Vjeto teorema sieja kvadratinės lygties šaknis su jos koeficientais: sutvarkytajai lygtčiai \(x^2 + px + q = 0\) šaknų suma lygi \(-p\), o sandauga lygi \(q\). Tai leidžia šaknis rasti mintinai — parinkimu, be diskriminanto. Šiame puslapyje pateikiamos tikslios formulės sutvarkytai lygtčiai ir bendrajam pavidalui, atvirkštinė Vjeto teorema, šaknų parinkimo algoritmas, išnagrinėti pavyzdžiai ir interaktyvus treniruoklis.
Kas yra Vjeto teorema
Vjeto teorema — tai taisyklė, jungianti kvadratinės lygties šaknis su jos koeficientais. Ji formuluojama taip: jei \(x_1\) ir \(x_2\) yra sutvarkytos kvadratinės lygties \(x^2 + px + q = 0\) šaknys, tai
Žodžiais: šaknų suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui. Minus ženklas sumoje — svarbiausia visos temos vieta: rašoma būtent \(-p\), o ne \(p\).
Bendro pavidalo lygčiai \(ax^2 + bx + c = 0\) (kur \(a \neq 0\)) formulės gaunamos padalijus iš \(a\):
Teorema veikia tik tada, kai yra realių šaknų, t. y. kai \(D \ge 0\). Jei diskriminantas neigiamas, nėra ko parinkti: nėra realių skaičių su tokia suma ir tokia sandauga.
Sutvarkyta lygtis ir bendras pavidalas: kur reikia dalinti iš a
Sutvarkyta vadinama kvadratinė lygtis, kurios koeficientas prie \(x^2\) lygus vienetui: \(x^2 + px + q = 0\). Būtent jai Vjeto teorema skamba trumpiausiai, todėl šaknų parinkimą visada pradedame nuo sutvarkymo.
Jei \(a \neq 1\), lygtis pirmiausia dalijama iš \(a\) po nario. Pavyzdžiui, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) po padalijimo iš \(3\) virsta \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), t. y. \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Iš čia \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) ir \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Ta pačią mintį galima užrašyti iškart bendrajam pavidalui, nesutvarkius lygties: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Dažniausia klaida — taikyti „trumpas“ formules \(-p\) ir \(q\) nesutvarkytai lygtčiai ir gauti sumą \(10\) vietoj \(\frac{10}{3}\).
Atvirkštinė Vjeto teorema
Vjeto teorema turi atvirkštinę, ir būtent ji leidžia spręsti lygtis parinkimu. Ji skamba taip: jei skaičiai \(m\) ir \(n\) tokie, kad
tai \(m\) ir \(n\) yra lygties \(x^2 + px + q = 0\) šaknys.
Skirtumas principinis. Tiesioginė teorema eina nuo šaknų prie koeficientų: šaknys jau žinomos, gauname ryšius tarp jų. Atvirkštinė eina nuo koeficientų prie šaknų: atspėjome skaičių porą su reikalinga suma ir reikalinga sandauga — ir turime visą teisę vadinti juos šaknimis, nieko daugiau įrodyti nereikia.
Iš čia taip pat išplaukia naudinga taisyklė: jei \(x_1\) ir \(x_2\) yra šaknys, tai daugianaris skaidomas dauginamaisiais \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Pavyzdžiui, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Šaknų parinkimas pagal Vjeto teoremą: algoritmas
Šaknų parinkimas — pagrindinis teorinės Vjeto teoremos praktinis pritaikymas. Jis veikia greičiau nei diskriminantas, kai šaknys yra sveikieji skaičiai, ir užtrunka penkis žingsnius.
Šaknų ženklai pagal koeficientus p ir q
Dar prieš parinkimą galima suprasti, kokius ženklus turės šaknys — pakanka pažiūrėti į \(p\) ir \(q\) ženklus. Tai gerokai sutrumpina atranką: iškart matyti, ar ieškoti dviejų teigiamų skaičių poros, dviejų neigiamų, ar skirtingų ženklų skaičių.
| p ir q | Šaknys | Pavyzdys |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | abi > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | abi < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | skirtingų ženklų | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 ir −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Vjeto teorema ar diskriminantas: ką pasirinkti
Formulė šaknims per diskriminantą \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) veikia visada, bet reikalauja skaičiavimų. Vjeto teorema veikia akimirksniu, bet tik jei šaknys atspėjamos — paprastai tai nedideli sveikieji skaičiai.
Praktinė taisyklė tokia:
- lygtis sutvarkyta, o \(q\) skaidosi į porą nedidelių daliklių → bandyk parinkimą pagal Vjeto teoremą, atsakymas gaunamas mintinai;
- koeficientai dideli arba trupmeniniai, šaknys neatspėjamos per 10–15 sekundžių → skaičiuok diskriminantą;
- reikia tik šaknų skaičiaus ar šaknų ženklų, o pačios šaknys nereikalingos → pakaks D ir lentelės su ženklais aukščiau.
