Nelygybė – tai du reiškiniai, sujungti ženklu \(<\), \(>\), \(\le\) arba \(\ge\). Spręsti nelygybę – reiškia rasti visas kintamojo reikšmes, su kuriomis ji virsta teisinga skaitine nelygybe. Atsakymas bus ne vienas skaičius, o visa aibė: intervalas skaičių ašyje arba intervalų sąjunga. Šiame puslapyje surinkta bendra visų tipų nelygybių bazė: kaip skaityti ženklus, kokios pertvarkos leidžiamos, kodėl ženklas apverčiamas dalijant iš neigiamo skaičiaus ir kaip teisingai užrašyti atsakymą. O toliau – visų tipų nelygybių apžvalga su nuorodomis į išsamius sprendimus ir treniruoklį savikontrolei.
Ką reiškia spręsti nelygybę
Nelygybės sprendinys – tai bet kokia kintamojo reikšmė, kuri paverčia nelygybę teisinga skaitine. O išspręsti nelygybę – reiškia rasti visas tokias reikšmes ir užrašyti jas aibe.
Palygink su lygtimi. Lygties \(2x = 8\) atsakymas – vienas skaičius \(x = 4\). Nelygybės \(2x < 8\) atsakymas – be galo daug skaičių: tiks ir \(3\), ir \(0\), ir \(-100\), ir \(3{,}999\). Juos visus surašyti neįmanoma, todėl atsakymas pateikiamas intervalu: \(x < 4\), t. y. \((-\infty;\ 4)\).
Patikrinti, ar konkretus skaičius yra sprendinys, lengva: įstatyk jį vietoj kintamojo ir pažiūrėk, ar gavosi teisinga skaitinė nelygybė.
- \(x = 1\) nelygybėje \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) – teisinga, vadinasi \(1\) yra sprendinys.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) – neteisinga, vadinasi \(5\) nėra sprendinys.
Dvi nelygybės vadinamos ekvivalenčiomis, jei jos turi sutampančias sprendinių aibes. Visas nelygybės sprendimas – tai pereinamosios grandinėlė prie paprastesnės ekvivalenčios nelygybės, kol kairėje nelieka vieno \(x\).
Nelygybių ženklai: griežti ir negriežti
Zenkų yra keturi, ir nuo to, kuris iš jų panaudotas, priklauso atsakymas ir jo pateikimas. Griežti ženklai \(<\) ir \(>\) paties ribinio taško į atsakymą neįtraukia, negriežti \(\le\) ir \(\ge\) – įtraukia.
Šis skirtumas išlieka visame sprendime: griežtas ženklas duoda „išmestą“ (tuščią) tašką ašyje ir apvalią skliaustą atsakyme, negriežtas – užtušuotą tašką ir kvadratinį skliaustą.
| Ženklas | Kaip skaitomas ir ką duoda atsakyme |
|---|---|
| < | mažiaugriežtastaškas iškritęs, skliaustas apvalus |
| > | daugiaugriežtastaškas iškritęs, skliaustas apvalus |
| ≤ | mažiau arba lygunegriežtastaškas užtušuotas, skliaustas kvadratinis |
| ≥ | daugiau arba lygunegriežtastaškas užtušuotas, skliaustas kvadratinis |
Ekvivalenčios pertvarkos: ką galima daryti su nelygybe
Su nelygybe leidžiama daryti beveik tą patį, ką ir su lygtimi, bet su vienu svarbiu patikslinimu. Sudėti ir atimti galima laisvai: jei prie abiejų dalių pridedama arba iš abiejų dalių atimama tas pats, sprendinių aibė nesikeičia. Būtent taip nariai „perkeliami“ per ženklą, pakeičiant jų pliusą į minusą.
O štai daugyba ir dalyba priklauso nuo dauginamojo ženklo. Dauginant ar dalijant abi dalis iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas keičiamas priešingu: \(<\) tampa \(>\), \(\le\) tampa \(\ge\) ir atvirkščiai. Priežastis matoma skaičiuose: iš teisingos \(3 < 5\) po daugybos iš \(-1\) gaunama \(-3\) ir \(-5\), o \(-3 > -5\) – skaičių tvarka pasikeitė.
