Racionalioji nelygybė – tai nelygybė, kurios abi pusės yra racionalieji reiškiniai, t. y. polinomai ir polinomų trupmenos. Po to, kai viskas perkeliama į vieną pusę, ji visada sutraukiama iki pavidalo
kur \(P(x)\) ir \(Q(x)\) – polinomai, o vietoje \(\vee\) stovi vienas iš ženklų \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Dešinėje pusėje privalomai turi būti nulis – tai sąlyga, be kurios intervalų metodas neveikia.
Racionaliosios nelygybės skirstomos į du tipus. Jei kintamasis sutinkamas tik skaitiklyje, nelygybė vadinama polinominė racionalioji: dalinti nėra ko, ir tinka bet kokios \(x\) reikšmės. Jei kintamasis yra vardiklyje, nelygybė vadinama polinominė-trigonometrinė (dar vadinama trupmenine nelygybe arba nelygybe su trupmena) – ir tada iškart atsiranda apribojimas \(Q(x) \neq 0\).
Kas yraacionalioji nelygybė
Racionalioji nelygybė – tai nelygybė, kurios abi pusės yra racionalieji reiškiniai, t. y. polinomai ir polinomų trupmenos. Po to, kai viskas perkeliama į vieną pusę, ji visada sutraukiama iki pavidalo
kur \(P(x)\) ir \(Q(x)\) – polinomai, o vietoje \(\vee\) stovi vienas iš ženklų \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Dešinėje pusėje privalomai turi būti nulis – tai sąlyga, be kurios intervalų metodas neveikia.
Racionaliosios nelygybės skirstomos į du tipus. Jei kintamasis sutinkamas tik skaitiklyje, nelygybė vadinama polinominė racionalioji: dalinti nėra ko, ir tinka bet kokios \(x\) reikšmės. Jei kintamasis yra vardiklyje, nelygybė vadinama polinominė-trigonometrinė (dar vadinama trupmenine nelygybe arba nelygybe su trupmena) – ir tada iškart atsiranda apribojimas \(Q(x) \neq 0\).
Kodėl negalima dauginti abiejų pusių iš vardiklio
Didžiausias pagundymas sprendžiant nelygybę su trupmena – „atsikratyti“ vardiklio, padauginus juo abi puses. Su lygtimis taip daryti galima, su nelygybėmis – ne. Priežastis paprasta: dauginant iš neigiamos reikšmės nelygybės ženklas pasikeičia, o \(Q(x)\) reiškinio ženklas iš anksto nežinomas – jis priklauso nuo \(x\).
Pažiūrėkime į nelygybę \(\frac{5}{x-3} < 1\). Padauginkime abi puses iš \(x - 3\), tarsi tai būtų teigiama reikšmė: gausime \(5 < x - 3\), arba \(x > 8\). Patikrinsime atsakymą, įstatę \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – nelygybė teisinga, vadinasi, nulis taip pat yra sprendinys, bet į atsakymą \(x > 8\) jis nepateko. Atsakymas prarastas.
Teisingas kelias – perkelti viską į kairę ir sutraukti į vieną trupmeną:
Paskutiniame žingsnyje abi puses padauginome iš \(-1\) ir apvertėme ženklą – tai teisėta, nes \(-1\) visada yra neigiama reikšmė. Toliau veikia intervalų metodas, ir atsakymas gaunamas \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – jame yra ir prarastas nulis.
Lengviausia įsiminti taip: dauginti abi puses iš reiškinio su kintamuoju negalima, perkelti dėmenis – galima visada. Perkelimas nepakeičia nelygybės ženklo.
Intervalų metodas: sprendimo algoritmas pagal žingsnius
Intervalų metodas remiasi viena savybe: tarp gretimų racionaliojo reiškinio nulių jo ženklas yra pastovus. Vadinasi, pakanka rasti visas taškus, kur skaitiklis ar vardiklis tampa nuliu, jais padalyti skaičių tiesę ir nustatyti ženklą kiekviename intervale – vienu bandomuoju tašku arba pagal šaknies kartotinumą.
Iš Kolmogorov taškai ir užtušuoti taškai: apibrėžimo sritis ir nelygybės ženklas
Viena klaida viename dauginamajame gali paversti teisingą sprendimą neteisingu atsakymu, todėl taisyklę apie taškus verta išmokti atskirai. Veikia lygiai du principai.
Pirmasis – apibrėžimo sritis. Vardiklio nulis visada iš Kolmogorov taškas, nepriklausomai nuo nelygybės ženklo. Šiuo tašku trupmena tiesiog neegzistuoja: dalinti iš nulio negalima, todėl skaičius negali būti sprendinys, net jei ženklas yra nestiprus.
