Aritmetinė progresija — tai seka, kurioje kiekvienas sekantis narys yra didesnis už ankstesnį vienetu, vadinamu \(d\) (progresijos skirtumu). Bet kuris jos narys randamas pagal formulę \(a_n = a_1 + (n-1)d\), o pirmųjų \(n\) narių suma — pagal formulę \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Šiame puslapyje nagrinėjami apibrėžimas ir skirtumas, abi sumos formulės, charakteristinė savybė, skaičiaus įtraukimo į progresiją tikrinimas, skirtumas nuo geometrinės progresijos, tipiniai OGE uždaviniai ir interaktyvus treniruoklis savitikrai.
Kas yra aritmetinė progresija
Aritmetinė progresija — tai skaitinė seka, kurioje kiekvienas sekantis narys gaunamas iš ankstesnio pridedant tą patį skaičių. Šis skaičius vadinamas progresijos skirtumu ir žymimas raide \(d\).
Apibrėžimas viena formule: seka \(a_1, a_2, a_3, \dots\) vadinama aritmetine progresija, jei bet kuriam numeriui \(n\) galioja lygybė
Paimkime seką 3, 7, 11, 15, 19, … Pirmasis narys čia \(a_1 = 3\), o skirtumas \(d = 4\): kiekvienas sekantis skaičius didesnis už ankstesnį lygiai 4. Todėl kitas narys yra 23, o prieš trejetą (jei tęsti atgal) būtų buvęs minus vienetas.
Visa progresija apibrėžiama tik dviem skaičiais — pirmuoju nariu \(a_1\) ir skirtumu \(d\). Žinant šią porą, galima nurodyti bet kurį narį, apskaičiuoti bet kokio skaičiaus pirmųjų narių sumą ir patikrinti, ar sekoje yra duotas skaičius. Progresija žymima ženklu \((a_n)\), o jos nariai — \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) ir taip toliau, kur apatinis indeksas visada reiškia numerį, o ne reikšmę.
Aritmetinės progresijos skirtumas: kaip rasti d
Skirtumas — tai visada sekantis narys minus ankstesnis:
Atėmimo tvarka svarbi: jei atimti atvirkščiai, skirtumo ženklas bus priešingas. Sekai 20, 17, 14, 11, 8 skirtumas yra \(17 - 20 = -3\), o ne \(+3\).
\(d\) ženklas visiškai apibrėžia progresijos elgesį:
- \(d > 0\) — progresija didėja, nariai didėja;
- \(d < 0\) — progresija mažėja, nariai mažėja;
- \(d = 0\) — visi nariai vienodi, pvz., 6, 6, 6, 6, … Tai taip pat aritmetinė progresija, tik pastovi.
Jei žinomi du nariai su skirtingais numeriais, skirtumas randamas pagal formulę
Pavyzdys. Tarkime, \(a_4 = 30\) ir \(a_{10} = 6\). Tada \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), o pirmasis narys yra \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Patikrinsime progresijos pradžią: 42, 38, 34, 30 — ketvirtasis narys tikrai 30.
Skirtumas nebūtinai turi būti sveikasis skaičius: sekos 1; 1,5; 2; 2,5 skirtumas yra 0,5, ir tai yra pilnavertė aritmetinė progresija.
Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė
Pagrindinė temos formulė leidžia rasti bet kurį narį, neišrašant visų ankstesnių:
Iš kur atsiranda \(n - 1\)? Norint pereiti nuo pirmojo nario prie \(n\)-ojo, skirtumas pridedamas ne \(n\) kartų, o vienu kartu mažiau: iki antrojo nario — vienas žingsnis, iki trečiojo — du, iki dvidešimtojo — devyniolika.
Pavyzdys. Progresijai 3, 7, 11, 15, 19, … turime \(a_1 = 3\) ir \(d = 4\), todėl
Toks sutrumpintas užrašymas yra labai patogus: iš karto matyti, kad \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), o \(a_{100} = 399\). Taip pat tai padeda nustatyti skirtumą: bet kurios aritmetinės progresijos \(n\)-ojo nario formulė yra tiesinė, \(a_n = dn + c\) pavidalo, o koeficientas prieš \(n\) ir yra skirtumas.
