Proporcija — tai dviejų santykių lygybė, pavyzdžiui, \(2:3 = 8:12\). Norint spręsti proporcijas, reikia tik vieno įrankio — pagrindinės proporcijos taisyklės: kraštinių narių sandauga lygi vidurinių narių sandaugai. Mokykloje tai vadinama „kryžiuko“ taisykle. Toliau — kas yra santykis ir proporcija, kaip rasti nežinomą narį, kuo tiesioginis proporcingumas skiriasi nuo atvirkštinio, užduočių apie receptus, mastelį ir kainą nagrinėjimas, pereinant prie procentų ir treniruoklio su 10 užduočių.
Kas yra santykis ir proporcija
Santykis dviejų skaičių — tai jų dalmuo. Santykis \(2:3\) (skaitoma „du prie trijų“) parodo, kiek kartų vienas skaičius didesnis už kitą arba kokią dalį vienas sudaro iš kito. Jį galima užrašyti dviem būdais: \(2:3\) arba trupmena \(\frac{2}{3}\) — tai tas pats.
Proporcija — tai dviejų santykių lygybė:
Proporcijoje yra keturi skaičiai, ir jie turi vardus. Skaičiai įrašo kraštuose — kraštiniai nariai, skaičiai viduryje — viduriniai nariai. Proporcija yra teisinga, kai abu santykiai lygūs tam pačiam skaičiui.
Pagrindinė proporcijos taisyklė: „kryžiuko“ taisyklė
Pagrindinė proporcijos taisyklė: kraštinių narių sandauga lygi vidurinių narių sandaugai.
Kodėl taip gaunasi? Padauginkime abi lygybės \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) puses iš \(b \cdot d\). Kairėje susitrumpins \(b\), dešinėje — \(d\), ir liks lygiai \(a \cdot d = c \cdot b\). Jokių magijų — įprasta lygybių savybė.
Būtent tai mokiniai ir vadina „spręsti proporcijas kryžiuku“: skaičiai dauginami įstrižai, kryžiuku. Taisyklė veikia ir atvirkščiai: jei keturiems skaičiams (nei vienas iš jų nelygus nuliui) galioja \(a \cdot d = b \cdot c\), tai iš jų galima sudaryti teisingą proporciją.
Iš čia išplaukia du gebėjimai: patikrinti, ar proporcija teisinga, ir rasti joje nežinomą skaičių.
Kaip rasti nežinomą proporcijos narį
Iš pagrindinės taisyklės gaunamos dvi trumpos taisyklės:
- nežinomas kraštinis narys = vidurinių sandauga : žinomas kraštinis;
- nežinomas vidurinis narys = kraštinių sandauga : žinomas vidurinis.
Jų mokytis mintinai nebūtina. Pakanka vieno universalaus būdo: sudauginti kryžiuku, gauti lygybę „skaičius \(\cdot\, x\) = skaičius“ ir padalyti. Išnagrinėsime tai žingsnis po žingsnio proporcijoje \(x : 7 = 12 : 21\).
Paskutinis žingsnis — patikrinimas — trunka penkias sekundes ir pagauna beveik bet kokią aritmetinę klaidą, todėl jo praleisti nereikėtų.
Tiesioginis ir atvirkštinis proporcingumas
Dvi dydžius vadiname tiesiogiai proporcingais, jei vienam padidinus kelis kartus, kitas padidėja tiek pat kartų. Nupirkome dvigubai daugiau sąsiuvinių — sumokėjome dvigubai daugiau. Tokių dydžių santykis yra pastovus.
Dydžiai yra atvirkščiai proporcingi, jei vienam padidinus kelis kartus, kitas tiek pat kartų sumažėja. Dvigubai daugiau darbininkų — dvigubai mažiau dienų tam pačiam darbui. Tokių dydžių sandauga yra pastovi.
