Kvadratinė lygtis yra lygtis \(ax^2 + bx + c = 0\) pavidalo, kur \(a \neq 0\). Jos šaknų skaičių lemia diskriminantas \(D = b^2 - 4ac\), o pačios šaknys randamos pagal formulę \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Šiame puslapyje surinkta visa informacija apie temą: standartinė forma ir koeficientai, trys neišsamių lygčių tipai, diskriminantas ir trys atvejai, šaknų formulė ir jos „lyginis“ variantas, sutvarkyta lygtis ir Vieto teorema, dauginamųjų skaidymas ir bikvadratinės lygtys – su žingsniniais pavyzdžiais, dažnų klaidų analize ir interaktyviu treniruokliu.
Kas yra kvadratinė lygtis
Kvadratinė lygtis yra lygtis
pavidalo, kur \(x\) – nežinomasis, o \(a\), \(b\), \(c\) – skaičiai (koeficientai), be to, \(a \neq 0\). Tokia užrašymo forma vadinama standartine kvadratinės lygties forma: kairėje pusėje nariai išdėstyti mažėjančios laipsnio tvarka, dešinėje – nulis.
Sąlyga \(a \neq 0\) nėra formalumas. Būtent narys \(ax^2\) daro lygtį kvadratinę: kai \(a = 0\), lieka \(bx + c = 0\), t. y. įprasta tiesinė lygtis su viena šaknimi. Todėl uždaviniuose su parametru pirmiausia tikrinama, ar aukščiausiojo laipsnio koeficientas nevirsta nuliu.
Lygtį beveik visada galima sutvarkyti į standartinę formą: atidaryti skliaustus, visus narius perkelti į kairę pusę ir sutraukti panašiuosius. Pavyzdžiui, \(5x^2 = 3x - 2\) po perkėlimo virsta \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), iš kur \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Žodis „kvadratinė lygtis“ reiškia tą patį – tai tiesiog kitas pavadinimo variantas.
Pilnos ir neišsamios kvadratinės lygtys
Jei visi trys koeficientai yra nelygūs nuliui, lygtis vadinama pilnąja. Jei \(b\) arba \(c\) (arba abu) lygūs nuliui – neišsamia. Yra lygiai trys neišsamių lygčių tipai, ir nė vienam nereikia diskriminanto: kiekviena sprendžiama vienoje ar dviejose eilutėse, ir tai greičiausias būdas sutaupyti laiko kontroliniame.
Pagrindinė idėja \(ax^2 + bx = 0\) yra bendrojo daugiklio iškėlimas. Sandauga \(x(ax + b)\) lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas daugiklis lygus nuliui, iš čia išplaukia du šaknys. \(ax^2 + c = 0\) atveju idėja kita: išreikšti \(x^2\) ir pažiūrėti į gauto skaičiaus ženklą – tikrojo skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas.
| Lygtis | Kaip spręsti |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Perkelkite c į dešinę ir padalykite iš a: x2 = −c/a. Ištraukite šaknį, nepamiršdami antrojo ženklo.x = 5 ir x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Iškelkite x prieš skliaustus: x(ax + b) = 0. Sandauga lygi nuliui, kai lygus nuliui vienas iš daugiklių.x = 0 ir x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Padalykite iš a ir ištraukite šaknį iš nulio. Šaknis visada tik viena.x = 0 |
Diskriminantas: kaip rasti ir kiek bus šaknų
Diskriminantas – tai skaičius, kuris skaičiuojamas pagal pilnosios lygties koeficientus:
Pats žodis reiškia „skirtuvas“: diskriminantas nieko neišsprendžia, jis tik skiria tris situacijas – šaknų yra dvi, viena arba nėra visai. Todėl klausimas „kiek šaknų turi lygtis“ sprendžiamas nerandant pačių šaknų.
Skaičiuokite \(D\) atidžiai: \(b^2\) visada teigiamas, net jei pats \(b\) yra neigiamas, o \(a\) ir \(c\) ženklai įeina į sandaugą \(4ac\) kaip yra. Paimkime \(x^2 + 4x - 5 = 0\): čia \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), vadinasi \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminantas teigiamas, ir bus dvi šaknys.
