Tiesos lygties pavidalas – tai būdas užrašyti tiesinę lygtį \(y = mx + b\), kur \(m\) yra tiesės krypties koeficientas, o \(b\) – y ašies kirtimo taškas (taškas, kuriame tiesė kerta y ašį). Tai patogiausias pavidalas braižymui, nes krypties koeficientą ir pradinį tašką galima tiesiogiai nuskaityti iš lygties. Šiame puslapyje sužinosite, ką reiškia \(m\) ir \(b\), kaip pagal juos nubraižyti tiesę, kaip rasti krypties koeficientą pagal du taškus ir kaip sudaryti savo lygtį – su išspręstais pavyzdžiais ir interaktyviu treniruokliu.
Kas yra tiesos lygties pavidalas?
Kiekviena tiesė (kuri nėra vertikali) gali būti užrašyta tiesos lygties pavidalu:
Tik dvi raidės, \(m\) ir \(b\), keičiasi priklausomai nuo tiesės. Nuskaitykite jas iš lygties taip:
- \(m\) – krypties koeficientas. Jis rodo, kokia stati yra tiesė ir į kurią pusę ji pasvirusi. Krypties koeficientas reiškia vertikalų pokytį padalytą iš horizontalaus pokyčio: kiek vienetų tiesė pakyla (arba nusileidžia) už kiekvieną vienetą, judant į dešinę.
- \(b\) – y ašies kirtimo taškas. Tai \(y\) reikšmė, kurioje tiesė kerta vertikalią ašį, t. y. taškas \((0, b)\). Kai \(x = 0\), narys \(mx\) dingsta ir lieka \(y = b\).
Pavyzdžiui, lygtyje \(y = 2x + 3\) krypties koeficientas \(m = 2\), o y ašies kirtimo taškas \(b = 3\), todėl tiesė kerta y ašį taške \((0, 3)\) ir pakyla 2 vienetais už kiekvieną 1 vienetą į dešinę.
m = krypties koeficientas
Tiesės statumas: vertikalus pokytis padalytas iš horizontalaus. Teigiamas – kyla, neigiamas – leidžiasi.
b = y ašies kirtimo taškas
Vieta, kur tiesė kerta y ašį, taške (0, b).
Kaip nubraižyti tiesę pagal tiesos lygties pavidalą
Tiesės braižymas pagal \(y = mx + b\) atliekamas trimis paprastais žingsniais – jokių reikšmių lentelių nereikia:
- Pažymėkite y ašies kirtimo tašką. Padėkite tašką ant y ašies ties \((0, b)\). Tai jūsų pradinis taškas.
- Naudokite krypties koeficientą antram taškui rasti. Užrašykite \(m\) kaip trupmeną \(\frac{\text{vertikalus pokytis}}{\text{horizontalus pokytis}}\). Nuo pirmojo taško judėkite aukštyn (vertikalus pokytis) ir į dešinę (horizontalus pokytis). Sveikasis skaičius, pavyzdžiui, \(2\), yra tiesiog \(\frac{2}{1}\).
- Nubrėžkite tiesę per abu taškus ir pratęskite ją į abi puses.
Žemiau esančiame tinklelyje nubraižyta \(y = 2x + 1\): y ašies kirtimo taškas yra \((0, 1)\), o krypties koeficientas \(2 = \frac{2}{1}\) reiškia 2 vienetus aukštyn, 1 vienetą į dešinę, kad pasiektumėte kitą tašką \((1, 3)\).
Kaip rasti krypties koeficientą ir y ašies kirtimo tašką
Iš lygties. Jei lygtis jau yra \(y = mx + b\) pavidalo, skaičius prie \(x\) yra krypties koeficientas \(m\), o laisvasis narys yra y ašies kirtimo taškas \(b\). Atkreipkite dėmesį į ženklus: lygtyje \(y = -3x - 4\), krypties koeficientas \(m = -3\), o y ašies kirtimo taškas \(b = -4\). Jei lygtis atrodo kitaip (pvz., \(2x + y = 5\)), pirmiausia išreikškite \(y\): \(y = -2x + 5\), taigi \(m = -2\) ir \(b = 5\).
Krypties koeficientas pagal du taškus. Turint du taškus \((x_1, y_1)\) ir \((x_2, y_2)\), krypties koeficientas yra \(y\) pokytis padalytas iš \(x\) pokyčio:
Taškams \((1, 2)\) ir \((3, 8)\): \(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). Atimkite koordinates ta pačia tvarka skaitiklyje ir vardiklyje, kitaip pasikeis ženklas.