Tas pats nutinka, jei sukeičiamos vietomis kairioji ir dešinioji dalys: iš \(7 < y\) gaunama \(y > 7\).
| Ką darome su abiem dalimis | Ką su ženklu |
|---|---|
| Pridedame arba atimame tą patį skaičių ar reiškinį | ženklas išlieka |
| Dauginame arba dalijame iš teigiamo skaičiaus | ženklas išlieka |
| Dauginame arba dalijame iš neigiamo skaičiaus | ženklas keičiasi |
| Sukeičiame kairiąją ir dešiniąją dalis vietomis | ženklas keičiasi |
| Dauginame arba dalijame iš reiškinio su kintamuoju (x − 2) | taip negalima |
Kaip užrašyti atsakymą: skaičių ašis ir intervalai
Kai kintamasis lieka vienas, sprendimas beveik baigtas – belieka jį pateikti. Patogiausia iš pradžių atsakymą pažymėti skaičių ašyje, o jau iš ašies skaičiuoti intervalą.
Rašymo taisyklių tėra trys, ir jos nesikeičia priklausomai nuo nelygybės tipo:
- apvalus skliaustas – taškas neįtraukiamas į atsakymą (griežtas ženklas, „iškritęs“ taškas);
- kvadratinis skliaustas – taškas įtraukiamas (negriežtas ženklas, užtušuotas taškas);
- prie begalybės skliaustas visada apvalus: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) – tokių užrašymų kaip \([-\infty;\ 4]\) nėra, begalybė nėra skaičius ir negali būti pasiekta.
Jei sprendiniu pasirodė du ašies gabalai, juos jungia sąjungos ženklas \(\cup\): pavyzdžiui, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Nelygybių tipai ir jų sprendimo būdai
Nelygybės skirstomos pagal tai, kaip jose dalyvauja kintamasis – ar jis yra pirmojo laipsnio, po kvadratu, vardiklyje ar po moduliu. Būtent tai ir lemia sprendimo būdą, todėl pirmas bet kurio sprendimo žingsnis – nustatyti nelygybės tipą. Bendroji tolesnė logika yra ta pati: nelygybę sutvarkyti į „reikšmė lyginama su nuliu“ pavidalą, o paskui pritaikyti tinkamą šiam tipui metodą. Tipų ir metodų santrauka – žemiau pateiktoje lentelėje.
Atskirai verta įsiminti, kaip atskleidžiamas modulis – lentelė to neapima. Kai \(a > 0\), nelygybė \(|f(x)| < a\) yra ekvivalenti dvigubai nelygybei \(-a < f(x) < a\) (gaunama sistema), o \(|f(x)| > a\) – visumos \(f(x) < -a\) arba \(f(x) > a\) (gaunama intervalų sąjunga). Jei gi \(a < 0\), galvoti visai nereikia: modulis yra nenegatyvus, todėl \(|f(x)| < a\) neturi sprendinių, o \(|f(x)| > a\) teisinga visoms leistinoms \(x\) reikšmėms.
Iracionaliosios (su šaknimis) ir rodiklinės nelygybės nagrinėjamos vyresnėse klasėse: prie įprastų pertvarkymų ten pridedamas darbas su leistinųjų reikšmių sritimi.
Išsamūs atskirų tipų sprendimai: tiesinės nelygybės, racionaliosios nelygybės ir intervalų metodas, o kvadratinio trinario šaknis patogu parinkti pagal Vjeto teoremą.
| Tipas | Kaip atrodo ir kuo sprendžiama |
|---|---|
| Tiesinė | ax + b > 0perkeliame narius ir dalijame iš koeficiento prie x |
| Kvadratinė | ax2 + bx + c > 0ieškome trinario šaknų ir žiūrime į parabolę |
| Trumeninė-racionalioji | P(x) / Q(x) ≥ 0intervalų metodas, vardiklio nulius išmetame |
| Su moduliu | | f(x) | < aatskleidžiame modulį pagal apibrėžimą |
| Sistema | dvi nelygybės riestiniame skliaustesprendžiame kiekvieną, imame sankirtą |
Nelygybių sistemos ir visumos
Dažnai viena nelygybė suskyla į dvi, ir tada svarbu nepainioti, ką daryti su gautomis aibėmis.
Sistema (riestinis skliaustas) reiškia „ir tai, ir kita tuo pačiu metu“. Kiekvieną nelygybę sprendžiame atskirai, abu atsakymus pažymime toje pačioje ašyje ir imame sankirtą – bendrą dalį. Jei bendros dalies nėra, sistema neturi sprendinių.
Visuma (kampinis skliaustas) reiškia „arba viena, arba kita“. Čia imama sąjunga – viskas, kas pažymėta bent vienu iš atsakymų. Visuma atsiranda, pavyzdžiui, atskleidžiant modulį su ženklu „daugiau“.
