Dalumo požymiai – tai taisyklės, leidžiančios sužinoti, ar skaičius dalijasi be liekanos, neatliekant dalijimo: pakanka pažvelgti į paskutinius skaitmenis arba sudėti visus skaitmenis. Šiame puslapyje pateikiama dalumo požymių lentelė 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 ir 25, aiškus 3 ir 9 požymių paaiškinimas per skaitmenų sumą, pavyzdžiai su sprendimais, dažnos klaidos ir interaktyvus treniruoklis, kur galite iškart pasitikrinti.
Kas yra dalumo požymis
Dalumo požymis – tai taisyklė, pagal kurią galima sužinoti, ar skaičius dalijasi be liekanos iš kito skaičiaus, neatliekant paties dalijimo. Pakanka pažvelgti į paskutinius skaitmenis arba sudėti visus skaitmenis.
Dalumo požymiai praverčia visur, kur reikia greitai suprasti skaičiaus „struktūrą“:
- sąrašų sutrumpinimas – iškart matyti, iš ko sutrumpinti skaitiklį ir vardiklį;
- skaičiaus skaidymas pirminiais dauginamaisiais;
- bendro daliklio ir bendro kartotinio paieška;
- greitas atsakymo tikrinimas uždaviniuose ir problemose.
Svarbu nesupainioti dviejų skirtingų klausimų. „Ar 3726 dalijasi iš 9?“ – į tai atsako dalumo požymis: skaitmenų suma 3 + 7 + 2 + 6 = 18 dalijasi iš 9, vadinasi, taip. O „kiek gausis?“ – tai jau pats dalijimas: 3726 : 9 = 414. Požymis duoda tik atsakymą „taip“ arba „ne“, bet užtat akimirksniu ir mintyse.
Dalumo požymių lentelė
Visus mokyklinius dalumo požymius patogu turėti prieš akis vienoje lentelėje. Spalva nurodo, kur žiūrėti: į paskutinį skaitmenį, į skaitmenų sumą, į dviejų-trijų paskutinių skaitmenų „uodegą“ ar iškart į du požymius.
| Iš ko | Dalumo požymis | Pavyzdys |
|---|---|---|
| 2 | paskutinis skaitmuo 0, 2, 4, 6 arba 8 | 3726 → 6 |
| 3 | skaitmenų suma dalijasi iš 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | paskutiniai du skaitmenys dalijasi iš 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | paskutinis skaitmuo 0 arba 5 | 1435 → 5 |
| 6 | dalijasi ir iš 2, ir iš 3 vienu metu | 5124 → 4 ir 12 |
| 8 | paskutiniai trys skaitmenys dalijasi iš 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | skaitmenų suma dalijasi iš 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | paskutinis skaitmuo 0 | 2340 → 0 |
| 11 | skaitmenys iš galo per + ir −; suma dalijasi iš 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | paskutiniai du skaitmenys 00, 25, 50 arba 75 | 1875 → 75 |
Dalumo požymiai 2, 5 ir 10
Pats paprasčiausias atvejis: žiūrime tik į paskutinį skaitmenį, kiti nesvarbūs.
- 2 dalijasi visi lyginiai skaičiai – tie, kurie baigiasi 0, 2, 4, 6 arba 8;
- 5 – skaičiai, baigiantys 0 arba 5;
- 10 – skaičiai, baigiantys 0.
Skaičiaus ilgis nesvarbus: 987 654 320 dalijasi ir iš 2, ir iš 5, ir iš 10, nes baigiasi nuliu. O 1435 dalijasi iš 5 (paskutinis skaitmuo 5), bet nesidalija nei iš 2, nei iš 10 – skaičius yra neporinis.
Iš čia naudinga išvada: iš 10 dalijasi lygiai tie skaičiai, kurie dalijasi ir iš 2, ir iš 5 vienu metu.
Dalumo požymiai 3 ir 9: skaitmenų suma
Čia paskutinis skaitmuo nieko nereiškia – veikia visų skaitmenų suma:
- skaičius dalijasi iš 3, jei jo skaitmenų suma dalijasi iš 3;
- skaičius dalijasi iš 9, jei jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Jei suma gavosi didelė, požymį galima pritaikyti jai dar kartą: skaičiaus 899 991 skaitmenų suma 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, o 45 suma 4 + 5 = 9 – vadinasi, pradinis skaičius dalijasi ir iš 9, ir iš 3.