Naudinga ir jų derinys: suskaičiavai diskriminantą ir radai šaknis — patikrink atsakymą pagal Vjeto teoremą. Suma turi duoti \(-p\), sandauga \(q\). Tokia patikra trunka kelias sekundes ir pagauna beveik bet kokią aritmetinę klaidą.
Pavyzdžiai, kaip spręsti pagal Vjeto teoremą
1 pavyzdys. Šaknų parinkimas: abi šaknys teigiamos
Išspręsti \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
1 žingsnis. Lygtis sutvarkyta: \(p = -9\), \(q = 20\).
2 žingsnis. Tikriname diskriminantą: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — dvi šaknys yra.
3 žingsnis. Rašome ryšius: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
4 žingsnis. Peržiūrime skaičiaus 20 skaidymus: \(1\cdot 20\) (suma 21), \(2\cdot 10\) (suma 12), \(4\cdot 5\) (suma 9) — tinka paskutinė pora. Abu dauginamieji teigiami, nes \(q > 0\), o \(p < 0\).
5 žingsnis. Patikra įstatymu. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Atsakymas: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
2 pavyzdys. Šaknys skirtingų ženklų
Išspręsti \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
1 žingsnis. Lygtis sutvarkyta: \(p = 3\), \(q = -28\).
2 žingsnis. \(q < 0\), vadinasi, šaknys skirtingų ženklų ir diskriminantas garantuotai teigiamas: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
3 žingsnis. Ryšiai: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
4 žingsnis. Skaidymai 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Reikalingas skirtumas 3 — tinka pora 4 ir 7. Kadangi suma neigiama, didesnį pagal modulį šaknį imame su minuso ženklu: 4 ir \(-7\).
5 žingsnis. Patikra. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Atsakymas: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
3 pavyzdys. Bendro pavidalo lygtis (a ≠ 1)
Išspręsti \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
1 žingsnis. Koeficientas \(a = 3\), todėl „trumpų“ formulių \(-p\) ir \(q\) taikyti negalima. Naudojame bendrą pavidalą: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
2 žingsnis. Sandauga lygi 1 — vadinasi, šaknys yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai: jei viena lygi \(t\), kita lygi \(\tfrac{1}{t}\). Suma \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) leidžia manyti, kad \(t = 3\), nes \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
3 žingsnis. Patikra įstatymu. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Atsakymas: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
4 pavyzdys. Sudaryti lygtį pagal jos šaknis
Užduotis. Sudaryti sutvarkytą kvadratinę lygtį, kurios šaknys lygios \(-4\) ir \(6\).
1 žingsnis. Apskaičiuojame sumą ir sandaugą: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
2 žingsnis. Pagal atvirkštinę Vjeto teoremą koeficientai lygūs \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) ir \(q = x_1 x_2 = -24\). Čia slypi pagrindinė spąstai: \(p\) yra suma su priešingu ženklu.
3 žingsnis. Rašome lygtį: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
4 žingsnis. Patikra įstatymu. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Atsakymas: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Tą patį rezultatą duoda skaidymas \((x + 4)(x - 6) = 0\).
5 pavyzdys. Patikrinti kito atsakymą pagal Vjeto teoremą
Užduotis. Mokinys išsprendė lygtį \(x^2 + 5x + 6 = 0\) ir užrašė atsakymą: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Patikrinti, ar jis neprašovė.
1 žingsnis. Pagal Vjeto teoremą turi būti \(x_1 + x_2 = -p = -5\) ir \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
2 žingsnis. Pateikto atsakymo sandauga sutampa (\(2\cdot 3 = 6\)), o suma — ne: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Vadinasi, atsakymas neteisingas: pamestas ženklas.
3 žingsnis. Ieškome teisingos poros: reikia skaičių su sandauga 6 ir suma \(-5\) — tai \(-2\) ir \(-3\) (abu neigiami, nes \(q > 0\) ir \(p > 0\)).
4 žingsnis. Patikra įstatymu. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Atsakymas: teisingos šaknys — \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Dažnos klaidos dirbant su Vjeto teorema
-
Pametamas minusas sumoje: rašoma $x_1 + x_2 = p$ vietoj $x_1 + x_2 = -p$.
Minusas yra tik sumoje, sandauga imama su tokiu pačiu ženklu: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Patikrinkite paprasta lygtimi \(x^2 - 5x + 6 = 0\): čia \(p = -5\), šaknų suma lygi \(5\), ir šaknys tikrai 2 ir 3.
-
Taikomos formulės $-p$ ir $q$ nesutvarkytai lygtimi: $2x^2 - 9x + 4 = 0$ sakoma „suma 9, sandauga 4“.
Kol \(a \neq 1\), galioja bendro pavidalo formulės: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Šaknys čia 4 ir \(\tfrac{1}{2}\), o ne 4 ir 1. Arba pirmiausia padalinkite visą lygtį iš \(a\).