Pagrindinis skirtumas matomas, kai rašome proporciją. Tiesiamai priklausomybei ji sudaroma „kaip yra“: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Atvirkštinei antrasis santykis apverčiamas: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Kodėl? Atvirkštinei priklausomybei pastovi sandauga: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Padalykime abi puses iš \(a_2 \cdot b_1\) — ir gausime kaip tik \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Taigi „apvertimas“ — ne burtažodis, kurį reikia atsiminti, o pasekmė to, kad pastovi lieka sandauga, o ne santykis.
| Savybė | Tiesioginė | Atvirkštinė |
|---|---|---|
| Sąryšis | daugiau → daugiau | daugiau → mažiau |
| Pastovumas | santykis a : b | sandauga a × b |
| Užrašymas | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Pavyzdys | 3 pieštukai — 90 ₽, 5 pieštukai — 150 ₽ | 4 dažytojai — 9 dienos, 6 dažytojai — 6 dienos |
Kaip sudaryti proporciją užduočiai: receptas, mastelis, kaina
Tekstinės užduotys „apie proporcijas“ sprendžiamos pagal vieną scenarijų:
- Išrašykite sąlygą į dvi skiltis taip, kad vienodos vertės stovėtų viena po kita (porcijos po porcijų, gramai po gramų).
- Įveskite ieškomąjį kaip \(x\).
- Nustatykite priklausomybės tipą: mintyse padidinkite pirmąjį dydį ir pažiūrėkite, ar antrasis didėja, ar mažėja.
- Sudarykite proporciją — atvirkštinei priklausomybei apverskite antrąjį santykį.
- Spręskite kryžiuku ir patikrinkite, ar gautas atsakymas yra protingas.
Parodysime su receptu. 4 porcijoms blynų reikia 300 g miltų — kiek miltų reikės 6 porcijoms? Porcijų daugiau, vadinasi, ir miltų daugiau: priklausomybė tiesioginė, proporcija sudaroma „kaip yra“:
6 porcijoms reikės 450 g miltų. Atsakymas protingas: porcijų tapo pusantro karto daugiau, ir miltų prireikė pusantro karto daugiau.
Lygiai taip pat sprendžiamos užduotys apie mastelį (atstumas žemėlapyje santykiauja su atstumu vietovėje taip pat, kaip 1 prie mastelio skaičiaus) ir apie kainą (prekės kiekis santykiauja su kiekiu taip pat, kaip kaina su kaina). Pilni nagrinėjimai — žemiau pateiktuose pavyzdžiuose.
Procentai per proporciją
Procentas — tai šimtoji dalis skaičiaus, todėl bet kokia paprasta užduotis apie procentus virsta proporcija:
Kur nors vienas iš keturių skaičių yra nežinomas — jį ir randame kryžiuku.
Rasti dalį. Kiek bus 15% nuo 240? Sudarome \(x : 240 = 15 : 100\), vadinasi \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) ir \(x = 36\).
Rasti visumą. Skaičius 21 sudaro 35% nuo kažkokio skaičiaus. Sudarome \(21 : x = 35 : 100\), vadinasi \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) ir \(x = 60\).
Rasti procentą. Kiek procentų sudaro 18 nuo 45? Sudarome \(18 : 45 = p : 100\), vadinasi \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) ir \(p = 40\), t. y. 40%.
Vienas būdas — trys skirtingi užduočių tipai, nieko papildomai mokytis nereikia. Atskirai verta tik paklausti „kiek procentų dydis išaugo ar sumažėjo“: ten pirmiausia randamas pokytis, o tada jis dalijamas iš pradinės vertės — tai jau procentinio pokyčio formulė, o ne paprasta proporcija.
Pavyzdžiai, kaip spręsti proporcijas žingsnis po žingsnio
1 pavyzdys. Nežinomas vidurinis narys
Užduotis. Raskite nežinomą proporcijos narį \(15 : x = 45 : 24\).
1 žingsnis. Nustatome, kur koks narys. Kraštiniai — 15 ir 24, viduriniai — \(x\) ir 45.
2 žingsnis. Taikome pagrindinę taisyklę: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), t. y. \(360 = 45x\).
3 žingsnis. Dalijame: \(x = 360 : 45 = 8\).
Patikrinimas. \(15 : 8 = 1{,}875\) ir \(45 : 24 = 1{,}875\) — santykiai lygūs.
Atsakymas: \(x = 8\).
2 pavyzdys. Tiesioginis proporcingumas: kaina ir kiekis
Užduotis. Šeši sąsiuviniai kainuoja 210 ₽. Kiek kainuos 10 tokių pačių sąsiuvinių?
1 žingsnis. Sąsiuvinių daugiau — kaina didesnė, vadinasi, priklausomybė tiesioginė.