Požymiai panašūs, bet nepakeičia vienas kito. Bet kuris skaičius, kuris dalijasi iš 9, dalijasi ir iš 3 – juk pati devynė dalijasi iš trijų. Atvirkščiai ne visada: skaitmenų suma gali dalintis iš 3 ir nesidalinti iš 9, ir tada skaičius atitinka tik vieną iš dviejų požymių. Abu atvejai nagrinėjami žemiau.
Dalumo požymiai 4, 8 ir 25: žiūrime į skaičiaus uodegą
Vieno paskutinio skaitmens čia neužtenka – reikia kelių paskutinių skaitmenų „uodegos“:
- 4 dalijasi skaičius, kurio paskutiniai du skaitmenys sudaro skaičių, dalų iš 4;
- 8 – jei paskutiniai trys skaitmenys sudaro skaičių, dalų iš 8;
- 25 – jei paskutiniai du skaitmenys sudaro 00, 25, 50 arba 75.
Kodėl užtenka uodegos: 100 dalijasi ir iš 4, ir iš 25, o 1000 dalijasi iš 8. Todėl viskas, kas yra kairiau, jau savaime dalijasi iš reikiamo skaičiaus ir į atsakymą neįtakoja.
Iš čia svarbi išvada: lyginumas ketvertui ir aštuonetui nepakankamas. Skaičius gali būti lyginis, bet jei jo dviejų ar trijų skaitmenų uodega nesidalija be liekanos, tai nesidalija ir visas skaičius. Uodegų analizė – žemiau esančiame įterpime.
Dalumo požymis 6
Šešetui nėra atskiro atskiro taisyklės: 6 = 2 · 3, ir dauginamieji yra tarpusavyje pirminiai. Todėl požymis yra sudėtinis – skaičius dalijasi iš 6, jei jis dalijasi vienu metu ir iš 2, ir iš 3.
Patikriname 5124: paskutinis skaitmuo 4 – skaičius lyginis, vadinasi, dalijasi iš 2; skaitmenų suma 5 + 1 + 2 + 4 = 12 dalijasi iš 3. Abu sąlygos įvykdytos → 5124 : 6 = 854.
Vien lyginumo neužtenka: 1000 – lyginis, bet jo skaitmenų suma lygi 1 ir nesidalija iš 3, todėl iš 6 skaičius nesidalija. Taip pat neveikia ir atvirkštinė pusė: 4521 suma 12 dalijasi iš 3, bet pats skaičius yra neporinis – iš 6 jis taip pat nesidalija.
Lygiai taip pat sudaromi kiti sudėtiniai požymiai: iš 12 – dalijasi iš 3 ir iš 4, iš 15 – iš 3 ir iš 5, iš 18 – iš 2 ir iš 9, iš 45 – iš 5 ir iš 9.
Dalumo požymis 11
Dalumo požymis 11 naudoja ženklų besikeičiančią skaitmenų sumą. Skaitmenys sumuojami, pradedant nuo paskutinio, pakaitomis keičiant ženklą: plius, minus, plius, minus. Jei rezultatas dalijasi iš 11 (įskaitant nulį), tai ir visas skaičius dalijasi iš 11.
Tas pats požymis dažnai formuluojamas kitaip: skirtumas tarp nelyginių vietų skaitmenų sumos ir lygininių vietų skaitmenų sumos turi dalintis iš 11. Tai ta pati taisyklė.
Dalumo požymių pavyzdžiai
1 pavyzdys. Iš kokių skaičių dalijasi 7254
Uždavinys. Nustatyti, iš kokių skaičių 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 dalijasi 7254.
1 žingsnis. Iš 2. Paskutinis skaitmuo 4 – lyginis. Dalijasi: 7254 : 2 = 3627.
2 žingsnis. Iš 5 ir iš 10. Skaičius baigiasi 4, o ne 0 arba 5. Nesidalija nei iš 5, nei iš 10.
3 žingsnis. Iš 3 ir iš 9. Skaitmenų suma: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Ji dalijasi ir iš 3, ir iš 9. Vadinasi, 7254 : 3 = 2418 ir 7254 : 9 = 806.
4 žingsnis. Iš 6. Skaičius dalijasi ir iš 2, ir iš 3 – vadinasi, dalijasi iš 6: 7254 : 6 = 1209.
5 žingsnis. Iš 4. Paskutiniai du skaitmenys duoda 54, o 54 iš 4 nesidalija. Nesidalija.
Atsakymas. 7254 dalijasi iš 2, 3, 6 ir 9.