Antrasis – griežtas ar nestiprus ženklas. Skaitiklio nuliai paverčia trupmeną nuliu. Esant nestipriam ženklui (\(\le\) arba \(\ge\)) lygybė nuliui mus tenkina, vadinasi, taškas užtušuojamas ir įeina į atsakymą laužtiniu skliaustu. Esant griežtam ženklui (\(<\) arba \(>\)), nulis netinka, ir taškas lieka iš Kolmogorov.
Pavyzdžiui, nelygybėje \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) taškas \(x = 6\) užtušuojamas (skaitiklio nulis, nestiprus ženklas), o taškas \(x = -1\) lieka iš Kolmogorov (vardiklio nulis). Atsakymas: \(x \in (-1; 6]\).
| Koks taškas | Kaip žymime |
|---|---|
| Vardiklio nulis, Q(x) = 0 | iš Kolmogorov visada, bet kokio ženklo – taško nėra apibrėžimo srityje |
| Skaitiklio nulis, ženklas griežtas < arba > | iš Kolmogorov trupmena lygi nuliui, o reikia griežtai kito ženklo |
| Skaitiklio nulis, ženklas nestiprus ≤ arba ≥ | užtušuotas lygybė nuliui tinka, taškas įeina į atsakymą |
Šaknies kartotinumas: kur ženklas keičiasi, o kur ne
Ženklai intervaluose nebūtinai tiesiog kaitaliojasi – tai dažniausia klaidinga nuomonė šia tema. Kaitaliojimasis veikia tik tada, kai visi dauginamieji yra pirmojo laipsnio. Taisyklė tiksliau formuluojama per šaknies kartotinumą – atitinkamo dauginamojo laipsnio rodiklį.
Pereinant per ne-lyginio kartotinumo šaknį (laipsnis 1, 3, 5) reiškinio ženklas pasikeičia. Pereinant per lyginio kartotinumo šaknį (laipsnis 2, 4) ženklas nepakinta: dauginamasis lyginėje eilėje yra neneigiamas ir nepagadina reiškinio ženklo. Kartotinumas skaičiuojamas vienodai ir skaitikliui, ir vardikliui.
Imkime \((x-9)^2(x+3) > 0\). Šaknys: \(x = 9\) kartotinumo 2 ir \(x = -3\) kartotinumo 1. Dešinėje nuo devynių reiškinys teigiamas. Pereiname per \(9\) – kartotinumas lyginis, ženklas išlieka, intervale \((-3; 9)\) taip pat pliusas. Pereiname per \(-3\) – kartotinumas ne-lyginis, ženklas pasikeičia į minusą. Griežtosios nelygybės atsakymas: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), taškas \(9\) yra iš Kolmogorov, nes ten reiškinys lygus nuliui. O nestipriosios \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) atsakymas jau kitoks: \(x \in [-3; +\infty)\) – devynetas užtušuojamas ir „suriša“ du intervalus į vieną.
| Šaknies kartotinumas | Ženklas pereinant |
|---|---|
| Ne-lyginis: (x − a), (x − a)3 | keičiasi |
| Lyginis: (x − a)2, (x − a)4 | nekinta |
Skaičių tiesė pavyzdyje: dėliojame ženklus
Subendrinsime viską sprendžiant nelygybę \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Skaitiklio nuliai: \(x = -7\). Vardiklio nuliai: \(x = 2\) ir \(x = 5\), jie taip pat nustato apibrėžimo sritį. Visi trys dauginamieji yra pirmojo laipsnio, todėl ženklai kaitaliosis. Bandomasis taškas \(x = 10\) dešiniausiame intervale duoda \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – pradedame nuo pliuso ir einame į kairę, keisdami ženklą ties kiekvienu tašku.
Racionaliųjų nelygybių sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Paprasta trupmeninė nelygybė
Sprendimas \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
1 žingsnis. Dešinėje jau nulis, trupmena jau viena – perkelti ir sutraukti nereikia.
2 žingsnis. Apibrėžimo sritis (ODZ). \(x + 5 \neq 0\), t. y. \(x \neq -5\).
3 žingsnis. Nuliai. Skaitiklis lygus nuliui kai \(x = 3\), vardiklis – kai \(x = -5\).
4 žingsnis. Taškai ašyje. \(x = 3\) užtušuojamas (skaitiklio nulis, nestiprus ženklas), \(x = -5\) lieka iš Kolmogorov (vardiklio nulis).