Kartais pirmasis narys nežinomas, bet duotas kitas. Tada veikia ta pati idėja bendruoju atveju: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Aritmetinės progresijos charakteristinė savybė
Bet kuris progresijos narys, išskyrus pirmąjį, yra lygus savo kaimynų aritmetiniam vidurkiui:
Būtent todėl progresija ir vadinama aritmetine. Ši lygybė veikia ir atvirkščiai: jei sekoje kiekvienas vidurinis narys lygus kaimynų pusės sumai, tai seka yra aritmetinė progresija. Toks teiginys vadinamas aritmetinės progresijos požymiu, ir uždaviniuose jis naudojamas įrodyti, kad trys skaičiai sudaro progresiją.
Pavyzdys. Skaičiai 7, \(x\), 23 — trys gretimi progresijos nariai. Tada \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Patikrinimas: 7, 15, 23 — skirtumai 8 ir 8, viskas sutampa.
Patogi tos pačios savybės užrašymo forma: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), t. y. dvigubas vidurinis narys lygus kraštinių sumai. Tokia forma savybę lengviau taikyti, kai nariai duoti raidžių išraiškomis.
Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma
Suma \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) skaičiuojama pagal vieną iš dviejų formulių:
Pirmosios formulės idėja — ta pati, kurią, pasak legendos, atrado mokinys Gaussas, sumuodamas skaičius nuo 1 iki 100. Jei sudėti pirmąjį narį su paskutiniu, antrąjį su priešpaskutiniu ir taip toliau, visos poros duos tą pačią sumą. Iš čia \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Antroji formulė gaunama iš pirmosios, įstačius \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — ji reikalinga, kai paskutinis narys nėra duotas ir jo skaičiuoti atskirai nenorima.
Pavyzdys. Apskaičiuokime pirmųjų dvidešimties progresijos 3, 7, 11, 15, 19, … narių sumą.
Pagal pirmąją formulę: \(a_{20} = 79\), todėl \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Pagal antrąją: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Atsakymai sutapo — tai ir yra geriausias skaičiavimų patikrinimas.
Kaip sužinoti, ar skaičius priklauso aritmetinei progresijai
Klausimas „ar skaičius yra progresijos narys“ sprendžiamas lygtimi. Skaičius priklauso progresijai tada ir tik tada, kai jo numeris \(n\) gaunamas natūralusis: 1, 2, 3 ir taip toliau. Nelyginis arba neigiamas \(n\) reiškia, kad tokio nario nėra.
Pavyzdys 1. Ar skaičius 99 priklauso progresijai 3, 7, 11, 15, 19, …? \(n\)-ojo nario formulė čia \(a_n = 4n - 1\), todėl sprendžiame \(4n - 1 = 99\), iš kur \(4n = 100\) ir \(n = 25\). Numeris natūralusis — vadinasi, 99 yra progresijoje, tai jos dvidešimt penktasis narys.
Pavyzdys 2. O skaičius 2026? Iš \(4n - 1 = 2026\) gauname \(4n = 2027\) ir \(n = 506{,}75\). Numeris trupmeninis, todėl 2026 nėra šios progresijos narys.
Naudingas patarimas greitam apytiksliam skaičiavimui: progresijos, kurios formulė \(a_n = 4n - 1\), visi nariai dalijami iš 4 duoda liekaną 3. Skaičius 2026 dalijamas iš 4 duoda liekaną 2, todėl „nepataiko“ į progresiją.
Tipiniai aritmetinės progresijos OGE uždaviniai
OGE matematikoje progresijos sutinkamos kasmet, ir beveik visi uždaviniai susiveda į keturis siužetus.
Rasti narį pagal numerį. Duota \(a_1\) ir \(d\) (arba keli pirmieji nariai) — įstatome į \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Rasti numerį pagal reikšmę. Duotas skaičius — prilyginame jam \(n\)-ojo nario formulę ir sprendžiame lygtį \(n\)-o atžvilgiu.
Rasti sumą. Skaičiuojame \(S_n\) pagal bet kurią iš dviejų formulių; jei trūksta \(a_n\) — pirmiausia randame jį.
