Trumpinamojo daugybos formulės (TDF) – tai paruoštos algebrinės tapatybės, leidžiančios atskleisti skliaustus ir skaidyti reiškinius dauginamaisiais be ilgo dauginimo. Šiame puslapyje pateikiama visų septynių formulių lentelė: sumos ir skirtumo kvadratas, kvadratų skirtumas, sumos ir skirtumo kubas, kubų suma ir skirtumas. Kiekvieną formulę nagrinėjame su išvedimu ir pavyzdžiais, o pabaigoje rasite interaktyvų treniruoklį, kuriame galėsite iškart pasitreniruoti taikyti TDF.
Kas yra trumpinamojo daugybos formulės
Trumpinamojo daugybos formulės – tai tapatybės, kurios gaunamos vieną kartą kruopščiai sudauginus daugianarius ir įsiminus rezultatą. Toliau nebereikia kiekvieną kartą atskleisti skliaustų: pakanka atpažinti „šabloną“ ir įstatyti savo skaičius ar raides.
7 klasės algebrų kurse TDF veikia dviem kryptimis:
- iš kairės į dešinę — kad greitai atskleistumėte skliaustus ir pakeltumėte reiškinį kvadratu ar kubu;
- iš dešinės į kairę — kad išskaidytumėte daugianarį dauginamaisiais (tai reikalinga trupmenoms prastinti ir lygtims spręsti).
Iš viso įsimenamos septynios formulės. Žemiau pateikiama atmintinė-lentelė, o po jos – kiekvienos formulės atskira analizė.
Trumpinamojo daugybos formulių lentelė
Visas septynias trumpinamojo daugybos formules patogu turėti prieš akis vienoje lentelėje. Raidės \(a\) ir \(b\) čia – bet kokie reiškiniai: skaičius, kintamasis arba visas vienanaris, pavyzdžiui, \(2x\).
| Formulė | Įrašas |
|---|---|
| Sumos kvadratas | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Skirtumo kvadratas | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Kvadratų skirtumas | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Sumos kubas | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Skirtumo kubas | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Kubų suma | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Kubų skirtumas | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Sumos kvadratas ir skirtumo kvadratas
Sumos kvadratas gaunamas padauginus \((a+b)\) iš savęs:
Žodžiais: sumos kvadratas lygus pirmojo reiškinio kvadratui plius dviguba pirmojo ir antrojo sandauga plius antrojo kvadratas. Lygiai taip pat išvedamas skirtumo kvadratas – vidurinio nario ženklas tampa minusu:
Svarbiausia – nepamesti vidurinio nario \(2ab\): būtent dėl jo \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato skiriasi tik ženklas prieš \(2ab\), o kraštiniai nariai \(a^2\) ir \(b^2\) visada yra su pliuso ženklu.
Pavyzdys. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Sumos kvadratas turi vaizdinę geometrinę prasmę: tai didelio kvadrato, kurio kraštinė \((a+b)\), plotas.
Kvadratų skirtumas
Jei padauginsime tų pačių reiškinių sumą ir skirtumą, viduriniai nariai susiprastina:
Gaunama kvadratų skirtumo formulė: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Tai pati naudingiausia TDF skaidymui dauginamaisiais: vos pamatę dviejų kvadratų skirtumą – iškart skaidykite į sandaugą.
Pavyzdys (atskleisti skliaustus). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Pavyzdys (išskaidyti dauginamaisiais). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Svarbu: kvadratų suma \(a^2 + b^2\) pagal šią formulę dauginamaisiais nesiskaido – veikia tik skirtumas.
Sumos kubas, skirtumo kubas, kubų suma ir skirtumas
Sumos kubas ir skirtumo kubas jau turi keturis narius:
Skirtumo kubo ženklai kinta: \(+\,-\,+\,-\). Ir vėl dažni spąstai: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) – negalima tiesiog „išdalinti“ laipsnio, vidurinių narių \(3a^2b\) ir \(3ab^2\) pamesti negalima.
Pavyzdys. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Atskirai stovi kubų suma ir skirtumas – jie, priešingai, išskaido reiškinį dauginamaisiais:
Antrąjį dauginamąjį vadina nepilnuoju kvadrato sumos arba skirtumo kvadratu. Ženklas jo viduriniame naryje visada priešingas ženklui pirmajame skliauste: kubų sumos atveju – \(-ab\), kubų skirtumo atveju – \(+ab\).
Pavyzdys. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Trumpinamojo daugybos formulių taikymo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Atskleisti skliaustus: sumos kvadratas
Užduotis. Pakelti kvadratu \((2x+5)^2\).