5 žingsnis. Ženklai. Bandomasis taškas \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – dešinėje pliusas. Abu dauginamieji pirmojo laipsnio, todėl ženklai kaitaliosis: intervale \((-5; 3)\) minusas, intervale \((-\infty; -5)\) pliusas. Patikrinsime: kai \(x = -6\) gauname \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – sutampa.
6 žingsnis. Atsakymas. Reikalingas ženklas „pliusas arba nulis“: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
2 pavyzdys. Dešinėje ne nulis – perkeliame
Sprendimas \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
1 žingsnis. Perkeliam vienetą į kairę. Dauginti iš \(x - 4\) negalima, šio reiškinio ženklas nežinomas:
2 žingsnis. Sutraukiame į vieną trupmeną.
3 žingsnis. Apibrėžimo sritis (ODZ). \(x \neq 4\).
4 žingsnis. Taškai. \(x = -5\) – skaitiklio nulis, nestiprus ženklas, užtušuojamas. \(x = 4\) – vardiklio nulis, iš Kolmogorov.
5 žingsnis. Ženklai. Kai \(x = 5\) trupmena lygi \(\frac{10}{1} > 0\). Vadinasi, intervale \((4; +\infty)\) pliusas, intervale \((-5; 4)\) minusas, intervale \((-\infty; -5)\) pliusas.
6 žingsnis. Atsakymas. \(x \in [-5; 4)\). Ribinių taškų patikra: kai \(x = -5\) trupmena lygi nuliui – tinka \(\le\); kai \(x = 4\) trupmenos nėra – netinka.
3 pavyzdys. Lyginio kartotinumo šaknis ir izoliuotas taškas
Sprendimas \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
1 žingsnis. Apibrėžimo sritis (ODZ). \(x \neq 9\).
2 žingsnis. Nuliai ir kartotinumai. \(x = 2\) – kartotinumas 2 (lyginis), \(x = -6\) – kartotinumas 1, \(x = 9\) – kartotinumas 1 vardiklyje.
3 žingsnis. Taškai. \(x = 2\) ir \(x = -6\) užtušuojami (skaitiklio nuliai esant nestipriam ženklui), \(x = 9\) lieka iš Kolmogorov.
4 žingsnis. Ženklai. Bandomasis taškas \(x = 10\): skaitiklis teigiamas, vardiklis lygus 1 – pliusas. Einame į kairę. Per \(9\) (ne-lyginis kartotinumas) ženklas pasikeičia: intervale \((2; 9)\) minusas. Per \(2\) (lyginis kartotinumas) ženklas nepasikeičia: intervale \((-6; 2)\) taip pat minusas. Per \(-6\) (ne-lyginis kartotinumas) ženklas pasikeičia: intervale \((-\infty; -6)\) pliusas.
5 žingsnis. Atsakymas. Imame intervalus su „pliuso“ ženklu plius visus taškus, kur reiškinys lygus nuliui. Taškas \(x = 2\) yra minusinio intervalo viduryje, bet pats reiškinys ten lygus nuliui, vadinasi, jis įeina į atsakymą atskirai:
Toks „vienišas“ taškas atsakyme – tai tikras lyginio kartotinumo šaknies požymis esant nestipriam ženklui.
4 pavyzdys. Trūpmenos sutrumpinimas: ODZ spąstai
Sprendimas \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
1 žingsnis. Išskirstome dauginamaisiais. Skaitiklis – pilnas kvadratas: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Vardikliui skaičiuojame diskriminantą: \(D = 81 + 40 = 121\), šaknys \(x_1 = \frac{1}{5}\) ir \(x_2 = -2\), todėl \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
2 žingsnis. Apibrėžimo sritis (ODZ) – prieš bet kokį sutrumpinimą. \(5x - 1 \neq 0\) ir \(x + 2 \neq 0\), t. y. \(x \neq \frac{1}{5}\) ir \(x \neq -2\).
3 žingsnis. Sutrumpiname. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), bet tik kai \(x \neq \frac{1}{5}\) – sutrumpinimas negrąžina iš Kolmogorov taško atgal.
4 žingsnis. Sprendžiame \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nuliai: \(\frac{1}{5}\) ir \(-2\). Kai \(x = 1\) trupmena lygi \(\frac{4}{3} > 0\). Vadinasi, intervale \((\frac{1}{5}; +\infty)\) pliusas, intervale \((-2; \frac{1}{5})\) minusas, intervale \((-\infty; -2)\) pliusas.