Rasti narių skaičių. Iš \(n\)-ojo nario formulės gaunama patogi išraiška: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Atskirai verta paminėti tekstinį uždavinį, kuriame progresija paslėpta siužete. Pavyzdžiui: pirmą dieną darbininkas pagamino 12 detalių, o kiekvieną kitą dieną — 3 detalėmis daugiau nei ankstesnę; kiek detalių jis pagamins per 15 dienų? Čia \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Skaičiuojame paskutinį narį: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Tada \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) detalės.
Pagrindinis patarimas tokiems uždaviniams: pirmiausia atskira eilute užsirašykite, kas duota (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) ir ką reikia rasti. Pusė klaidų egzamine įvyksta ne dėl formulių, o dėl to, kad numeris sumaišytas su nario reikšme.
Aritmetinė ir geometrinė progresija: kuo skiriasi
Abi progresijos — taisyklės, pagal kurias iš vieno nario gaunamas kitas. Skiriasi veiksmas: aritmetinėje prie nario pridedama tas pats skaičius \(d\), geometrinėje — dauginama iš to paties skaičiaus \(q\), kuris vadinamas progresijos vardikliu.
Iš to ir skirtingas elgesys. Aritmetinė progresija auga tolygiai, „laipteliais“: 3, 7, 11, 15 — kiekvienas žingsnis prideda 4. Geometrinė auga laviniškai: 3, 6, 12, 24 — kiekvienas žingsnis padvigubina skaičių, ir jau po dešimties žingsnių narys bus didesnis nei pusantro tūkstančio.
Patikrinti sekos tipą paprasta: apskaičiuokite gretimų narių skirtumus ir jų santykius. Vienodi skirtumai — aritmetinė progresija, vienodi santykiai — geometrinė. Jei nesutapo nei vienas, nei kitas, prieš jus tiesiog seka: pvz., 1, 4, 9, 16 — tai natūraliųjų skaičių kvadratai, ir progresija ji nėra (skirtumai 3, 5, 7 skirtingi, santykiai taip pat).
Vidurinėje mokykloje abi temos einamos iš eilės 9 klasėje, todėl formules lengva sumaišyti. Turėkite omenyje atramą: aritmetinėje skirtumas \(d\) atimamas, geometrinėje vardiklis \(q\) dalijamas. Viskas kita — pasekmės.
Aritmetinės progresijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Rasti pirmąjį narį ir skirtumą pagal du narius
Duota. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Rasti \(a_1\), \(d\) ir \(a_{20}\).
1 žingsnis. Nuo trečiojo nario iki septintojo yra lygiai \(7 - 3 = 4\) žingsniai, kiekviename pridedamas \(d\). Vadinasi, \(a_7 = a_3 + 4d\), t. y. \(30 = 14 + 4d\), iš kur \(4d = 16\) ir \(d = 4\).
2 žingsnis. Grįžtame atgal prie pirmojo nario: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
3 žingsnis. Užrašome \(n\)-ojo nario formulę: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
4 žingsnis. Skaičiuojame reikiamą narį: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Patikrinimas. Išrašome progresijos pradžią: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Trečiasis narys 14, septintasis 30 — sutapo.
Atsakymas: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
2 pavyzdys. Pirmųjų 30 narių suma (abi formulės)
Duota. Progresija \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Rasti \(S_{30}\).
1 žingsnis. Nustatome parametrus: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
2 žingsnis. Randame trisdešimtąjį narį: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
3 žingsnis. Skaičiuojame pagal pirmąją formulę: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
4 žingsnis. Patikrinimas pagal antrąją formulę. Pirmiausia skaitiklis: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Toliau kaip trečiame žingsnyje: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Abu keliai davė 1155 — vadinasi, aritmetika teisinga.
Atsakymas: \(S_{30} = 1155\).
3 pavyzdys. Visų dviženklių skaičių, besidalijančių iš 7, suma
Uždavinys. Rasti visų dviženklių skaičių, besidalijančių iš 7, sumą.