Atskirai verta paminėti dvigubą nelygybę pavidalu \(-3 < 2x + 1 \le 7\): tai trumpas sistemos užrašymas. Pertvarkymai atliekami iš karto visoms trims dalims – atimama, dalijama, o dalijant iš neigiamo skaičiaus apverčiami abu ženklai kartu.
Nelygybių sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Patikrinti, ar skaičius yra sprendinys
Užduotis. Ar \(x = -1\) yra nelygybės \(3x + 5 \ge 1\) sprendinys?
1 žingsnis. Įstatome \(-1\) vietoj \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
2 žingsnis. Lyginame su dešiniąja puse: \(2 \ge 1\) – teisinga skaitinė nelygybė.
Atsakymas. Taip, \(-1\) yra vienas iš sprendinių. Bet išspręsti nelygybę – reiškia rasti visus tokius skaičius, o ne vieną: čia atsakymas \(x \ge -\frac{4}{3}\).
2 pavyzdys. Tiesinė nelygybė su ženklo keitimu
Užduotis. Spręsti \(7 - 3x < 1\).
1 žingsnis. Perkeliam \(7\) į dešinę (t. y. atimame \(7\) iš abiejų dalių – nelygybės ženklas nesikeičia): \(-3x < 1 - 7\), vadinasi \(-3x < -6\).
2 žingsnis. Dalijame abi dalis iš \(-3\). Daliklis neigiamas, todėl ženklas apverčiamas: \(x > 2\).
3 žingsnis. Pažymime ašyje: „iškritęs“ taškas ties \(2\), viskas dešinėje užtušuojama.
Atsakymas. \(x > 2\), t. y. \(x \in (2;\ +\infty)\).
3 pavyzdys. Kvadratinė nelygybė
Užduotis. Spręsti \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
1 žingsnis. Randame trinario šaknis: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), iš čia \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
2 žingsnis. Koeficientas prie \(x^2\) teigiamas, vadinasi parabolių šakos nukreiptos aukštyn: tarp šaknų trinaris yra neigiamas, o už šaknų – teigiamas.
3 žingsnis. Mums reikia ženklo \(\le 0\), t. y. neigiamų reikšmių ir pačių šaknų (ženklas negriežtas) – imame atkarpą tarp šaknų kartu su galais.
Atsakymas. \(x \in [-1;\ 5]\).
4 pavyzdys. Nelygybė su moduliu
Užduotis. Spręsti \(|x + 1| > 4\).
1 žingsnis. Modulis didesnis už teigiamą skaičių – vadinasi, reiškinys po moduliu arba didesnis už \(4\), arba mažesnis už \(-4\). Gauname visumą: \(x + 1 > 4\) arba \(x + 1 < -4\).
2 žingsnis. Sprendžiame kiekvieną: iš pirmosios \(x > 3\), iš antrosios \(x < -5\).
3 žingsnis. Tai visuma, todėl imame intervalų sąjungą, o ne sankirtą.
Atsakymas. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
5 pavyzdys. Nelygybių sistema
Užduotis. Spręsti sistemą \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
1 žingsnis. Pirmoji nelygybė: \(2x > -4\), dalijame iš teigiamo \(2\) – ženklas išlieka, \(x > -2\).
2 žingsnis. Antroji nelygybė: \(x \le 4\).
3 žingsnis. Pažymime abu atsakymus toje pačioje ašyje ir imame sankirtą – ruožą, užtušuotą du kartus. Kairioji riba neįtraukiama (griežtas ženklas), dešinioji įtraukiama (negriežtas).
Atsakymas. \(x \in (-2;\ 4]\).
Dažnos klaidos sprendžiant nelygybes
-
Padalino abi dalis iš neigiamo skaičiaus ir paliko ankstesnį ženklą.
Dauginant ar dalijant abi dalis iš neigiamo skaičiaus, ženklas būtinai keičiamas priešingu. Iš \(-5x \ge 10\) gaunama \(x \le -2\), o ne \(x \ge -2\). Pasitikrinti galima įstatymu: \(x = -3\) duoda \(15 \ge 10\) – teisinga, vadinasi, teisingas atsakymas iš tiesų yra „mažiau arba lygu“.
-
Rašo kvadratinį skliaustą prie begalybės: $[-\infty;\ 7]$.
Begalybė – ne skaičius, jos negalima „pasiekti“, todėl skliaustas prie \(\infty\) visada apvalus: \((-\infty;\ 7]\). Kvadratinis skliaustas dedamas tik prie baigtinės ribos, kuri įtraukiama į atsakymą.