5 žingsnis. Grąžiname ODZ. Intervalas \((-2; \frac{1}{5}]\) tiktų pagal ženklą, bet taškas \(\frac{1}{5}\) yra iš Kolmogorov: pradinėje nelygybėje vardiklis \(5x^2+9x-2\) kai \(x = \frac{1}{5}\) tampa nuliu, trupmenos ten nėra.
Atsakymas: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – abu skliaustai apvalūs.
5 pavyzdys. Kvadratinis trinaris skaitiklyje
Sprendimas \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
1 žingsnis. Išskirstome skaitiklį dauginamaisiais. Pagal Vieta teoremą šaknų suma lygi 7, sandauga 10, vadinasi \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Nelygybė įgyja pavidalą \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
2 žingsnis. Apibrėžimo sritis (ODZ). \(x \neq -4\).
3 žingsnis. Taškai. Visi trys taškai yra iš Kolmogorov: \(-4\) – vardiklio nulis, \(2\) ir \(5\) – skaitiklio nuliai esant griežtam ženklui.
4 žingsnis. Ženklai. Bandomasis taškas \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Visi dauginamieji pirmojo laipsnio, todėl ženklai kaitaliosis: intervale \((5; +\infty)\) pliusas, intervale \((2; 5)\) minusas, intervale \((-4; 2)\) pliusas, intervale \((-\infty; -4)\) minusas.
5 žingsnis. Atsakymas. Reikalingas griežtas minusas: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontrolė įstatymu: kai \(x = -5\) gauname \(\frac{70}{-1} < 0\), kai \(x = 3\) gauname \(\frac{-2}{7} < 0\) – abu intervalai tinka.
Dažnos klaidos sprendžiant racionaliąsias nelygybes
-
Dauginama abiejų pusių iš vardiklio: iš $\frac{3}{x-8} > 1$ daroma $3 > x - 8$ ir rašoma $x < 11$.
Reiškinio \(x - 8\) ženklas nežinomas, o dauginant iš neigiamo nelygybė apverčiama. Patikrinimas: \(x = 0\) duoda \(\frac{3}{-8} < 1\) – nulis nėra sprendinys, nors pateko į atsakymą \(x < 11\). Teisingai: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), arba \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), iš kur \(x \in (8; 11)\).
-
Užtušuojamas vardiklio nulis, nes ženklas nestiprus: $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ rašoma atsakymas su laužtiniu skliaustu ties septyniais.
Vardiklio nulis visada lieka iš Kolmogorov, bet kokio ženklo: šiuo tašku trupmena tiesiog neegzistuoja. Teisingas atsakymas: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – ties vienetu skliaustas laužtinis, ties septyniais – apvalus.
-
Sutrumpinama trupmena ir pametama ODZ: iš $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ gaunama $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ ir į atsakymą įtraukiamas taškas $x = -3$.
Apibrėžimo sritis (ODZ) išrašoma prieš sutrumpinimą, pagal pradinį vardiklį: \(x \neq -3\) ir \(x \neq 5\). Sutrumpinta trupmena \(\frac{x+3}{x-5}\) yra neigiama intervale \([-3; 5)\) – kai \(x = 0\) ji lygi \(-0{,}6\), kas ir reikalinga ženklui \(\le\). Bet taškas \(-3\) yra iš Kolmogorov pagal ODZ, todėl atsakymas – \((-3; 5)\), o ne \([-3; 5)\).
-
Manoma, kad ženklai intervaluose visada kaitaliosis, ir $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ dešinėje nuo vieneto dedamas minusas.
Kaitaliojimasis tinka tik kai dauginamieji yra pirmojo laipsnio. Šaknis \(x = 1\) turi kartotinumą 2, todėl ženklas per ją nepakinta. Reiškinys yra teigiamas visame intervale \((-4; +\infty)\), išskyrus patį vienetą, kur jis lygus nuliui. Atsakymas: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Keičiamas nelygybės ženklas perkeliant dėmenį: iš $\frac{x}{x-2} \le 3$ daroma $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Dėmens perkėlimas iš vienos pusės į kitą nepakeičia nelygybės ženklo – keičiasi tik paties dėmens ženklas. Ženklas apverčiamas tik dauginant ar dalijant abi puses iš neigiamos reikšmės. Teisingai: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), toliau \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), arba \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Ašyje žymimi tik skaitiklio nuliai, o vardiklis tikrinamas „vėliau“: $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ statomas vienas taškas $-11$.
Ašyje žymimi visi nuliai iškart – ir skaitiklio, ir vardiklio, kitaip intervalai bus neteisingi. Čia \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), todėl taškų trys: \(-11\), \(-4\) ir \(4\), o ne vienas. Visi yra iš Kolmogorov (ženklas griežtas), atsakymas: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Klausimai ir atsakymai
Kas yra racionalioji nelygybė?