1 žingsnis. Tokie skaičiai patys sudaro aritmetinę progresiją su skirtumu 7. Mažiausias dviženklis skaičius, dalijamas iš septynių — tai 14, didžiausias — 98 (kitas, 105, jau triženklis). Gauname \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
2 žingsnis. Skaičiuojame narių skaičių: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
3 žingsnis. Skaičiuojame sumą: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
4 žingsnis. Patikrinimas antrąja formule. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Atsakymas: 728.
4 pavyzdys. Patikrinti, ar skaičius priklauso progresijai
Uždavinys. Ar skaičius 145 yra progresijos \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\) narys? O skaičius 142?
1 žingsnis. Progresijos parametrai: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), todėl \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
2 žingsnis. Tikriname 145: lygtis \(5n + 2 = 145\) duoda \(5n = 143\) ir \(n = 28{,}6\). Numeris trūkmeninis, todėl 145 progresijos narys nebūna.
3 žingsnis. Tikriname 142: \(5n + 2 = 142\), iš kur \(5n = 140\) ir \(n = 28\). Numeris natūralusis — skaičius priklauso.
4 žingsnis. Patikrinimas įstatymu. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Teisingai.
Atsakymas: 145 nepriklauso progresijai; 142 priklauso ir yra jos 28-asis narys.
5 pavyzdys. Charakteristinė savybė su raidžių nariais
Uždavinys. Su kokia \(x\) reikšme skaičiai \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) yra trys gretimi aritmetinės progresijos nariai?
1 žingsnis. Pagal charakteristinę savybę dvigubas vidurinis narys lygus kraštinių sumai:
2 žingsnis. Atskleidžiame skliaustus: \(4x + 2 = 5x - 4\).
3 žingsnis. Sprendžiame: \(2 + 4 = 5x - 4x\), t. y. \(x = 6\).
4 žingsnis. Patikrinimas. Įstatome \(x = 6\): pirmasis narys \(6 - 3 = 3\), antrasis \(2\cdot 6 + 1 = 13\), trečiasis \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Skirtumai: \(13 - 3 = 10\) ir \(23 - 13 = 10\) — vienodi.
Atsakymas: \(x = 6\), progresija 3, 13, 23 su skirtumu 10.
6 pavyzdys. Kiek neigiamų narių progresijoje
Uždavinys. Kiek neigiamų narių turi progresija \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
1 žingsnis. Parametrai: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). \(n\)-ojo nario formulė: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
2 žingsnis. Užrašome sąlygą „narys neigiamas“: \(3n - 24 < 0\), iš kur \(3n < 24\) ir \(n < 8\).
3 žingsnis. Numeriai natūralieji, todėl tinka \(n = 1, 2, \dots, 7\) — viso septyni nariai.
4 žingsnis. Patikrinimas ribos. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — neigiamas. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — nulis nėra neigiamas skaičius, todėl aštuntojo nario jau neskaičiuojame. \(a_9 = 3\) — teigiamas.
Atsakymas: septyni neigiami nariai.
Dažnos klaidos aritmetinės progresijos uždaviniuose
-
Formulėje $n$-ajam nariui rašo $a_n = a_1 + nd$ vietoj $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Nuo pirmojo nario iki \(n\)-ojo padaroma vienu žingsniu mažiau nei numeris. Progresijai \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) dešimtasis narys lygus \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), o ne 45. Greitas formulės patikrinimas: įstatykite \(n = 1\) — turi gautis lygiai \(a_1\).
-
Skirtumas skaičiuojamas atvirkščiai: $d = a_1 - a_2$, ir ženklas gaunamas priešingas.
Skirtumas — tai sekantis narys minus ankstesnis: \(d = a_2 - a_1\). Progresijai \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) teisingai \(d = 34 - 40 = -6\). Minus ženklas čia ne klaida, o mažėjančios progresijos požymis.
-
Formulėje sumai pamirštama padalyti iš 2 arba padauginti iš $n$: rašoma $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Sumuojamos poros „pirmasis su paskutiniu“, jų yra lygiai \(\dfrac{n}{2}\), todėl dalyti iš 2 būtina. Progresijai \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) turime \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) ir \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), o ne 670.
-
Tikrinant skaičiaus priklausymą gaunama $n = 0$ arba neigiamas $n$ ir vis tiek atsakoma „priklauso“.