-
Parinkti šaknis, nepatikrinus diskriminanto: $x^2 + x + 1 = 0$ bandoma rasti skaičių porą su suma $-1$ ir sandauga $1$.
Pirmiausia įsitikinkite, kad šaknys yra: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), realių šaknų nėra, parinkimas neįmanomas. Vjeto teorema veikia tik kai \(D \ge 0\).
-
Pasirenkama pora tik pagal sandaugą, nepatikrinus sumos: $x^2 - 8x + 12 = 0$ imama 3 ir 4, nes jų sandauga lygi 12.
Reikia tikrinti abi sąlygas iš karto. \(x^2 - 8x + 12 = 0\) sandaugą 12 duoda poros (1; 12), (2; 6), (3; 4), o sumą 8 — tik pora 2 ir 6. Patikra: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) ir \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Sudarant lygtį pagal šaknis, imamas $p$ lygus sumai: šaknims 2 ir 5 rašoma $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Koeficientas \(p\) lygus sumai su priešingu ženklu: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), t. y. \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Įstatymas patvirtina: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Manoma, kad Vjeto teorema galioja tik sveikosioms šaknims ir netaikoma atsakymui tikrinti.
Ryšiai \(x_1 + x_2 = -p\) ir \(x_1 x_2 = q\) galioja bet kokioms realiosioms šaknims — sveikosioms, trupmeninėms ir iracionaliosioms. Tiesiog mintinai parinkti patogu sveikąsias, o likusioms teorema lieka greitas būdas patikrinti diskriminantu rastą atsakymą.
Klausimai ir atsakymai
Kaip Vjeto teorema skamba paprastais žodžiais?
Jei sutvarkyta kvadratinė lygtis \(x^2 + px + q = 0\) turi šaknis, tai jų suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o sandauga lygi laisvajam nariui: \(x_1 + x_2 = -p\) ir \(x_1 x_2 = q\).
Kokia yra lygties $ax^2 + bx + c = 0$ šaknų suma ir sandauga?
Bendro pavidalo lygtims šaknų suma lygi \(-\dfrac{b}{a}\), o sandauga \(\dfrac{c}{a}\). Šios formulės gaunamos iš sutvarkyto atvejo padalijus visą lygtį iš \(a\).
Kuo atvirkštinė Vjeto teorema skiriasi nuo tiesioginės?
Tiesioginė teorema eina nuo šaknų prie koeficientų: žinodami šaknis, gauname sumą \(-p\) ir sandaugą \(q\). Atvirkštinė eina atvirkščiai: jei skaičių pora duoda reikiamą sumą ir reikiamą sandaugą, tai šie skaičiai ir yra lygties šaknys. Būtent atvirkštinė Vjeto teorema leidžia spręsti lygtis parinkimu.
Kaip parinkti šaknis pagal Vjeto teoremą?
Sutvarkykite lygtį iki pavidalo \(x^2 + px + q = 0\), įsitikinkite, kad \(D \ge 0\), išrašykite \(x_1 + x_2 = -p\) ir \(x_1 x_2 = q\), peržiūrėkite skaičiaus \(q\) skaidymus į dauginamųjų poras ir pasirinkite tą porą, kurios suma lygi \(-p\). Pavyzdžiui, \(x^2 + 6x + 8 = 0\) reikia skaičių su sandauga 8 ir suma \(-6\) — tai \(-2\) ir \(-4\).
Ar Vjeto teorema veikia, jei koeficientas prie $x^2$ nelygus vienetui?
Taip, bet bendro pavidalo forma: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Trumpos formulės \(-p\) ir \(q\) galioja tik sutvarkytai lygtimi, todėl kai \(a \neq 1\), lygtis pirmiausia dalijama iš \(a\).
Ką daryti, jei šaknys pagal Vjeto teoremą nesirenka?
Vadinasi, šaknys nėra sveikieji skaičiai arba jų visai nėra. Apskaičiuokite diskriminantą: kai \(D < 0\), realių šaknų nėra, o kai \(D \ge 0\), raskite šaknis pagal formulę \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) ir jau tada patikrinkite atsakymą pagal Vjeto teoremą.
Kaip nustatyti šaknų ženklus, neišsprendus lygties?
Pagal \(p\) ir \(q\) ženklus, kai \(D \ge 0\): jei \(q > 0\) ir \(p < 0\) — abi šaknys teigiamos; jei \(q > 0\) ir \(p > 0\) — abi neigiamos; jei \(q < 0\) — šaknys skirtingų ženklų; jei \(q = 0\) — viena šaknis lygi nuliui.
Kuriame klasėje mokoma Vjeto teorema?
8 klasėje per matematikos pamokas, iškart po kvadratinių lygčių ir diskriminanto. Vėliau ji naudojama skaidant kvadratinį trinarį dauginamaisiais \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), tiriant šaknis su parametru ir OGE bei EGE užduotyse.
