Skaičiaus \(a\) kvadratinė šaknis yra toks skaičius, kurio kvadratas lygus \(a\), o aritmetine kvadratine šaknimi vadiname tik jo neigiamą reikšmę: \(\sqrt{25} = 5\). Šaknį galima traukti tik iš neneigiamų skaičių, tačiau šaknies savybės paverčia sudėtingus reiškinius trumpais. Šiame puslapyje – apibrėžimas ir apibrėžimo sritis, visos kvadratinės šaknies savybės su formulėmis, kvadratinių šaknų lentelė nuo 1 iki 20, šaknies traukimo ir daugiklio iškėlimo būdai, išnagrinėti pavyzdžiai, dažnos klaidos ir interaktyvus treniruoklis.
Kas yra skaičiaus kvadratinė šaknis
Skaičiaus \(a\) kvadratinė šaknis yra toks skaičius, kurio kvadratas lygus \(a\). Šaknies traukimas ir kėlimas kvadratu yra atvirkštiniai veiksmai: iš \(7^2 = 49\) išplaukia, kad 49 kvadratinė šaknis lygi 7.
Tačiau teigiamas skaičius turi du kvadratinius šaknis, besiskiriančius tik ženklu: \(5^2 = 25\) ir \((-5)^2 = 25\), taigi 25 kvadratinės šaknys yra ir \(5\), ir \(-5\). Kad žymėjimas \(\sqrt{25}\) reikštų vieną vienintelį skaičių, susitarta: ženklu \(\sqrt{\phantom{a}}\) žymima tik neigiama šaknis. Ji vadinama aritmetine.
Žymėjimas turi savo pavadinimus: ženklas \(\sqrt{\phantom{a}}\) – radikalo ženklas, o skaičius ar reiškinys po juo – pošaknis.
Aritmetinė kvadratinė šaknis: apibrėžimas ir apibrėžimo sritis
Aritmetine neigiamo skaičiaus \(a\) kvadratine šaknimi vadiname neigiamą skaičių, kurio kvadratas lygus \(a\). Žymima \(\sqrt{a}\) ir skaitoma „šaknis iš a“.
Apibrėžime slypi du sąlygos, ir abi vienodai svarbios:
- pošaknis yra neigiamas: \(a \ge 0\);
- šaknies reikšmė yra neigiama: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Iš čia išplaukia: \(\sqrt{25} = 5\), o ne \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); o žymėjimas \(\sqrt{-9}\) realiuosiuose skaičiuose neturi prasmės – nėra skaičiaus, kurio kvadratas būtų neigiamas.
Pirma sąlyga nustato apibrėžimo sritį reiškiniui su šaknimi. Pavyzdžiui, \(\sqrt{x-7}\) turi prasmę, kai \(x - 7 \ge 0\), t. y., kai \(x \ge 7\): bet kokia mažesnė \(x\) reikšmė po šaknimi įstumia neigiamą skaičių.
Iš apibrėžimo taip pat išplaukia lygybė \((\sqrt{a})^2 = a\) kai \(a \ge 0\): šaknies kėlimas kvadratu grąžina pošaknį. Tai veikia net tada, kai patį šaknį negalime tiksliai apskaičiuoti: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Kvadratinių šaknų lentelė: skaičių kvadratai nuo 1 iki 20
Šaknis ištraukiama be liekanos tik tada, kai pošaknis yra tikslus kvadratas. Todėl skaičių kvadratų lentelė veikia ir kaip kvadratinių šaknų lentelė: ją skaitome abiem kryptimis – \(14^2 = 196\), vadinasi \(\sqrt{196} = 14\).
Lentelė padeda ne tik su sveikaisiais skaičiais:
- dešimtainės trupmenos: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), nes \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- įprastos trupmenos: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) – šaknis traukiama atskirai iš skaitiklio ir atskirai iš vardiklio;
- apvalūs skaičiai: \(\sqrt{2500} = 50\), nes \(2500 = 25 \cdot 100\), o kiekvieno daugiklio šaknis yra žinoma.
Kvadratinės šaknies savybės
Kvadratinės šaknies savybės leidžia skaičiuoti reiškinius neištraukiant kiekvienos šaknies atskirai ir supaprastinti atsakymą.
Šaknis iš sandaugos lygi šaknų sandaugai: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) kai \(a \ge 0\) ir \(b \ge 0\). Pavyzdžiui, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) – tas pats atsakymas, kaip ir \(\sqrt{144}\).