Narys — tai natūralusis skaičius, skaičiavimas prasideda nuo vieneto. Pavyzdžiui, progresijai \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) lygtis \(10 + 4(n-1) = 6\) duoda \(n = 0\), o tai reiškia, kad 6 nepriklauso progresijai: šis skaičius būtų buvęs prieš pirmąjį narį.
-
Maišoma, kas rasta: nario reikšmė įstatoma ten, kur reikia jo numerio, ir atvirkščiai.
\(a_n\) — tai reikšmė, \(n\) — eilės numeris. Jei uždavinyje klausiama „kuriuo skaičiumi narys lygus 142“, atsakymas bus 28, o ne 142. Naudingas įprotis: prieš sprendimą užsirašykite eilutę „duota: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), rasti: \(n\)“.
-
Manoma, kad progresija privalo didėti ir būti sudaryta iš sveikųjų skaičių.
Skirtumas gali būti neigiamas (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), trūkmeninis (1; 1,5; 2; 2,5) ir net lygus nuliui (8, 8, 8, …). Visi trys atvejai — teisėtos aritmetinės progresijos, ir visos formulės joms veikia be pakeitimų.
Klausimai ir atsakymai
Kas yra aritmetinė progresija paprastais žodžiais?
Tai skaičių seka, kurioje kiekvienas sekantis skaičius gaunamas iš ankstesnio pridėjus tą patį skaičių \(d\) — progresijos skirtumą. Pavyzdžiui, 3, 7, 11, 15, 19, … — progresija su pirmuoju nariu 3 ir skirtumu 4.
Kokia yra aritmetinės progresijos $n$-ojo nario formulė?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), kur \(a_1\) — pirmasis narys, \(d\) — skirtumas, \(n\) — numeris. Jei žinomas ne pirmasis, o kitas narys, veikia bendra forma \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą?
Atimti iš bet kurio nario ankstesnį: \(d = a_n - a_{n-1}\). Jei duoti du nariai su skirtingais numeriais, naudokite \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Pavyzdžiui, kai \(a_5 = 23\) ir \(a_9 = 43\), gauname \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), o pirmasis narys lygus \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Kaip rasti aritmetinės progresijos pirmąjį narį?
Iš \(n\)-ojo nario formulės: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Pavyzdžiui, jei \(a_{12} = 60\) ir \(d = 4\), tai \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Patikrinimas: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Kaip rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumą?
Pagal formulę \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), jei žinomas paskutinis narys, arba pagal formulę \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), jei žinomi tik pirmasis narys ir skirtumas. Abi duoda vienodą rezultatą, todėl antroji patogi naudoti kaip pirmosios patikrinimas.
Kaip rasti aritmetinės progresijos narių skaičių?
Iš \(n\)-ojo nario formulės: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Pavyzdžiui, progresijoje \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) skirtumas lygus 5, todėl \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) narių.
Kuo aritmetinė progresija skiriasi nuo geometrinės?
Aritmetinėje prie kiekvieno nario pridedama skirtumas \(d\), o geometrinėje kiekvienas narys dauginamas iš vardiklio \(q\). \(n\)-ojo nario formulės: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) prieš \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Norint nustatyti tipą, apskaičiuokite gretimų narių skirtumus ir jų santykius: vienodi skirtumai — aritmetinė, vienodi santykiai — geometrinė.
Ar gali skirtumas būti neigiamas arba lygus nuliui?
Taip. Kai \(d < 0\) progresija mažėja (pvz., 20, 17, 14, 11), kai \(d = 0\) visi nariai vienodi (6, 6, 6, …) — tai pastovi progresija. Skirtumas gali būti ir trūkmeninis: 1; 1,5; 2; 2,5 — taip pat aritmetinė progresija.
Kuriame klasėje mokomasi aritmetinės progresijos?
9 klasėje per algebros pamokas, kartu su geometrine progresija ir skaitinėmis sekomis. Uždaviniai apie progresijas įeina į OGE: paprastai reikia rasti narį pagal numerį, numerį pagal reikšmę, narių skaičių arba pirmųjų \(n\) narių sumą.
