Kvadratinė formulė naudojama bet kuriai kvadratinei lygčiai, kurios pavidalas \(ax^2 + bx + c = 0\) (kai \(a \neq 0\)), spręsti. Jos šaknys randamos pagal formulę \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Šiame puslapyje sužinosite, ką reiškia kiekviena formulės dalis, kaip ją taikyti žingsnis po žingsnio, kaip diskriminantas parodo, kiek sprendinių tikėtis, ir rasite išsamių pavyzdžių – taip pat interaktyvų treniruoklį, kad galėtumėte iškart pasipraktikuoti.
Kas yra kvadratinė formulė
Kvadratinė lygtis yra bet kuri lygtis, kurią galima užrašyti standartine forma \(ax^2 + bx + c = 0\), kur \(a\), \(b\) ir \(c\) yra skaičiai, o \(a \neq 0\). Skaičiai \(a\), \(b\) ir \(c\) vadinami koeficientais: \(a\) yra \(x^2\) koeficientas, \(b\) yra \(x\) koeficientas, o \(c\) yra laisvasis narys.
Kvadratinė formulė leidžia rasti sprendinius (šaknis) tiesiogiai iš šių trijų koeficientų – nereikia skaidyti dauginamaisiais. Ji tinka kiekvienai kvadratinei lygčiai, net ir toms, kurių negalima lengvai išskaidyti.
Iš kur ji atsiranda (išvedimas): formulė gaunama papildant iki pilno kvadrato bendrąją lygtį. Padalinkite \(ax^2 + bx + c = 0\) iš \(a\), perkelkite laisvąjį narį į kitą pusę, pridėkite \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) prie abiejų pusių, kad gautumėte pilną kvadratą, ir ištraukite kvadratinę šaknį. Rezultatas yra žemiau pateikta bendroji formulė, galiojanti bet kokiems \(a\), \(b\) ir \(c\).
Diskriminantas: kiek yra šaknų
Išraiška po kvadratine šaknimi, \(b^2 - 4ac\), vadinama diskriminantu (dažnai žymima \(D\)). Jums nereikia atlikti visos formulės skaičiavimų, kad sužinotumėte, kiek sprendinių turi lygtis – diskriminanto ženklas tai pasako iškart.
Kadangi neįmanoma ištraukti realiosios kvadratinės šaknies iš neigiamo skaičiaus, \(D\) ženklas suskirsto visas kvadratines lygtis į tris atvejus: dvi šaknys, viena kartotinė šaknis arba nėra realiųjų šaknų. Grafiškai tai reiškia, kur parabolė \(y = ax^2 + bx + c\) kerta x ašį – du kartus, vieną kartą (viršūnėje) arba visai nekerta.
| Diskriminantas D = b² − 4ac | Realiosios šaknys | Ką gauname |
|---|---|---|
| D > 0 | Dvi skirtingos realiosios šaknys | Parabolė kerta x ašį du kartus. Naudokite abu ženklus: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Viena realioji šaknis (kartotinė) | Parabolė liečia x ašį savo viršūnėje. ± dingsta: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Nėra realiųjų šaknų | Parabolė niekada neliečia x ašies. Nėra realiosios kvadratinės šaknies iš neigiamo skaičiaus. |
Kaip naudotis kvadratine formule: žingsniai
Kvadratinė formulė visada veikia vienodai. Atlikite šiuos penkis žingsnius iš eilės ir ji jūsų niekada nenuvils – sunkiausia dalis yra tiesiog teisingai nuskaityti koeficientus (su jų ženklais).
Kvadratinės formulės pavyzdžiai (žingsnis po žingsnio)
1 pavyzdys. Dvi realiosios šaknys (D > 0)
Išspręskite \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
1–2 žingsniai. Lygtis jau yra standartinės formos, tad nuskaitome koeficientus: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
3 žingsnis. Diskriminantas: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
4 žingsnis. \(D = 25 > 0\), todėl yra dvi skirtingos realiosios šaknys.
5 žingsnis. Įstatome: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Naudojant pliuso ženklą: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Naudojant minuso ženklą: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Šaknys: \(x = 3\) ir \(x = \tfrac{1}{2}\).
2 pavyzdys. Viena kartotinė šaknis (D = 0)
Išspręskite \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
1–2 žingsniai. Standartinė forma: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
3 žingsnis. Diskriminantas: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
4 žingsnis. \(D = 0\), todėl yra lygiai viena realioji šaknis (kartotinė). \(\pm\) narys dingsta, nes \(\sqrt{0} = 0\).
5 žingsnis. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Šaknis: \(x = 3\) (ši kvadratinė lygtis yra pilnas kvadratas \((x-3)^2 = 0\)).