Šaknis iš dalmens lygi šaknų dalmeniui: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) kai \(a \ge 0\) ir \(b > 0\). Pavyzdžiui, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Sąlyga \(b > 0\) yra griežta: negalima dalyti iš nulio.
Skaičiaus kvadrato šaknis lygi moduliui: \(\sqrt{a^2} = |a|\), ir tai galioja bet kuriam skaičiui \(a\). Čia pagrindinė visos temos subtilybė. Jei \(a \ge 0\), niekas nesikeičia: \(\sqrt{7^2} = 7\). Bet kai \(a\) yra neigiamas, ženklas „ištiesinamas“: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), o ne \(-6\) – juk aritmetinė šaknis negali būti neigiama.
Šaknies kvadratas grąžina pošaknį: \((\sqrt{a})^2 = a\) kai \(a \ge 0\).
O štai sumai ir skirtumui panašių savybių nėra: šaknis iš sumos nėra lygi šaknų sumai. Tai dažniausia temos klaida, analizė – žemiau.
| Savybė ir sąlyga | Pavyzdys |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bkai a ≥ 0 ir b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bkai a ≥ 0 ir b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|bet kuriam a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = akai a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bkai b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Kaip ištraukti skaičiaus kvadratinę šaknį
Skaičiuoklio visada nėra po ranka, o mokykliniai uždaviniai beveik visada parinkti taip, kad šaknis ištraukiama. Veiksmų tvarka tokia.
- Patikrinkite pagal skaičių kvadratų lentelę. Jei skaičius yra lentelėje, atsakymas paruoštas: \(\sqrt{289} = 17\).
- Atskirkite apvalų daugiklį. Skaičiuose su nuliais patogu išskirti \(100\), \(10\,000\) ir pan.: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Išskaidykite pirminiais dauginamaisiais. Tai universali priemonė: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), rodiklius daliname pusiau ir gauname \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Dešimtainę trupmeną paverskite įprasta. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Tai taip pat padeda išvengti skaitmens praradimo.
- Jei tikslaus kvadrato nėra – šaknis yra iracionalioji. Tada ją arba palikite atsakyme simboliu (taip ir rašykite: \(\sqrt{30}\)), arba įvertinkite tarp gretimų kvadratų.
Patikrinimas trunka sekundę: gautą skaičių pakelkite kvadratu ir pažiūrėkite, ar grįžo pošaknis. \(24^2 = 576\) – teisingai.
Daugiklio iškėlimas iš po šaknies
Šaknis retai paliekama „žalia“ – iš jos iškeliamas viskas, kas ištraukiama. Veikia savybė \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) kai \(b \ge 0\): ieškome didžiausio kvadratinio daliklio pošaknio.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Atvirkštinis veiksmas – daugiklio įkėlimas po šaknimi: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) kai \(a \ge 0\). Pavyzdžiui, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Su neigiamu daugikliu reikia atsargumo: minusas po šaknimi nepatenka ir lieka lauke. Teisingas užrašymas – \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), o ne \(\sqrt{12}\).
Kam to reikia: po daugiklio iškėlimo šaknys su tuo pačiu pošakniu tampa panašiais dėmenimis, ir jas galima sudėti. O daugiklio įkėlimas po šaknimi – greičiausias būdas palyginti du reiškinius su šaknimis.
Kiek yra kvadratinė šaknis, kuri neištraukiama
Jei pošaknis nėra tikslus kvadratas, šaknis yra iracionalusis skaičius: jo dešimtainis užrašymas yra begalinis ir neperiodinis. Pavyzdžiui, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), o tiksli reikšmė užrašoma tik simboliu \(\sqrt{2}\). Apvalintas atsakymas rašomas tik tada, kai to prašoma užduotyje.
Tokią šaknį galima įvertinti be skaičiuoklio: rasti du gretimus tikslius kvadratinius skaičius, tarp kurių yra pošaknis. Veikia lyginimo taisyklė: kai \(a \ge 0\) ir \(b \ge 0\), iš \(a < b\) išplaukia \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) – didesniam pošakniui atitinka didesnė šaknis.
Kvadratinių šaknų skaičiavimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Reiškinio su šaknimis reikšmė
Apskaičiuokite \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
1 žingsnis. \(\sqrt{121} = 11\), nes \(11^2 = 121\).
