Veiksmų eilės tvarka – tai taisyklių rinkinys, nurodantis, kurią matematinio reiškinio dalį reikia skaičiuoti pirmiausia. Dažniausiai naudojamas būdas tai įsiminti yra PEMDAS: Parentheses (skliaustai), Exponents (laipsniai), Multiplication (daugyba) ir Division (dalyba), Addition (sudėtis) ir Subtraction (atimtis). Laikykitės šios tvarkos ir kiekvienas reiškinys turės tik vieną teisingą atsakymą. Šiame puslapyje rasite žingsnis po žingsnio paaiškintą PEMDAS taisyklę, pavyzdžius su skliaustais ir laipsniais, dažniausiai daromas klaidas bei interaktyvų testą žinioms įtvirtinti.
Ką reiškia PEMDAS: veiksmų eilės tvarka
PEMDAS yra mnemonika, padedanti įsiminti veiksmų atlikimo tvarką. Daugelis mokinių ją prisimena naudodami frazę „Please Excuse My Dear Aunt Sally“ (liet. „Prašau, atleisk mano brangiai tetai Salei“). Leiskitės kopėčiomis nuo viršaus į apačią:
- P — Parentheses (Skliaustai). Pirmiausia atlikite visus veiksmus skliausteliuose: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (Laipsniai). Tada kelkite laipsniu ir traukite šaknis, pvz., 3² arba √9.
- M ir D — Multiplication (Daugyba) ir Division (Dalyba). Šie veiksmai turi tą patį prioritetą. Atlikite juos kartu, judėdami iš kairės į dešinę.
- A ir S — Addition (Sudėtis) ir Subtraction (Atimtis). Šie veiksmai taip pat turi tą patį prioritetą. Atlikite juos paskutinius, vėlgi judėdami iš kairės į dešinę.
Svarbiausia mintis, kurią daugelis mokinių praleidžia: PEMDAS nėra šeši atskiri žingsniai. Daugyba ne visada atliekama prieš dalybą, o sudėtis ne visada prieš atimtį. Kiekviena iš šių porų yra viename lygyje, o tame pačiame lygyje tiesiog judate iš kairės į dešinę.
Iš kairės į dešinę taisyklė (M/D ir A/S yra lygiaverčiai)
Kadangi daugyba ir dalyba yra tame pačiame lygyje, atlikite jas ta tvarka, kuria jos pasirodo, skaitant iš kairės į dešinę – ne „visą daugybą, tada visą dalybą“. Tas pats galioja sudėčiai ir atimčiai.
Klasikiniai spąstai yra 20 ÷ 4 × 5. Jei pirmiausia atliktumėte daugybą (4 × 5 = 20), gautumėte 20 ÷ 20 = 1, o tai yra neteisinga. Kadangi dalyba yra kairėje, atlikite ją pirmiausia: 20 ÷ 4 = 5, tada 5 × 5 = 25. Ta pati logika taikoma 10 − 6 + 2: judėkite iš kairės į dešinę, kad gautumėte 4 + 2 = 6, o ne 10 − 8 = 2.
PEMDAS vs BODMAS: ta pati taisyklė, skirtingas pavadinimas
Jungtinėje Karalystėje, Australijoje ir daugelyje kitų šalių ta pati taisyklė mokoma kaip BODMAS (kartais BIDMAS arba BEDMAS). Raidės atrodo kitaip, bet tvarka yra identiška – keičiasi tik terminologija.
- B — Brackets (Skliaustai) yra tas pats, kas P — Parentheses.
- O — Orders (Tvarka) (arba I — Indices (Rodikliai), E — Exponents (Laipsniai)) reiškia laipsnius ir šaknis.
- DM ir MD yra ta pati lygiaverčių veiksmų pora, atliekama iš kairės į dešinę.
- AS yra sudėtis ir atimtis, atliekama iš kairės į dešinę.
Taigi PEMDAS ir BODMAS visada duoda tą patį atsakymą. Žemiau pateiktas palyginimas parodo atitikmenis.
| Žingsnis | PEMDAS | BODMAS | Ką darote |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | Pirmiausia skliausteliuose |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | Laipsniai ir šaknys |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | Lygiaverčiai, iš kairės → į dešinę |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | Lygiaverčiai, iš kairės → į dešinę |
Veiksmų eilės tvarkos pavyzdžiai (žingsnis po žingsnio)
1 pavyzdys. Daugyba prieš sudėtį
Reiškinys: 3 + 4 × 2
1 žingsnis — Skliaustai / Laipsniai: čia jų nėra, tad einame toliau.
2 žingsnis — Daugyba / Dalyba: 4 × 2 = 8. Reiškinys dabar atrodo taip: 3 + 8.
3 žingsnis — Sudėtis / Atimtis: 3 + 8 = 11.
Dažna klaida yra gauti 14, nes pirmiausia sudedama 3 + 4. Daugyba privalo būti atlikta prieš sudėtį.
2 pavyzdys. Skliaustai, laipsniai, tada iš kairės į dešinę
Reiškinys: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
1 žingsnis — Skliaustai: 6 + 2 = 8. Dabar: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
2 žingsnis — Laipsniai: 3² = 9. Dabar: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
3 žingsnis — Daugyba / Dalyba (iš kairės į dešinę): 8 × 9 = 72, tada 72 ÷ 4 = 18. Dabar: 18 − 5.
