សមីការដឺក្រេទីពីរ

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

សមីការដឺក្រេទីពីរ គឺជាសមីការដែលមានទម្រង់ $ax^2 + bx + c = 0$ ដែល $a \neq 0$។ ចំនួនឫសរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយឌីសគ្រីមីណង់ $D = b^2 - 4ac$ ហើយឫសទាំងនោះត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$។ ទំព័រនេះប្រមូលផ្តុំអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងអំពីប្រធានបទនេះ៖ ទម្រង់ស្តង់ដារ និងមេគុណ ប្រភេទទាំងបីនៃសមីការមិនពេញលេញ ឌីសគ្រីមីណង់ និងករណីទាំងបី រូបមន្តរកឫស និងបំរែបំរួល «គូ» របស់វា សមីការដែលបានកាត់បន្ថយ និងទ្រឹស្តីបទវីអែត ការបំបែកជាកត្តា និងសមីការប៊ីក្វាដ្រាទិក — ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍តាមជំហាន ការវិភាគកំហុសទូទៅ និងកម្មវិធីហ្វឹកហាត់អន្តរកម្ម។

តើសមីការដឺក្រេទីពីរជាអ្វី

សមីការដឺក្រេទីពីរ គឺជាសមីការដែលមានទម្រង់

\[ax^2 + bx + c = 0,\]

ដែល $x$ គឺជាអញ្ញាត ហើយ $a$, $b$, $c$ គឺជាចំនួន (មេគុណ) ដោយមាន $a \neq 0$។ ការសរសេរនេះត្រូវបានគេហៅថា ទម្រង់ស្តង់ដារនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ៖ នៅខាងឆ្វេង តួអង្គត្រូវបានរៀបចំតាមលំដាប់ថយចុះនៃដឺក្រេ ហើយនៅខាងស្តាំគឺសូន្យ។

លក្ខខណ្ឌ $a \neq 0$ មិនមែនជារឿងផ្លូវការទេ។ វាគឺជាតួ $ax^2$ ដែលធ្វើឱ្យសមីការក្លាយជាដឺក្រេទីពីរ៖ នៅពេល $a = 0$ វានៅសល់ $bx + c = 0$ ដែលជាសមីការដឺក្រេទីមួយធម្មតាដែលមានឫសតែមួយ។ ដូច្នេះនៅក្នុងលំហាត់ដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ រឿងដំបូងដែលត្រូវពិនិត្យគឺថាតើមេគុណនាំមុខស្មើនឹងសូន្យដែរឬទេ។

ការនាំសមីការទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារអាចធ្វើបានស្ទើរតែគ្រប់ពេល៖ បំបែកវង់ក្រចក ផ្ទេរតួទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង ហើយបូកតួដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ $5x^2 = 3x - 2$ បន្ទាប់ពីផ្ទេររួចនឹងក្លាយជា $5x^2 - 3x + 2 = 0$ ដែលក្នុងនោះ $a = 5$, $b = -3$, $c = 2$។ ពាក្យ «សមីការការ៉េ» មានន័យដូចគ្នាទាំងស្រុង — វាគ្រាន់តែជាឈ្មោះមួយទៀតប៉ុណ្ណោះ។

ax² + bx + c = 0

មេគុណនាំមុខ — មេគុណនៃ x²។ តែងតែ a ≠ 0៖ នៅពេល a = 0 សមីការក្លាយជាដឺក្រេទីមួយ។

មេគុណទីពីរ — មេគុណនៃ x។ អាចជាចំនួនណាក៏បាន រួមទាំងសូន្យ ឬចំនួនអវិជ្ជមាន។

តួឯករាជ្យ — តួដែលគ្មាន x។ ក៏អាចជាសូន្យផងដែរ។

សញ្ញាត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងមេគុណ៖ សម្រាប់ x² − 4x − 5 = 0 ទទួលបាន a = 1, b = −4, c = −5។ ប្រសិនបើ a = 1 សមីការត្រូវបានគេហៅថា សមីការដែលបានកាត់បន្ថយ ហើយសរសេរ x² + px + q = 0។

សមីការដឺក្រេទីពីរពេញលេញ និងមិនពេញលេញ

ប្រសិនបើមេគុណទាំងបីខុសពីសូន្យ សមីការត្រូវបានគេហៅថា ពេញលេញ។ ប្រសិនបើ $b$ ឬ $c$ (ឬទាំងពីរ) ស្មើនឹងសូន្យ — នោះគឺជា មិនពេញលេញ។ មានប្រភេទមិនពេញលេញចំនួនបី ហើយគ្មានប្រភេទណាមួយដែលត្រូវការឌីសគ្រីមីណង់នោះទេ៖ នីមួយៗត្រូវបានដោះស្រាយក្នុងរយៈពេលមួយ ឬពីរជួរ ហើយនេះគឺជាវិធីលឿនបំផុតដើម្បីសន្សំសំចៃពេលវេលានៅពេលប្រឡង។