Kvadratinės lygties šaknų formulė
Kai \(D \ge 0\), šaknys randamos pagal pagrindinę temos formulę:
Simbolis \(\pm\) reiškia du skaičiavimus: vieną kartą su sudėtimi, kitą – su atimtimi. Kai \(D = 0\), abu skaičiavimai duoda tą patį skaičių \(x = -\dfrac{b}{2a}\) – ši šaknis vadinama dviguba.
Du dalykai, kur dažniausiai daromos klaidos: skaitiklyje yra minusas prieš \(b\) (kai \(b = -7\), tai +7), o vardiklyje – \(2a\), o ne tiesiog \(2\). Kai \(a = 1\), skirtumo nesimato, todėl klaida išlenda būtent ten, kur aukščiausiojo laipsnio koeficientas skiriasi nuo vieneto.
Spręskime \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), todėl \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) ir \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Lyginis antrasis koeficientas: formulė su D₁
Jei \(b\) yra lyginis skaičius, jį patogu užrašyti kaip \(b = 2k\) ir skaičiuoti „sumažintą“ diskriminantą:
Skaičiai skaičiavimuose tampa keturis kartus mažesni (\(D = 4D_1\)), o \(D_1\) ženklas toks pat kaip \(D\) – vadinasi, išvada apie šaknų skaičių nesikeičia.
Pavyzdys: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Čia \(b = 8\), vadinasi \(k = 4\), ir \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Tada \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) ir \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Pagal įprastą formulę tektų dirbti su \(D = 100\) – rezultatas tas pats, bet aritmetikos daugiau.
Sutvarkyta lygtis ir Vieto teorema
Lygtis su \(a = 1\) vadinama sutvarkyta ir rašoma kaip \(x^2 + px + q = 0\). Bet kurią kvadratinę lygtį galima sutvarkyti padalijus iš \(a\): pavyzdžiui, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) po padalijimo iš 4 tampa \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Sutvarkyta forma yra vertinga, nes jai galioja Viéto teorema: šaknų suma lygi \(-p\), o sandauga lygi \(q\). \(x^2 - 7x + 10 = 0\) atveju reikia dviejų skaičių, kurių suma 7, o sandauga 10 – tai 2 ir 5, ir nereikėjo skaičiuoti diskriminanto.
Pagal Vietą parinkimas gelbsti, kai šaknys yra sveikieji ir nedideli skaičiai, o taip pat jis nemokamai patikrina atsakymą, rastą per diskriminantą: suma turi duoti \(-p\), sandauga – \(q\). Formulės bendram atvejui, atvirkštinė teorema ir parinkimo algoritmas išnagrinėti atskirame straipsnyje – Viéto teorema.
Kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais
Jei šaknys \(x_1\) ir \(x_2\) rastos, kvadratinis trinaris skaidomas dauginamaisiais:
Daugiklio \(a\) pamiršti negalima – be jo lygybė lieka neteisinga. Skaidymą visada lengva patikrinti: atidarykite skliaustus ir palyginkite su pradiniu trinariu. Tarkime, \(x^2 + 2x - 8\) šaknys yra 2 ir \(-4\), todėl \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Veikia ir atvirkštinis veiksmas: jei trinarį pavyko suskaidyti mintyse, šaknys matomos iš karto ir diskriminantas nereikalingas. Čia padeda sutrumpinto daugybos formulės – pavyzdžiui, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) iš karto duoda šaknis \(4\) ir \(-4\).
Trečias būdas apsieiti be šaknų formulės – pilnojo kvadrato išskyrimas. \(x^2 + 6x + 5 = 0\) atveju pirmieji du nariai papildomi iki sumos kvadrato: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), t. y. \((x + 3)^2 = 4\), iš kur \(x + 3 = \pm 2\) ir \(x = -1\) arba \(x = -5\). Būtent šiuo metodu bendru atveju išvedama šaknų formulė.
Lygtys, redukuojamos į kvadratines: bikvadratinės
Bikvadratinė lygtis yra \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) pavidalo: laipsniai tik lyginiai. Ji sprendžiama keičiant \(t = x^2\), be to, būtina sąlyga \(t \ge 0\) – tikrojo skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas.