Tai nelygybė, kurios abi pusės yra racionalieji reiškiniai (polinomai ir polinomų trupmenos). Po to, kai viskas perkeliama į vieną pusę, ji sutraukiama iki pavidalo \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), kur \(P(x)\) ir \(Q(x)\) yra polinomai, o vietoj \(>\) gali būti \(<\), \(\le\) arba \(\ge\).
Kaip spręsti racionaliąsias nelygybes?
Intervalų metodu per šešis žingsnius: perkelti viską į kairę, kad dešinėje liktų nulis; sutraukti į vieną trupmeną ir skaitiklį bei vardiklį išskirstyti dauginamaisiais; išrašyti apibrėžimo sritį (\(Q(x) \neq 0\)); pažymėti skaičių tiesėje skaitiklio ir vardiklio nulius; sudėlioti ženklus intervaluose pagal bandomąjį tašką ir šaknies kartotinumą; išrašyti atsakymą intervalais su reikiamu ženklu.
Kuo polinominė-trigonometrinė nelygybė skiriasi nuo polinominės racionaliosios?
Polinominėje racionaliojoje kintamasis yra tik skaitiklyje, pvz., \((x-1)(x+4) > 0\), ir apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai. Polinominėje-trigonometrinėje kintamasis yra vardiklyje, pvz., \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), ir atsiranda apribojimas \(x \neq -4\). Algoritmas yra tas pats – keičiasi tik iš Kolmogorov taškai.
Kaip spręsti nelygybes su trupmena?
Taip pat, kaip ir bet kurią racionaliąją: pirmiausia perkelti viską į kairę pusę ir sutraukti į vieną trupmeną, o ne atsikratyti vardiklio. Pavyzdžiui, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) virsta \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), arba \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Skaitiklis yra pastovus ir neigiamas, vadinasi, trupmena yra neneigiama tik kai vardiklis yra neigiamas: \(x + 2 < 0\). Atsakymas: \(x \in (-\infty; -2)\).
Kodėl negalima dauginti abiejų nelygybės pusių iš vardiklio?
Nes vardiklio ženklas priklauso nuo \(x\): dauginant iš teigiamo reiškinio nelygybės ženklas išlieka, o dauginant iš neigiamo – apverčiamas. Iš anksto nežinoma, kuris atvejis yra priešais jus, todėl dalis sprendinių prarandama, o dalis pridedama nereikalingai. Perkelti dėmenis galima visada – perkėlimas nepakeičia nelygybės ženklo.
Kaip rasti apibrėžimo sritį (ODZ) nelygybėje?
Racionaliajai nelygybei apibrėžimo sritis – tai visos \(x\) reikšmės, kurioms vardiklis netampa nuliu. Prilyginkite vardiklį nuliui, išspręskite lygtį ir išimkite rastus skaičius. Apibrėžimo sritį reikia išrašyti pagal pradinį vardiklį, prieš sutrumpinant trupmeną – kitaip iš Kolmogorov taškai bus pamesti.
Kokie taškai yra iš Kolmogorov, o kokie užtušuoti?
Vardiklio nuliai visada lieka iš Kolmogorov, bet kokio ženklo nelygybėje. Skaitiklio nuliai užtušuojami esant nestipriam ženklui (\(\le\) arba \(\ge\)) ir lieka iš Kolmogorov esant griežtam (\(<\) arba \(>\)). Atsakymo užrašyme iš Kolmogorov taškui atitinka apvalus skliaustas, užtušuotam – laužtinis.
Kas yra šaknies kartotinumas ir kam jis reikalingas intervalų metode?
Kartotinumas – tai laipsnis, kuriuo dauginamasis įeina į išskaidymą. Pereinant per ne-lyginio kartotinumo šaknį reiškinio ženklas pasikeičia, pereinant per lyginio kartotinumo šaknį – išlieka toks pat. Būtent todėl ženklai ne visada tiesiog kaitaliojasi: \((x-9)^2(x+3)\) atveju taške \(9\) ženklas išlieka tas pats.
Kurioje klasėje mokomasi racionaliąsias nelygybes?
9 klasėje per matematikos pamokas, po kvadratinių nelygybių ir polinomų skaidymo dauginamaisiais. Intervalų metodas vėliau naudojamas rodiklinėms, logaritminėms ir iracionaliosioms nelygybėms spręsti, taip pat OGE ir profilio EGE užduotyse.