2 pavyzdys. Ar 4715 dalijasi iš 3 ir iš 9
Uždavinys. Patikrinti skaičiaus 4715 dalumą iš 3 ir iš 9.
1 žingsnis. Sudedame skaitmenis: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
2 žingsnis. Iš 3. 17 iš 3 nesidalija (artimiausi kartotiniai – 15 ir 18). Vadinasi, ir 4715 iš 3 nesidalija.
3 žingsnis. Iš 9. 17 iš 9 tuo labiau nesidalija. Vadinasi, 4715 nesidalija ir iš 9.
Ką skaičius vis dėlto moka. Paskutinis skaitmuo 5 → skaičius dalijasi iš 5: 4715 : 5 = 943. Iš 2 ir iš 10 nesidalija – jis neporinis.
Atsakymas. Nei iš 3, nei iš 9 skaičius 4715 nesidalija.
3 pavyzdys. Dalumas iš 4 ir iš 8: skaičius 6248
Uždavinys. Patikrinti, ar 6248 dalijasi iš 4 ir iš 8.
1 žingsnis. Iš 4. Imame du paskutinius skaitmenis: 48. Skaičius 48 dalijasi iš 4 (48 : 4 = 12), vadinasi, ir 6248 dalijasi: 6248 : 4 = 1562.
2 žingsnis. Iš 8. Imame tris paskutinius skaitmenis: 248. Dalijame: 248 : 8 = 31 – dalijasi. Vadinasi, 6248 : 8 = 781.
Atsargiai su atvirkštiniu samprotavimu. Iš dalumo iš 4 neišplaukia dalumas iš 8: skaičiaus 6244 uodega 44 dalijasi iš 4 (6244 : 4 = 1561), o trys paskutiniai skaitmenys 244 nesidalija iš 8 – skaičius iš 8 nesidalija.
Atsakymas. 6248 dalijasi ir iš 4, ir iš 8.
4 pavyzdys. Dalumo požymis 11: skaičius 2926
Uždavinys. Patikrinti, ar 2926 dalijasi iš 11.
1 žingsnis. Užrašome skaitmenis ir pridedame ženklus iš galo: paskutinis skaitmuo su pliuso ženklu, toliau pakaitomis minus ir plius.
2 žingsnis. Skaičiuojame ženklų besikeičiančią sumą: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
3 žingsnis. Rezultatas 11 dalijasi iš 11 → dalijasi ir visas skaičius.
Dalijimo patikrinimas. 2926 : 11 = 266.
Atsakymas. 2926 dalijasi iš 11.
5 pavyzdys. Trumpiname trupmeną dalumo požymiais
Uždavinys. Sutrumpinti trupmeną 270/378.
1 žingsnis. Skaičiuojame skaitmenų sumas: 2 + 7 + 0 = 9 ir 3 + 7 + 8 = 18. Abi dalijasi iš 9 → ir skaitiklis, ir vardiklis dalijasi iš 9.
2 žingsnis. Trumpiname iš 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Gauname 30/42.
3 žingsnis. Abu skaičiai yra lyginiai → trumpiname iš 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Gauname 15/21.
4 žingsnis. Skaitmenų sumos 6 ir 3 dalijasi iš 3 → trumpiname iš 3.
Atsakymas. 270/378 = 5/7.
Dažnos klaidos dalumo požymiuose
-
Dalumas iš 6 tikrinamas tik pagal lyginumą: jei skaičius lyginis – vadinasi, dalijasi iš 6.
Reikia abiejų sąlygų iškart: ir iš 2, ir iš 3. Skaičius 7124 yra lyginis, bet jo skaitmenų suma 14 nesidalija iš 3, todėl iš 6 jis nesidalija. Ir atvirkščiai: 3471 atitinka trejeto požymį (suma 15, 3471 : 3 = 1157), bet yra neporinis – iš 6 jis taip pat nesidalija.
-
Dėl dalumo iš 4 žiūrima vieno paskutinio skaitmens: „8 dalijasi iš 4, vadinasi, ir 9138 tiks“.
Dėl ketverto imama DVIEJI paskutiniai skaitmenys. Pas 9138 tai 38, o 38 iš 4 nesidalija. Teisingas pavyzdys: pas 9136 uodega 36, 36 : 4 = 9, vadinasi 9136 : 4 = 2284. Dėl aštuoneto uodega dar ilgesnė – trys skaitmenys.
-
Dalumo požymis 9 tikrinamas pagal paskutinį skaitmenį: ieškoma skaičių, besibaigiančių 9 arba 0.
