Vidurkis, mediana, moda ir amplitudė – tai keturi būdai skaičių rinkiniui apibūdinti. Trys iš jų – vidurkis, mediana ir moda – yra centrinės tendencijos rodikliai: jie nurodo, kokia yra „tipiška“ reikšmė. Ketvirtasis, amplitudė, parodo, kaip duomenys yra išsidėstę. Šiame puslapyje rasite aiškų kiekvieno rodiklio apibrėžimą, tikslų skaičiavimo būdą (įskaitant sudėtingesnę lyginių skaičių medianą), kada kurį naudoti, išspręstus pavyzdžius, dažniausiai daromas klaidas ir interaktyvų testą žinioms pasitikrinti.
Kas yra vidurkis, mediana, moda ir amplitudė?
Kiekvienas rodiklis atsako į skirtingą klausimą apie jūsų duomenis:
- Vidurkis – tai vidutinė reikšmė. Jis subalansuoja visas reikšmes į vieną skaičių.
- Mediana – tai vidurinė reikšmė, kai skaičiai surikiuoti didėjimo tvarka.
- Moda – tai reikšmė, kuri pasikartoja dažniausiai.
- Amplitudė – tai sklaida, nuo mažiausios iki didžiausios reikšmės.
Žemiau esančioje lentelėje parodyta, kas tai yra ir kaip tai apskaičiuoti. Atkreipkite dėmesį, kad tik moda susijusi su dažnumu, o tik amplitudė apibūdina sklaidą, o ne centrinę reikšmę.
| Rodiklis | Kas tai | Kaip skaičiuoti |
|---|---|---|
| Vidurkis | Vidutinė reikšmė | Sudėkite visus skaičius ir padalinkite iš jų kiekio |
| Mediana | Vidurinė reikšmė eilėje | Surikiuokite skaičius; išrinkite vidurinį. Jei yra du viduriniai skaičiai, raskite jų vidurkį |
| Moda | Dažniausia reikšmė | Raskite reikšmę, kuri pasikartoja dažniausiai. Gali būti viena, kelios arba nė vienos |
| Amplitudė | Duomenų sklaida | Iš didžiausios reikšmės atimkite mažiausią |
Kaip rasti vidurkį, medianą ir modą
Apskaičiuokime visus keturis rodiklius vienam duomenų rinkiniui, kad pamatytumėte, kuo jie skiriasi. Paimkime skaičius 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (septynios reikšmės).
Vidurkis. Sudėkime juos: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Yra 7 reikšmės, todėl vidurkis yra 42 ÷ 7 = 6.
Mediana. Pirmiausia surikiuokime: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. Kai yra 7 reikšmės, vidurinė yra 4-oji, todėl mediana yra 6. (Visada surikiuokite prieš rinkdami vidurinį – tai dažniausia klaida.)
Moda. Reikšmė 8 pasikartoja tris kartus, dažniau nei bet kuri kita, todėl moda yra 8.
Amplitudė. Didžiausia reikšmė yra 8, o mažiausia – 3, todėl amplitudė yra 8 − 3 = 5.
Vienas duomenų rinkinys, keturi skirtingi atsakymai – štai kodėl turime keturis rodiklius.
Kada naudoti kiekvieną rodiklį
Šie rodikliai nekonkuruoja – kiekvienas yra geriausias skirtingo pobūdžio klausimams.
- Vidurkis yra kasdienis „vidurkis“ ir puikiai tinka, kai reikšmės yra gana tolygios, pavyzdžiui, vidutiniai testų balai ar dienos temperatūra. Jo silpnybė: viena labai didelė arba labai maža reikšmė (išskirtis) gali jį gerokai nutolinti nuo centro.
- Mediana yra vidurinė reikšmė, todėl išskirtys jai beveik neturi įtakos. Štai kodėl būsto kainos ir pajamos dažniausiai pateikiamos kaip medianos – vienas dvaras neiškreips tipiškos vertės.
- Moda yra vienintelis rodiklis, tinkantis dalykams, kurių negalima vidurkinti, pavyzdžiui, dažniausiai perkamas batų dydis ar mėgstamiausia spalva klasėje. Duomenų rinkinys gali turėti vieną modą, kelias modas arba visai neturėti modos.
- Amplitudė visai neapibūdina tipiškos reikšmės – ji parodo, kaip duomenys yra išsidėstę. Maža amplitudė reiškia, kad reikšmės yra arti viena kitos; didelė amplitudė reiškia, kad jos yra toli viena nuo kitos.
Išspręsti pavyzdžiai: žingsnis po žingsnio
1 pavyzdys. Visi keturi rodikliai viename duomenų rinkinyje
Duomenų rinkinys: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
1 žingsnis – Surikiuokite skaičius. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
2 žingsnis – Vidurkis. Sudėkite juos: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Yra 7 reikšmės, todėl vidurkis yra 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
3 žingsnis – Mediana. Kai yra 7 reikšmės, vidurinė yra 4-oji surikiuotame sąraše: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Mediana yra 6.
4 žingsnis – Moda. Reikšmė 3 pasikartoja tris kartus, dažniau nei bet kuri kita, todėl moda yra 3.
5 žingsnis – Amplitudė. Didžiausia minus mažiausia: 10 − 3 = 7.
Atsakymas: vidurkis ≈ 5,57, mediana = 6, moda = 3, amplitudė = 7.
2 pavyzdys. Mediana su lyginiu reikšmių skaičiumi
Duomenų rinkinys: 12, 5, 8, 20 (keturios reikšmės – lyginis skaičius).