2 žingsnis. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), nes \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
3 žingsnis. Šaknis iš trupmenos traukiama pagal skaitiklį ir vardiklį: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
4 žingsnis. Sudedame: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Atsakymas: 11.
2 pavyzdys. Šaknis iš sandaugos
Apskaičiuokite \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
1 žingsnis. Atskirai šios šaknys neištraukiamos, todėl sujungiame jas į vieną: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
2 žingsnis. Skaičiuojame sandaugą po šaknimi: \(8 \cdot 18 = 144\).
3 žingsnis. \(\sqrt{144} = 12\).
Kitas kelias – iš anksto iškelti daugiklius: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) ir \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), tada \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Atsakymai sutapo.
Atsakymas: 12.
3 pavyzdys. Šaknies traukimas skaidant dauginamaisiais
Apskaičiuokite \(\sqrt{576}\) ir \(\sqrt{6400}\).
1 žingsnis. Skaičiaus 576 nėra kvadratų lentelėje, todėl skaidome jį pirminiais dauginamaisiais: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
2 žingsnis. Rodiklius daliname pusiau: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
3 žingsnis. Patikrinimas. \(24^2 = 576\) – teisingai.
4 žingsnis. Skaičiui 6400 patogiau atskirti apvalų daugiklį: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Patikrinimas: \(80^2 = 6400\).
Atsakymas: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
4 pavyzdys. Daugiklio iškėlimas ir panašių dėmenų sutraukimas
Supaprastinkite \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
1 žingsnis. Iškeliame daugiklius iš po kiekvienos šaknies: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), vadinasi \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
2 žingsnis. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
3 žingsnis. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
4 žingsnis. Sudėti galima tik šaknis su tuo pačiu pošakniu: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), o dėmuo su \(\sqrt{3}\) lieka atskirai.
Atsakymas: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
5 pavyzdys. Šaknis iš skaičiaus kvadrato su kintamuoju
Supaprastinkite \(\sqrt{(x-4)^2}\) kai \(x < 4\).
1 žingsnis. Pagal savybę šaknis iš kvadrato \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) – iškart rašome modulį, o ne \(x - 4\).
2 žingsnis. Atskleidžiame modulį pagal sąlygą. Jei \(x < 4\), tai skirtumas \(x - 4\) yra neigiamas, o neigiamo modulio – priešingas skaičius: \(|x-4| = 4 - x\).
3 žingsnis. Patikrinimas. Paimkime \(x = 1\): kairėje \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), dešinėje \(4 - 1 = 3\) – sutampa.
Atsakymas: \(4 - x\). Palyginimui, kai \(x \ge 4\) atsakymas būtų \(x - 4\).
6 pavyzdys. Dviejų reiškinių su šaknimis palyginimas
Palyginkite \(3\sqrt{5}\) ir \(5\sqrt{2}\).
1 žingsnis. Abu skaičiai yra teigiami, todėl keliame daugiklius po šaknimis: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
2 žingsnis. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
3 žingsnis. Lyginame pošaknius: \(45 < 50\), o didesniam pošakniui atitinka didesnė šaknis.
Atsakymas: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Dažnos klaidos dirbant su kvadratine šaknimi
-
Rašo $\sqrt{a^2} = a$, pamiršdami modulį.
Teisinga lygybė – \(\sqrt{a^2} = |a|\). Neigiamam skaičiui tai principinga: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), o ne \(-13\). Aritmetinė šaknis negali būti neigiama, todėl ženklas po šaknimi „ištiesinamas“.
-
Laiko, kad šaknis iš sumos lygi šaknų sumai: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Tokios savybės nėra. Pirmiausia atliekame veiksmą po šaknimi: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), o ne 7. Savybės yra tik sandaugai ir dalmeniui: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) ir \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Atsako, kad $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) – aritmetinė šaknis visada viena ir ji yra neigiama. Du reikšmes gauname kitame uždavinyje: lygtis \(x^2 = 49\) turi sprendinius \(x = 7\) ir \(x = -7\). Maišyti šaknies žymėjimą su lygties sprendimu negalima.
-
Rašo $\sqrt{-16} = -4$, manydami „minusas iš minuso“.
Po šaknimi negali būti neigiamas skaičius: \((-4)^2 = 16\), o ne \(-16\), taigi \(\sqrt{-16}\) realiuosiuose skaičiuose neegzistuoja. O štai reiškinys \(-\sqrt{16} = -4\) yra visiškai korektiškas – minusas yra prieš šaknį, o ne po ja.