4 žingsnis — Sudėtis / Atimtis: 18 − 5 = 13.
3 pavyzdys. „Iš kairės į dešinę“ spąstai
Reiškinys: 20 ÷ 4 × 5
Čia nėra skliaustų ar laipsnių, tad pereiname tiesiai prie daugybos ir dalybos. Jos yra lygiaverčiai veiksmai, todėl skaitome iš kairės į dešinę.
1 žingsnis: 20 ÷ 4 = 5 (dalyba yra kairiausiai). Dabar: 5 × 5.
2 žingsnis: 5 × 5 = 25.
Jei būtumėte pirmiausia sudauginę (4 × 5 = 20), gautumėte 20 ÷ 20 = 1 – tai klasikinė klaida. Raidžių tvarka M-paskui-D nereiškia, kad daugyba visada laimi; svarbiausia yra kryptis iš kairės į dešinę.
Dažniausios PEMDAS klaidos
-
Manymas, kad daugyba visada atliekama prieš dalybą (arba sudėtis prieš atimtį) dėl raidžių tvarkos M-D ir A-S.
Daugyba ir dalyba yra lygiaverčiai, kaip ir sudėtis bei atimtis. Kiekvienoje poroje judėkite iš kairės į dešinę. Reiškinyje 20 ÷ 4 × 5 dalybą atliekate pirmą, nes ji yra kairėje, gaunant 25, o ne 1.
-
„Iš kairės į dešinę“ taisyklės ignoravimas atimčiai, todėl 10 − 6 + 2 klaidingai suprantama kaip 10 − 8 = 2.
Judėkite iš kairės į dešinę: 10 − 6 = 4, tada 4 + 2 = 6. Sudėtis „nešoka į priekį“ prieš atimtį, esančią jos kairėje.
-
Skliaustų praleidimas arba jų atlikimas paskutinius, nes jie yra reiškinio viduryje.
Skliaustai visada atliekami pirmiausia, nesvarbu, kur jie yra. Reiškinyje 2 × (3 + 4) pirmiausia apskaičiuojate 3 + 4 = 7, tada dauginate, gaunant 14, o ne 2 × 3 + 4 = 10.
-
Laipsnio rodiklio apimties neteisingas supratimas, laikant −3² ir (−3)² tuo pačiu.
Laipsnis taikomas tik skaičiui, esančiam tiesiai po juo. −3² reiškia −(3²) = −9, o (−3)² reiškia (−3)(−3) = 9. Naudokite skliaustus, kai norite, kad ženklas būtų įtrauktas.
-
Sudėtinių skliaustų skaičiavimas nuo išorės į vidų.
Pradėkite nuo vidinių skliaustų ir judėkite į išorę. Reiškinyje 2 × [3 + (4 − 1)] pirmiausia atlikite 4 − 1 = 3, tada 3 + 3 = 6, tada 2 × 6 = 12.
Dažniausiai užduodami klausimai
Ką reiškia PEMDAS?
PEMDAS reiškia Parentheses (skliaustai), Exponents (laipsniai), Multiplication (daugyba) ir Division (dalyba), Addition (sudėtis) ir Subtraction (atimtis). Tai tvarka, kuria atliekami matematiniai veiksmai. Daugelis mokinių tai įsimena fraze „Please Excuse My Dear Aunt Sally“.
Koks skirtumas tarp PEMDAS ir BODMAS?
Matematiškai skirtumo nėra – tik pavadinimuose. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) mokoma JK ir daugelyje kitų šalių, o PEMDAS naudojama JAV. Brackets yra tas pats, kas skliaustai, o Orders (arba Indices) yra tas pats, kas laipsniai. Abu metodai duoda identišką atsakymą kiekvienam reiškiniui.
Ar PEMDAS taisyklėje daugyba visada atliekama prieš dalybą?
Ne. Daugyba ir dalyba turi vienodą prioritetą. Atliekate tą veiksmą, kuris pasirodo pirmas skaitant iš kairės į dešinę. Pavyzdžiui, 20 ÷ 4 × 5 pirmiausia atliekate dalybą, nes ji kairėje, tada daugybą, gaunant 25.
Kodėl mums išvis reikia veiksmų eilės tvarkos?
Be sutartos tvarkos tas pats reiškinys skirtingiems žmonėms galėtų duoti skirtingus atsakymus. Pavyzdžiui, 3 + 4 × 2 būtų 11, jei daugintumėte pirmiausia, arba 14, jei sudėtumėte pirmiausia. PEMDAS užtikrina, kad kiekvienas reiškinys turėtų tik vieną teisingą rezultatą.
Kaip elgtis su laipsniais ir neigiamais ženklais kartu?
Laipsnis taikomas tik reikšmei, esančiai tiesiai po juo. Taigi −3² lygu −(3 × 3) = −9, nes laipsnis pririštas prie 3 prieš pritaikant neigiamą ženklą. Jei norite, kad neigiamas ženklas būtų įtrauktas, rašykite (−3)², kas lygu 9. Skliaustai kontroliuoja, ką laipsnis apima.
Ką daryti su sudėtiniais skliaustais?
Skaičiuokite nuo vidinių skliaustų į išorę. Reiškinyje 2 × [3 + (4 − 1)], pirmiausia atlikite 4 − 1 = 3, tada 3 + 3 = 6, tada 2 × 6 = 12. Kiekvienas skliaustų sluoksnis išsprendžiamas prieš pereinant prie išorinio.