2 žingsnis. Užrašome sąlygą taip, kad vienodos vertės būtų šalia, ir sudarome proporciją „kaip yra“:
3 žingsnis. Kryžiuku: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), vadinasi \(x = 2100 : 6 = 350\).
Patikrinimas. Vienas sąsiuvinis kainuoja \(210 : 6 = 35\) ₽, o dešimt — \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Sutampa.
Atsakymas: 350 ₽.
3 pavyzdys. Atvirkštinis proporcingumas: darbininkai ir dienos
Užduotis. Aštuoni darbininkai atlieka užsakymą per 15 dienų. Per kiek dienų atliks tą patį užsakymą 12 darbininkų, jei jie dirba tokiu pat greičiu?
1 žingsnis. Darbininkų tapo daugiau — reikės mažiau dienų. Priklausomybė atvirkštinė.
2 žingsnis. Sudarome proporciją, apversdami antrąjį santykį:
Čia \(x\) — dienų skaičius 12 darbininkams, o 15 — dienų skaičius 8 darbininkams: jie pasikeitė vietomis, nes priklausomybė atvirkštinė.
3 žingsnis. Kryžiuku: \(8 \cdot 15 = 12x\), t. y. \(120 = 12x\) ir \(x = 10\).
Patikrinimas. Pastovi sandauga: \(8 \cdot 15 = 120\) ir \(12 \cdot 10 = 120\). Sutampa, ir atsakymas protingas — dienų tapo mažiau.
Atsakymas: 10 dienų.
4 pavyzdys. Žemėlapio mastelis
Užduotis. Žemėlapio mastelis \(1 : 200\,000\). Atstumas tarp gyvenviečių žemėlapyje yra 7 cm. Koks atstumas tarp jų vietovėje?
1 žingsnis. Mastelis \(1 : 200\,000\) reiškia: 1 cm žemėlapyje atitinka 200 000 cm vietovėje. Tai paruoštas santykis.
2 žingsnis. Sudarome proporciją:
3 žingsnis. Kryžiuku: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), t. y. \(x = 1\,400\,000\) cm.
4 žingsnis. Verčiame į patogius vienetus: viename kilometre yra 100 000 cm, todėl \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Atsakymas: 14 km.
5 pavyzdys. Procentai per proporciją
Užduotis. Klasėje yra 25 mokiniai, į žygį išėjo 60% jų. Kiek žmonių išėjo į žygį?
1 žingsnis. Visuma — tai visi 25 mokiniai, jiems atitinka 100%. Ieškoma dalis — \(x\) žmonių, jiems atitinka 60%.
2 žingsnis. Sudarome proporciją „dalis : visuma = procentas : 100“:
3 žingsnis. Kryžiuku: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), vadinasi \(x = 15\).
Patikrinimas. 15 žmonių iš 25 — tai \(15 : 25 = 0{,}6\), t. y. lygiai 60%.
Atsakymas: 15 žmonių.
Dažnos klaidos sprendžiant proporcijas
-
Skaičiai dauginami „išilgai“, o ne kryžiuku: proporcijoje 5 : 2 = 20 : 8 skaičiuojama 5 · 2 ir 20 · 8.
Pagrindinė taisyklė sieja kraštinius narius su viduriniais, t. y. skaičius įstrižai: 5 · 8 = 40 ir 2 · 20 = 40. Sandaugos sutapo — proporcija teisinga. O 5 · 2 ir 20 · 8 nelygios ir nieko nepasako.
-
Užduotyje apie atvirkštinę priklausomybę sudaroma „tiesioginė“ proporcija. Šeši siurbliai pripildo baseiną per 10 valandų; įrašas 6 : 15 = 10 : x duoda 25 valandas 15 siurbliams.
Siurblių tapo daugiau — laiko turėtų būti mažiau, o gavosi daugiau: vadinasi, proporcija sudaryta ne ta kryptimi. Antrąjį santykį reikia apversti: 6 : 15 = x : 10, tada 15x = 60 ir x = 4 valandos. Visada tikrinkite atsakymą pagal sveiką protą.
-
Po „kryžiuko“ dauginimo dalijama atvirkščiai: iš lygybės 8x = 96 gaunama x = 8 : 96.
Norint rasti x, sandauga dalijama iš koeficiento, kuris stovi šalia x: x = 96 : 8 = 12. Naudingas įprotis — įstatyti rastą skaičių atgal: 8 · 12 = 96, viskas teisingai.