1 žingsnis. Atpažįstame sumos kvadrato formulę: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), kur \(a = 2x\), \(b = 5\).
2 žingsnis. Skaičiuojame kiekvieną narį:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Atsakymas. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
2 pavyzdys. Sutraukti į kvadratų skirtumo formulę
Užduotis. Rasti sandaugą \((3x-4)(3x+4)\).
1 žingsnis. Prieš mus tų pačių reiškinių skirtumo ir sumos sandauga – tai kvadratų skirtumas \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), kur \(a = 3x\), \(b = 4\).
2 žingsnis. Keliame kvadratu kiekvieną reiškinį: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Atsakymas. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
3 pavyzdys. Išskaidyti dauginamaisiais
Užduotis. Išskaidyti dauginamaisiais \(x^2 - 36\) ir \(x^3 + 27\).
Kvadratų skirtumas. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Kubų suma. Pastebime, kad \(27 = 3^3\), vadinasi \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Taikome formulę \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\), kai \(a = x\), \(b = 3\):
Atkreipk dėmesį į \(-3x\) ženklą nepilnajame kvadrate – kubų sumos atveju vidurinis narys yra su minuso ženklu.
4 pavyzdys. Sumos kubas
Užduotis. Atskleisti skliaustus \((x+2)^3\).
1 žingsnis. Sumos kubo formulė: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), kur \(a = x\), \(b = 2\).
2 žingsnis. Skaičiuojame narius paeiliui:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Atsakymas. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Dažnos klaidos dirbant su TDF
-
Pamirštamas dvigubas sandaugos narys: rašo $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Sumos ir skirtumo kvadrate visada yra vidurinis narys \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Patikrinti lengva – atskleisk \((a+b)(a+b)\) stulpeliu, ir vidurinis narys atsiras pats.
-
Maišomi ženklai skirtumo kvadrate ir kvadratų skirtume.
Skirtumo kvadrate minusas yra tik prie vidurinio nario: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (kraštiniai – su pliusu). O kvadratų skirtume minusas – tarp pačių kvadratų: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Tai skirtingos formulės.
-
„Išdalinamas“ laipsnis kubui: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Taip daryti negalima. Sumos kubas turi keturis narius: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Formulė \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) – tai visai kas kita (kubų suma), ji skirta skaidymui dauginamaisiais.
-
Nepilnajame kvadrate prie kubų sumos/skirtumo pridedamas dvigubas sandaugos narys $2ab$.
Nepilnasis kvadratas – tai \(a^2 \pm ab + b^2\), be dvejeto prieš \(ab\). Ženklas priešingas pirmojo skliausto ženklui: kubų suma \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), kubų skirtumas \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Bandoma skaidyti kvadratų sumą $a^2 + b^2$ dauginamaisiais.
Dauginamaisiais skaidomas tik kvadratų skirtumas \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Kvadratų suma \(a^2 + b^2\) mokykliniame kurse dauginamaisiais nesiskaido.
Klausimai ir atsakymai
Kiek iš viso yra trumpinamojo daugybos formulių?
Septynios: sumos kvadratas, skirtumo kvadratas, kvadratų skirtumas, sumos kubas, skirtumo kubas, kubų suma ir kubų skirtumas. Visos jos surinktos lentelėje aukščiau.
Kam lygu sumos kvadratas?
Pirmojo reiškinio kvadratui plius dviguba pirmojo ir antrojo sandauga plius antrojo kvadratas: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Skirtumo kvadrato vidurinis narys yra su minuso ženklu: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Kaip išskaidyti kvadratų skirtumą dauginamaisiais?
Pagal formulę \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Pavyzdžiui, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Pakanka pamatyti, kad abu dėmenys – pilnieji kvadratai, o tarp jų yra minusas.
Kodėl $(a+b)^2$ nelygu $a^2 + b^2$?
Todėl, kad dauginant \((a+b)(a+b)\) atsiranda dar du vienodi dėmenys \(ab\), kurie sudaro vidurinį narį \(2ab\). Jo negalima pamesti: teisingai \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Kuo skiriasi sumos kubas nuo kubų sumos?
Sumos kubas \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) – tai skliaustų atskleidimas. Kubų suma \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) – priešingai, reiškinio skaidymas dauginamaisiais. Tai skirtingos formulės, nemaišyk jų.
Kurioje klasėje mokomasi trumpinamojo daugybos formulių?
Paprastai 7 klasėje per algebros pamokas: iš pradžių sumos ir skirtumo kvadratas, kvadratų skirtumas, vėliau kubų formulės. Jos aktyviai naudojamos toliau supaprastinant reiškinius, prastinant trupmenas ir sprendžiant lygtis.