-
Įkelia po šaknimi neigiamą daugiklį: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Taisyklė \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) veikia tik kai \(a \ge 0\). Minusas lieka lauke: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Patikrinimas ženklu: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), o \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) – skaičiai priešingi.
-
Praranda skaitmenį dešimtainėje trupmenoje: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Patikrinkite atvirkštiniu kėlimu kvadratu: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), nesutampa. Teisingai \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), nes \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Patikimas būdas – pereiti prie įprastos trupmenos: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Yra įsitikinę, kad šaknis visada mažesnė už patį skaičių.
Tai teisinga tik didesniems nei vienetas skaičiams. Atkarpoje nuo 0 iki 1 viskas atvirkščiai: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), ir \(0{,}5\) yra didesnis nei \(0{,}25\). O 0 ir 1 atveju šaknis lygi pačiam skaičiui.
Klausimai ir atsakymai
Kas yra aritmetinė kvadratinė šaknis paprastais žodžiais?
Tai neigiamas skaičius, kuris pakeltas kvadratu duoda pošaknį. Žymima \(\sqrt{a}\), be to, pošaknis turi būti neigiamas: \(a \ge 0\). Pavyzdžiui, \(\sqrt{64} = 8\), nes \(8 \ge 0\) ir \(8^2 = 64\).
Kuo kvadratinė šaknis skiriasi nuo aritmetinės kvadratinės šaknies?
Kvadratinių šaknų teigiamas skaičius turi dvi – priešingas pagal ženklą. Aritmetine vadinama tik neigiama iš jų, ir būtent ją žymi ženklas \(\sqrt{\phantom{a}}\). Todėl \(\sqrt{25} = 5\), nors lygtis \(x^2 = 25\) turi du sprendinius: 5 ir \(-5\).
Kaip ištraukti skaičiaus kvadratinę šaknį be skaičiuoklio?
Pirmiausia patikrinkite skaičių pagal skaičių kvadratų lentelę. Jei joje nėra – skaidykite dauginamaisiais ir išskirkite tikslius kvadratinius skaičius: \(784 = 16 \cdot 49\), todėl \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Atsakymą visada tikrinkite atvirkštiniu veiksmu: \(28^2 = 784\).
Ar galima ištraukti neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį?
Realiuosiuose skaičiuose – ne: bet kurio skaičiaus kvadratas yra neigiamas, todėl reiškinys \(\sqrt{-9}\) neturi prasmės. Būtent iš šios sąlygos ieškoma apibrėžimo sritis: pavyzdžiui, \(\sqrt{x-7}\) egzistuoja tik kai \(x \ge 7\).
Kiek yra skaičiaus kvadrato šaknis?
To skaičiaus modulis: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Kai \(a\) yra neigiamas, gausis pats skaičius, kai neigiamas – jam priešingas: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Kaip iškelti daugiklį iš po šaknies?
Raskite didžiausią pošaknio skaičiaus kvadratinį daliklį ir pritaikykite savybę \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Pavyzdžiui, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Atvirkštinis veiksmas – daugiklio įkėlimas po šaknimi: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Kiek yra skaičiaus 2 kvadratinė šaknis?
Skaičius \(\sqrt{2}\) yra iracionalusis: jo dešimtainis užrašymas yra begalinis ir neperiodinis, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Tikslios reikšmės trupmenos pavidalu nėra, todėl atsakymuose jį taip ir palieka simboliu \(\sqrt{2}\), o apvalina tik jei to reikalauja sąlyga.
Kaip palyginti du skaičius su šaknimis, neišskaičiuojant jų?
Įkelkite daugiklius po šaknimis ir palyginkite pošaknius: didesniam pošakniui atitinka didesnė šaknis. Pavyzdžiui, \(\sqrt{17}\) ir 4: kadangi \(4 = \sqrt{16}\) ir \(17 > 16\), tai \(\sqrt{17} > 4\).
Kurioje klasėje mokomasi kvadratinių šaknų?
8 klasėje per algebros pamokas: pirmiausia aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimas ir jos savybės, vėliau transformacijos su šaknimis ir lygčių \(x^2 = a\) sprendimas. Vėliau šaknys sutinkamos diskriminanto formulėje ir OGE bei ЕГЭ užduotyse.