-
Nesuderinamos vienetų matavimo sistemos. Užduotyje su masteliu 1 : 50 000 prie 3 cm žemėlapyje rašomas atsakymas „1,5“ be vienetų arba jis vadinamas metrais.
Pirmiausia skaičiuojame tais vienetais, kuriais duotas mastelis: 3 · 50 000 = 150 000 cm. Ir tik tada verčiame: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Vienetai atsakyme tokie pat svarbūs, kaip ir pats skaičius.
-
Maišoma santykis ir proporcija: prašant sudaryti proporciją rašomas vienas santykis „12 : 4“.
Santykis — tai dviejų skaičių dalmuo: 12 : 4 = 3. Proporcija — tai dviejų santykių lygybė, joje būtinai keturi skaičiai ir lygybės ženklas: 12 : 4 = 30 : 10 (tikriname: 12 · 10 = 120 ir 4 · 30 = 120).
Klausimai ir atsakymai
Kuo santykis skiriasi nuo proporcijos?
Santykis — tai dviejų skaičių dalmuo, pavyzdžiui, 12 : 4. Proporcija — tai dviejų santykių lygybė, joje keturi skaičiai: 12 : 4 = 30 : 10. Santykis atsako į klausimą „kiek kartų“, o proporcija teigia, kad du tokie palyginimai duoda vienodą rezultatą.
Kas yra kraštiniai ir viduriniai proporcijos nariai?
Įraše a : b = c : d kraštiniai nariai — tie, kurie stovi kraštuose, t. y. a ir d. Viduriniai — tie, kurie stovi viduryje, t. y. b ir c. Jei proporcija užrašyta trupmenomis, kraštiniai nariai — tai pirmosios trupmenos skaitiklis ir antrosios trupmenos vardiklis, o viduriniai — pirmosios vardiklis ir antrosios skaitiklis.
Kaip patikrinti, ar proporcija teisinga?
Sudauginti kryžiuku ir palyginti sandaugas. Pavyzdžiui, proporcijai 9 : 12 = 15 : 20 skaičiuojame 9 · 20 = 180 ir 12 · 15 = 180 — skaičiai sutapo, vadinasi, proporcija teisinga. Jei sandaugos skirtingos, proporcija neteisinga.
Ar galima keisti proporcijos narius vietomis?
Taip, jei tai daroma pagal taisykles. Teisingoje proporcijoje galima sukeisti kraštinius narius, galima sukeisti vidurinius, o galima apversti abi dalis iš karto — proporcija liks teisinga. Iš 4 : 6 = 10 : 15 gauname 4 : 10 = 6 : 15 arba 6 : 4 = 15 : 10 — sandauga įstrižai visur lygi 60. O štai perstatyti tik vieną skaičių negalima.
Ką reiškia „spręsti proporciją kryžiumi“?
Tai pokalbinis pagrindinės proporcijos taisyklės pavadinimas. Skaičiai dauginami įstrižai, kryžiuku: kraštinis su kraštiniu ir vidurinis su viduriniu. Gaunama lygtis su vienu nežinomuoju, kuri sprendžiama vienu dalijimu. Jokio atskiro „kryžiaus metodo“ be pagrindinės taisyklės neegzistuoja.
Kaip suprasti, ar užduotyje priklausomybė tiesioginė, ar atvirkštinė?
Mintyse padidinkite pirmąjį dydį 2 kartus ir pažiūrėkite į antrąjį. Jei jis taip pat padidėjo dvigubai — priklausomybė tiesioginė, proporcija sudaroma „kaip yra“. Jei sumažėjo dvigubai — priklausomybė atvirkštinė, antrąjį santykį reikia apversti. Dar vienas požymis: tiesioginės priklausomybės dydžių santykis yra pastovus, atvirkštinės — jų sandauga.
Kaip spręsti užduotis apie procentus per proporciją?
Sudarome proporciją „dalis : visuma = procentas : 100“ ir randame nežinomąjį kryžiuku. Pavyzdžiui, 12% nuo 350: gauname x : 350 = 12 : 100, vadinasi 100x = 4200 ir x = 42. Tuo pačiu būdu randama ir visuma pagal žinomą dalį, ir pats procentas.