Tiesės lygties sudarymas tiesos lygties pavidalu
Norėdami sudaryti lygtį, tiesiog turite rasti krypties koeficientą \(m\) ir y ašies kirtimo tašką \(b\), tada įrašyti juos į \(y = mx + b\).
- Duotas krypties koeficientas ir y ašies kirtimo taškas. Kai \(m = -2\) ir \(b = 5\), lygtis yra \(y = -2x + 5\). Viskas.
- Duotas krypties koeficientas ir vienas taškas. Įrašykite krypties koeficientą ir tašką \((x, y)\) į \(y = mx + b\) ir raskite \(b\). Pavyzdys: krypties koeficientas \(m = 4\) per tašką \((2, 3)\) duoda \(3 = 4(2) + b\), taigi \(b = 3 - 8 = -5\) ir lygtis yra \(y = 4x - 5\).
- Duoti du taškai. Pirmiausia raskite krypties koeficientą pagal aukščiau pateiktą formulę, tada naudokite vieną tašką \(b\) rasti, lygiai kaip ankstesniame žingsnyje.
Krypties koeficiento ženklas iškart parodo, į kurią pusę eis tiesė.
| Krypties koeficientas m | Tiesės kryptis | Pavyzdys |
|---|---|---|
| m > 0 | Kyla iš kairės į dešinę (įkalnė) | y = 2x + 1 |
| m < 0 | Leidžiasi iš kairės į dešinę (nuokalnė) | y = -2x + 4 |
| m = 0 | Horizontali – plokščia tiesė | y = 3 |
| neapibrėžtas | Vertikali – ne tiesos lygties pavidalas | x = 5 |
Tiesos lygties pavidalo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Nuskaitykite m ir b, tada nubraižykite
Lygtis: \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
1 žingsnis – nustatykite dalis. Krypties koeficientas \(m = \frac{1}{2}\), o y ašies kirtimo taškas \(b = -2\).
2 žingsnis – pažymėkite y ašies kirtimo tašką. Padėkite tašką \((0, -2)\) ant y ašies.
3 žingsnis – naudokite krypties koeficientą. \(m = \frac{1}{2}\) reiškia 1 vienetą aukštyn, 2 vienetus į dešinę. Nuo \((0, -2)\) judėkite į \((2, -1)\), tada į \((4, 0)\).
4 žingsnis – nubrėžkite tiesę per šiuos taškus. Ji kyla lėtai, nes krypties koeficientas teigiamas, bet mažesnis už 1.
2 pavyzdys. Raskite krypties koeficientą pagal du taškus
Taškai: \((-1, 4)\) ir \((2, -2)\)
1 žingsnis – pritaikykite formulę. \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\).
2 žingsnis – patikrinkite ženklą. Krypties koeficientas neigiamas, todėl tiesė leidžiasi iš kairės į dešinę. Tai atitinka taškus: kai \(x\) didėja, \(y\) mažėja.
Šios tiesės krypties koeficientas \(m = -2\).
3 pavyzdys. Sudarykite lygtį pagal krypties koeficientą ir tašką
Duota: krypties koeficientas \(m = 3\), eina per \((2, 1)\).
1 žingsnis – pradėkite nuo \(y = mx + b\) su \(m = 3\): \(\; y = 3x + b\).
2 žingsnis – įrašykite tašką \((2, 1)\): \(\; 1 = 3(2) + b = 6 + b\).
3 žingsnis – raskite b: \(\; b = 1 - 6 = -5\).
Lygtis: \(y = 3x - 5\).
4 pavyzdys. Pertvarkykite į tiesos lygties pavidalą
Lygtis: \(4x + 2y = 6\)
1 žingsnis – išskirkite y narį. Atimkite \(4x\) iš abiejų pusių: \(2y = -4x + 6\).
2 žingsnis – padalykite iš 2: \(\; y = -2x + 3\).
3 žingsnis – nuskaitykite m ir b. Dabar tai tiesos lygties pavidalas: krypties koeficientas \(m = -2\), y ašies kirtimo taškas \(b = 3\).
Dažnos klaidos naudojant tiesos lygties pavidalą
-
m ir b sumaišymas – krypties koeficiento nuskaitymas kaip laisvojo nario (ar atvirkščiai).