Po pakeitimo gaunama įprasta kvadratinė lygtis \(at^2 + bt + c = 0\). Ji sprendžiama diskriminantu, o tada kiekvienam neigiamam \(t\) šakniui grįžtama prie \(x = \pm\sqrt{t}\). Iš čia ir šaknų skaičius: iki keturių.
Pavyzdžiui, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) po pakeitimo duoda \(t^2 - 5t + 4 = 0\) su šaknimis \(t = 1\) ir \(t = 4\). Abi teigiamos, todėl \(x = \pm 1\) ir \(x = \pm 2\) – iš viso keturios šaknys. Jei vienas iš \(t\) būtų neigiamas, jis tiesiog būtų atmestas.
Ta pačia priemone sprendžiamos trupmeninės-racionaliosios lygtys (po sutvarkymo į bendrą vardiklį ir neleistinų reikšmių atmetimo) ir lygtys su pakeitimu \(t = x^2 + 3x\) pavidalo.
Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Pilnoji lygtis, D > 0
Išspręsti \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
1 žingsnis. Lygtis jau sutvarkyta: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
2 žingsnis. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) – dvi šaknys.
3 žingsnis. \(\sqrt{D} = 5\), todėl \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
4 žingsnis. Patikrinimas įstatymu. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Atsakymas: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
2 pavyzdys. Diskriminantas lygus nuliui
Išspręsti \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
1 žingsnis. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
2 žingsnis. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) – šaknis viena.
3 žingsnis. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
4 žingsnis. Patikrinimas. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Atsakymas: \(x = 1{,}5\). Pastebėkite: kairioji pusė yra pilnas kvadratas \((2x - 3)^2\), todėl šaknis ir gavosi viena.
3 pavyzdys. Diskriminantas neigiamas
Išspręsti \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
1 žingsnis. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
2 žingsnis. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
3 žingsnis. Diskriminantas neigiamas, vadinasi, \(\sqrt{D}\) ištraukti tarp realiųjų skaičių negalima. Šaknų formulės taikyti nereikia – sprendimas baigtas.
Atsakymas: nėra realių šaknų. Tai pilnas atsakymas, o ne klaidos požymis: funkcijos \(y = 2x^2 + 3x + 5\) grafikas tiesiog nesikerta su x ašimi.
4 pavyzdys. Neišsami lygtis $ax^2 + c = 0$ pavidalo
Išspręsti \(3x^2 - 27 = 0\).
1 žingsnis. Perkelkite laisvąjį narį: \(3x^2 = 27\).
2 žingsnis. Dalinkite iš 3: \(x^2 = 9\).
3 žingsnis. Kvadratas lygus 9 dviem skaičiams: \(x = 3\) ir \(x = -3\). Antrąjį ženklą pamiršta dažniausiai.
4 žingsnis. Patikrinimas. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Atsakymas: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Palyginkite su lygtimi \(2x^2 + 8 = 0\): ten \(x^2 = -4\), ir nėra realių šaknų.
5 pavyzdys. Neišsami lygtis $ax^2 + bx = 0$ pavidalo
Išspręsti \(5x^2 - 15x = 0\).
1 žingsnis. Iškelkite bendrąjį daugiklį: \(5x(x - 3) = 0\).
2 žingsnis. Sandauga lygi nuliui, kai lygus nuliui vienas iš daugiklių: \(5x = 0\) arba \(x - 3 = 0\).
3 žingsnis. Iš čia \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
4 žingsnis. Patikrinimas. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Atsakymas: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Jei pradinę lygtį sutrumpinsite su \(x\), liks tik \(x = 3\) – šaknis \(x = 0\) dings. Dalinti iš nežinomojo išraiškos negalima.
6 pavyzdys. Lyginis antrasis koeficientas
Išspręsti \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
1 žingsnis. \(b = -22\) – lyginis, todėl \(k = -11\), o \(a = 5\), \(c = 8\).