Paskutinis skaitmuo devynetui nieko nereiškia. Skaičiuojama visų skaitmenų suma: pas 4563 tai 18, suma dalijasi iš 9 – ir skaičius dalijasi (4563 : 9 = 507), nors baigiasi 3.
-
Manoma, kad jei skaičius dalijasi iš 3, tai dalijasi ir iš 9.
Veikia tik viena kryptimi: dalijasi iš 9 → dalijasi ir iš 3. Atvirkščiai ne visada. Pas 8241 skaitmenų suma 15: dalijasi iš 3 (8241 : 3 = 2747), o iš 9 ne.
-
Dėl vienuoliktuko tiesiog sudedami visi skaitmenys, kaip ir dėl 3 ir 9.
Vienuoliktuko suma yra ženklų besikeičianti: skaitmenys sumuojami iš galo, keičiant ženklą kas vieną. Dėl 6479 tai 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → dalijasi (6479 : 11 = 589). Įprasta skaitmenų suma čia lygi 26 ir nieko nereiškia.
-
Dalumo požymis painiojamas su pačiu dalijimu: į klausimą „ar 5391 dalijasi iš 9“ atsakoma „taip, 18“.
18 – tai skaitmenų suma, tarpinis požymio rezultatas. Dalmuo skaičiuojamas atskirai: 5391 : 9 = 599. Požymis atsako tik „dalijasi / nesidalija“.
Klausimai ir atsakymai
Kas yra dalumo požymis paprastais žodžiais?
Tai taisyklė, kuri leidžia sužinoti, ar skaičius dalijasi be liekanos, neatliekant paties dalijimo. Paprastai pakanka pažvelgti į paskutinius skaičiaus skaitmenis arba sudėti visus jo skaitmenis.
Kaip sužinoti, ar skaičius dalijasi iš 3?
Sudėkite visus skaičiaus skaitmenis. Jei gauta suma dalijasi iš 3, tai ir pats skaičius dalijasi iš 3. Pavyzdžiui, pas 2571 skaitmenų suma 2 + 5 + 7 + 1 = 15, o 15 dalijasi iš 3 → 2571 : 3 = 857.
Kuo dalumo požymis 3 skiriasi nuo požymio 9?
Taisyklė ta pati – skaičiuojame skaitmenų sumą, bet tikriname ją skirtingais skaičiais: dėl trejeto suma turi dalintis iš 3, dėl devyneto – iš 9. Todėl bet kuris skaičius, dalijantis iš 9, dalijasi ir iš 3, o atvirkščiai ne visada: pas 9420 skaitmenų suma 15 dalijasi iš 3 (9420 : 3 = 3140), bet ne iš 9.
Ką daryti, jei skaitmenų suma gavosi didelė?
Pritaikykite požymį dar kartą – jau pačiai sumai. Skaičiaus 777 771 skaitmenų suma 36, pas 36 suma 3 + 6 = 9. Devynė dalijasi iš 9, vadinasi, ir pradinė skaičius dalijasi iš 9 (o kartu ir iš 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Ar yra dalumo požymis 7?
Paprastos taisyklės, kaip skaitmenų suma, septynetui nėra, ir į mokyklinę dalumo požymių lentelę jos neįtraukia. Yra būdas: atidėti paskutinį skaitmenį, jį padvigubinti ir atimti iš likusio skaičiaus. Pavyzdžiui, dėl 343: atidedame 3, padvigubiname – 6, skaičiuojame 34 − 6 = 28. Skaičius 28 dalijasi iš 7, vadinasi, ir 343 dalijasi: 343 : 7 = 49.
Kokie dalumo požymiai 12, 15 ir 45?
Jie sudėtiniai – skaičius turi atitikti iškart du požymius: iš 12 – dalintis iš 3 ir iš 4, iš 15 – iš 3 ir iš 5, iš 45 – iš 5 ir iš 9. Svarbu, kad dauginamieji būtų tarpusavyje pirminiai: 12 = 2 · 6 skaidymas netinka, nes 18 dalijasi ir iš 2, ir iš 6, bet iš 12 nesidalija.
Kurioje klasėje mokomasi dalumo požymių?
6 klasėje matematikos pamokose: pirmiausia požymiai 10, 5 ir 2, paskui 3 ir 9. Požymiai 4, 8, 11 ir 25 paprastai nagrinėjami papildomai – jie pravers trumpinant trupmenas ir olimpiadose.
