir \(-0{,}6\), kas ir vajadzīgs zīmei \(\le\). Bet punkts \(-3\) ir izsvītrots pēc AVA, tāpēc atbilde ir \((-3; 5)\), nevis \([-3; 5)\).
-
Uzskata, ka zīmes intervālos vienmēr mijas, un priekš $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ liek mīnusu pa labi no vieninieka.
Mijāšanās ir pareiza tikai pie pirmajā pakāpē esošām iekavām. Saknei \(x = 1\) ir multiplicitāte 2, tāpēc zīme caur to nemainās. Izteiksme ir pozitīva visā \((-4; +\infty)\), izņemot pašu vieninieku, kur tā ir nulle. Atbilde: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Maina nevienādības zīmi, pārvietojot saskaitāmo: no $\frac{x}{x-2} \le 3$ taisa $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Saskaitāmā pārvietošana no vienas daļas uz otru nemaina nevienādības zīmi — mainās tikai paša saskaitāmā zīme. Zīme apgriežas tikai, ja abas daļas reizina vai dala ar negatīvu skaitli. Pareizi: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), tālāk \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), proti, \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Atzīmē uz ass tikai skaitītāja nulles, bet saucēju pārbauda „vēlāk”: priekš $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ liek vienu punktu $-11$.
Uz ass atzīmē visas nulles uzreiz — gan skaitītāja, gan saucēja, citādi fragmenti sanāks nepareizi. Šeit \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), tāpēc ir trīs punkti: \(-11\), \(-4\) un \(4\), nevis viens. Visi ir izsvītrojami (zīme stingra), atbilde: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Jautājumi un atbildes
Kas ir racionālā nevienādība?
Tā ir nevienādība, kuras abas daļas ir racionāli izteikumi (polinomi un polinomu daļas). Pēc visa pārnešanas uz kreiso pusi tā tiek reducēta uz veidu \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), kur \(P(x)\) un \(Q(x)\) ir polinomi, bet vietā \(>\) var būt \(<\), \(\le\) vai \(\ge\).
Kā risināt racionālās nevienādības?
Ar intervālu metodi sešos soļos: visu pārnest pa kreisi, lai labajā pusē paliktu nulle; reducēt pie viena daļskaitļa un sadalīt skaitītāju un saucēju reizinātājos; izrakstīt AVA (\(Q(x) \neq 0\)); atzīmēt uz skaitļu ass skaitītāja un saucēja nulles; izvietot zīmes intervālos pēc testa punkta un sakņu multiplicitātes; atbildē izrakstīt fragmentus ar vajadzīgo zīmi.
Kā atšķiras kavadrātiskā nevienādība no veselas racionālās?
Veselai racionālai mainīgais atrodas tikai skaitītājā, piemēram \((x-1)(x+4) > 0\), un AVA ir visi reālie skaitļi. Kavadrātiskai mainīgais ir saucējā, piemēram \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), un parādās ierobežojums \(x \neq -4\). Algoritms pie tam ir viens un tas pats — mainās tikai izsvītrojamie punkti.
Kā risināt nevienādības ar daļu?
Tāpat kā jebkuru racionālu: vispirms visu pārnest uz kreiso pusi un reducēt pie viena daļskaitļa, nevis atbrīvoties no saucēja. Piemēram, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) pārvēršas par \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), proti, \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Skaitītājs ir pastāvīgs un negatīvs, tātad daļa ir nenegatīva tikai pie negatīva saucēja: \(x + 2 < 0\). Atbilde: \(x \in (-\infty; -2)\).
Kāpēc nedrīkst abas daļas nevienādības reizināt ar saucēju?
Tāpēc, ka saucēja zīme ir atkarīga no \(x\): reizinot ar pozitīvu izteiksmi nevienādības zīme saglabājas, bet reizinot ar negatīvu — apgriežas. Iepriekš nav zināms, kurš gadījums ir priekšā, tāpēc daļa atrisinājumu tiek pazaudēta, bet daļa tiek pievienota lieki. Pārvietot saskaitāmos drīkst vienmēr — pārvietošana nemaina nevienādības zīmi.
Kā atrast AVA nevienādībā?
Racionālai nevienādībai AVA ir visi \(x\) vērtību kopums, pie kuriem saucējs nekļūst par nulli. Pielīdziniet saucēju nullei, atrisiniet vienādojumu un izslēdziet atrastos skaitļus. Izrakstīt AVA ir jāraksta pēc sākotnējā saucēja, pirms saīsināšanas — citādi izsvītrojamie punkti tiks pazaudēti.
Kādi punkti ir izsvītrojami, kādi — aizkrāsojami?
Saucēja nulles tiek izsvītrotas vienmēr, pie jebkādas zīmes. Skaitītāja nulles tiek aizkrāsotas pie nepietiekamas zīmes (\(\le\) vai \(\ge\)) un izsvītrotas pie stingras (\(<\) vai \(>\)). Atbildes pierakstā izsvītrojamajam punktam atbilst apaļā iekava, aizkrāsojamajam — kvadrātveida.
Kas ir saknes multiplicitāte un kāpēc tā ir vajadzīga intervālu metodē?
Multiplicitāte ir pakāpe, kurā iekava ietilpst sadalījumā. Pārejot caur nepāra multiplicitātes sakni, izteiksmes zīme mainās, pārejot caur pāra multiplicitātes sakni — saglabājas. Tieši tāpēc zīmes ne vienmēr vienkārši mijas: pie \((x-9)^2(x+3)\) punktā 9 zīme paliek iepriekšējā.
Kuras klases skolēni apgūst racionālās nevienādības?
- klasē algebrisko stundās, pēc kvadrātisko nevienādību un daudzkāršu sadalīšanas reizinātājos. Intervālu metode tālāk tiek izmantota eksponenciālām, logaritmiskām un iracionālām nevienādībām, kā arī OGE un profila ЕГЭ uzdevumos.