Krypties koeficientas m visada yra skaičius prie x; y ašies kirtimo taškas b yra laisvasis narys. Lygtyje y = 5x + 2, krypties koeficientas yra 5, o y ašies kirtimo taškas yra 2 – niekada atvirkščiai.
-
Krypties koeficiento ženklo pamiršimas, pvz., lygties y = -3x + 1 krypties koeficiento įvardijimas tiesiog 3.
Minusas yra krypties koeficiento dalis. Čia m = -3, o tai reiškia, kad tiesė leidžiasi. Neigiamas krypties koeficientas visada reiškia nuokalnę iš kairės į dešinę.
-
Vertikalaus ir horizontalaus pokyčio sumaišymas – judėjimas pirmiausia į dešinę, tada aukštyn, todėl krypties koeficientas apverčiamas.
Krypties koeficientas yra vertikalus pokytis padalytas iš horizontalaus, o ne atvirkščiai. Krypties koeficientas 2 = 2/1 reiškia 2 vienetus aukštyn už kiekvieną 1 į dešinę; 1/2 reiškia 1 vienetą aukštyn už kiekvieną 2 į dešinę. Vertikalus pokytis visada skaitiklyje.
-
y ašies kirtimo taško nuskaitymas kaip x reikšmės, pvz., b = 3 žymėjimas taške (3, 0) vietoj (0, 3).
y ašies kirtimo taškas yra ant y ašies: b visada yra taškas (0, b). Kiekvieną braižymą pradėkite judėdami aukštyn arba žemyn y ašimi, o ne per x ašį.
-
Koordinačių atėmimas skirtinga tvarka krypties koeficiento formulėje.
Naudokite tą pačią tvarką skaitiklyje ir vardiklyje: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Jei skaitiklyje pradedate nuo antrojo taško y, vardiklyje taip pat pradėkite nuo antrojo taško x, kitaip ženklas pasikeis.
Dažniausiai užduodami klausimai
Kas yra tiesos lygties pavidalas?
Tiesos lygties pavidalas yra tiesės lygtis, užrašyta y = mx + b, kur m yra krypties koeficientas, o b – y ašies kirtimo taškas. Tai patogiausias pavidalas braižymui, nes tiek statumas (m), tiek pradinis taškas ant y ašies (b) yra matomi tiesiogiai lygtyje.
Ką reiškia m ir b lygtyje y = mx + b?
m yra krypties koeficientas – koks stati yra tiesė ir ar ji kyla, ar leidžiasi, matuojamas kaip vertikalus pokytis padalytas iš horizontalaus. b yra y ašies kirtimo taškas – y reikšmė, kurioje tiesė kerta vertikalią ašį, t. y. taškas (0, b).
Kaip rasti krypties koeficientą pagal du taškus?
Naudokite formulę m = (y2 - y1) / (x2 - x1): atimkite dvi y reikšmes skaitiklyje ir atitinkamas x reikšmes vardiklyje. Pavyzdžiui, taškams (1, 2) ir (3, 8), m = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
Kaip nubraižyti tiesę pagal tiesos lygties pavidalą?
Pirmiausia pažymėkite y ašies kirtimo tašką (0, b). Tada naudokite krypties koeficientą kaip vertikalų pokytį padalytą iš horizontalaus, kad pasiektumėte antrą tašką – aukštyn (arba žemyn) vertikaliam pokyčiui, į dešinę horizontaliam. Nubrėžkite tiesę per abu taškus ir pratęskite į abi puses.
Kaip užrašyti lygtį tiesos lygties pavidalu?
Raskite krypties koeficientą m ir y ašies kirtimo tašką b, tada įrašykite juos į y = mx + b. Jei turite tik krypties koeficientą ir vieną tašką, įrašykite tašką į lygtį ir pirmiausia raskite b. Jei turite du taškus, raskite krypties koeficientą pagal formulę, tada raskite b.
Ką pasako krypties koeficiento ženklas?
Teigiamas krypties koeficientas reiškia, kad tiesė kyla iš kairės į dešinę; neigiamas – kad leidžiasi. 0 krypties koeficientas sukuria horizontalią tiesę, o vertikali tiesė turi neapibrėžtą krypties koeficientą, kurio negalima užrašyti tiesos lygties pavidalu.