1 žingsnis – Surikiuokite. 5, 8, 12, 20.
2 žingsnis – Raskite dvi vidurines reikšmes. Kai skaičius lyginis, nėra vieno vidurinio skaičiaus. Čia dvi vidurinės reikšmės yra 8 ir 12.
3 žingsnis – Raskite jų vidurkį. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Mediana yra 10 – nors 10 nėra vienas iš pradinių skaičių. Tai normalu lyginiam medianos skaičiavimui.
3 pavyzdys. Duomenų rinkinys be modos
Duomenų rinkinys: 2, 5, 9, 11, 14.
Kiekviena reikšmė pasikartoja lygiai vieną kartą, todėl nėra pasikartojančių reikšmių. Šis duomenų rinkinys neturi modos – tai teisingas atsakymas, o ne klaida.
Palyginimui, duomenų rinkinys 4, 4, 7, 7, 9 turi dvi modas (4 ir 7), nes abi pasikartoja dažniausiai. Rinkinys su dviem modomis vadinamas bimodaliu.
Dažniausiai daromos klaidos
-
Medianos radimas nesurikiavus skaičių.
Mediana yra vidurinė skaičių reikšmė surikiavus juos tvarka. Visada surikiuokite nuo mažiausio iki didžiausio prieš rinkdami vidurinį. Rinkinyje 7, 2, 9 mediana yra 7 (surikiuota: 2, 7, 9), o ne 9.
-
Kai yra lyginis reikšmių skaičius, pasirenkamas tik vienas iš dviejų vidurinių skaičių.
Kai skaičius lyginis, nėra vieno vidurinio skaičiaus. Paimkite dvi vidurines reikšmes ir raskite jų vidurkį. Rinkiniui 5, 8, 12, 20 mediana yra (8 + 12) ÷ 2 = 10, o ne 8 ar 12.
-
Prielaida, kad kiekvienas duomenų rinkinys turi turėti lygiai vieną modą.
Duomenų rinkinys gali neturėti modos (jei niekas nesikartoja) arba turėti kelias modas (jei dvi ar daugiau reikšmių pasidalina dažniausiai pasikartojančios vietą). Abu yra teisingi atsakymai – neverskite ieškoti vienos modos.
-
Vidurkio ir medianos painiojimas, laikant juos tuo pačiu.
Vidurkis yra vidutinė reikšmė (sudėti ir padalinti); mediana yra vidurinė reikšmė surikiavus. Jie dažnai skiriasi, ypač kai yra išskirtis. Rinkiniui 2, 3, 4, 100 vidurkis yra 27,25, o mediana tik 3,5.
-
Amplitudės maišymas su moda arba pamiršimas atimti.
Amplitudė yra sklaidos rodiklis: didžiausia reikšmė minus mažiausia reikšmė. Tai vienas skaičius, apibūdinantis sklaidą, o ne dažniausia reikšmė. Rinkiniui 4, 9, 15 amplitudė yra 15 − 4 = 11.
Dažniausiai užduodami klausimai
Kas yra vidurkis, mediana, moda ir amplitudė?
Vidurkis yra vidutinė reikšmė (sudėkite visas reikšmes ir padalinkite iš jų kiekio). Mediana yra vidurinė reikšmė, kai skaičiai surikiuoti. Moda yra reikšmė, kuri pasikartoja dažniausiai. Amplitudė yra didžiausia reikšmė minus mažiausia reikšmė. Vidurkis, mediana ir moda apibūdina tipišką reikšmę; amplitudė apibūdina, kaip duomenys yra išsidėstę.
Kaip rasti duomenų rinkinio vidurkį?
Sudėkite visus skaičius, kad gautumėte sumą, tada padalinkite sumą iš skaičių kiekio. Pavyzdžiui, 4, 6, 8, 2 vidurkis yra (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Kaip rasti medianą, kai yra lyginis reikšmių skaičius?
Surikiuokite skaičius, tada paimkite dvi vidurines reikšmes ir raskite jų vidurkį (sudėkite jas ir padalinkite iš 2). Rinkiniui 5, 8, 12, 20 dvi vidurinės reikšmės yra 8 ir 12, todėl mediana yra (8 + 12) ÷ 2 = 10. Rezultatas gali būti skaičius, kurio nebuvo pradiniame rinkinyje.
Kuo skiriasi vidurkis nuo medianos?
Vidurkis yra visų reikšmių vidurkis, todėl kiekvienas skaičius jam turi įtakos. Mediana yra tik vidurinė reikšmė surikiavus, todėl labai dideli ar labai maži skaičiai (išskirtys) jai beveik neturi įtakos. Kai duomenų rinkinyje yra išskirčių, mediana dažnai pateikia tipiškesnę reikšmę nei vidurkis.
Ar duomenų rinkinys gali turėti daugiau nei vieną modą arba neturėti modos?
Taip. Jei jokia reikšmė nesikartoja, duomenų rinkinys neturi modos. Jei dvi ar daugiau reikšmių pasikartoja vienodai dažnai, rinkinys turi kelias modas – dvi modas vadinamos bimodaliu. Neturėti modos arba turėti kelias modas yra visiškai teisinga.
Kas yra centrinės tendencijos rodikliai?
Centrinės tendencijos rodikliai yra skaičiai, apibūdinantys duomenų rinkinio centrą arba tipišką reikšmę. Trys pagrindiniai yra vidurkis, mediana ir moda. Amplitudė nėra centrinės tendencijos rodiklis – ji matuoja sklaidą.