2 žingsnis. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
3 žingsnis. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
4 žingsnis. Patikrinimas. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Atsakymas: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Įprastas diskriminantas būtų \(D = 324\) – tas pats atsakymas, bet skaičiuoti tektų ilgiau.
7 pavyzdys. Pirmiausia sutvarkyti į standartinę formą
Išspręsti \((x - 3)(x + 5) = 9\).
1 žingsnis. Atidarykite skliaustus: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), t. y. \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
2 žingsnis. Perkelkite devynetą į kairę: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Tik dabar galima išrašyti koeficientus: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
3 žingsnis. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
4 žingsnis. Patikrinimas pradinėje lygyje. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Atsakymas: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Dažna klaida čia – prilyginti kiekvieną skliaustą 9: taisyklė „sandauga lygi nuliui“ veikia tik su nuliu.
8 pavyzdys. Trinario skaidymas dauginamaisiais
Skaidyti \(2x^2 - 5x - 3\) dauginamaisiais.
1 žingsnis. Prilyginkite trinarį nuliui ir raskite šaknis: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
2 žingsnis. Įstatykite į formulę \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
3 žingsnis. Dvejetą patogu įnešti į antrąjį skliaustą: \((x - 3)(2x + 1)\).
4 žingsnis. Patikrinimas atidarius skliaustus. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Atsakymas: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
9 pavyzdys. Bikvadratinė lygtis
Išspręsti \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
1 žingsnis. Pakeitimas \(t = x^2\), kur \(t \ge 0\). Lygtis virsta \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
2 žingsnis. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
3 žingsnis. Abi reikšmės neigiamos, todėl grįžtame prie \(x\): iš \(x^2 = 9\) gauname \(x = \pm 3\), iš \(x^2 = 4\) – \(x = \pm 2\).
4 žingsnis. Patikrinimas. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Neigiamiems skaičiams lyginiai laipsniai duoda tuos pačius skaičius.
Atsakymas: \(x = \pm 2\) ir \(x = \pm 3\) – keturios šaknys.
Dažnos klaidos sprendžiant kvadratines lygtis
-
Skaičiuojamas diskriminantas, nesutvarkius lygties į standartinę formą: $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ atveju iš karto imama $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Pirmiausia viską perkelkite į kairę ir sutraukite panašiuosius narius: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), t. y. \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Tik iš čia \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Šaknų formulė veikia tik su standartine forma.
-
Pametamas ženklas keliant $b$ kvadratu: $x^2 - 9x + 14 = 0$ atveju rašoma $D = -81 - 56$.
Bet kurio skaičiaus kvadratas yra teigiamas: \((-9)^2 = 81\), o ne \(-81\). Teisingai \(D = 81 - 56 = 25\), šaknys \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), t. y. 7 ir 2. Patikrinimas: \(49 - 63 + 14 = 0\) ir \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Skaitiklyje paliekama $b$ vietoj $-b$: $x^2 + 5x - 6 = 0$ atveju skaičiuojama $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Formulėje yra \(-b\), todėl kai \(b = 5\), skaitiklyje bus \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), iš kur \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Įstatymas patvirtina: \(1 + 5 - 6 = 0\) ir \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Kai $D = 0$, rašoma „nėra šaknų“: $x^2 + 14x + 49 = 0$ diskriminantas lygus nuliui, ir sprendimas nutraukiamas.
Šaknų nėra tik kai \(D < 0\). Kai \(D = 0\), šaknis tik viena: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Patikrinimas: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Sutrumpinama lygtis $4x^2 - 9x = 0$ su $x$ ir gaunama vienintelė šaknis $x = 2{,}25$.
Dalinti iš nežinomojo išraiškos negalima: \(x\) gali būti nulis, ir šaknis \(x = 0\) prarandama. Teisingai iškelkite daugiklį: \(x(4x - 9) = 0\), iš kur \(x_1 = 0\) ir \(x_2 = 2{,}25\). Patikrinimas: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
Lygtyje $x^2 = 16$ užrašoma tik $x = 4$.
Kvadratas lygus 16 ir skaičiaus \(-4\). Reikia užrašyti abi šaknis: \(x = \pm 4\). Patikimiau spręsti per standartinę formą \(x^2 - 16 = 0\), t. y. \((x - 4)(x + 4) = 0\) – tada abu daugikliai matomi iš karto.