3 pavyzdys. Nėra realiųjų šaknų (D < 0)
Išspręskite \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
1–2 žingsniai. Standartinė forma: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
3 žingsnis. Diskriminantas: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
4 žingsnis. \(D = -16 < 0\). Kadangi negalima ištraukti realiosios kvadratinės šaknies iš neigiamo skaičiaus, ši lygtis neturi realiųjų šaknų – jos parabolė niekada nekerta x ašies.
5 žingsnis. Tolesnių veiksmų realiesiems sprendiniams nereikia. (Jei esate susipažinę su kompleksiniais skaičiais, šaknys yra \(x = -1 \pm 2i\), tačiau ieškant realiųjų sprendinių čia sustojame.)
Dažnos klaidos naudojant kvadratinę formulę
-
Neteisingas b ženklo nustatymas, ypač kai b yra neigiamas.
Formulė prasideda nuo −b. Jei b = −7, tada −b = +7 – du minuso ženklai susiprastina. Pilnai užrašykite įstatymą, pvz., −(−7), prieš supaprastindami.
-
Pamirštamas ± ir nurodoma tik viena šaknis.
Kai D > 0, ± sukuria du atsakymus: vieną su + ir vieną su −. Visada apskaičiuokite abu (−b + √D)/(2a) ir (−b − √D)/(2a), nebent D = 0.
-
Padalinama tik dalis skaitiklio iš 2a.
Visas skaitiklis, −b ± √D, yra dalinamas iš 2a – ne tik √D dalis. Laikykite tai kaip vieną trupmeną: (−b ± √D) / (2a).
-
Neteisingas diskriminanto skaičiavimas, kai a arba c yra neigiami.
D = b² − 4ac formulėje, atimant 4ac, kai a·c yra neigiamas, iš tikrųjų pridedame. Lygčiai 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, tad D = 4 + 12 = 16, o ne 4 − 12.
-
Formulės taikymas prieš užrašant lygtį standartine forma.
Pirmiausia perkelkite visus narius į vieną pusę, kad lygtis atrodytų kaip ax² + bx + c = 0. Pavyzdžiui, x² = 5x − 6 turi tapti x² − 5x + 6 = 0, prieš nuskaitant a, b, c.
Dažniausiai užduodami klausimai
Kas yra kvadratinė formulė?
Kvadratinė formulė yra x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Ji tiesiogiai iš koeficientų a, b ir c pateikia bet kurios kvadratinės lygties ax² + bx + c = 0 (kai a ≠ 0) sprendinius.
Kaip žingsnis po žingsnio naudotis kvadratine formule?
Užrašykite lygtį standartine forma ax² + bx + c = 0, nustatykite a, b ir c su jų ženklais, apskaičiuokite diskriminantą D = b² − 4ac, patikrinkite jo ženklą, kad sužinotumėte šaknų skaičių, tada įstatykite į x = (−b ± √D) / (2a) ir supaprastinkite abu pliuso ir minuso variantus.
Kas yra diskriminantas ir kodėl jis svarbus?
Diskriminantas yra D = b² − 4ac, išraiška po kvadratine šaknimi. Jo ženklas parodo realiųjų šaknų skaičių nebaigus skaičiavimų: D > 0 duoda dvi realiąsias šaknis, D = 0 duoda vieną kartotinę šaknį, o D < 0 duoda nulį realiųjų šaknų.
Kada turėčiau naudoti kvadratinę formulę vietoj skaidymo dauginamaisiais?
Skaidymas dauginamaisiais yra greitas, kai kvadratinė lygtis skaidoma mažais sveikaisiais skaičiais. Kvadratinė formulė veikia kiekvienai kvadratinei lygčiai, įskaitant tas, kurios nesiskaido lengvai arba turi iracionalias ar ne sveikas šaknis, todėl tai yra patikimas būdas, kai skaidymas nėra akivaizdus.
Iš kur atsiranda kvadratinė formulė?
Ji gaunama papildant iki pilno kvadrato bendrąją lygtį ax² + bx + c = 0: padalinama iš a, papildoma iki kvadrato pridedant (b/2a)², kairioji pusė perrašoma kaip pilnas kvadratas ir iš abiejų pusių ištraukiama kvadratinė šaknis. Rezultatas yra kvadratinė formulė.
Ar kvadratinė formulė gali neduoti atsakymo?
Jei diskriminantas yra neigiamas (D < 0), realiojo sprendinio nėra, nes negalima ištraukti realiosios kvadratinės šaknies iš neigiamo skaičiaus. Lygtis vis tiek turi dvi kompleksines šaknis, tačiau realiųjų šaknų nėra – grafiškai parabolė tiesiog niekada neliečia x ašies.