-
Maišo skliausto tipą ir taško tipą: griežtą ženklą pateikia kvadratiniu skliaustu.
Griežtas ženklas (\(<\), \(>\)) – riba neįtraukiama: „iškritęs“ taškas ir apvalus skliaustas. Negriežtas (\(\le\), \(\ge\)) – riba įtraukiama: užtušuotas taškas ir kvadratinis skliaustas. Patikrinimas paprastas: įstatyk pačią ribinę reikšmę į pradinę nelygybę ir pažiūrėk, ar teisingai gavosi.
-
Dauginą abi dalis iš reiškinio su kintamuoju, kad „atsikratytų“ trūkmės.
Tokio reiškinio ženklas nežinomas, todėl neaišku, ar apversti nelygybės ženklą, ar ne – netolygiavertė pertvarka. Vietoj to viską perkelia į vieną dalį, sutvarko į vieną trūkmę ir pritaiko intervalų metodą.
-
Į atsakymą įrašo vieną skaičių: „$x = 3$“ vietoj aibės.
Nelygybės sprendinys – tai reikšmių aibė. Užrašyk ją intervalu: \(x > 3\), t. y. \((3;\ +\infty)\). Vienas skaičius gali būti tik atsakymo elementas, bet ne pats atsakymas.
-
Sistemoje ima sąjungą, o visumoje – sankirtą.
Sistemoje (riestinis skliaustas, „ir“) – sankirta, bendra tarp intervalų dalis. Visumoje (kampinis skliaustas, „arba“) – sąjunga per ženklą \(\cup\). Ir dar: užrašymas pavidalu „\(-2 < x > 5\)“ neturi prasmės – toks atsakymas pateikiamas kaip dviejų intervalų sąjunga.
Klausimai ir atsakymai
Ką reiškia spręsti nelygybę?
Spręsti nelygybę – reiškia rasti visas kintamojo reikšmes, su kuriomis ji virsta teisinga skaitine nelygybe, ir užrašyti jas aibe. Atsakymas bus intervalas arba intervalų sąjunga, o ne atskiras skaičius.
Kokios būna nelygybių rūšys?
Pagal išraiškos su kintamuoju pavidalą skiriamos tiesinės (\(ax + b > 0\)), kvadratinės (\(ax^2 + bx + c > 0\)), trumeninės-racionaliosios (kintamasis vardiklyje), su moduliu, iracionaliosios ir rodiklinės. Atskirai išskiriamos nelygybių sistemos ir visumos. Pagal nelygybės ženklą skiriamos griežtosios (\(<\), \(>\)) ir negriežtosios (\(\le\), \(\ge\)).
Kada nelygybės ženklas keičiasi priešingu?
Dviem atvejais: kai abi dalys dauginamos ar dalijamos iš neigiamo skaičiaus ir kai kairioji bei dešinioji dalys sukeičiamos vietomis. Pridedant, atimant ir dalijant iš teigiamo skaičiaus ženklas lieka nepakitęs.
Kada skliaustas apvalus, o kada kvadratinis?
Apvalus – jei ribinis taškas neįtraukiamas į atsakymą (griežtas ženklas, „iškritęs“ taškas ašyje). Kvadratinis – jei įtraukiamas (negriežtas ženklas, užtušuotas taškas). Prie \(+\infty\) ir \(-\infty\) skliaustas visada apvalus.
Kuo nelygybės sprendinys skiriasi nuo lygties sprendinio?
Pertvarkymai beveik tie patys, bet lygties atsakymas paprastai susideda iš atskirų skaičių, o nelygybės – iš ištisų intervalų. Be to, nelygybė turi ženklo keitimo taisyklę dauginant ir dalijant iš neigiamo skaičiaus, kurios lygtyse nėra.
Kokia nelygybė laikoma trumenine ir kur ji nagrinėjama?
Trumenine (trumenine-racionalia) vadinama nelygybė, kurioje kintamasis yra vardiklyje, – pavyzdžiui \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); dėl vardiklio ji turi leistinųjų reikšmių sritį ir paprastu dalijimu jos neišspręsi. Žingsnis po žingsnio algoritmas su pavyzdžiais – atskirame materiale racionaliosios nelygybės ir intervalų metodas.
Kurioje klasėje mokomasi spręsti nelygybes?
Tiesinės nelygybės ir skaitiniai intervalai nagrinėjami 8 klasėje (pas Merzliaką – 9), kvadratinės ir trumeninės-racionaliosios nelygybės su intervalų metodu – 8–9 klasėse, o iracionaliosios ir rodiklinės – vyresnėse klasėse.