-
Nepatikrinama sąlyga $a \neq 0$ lygtyje su parametru: $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ atveju iš karto skaičiuojamas diskriminantas.
Kai \(m = 2\), aukščiausiojo laipsnio koeficientas virsta nuliu, ir lygtis tampa tiesine \(3x - 1 = 0\) su vienintele šaknimi \(x = \dfrac{1}{3}\). Atvejis \(m = 2\) nagrinėjamas atskirai, o šaknų formulė taikoma tik kai \(m \neq 2\).
Klausimai ir atsakymai
Kas yra kvadratinė lygtis?
Tai lygtis \(ax^2 + bx + c = 0\) pavidalo, kur \(a\), \(b\), \(c\) – skaičiai ir \(a \neq 0\). Nežinomasis joje įeina antruoju laipsniu, todėl šaknų gali būti dvi, viena arba nė viena.
Kaip atrodo standartinė kvadratinės lygties forma?
Standartinė (bendroji) forma – \(ax^2 + bx + c = 0\): visi nariai surinkti kairėje mažėjančios laipsnio tvarka, dešinėje – nulis. Prie jos sutvarkoma bet kuri kvadratinė lygtis prieš skaičiuojant diskriminantą.
Kaip rasti diskriminantą?
Pagal formulę \(D = b^2 - 4ac\), įstatant koeficientus kartu su jų ženklais. Pavyzdžiui, \(x^2 + 3x - 10 = 0\) atveju gauname \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), o šaknys lygios \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), t. y. 2 ir \(-5\).
Kokia kvadratinės lygties šaknų formulė?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), arba trumpiau \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Ji taikoma kai \(D \ge 0\); vardiklyje būtent \(2a\), o ne \(2\).
Kiek šaknų gali turėti kvadratinė lygtis?
Ne daugiau kaip dvi. Kai \(D > 0\) šaknis dvi, kai \(D = 0\) – viena (dviguba), kai \(D < 0\) realių šaknų nėra.
Kas yra neišsami kvadratinė lygtis?
Tai lygtis, kurioje \(b = 0\), \(c = 0\) arba abu iš karto: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Visos trys sprendžiamos be diskriminanto – perkeliant narį arba iškeliant \(x\) prieš skliaustus.
Kaip spręsti kvadratines lygtis be diskriminanto?
Yra trys būdai: šaknų parinkimas pagal Vieto teoremą sutvarkytai lygčiai, dauginamųjų skaidymas ir pilnojo kvadrato išskyrimas. Greičiausiai veikia parinkimas, kai šaknys – nedideli sveikieji skaičiai.
Ką daryti, jei diskriminantas neigiamas?
Parašykite, kad nėra realių šaknų, ir baigkite sprendimą. Neigiamas diskriminantas – tai normalus atsakymas: atitinkamos parabolės grafikas nesikerta su x ašimi. Šaknys tokiu atveju egzistuoja tik tarp kompleksinių skaičių, o juos nagrinėja vėliau.
Kaip patikrinti rastas šaknis?
Įstatykite kiekvieną šaknį į pradinę lygtį – turėtų gautis teisinga lygybė. Sutvarkytai lygčiai yra ir greita patikra pagal Vieto teoremą: šaknų suma lygi \(-p\), sandauga lygi \(q\).
Kvadratinė ir kvadratinė lygtis – tai tas pats?
Taip, tai du to paties objekto \(ax^2 + bx + c = 0\) pavadinimai. Nesupainiokite jo su kvadratine funkcija \(y = ax^2 + bx + c\): lygties šaknys – tai kaip tik taškų, kur funkcija kerta x ašį, abscisės.
Kokioje klasėje mokomasi kvadratinių lygčių?
8 klasėje per algebrą: pirmiausia neišsamios lygtys, tada diskriminantas, šaknų formulė ir Vieto teorema. Vėliau tema sutinkama kvadratinės funkcijos, nelygybių, OGE ir ЕГЭ uždaviniuose.