គំនិតសំខាន់សម្រាប់ $ax^2 + bx = 0$ គឺការទាញកត្តារួម។ ផលគុណ $x(ax + b)$ ស្មើនឹងសូន្យ លុះត្រាតែកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះទទួលបានឫសពីរភ្លាមៗ។ សម្រាប់ $ax^2 + c = 0$ គំនិតគឺខុសគ្នា៖ បង្ហាញ $x^2$ ហើយពិនិត្យមើលសញ្ញានៃចំនួនដែលទទួលបាន — ការ៉េនៃចំនួនពិតមិនអាចជាចំនួនអវិជ្ជមានបានទេ។

ប្រភេទសមីការ	របៀបដោះស្រាយ
ax² + c = 02x² − 50 = 0	ផ្ទេរ c ទៅខាងស្តាំ ហើយចែកនឹង a៖ x² = −c/a។ ទាញឫសការ៉េ ដោយកុំភ្លេចសញ្ញាទីពីរ។x = 5 និង x = −5
ax² + bx = 0x² + 7x = 0	ទាញ x ជាកត្តារួម៖ x(ax + b) = 0។ ផលគុណស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលកត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តាទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ។x = 0 និង x = −7
ax² = 09x² = 0	ចែកនឹង a ហើយទាញឫសការ៉េនៃសូន្យ។ ឫសតែងតែមានតែមួយគត់។x = 0

នៅក្នុងជួរទីមួយ ឫសអាចនឹងមិនមាន៖ ប្រសិនបើ −c/a ជាចំនួនអវិជ្ជមាន ការ៉េនៃចំនួនមួយមិនអាចស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមានបានទេ។

ឌីសគ្រីមីណង់៖ របៀបរក និងចំនួនឫស

ឌីសគ្រីមីណង់ គឺជាចំនួនដែលគណនាដោយមេគុណនៃសមីការពេញលេញ៖

\[D = b^2 - 4ac.\]

ពាក្យនេះមានន័យថា «អ្នកបែងចែក»៖ ឌីសគ្រីមីណង់មិនដោះស្រាយអ្វីទាំងអស់ វាគ្រាន់តែបែងចែកស្ថានភាពទាំងបី — ឫសពីរ ឫសមួយ ឬគ្មានឫសទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះសំណួរ «តើសមីការមានឫសប៉ុន្មាន» ត្រូវបានដោះស្រាយដោយមិនចាំបាច់រកឫសដោយខ្លួនឯងនោះទេ។

ការគណនា $D$ ត្រូវធ្វើដោយប្រុងប្រយ័ត្ន៖ $b^2$ តែងតែជាចំនួនវិជ្ជមាន ទោះបីជា $b$ ខ្លួនឯងអវិជ្ជមានក៏ដោយ ហើយសញ្ញានៃ $a$ និង $c$ ត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងផលគុណ $4ac$ តាមធម្មតា។ សូមយក $x^2 + 4x - 5 = 0$៖ នៅទីនេះ $a = 1$, $b = 4$, $c = -5$ ដូច្នេះ $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$។ ឌីសគ្រីមីណង់មានវិជ្ជមាន ដូច្នេះនឹងមានឫសពីរ។

D = b² − 4ac

D > 0

ឫសពីរផ្សេងគ្នា

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a

D = 0

ឫសមួយ

x = −b / 2a

D < 0

គ្មានឫសពិត

មិនអាចទាញឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានបានទេ។

រូបមន្តរកឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ

នៅពេល $D \ge 0$ ឫសត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តសំខាន់នៃប្រធានបទ៖

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

សញ្ញា $\pm$ មានន័យថាការគណនាពីរ៖ មួយដងជាមួយការបូក និងមួយដងទៀតជាមួយការដក។ នៅពេល $D = 0$ ការគណនាទាំងពីរផ្តល់ចំនួនដូចគ្នា $x = -\dfrac{b}{2a}$ — ឫសនេះត្រូវបានគេហៅថាឫសទ្វេ។

កន្លែងពីរដែលតែងតែមានកំហុស៖ នៅលើភាគយកមាន ដក $b$ (សម្រាប់ $b = -7$ គឺ $+7$) ហើយនៅភាគបែងគឺ $2a$ មិនមែនគ្រាន់តែ $2$ ទេ។ នៅពេល $a = 1$ ភាពខុសគ្នាមិនត្រូវបានគេមើលឃើញទេ ដូច្នេះកំហុសកើតឡើងនៅកន្លែងដែលមេគុណនាំមុខខុសពីមួយ។

សូមដោះស្រាយ $2x^2 - 9x - 5 = 0$៖ $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$, $\sqrt{D} = 11$, ដូច្នេះ $x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5$ និង $x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5$។

នាំទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ

បំបែកវង់ក្រចក ផ្ទេរអ្វីៗទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង ហើយបូកតួដូចគ្នា៖ ax² + bx + c = 0

សរសេរ a, b, c ជាមួយសញ្ញារបស់វា

សញ្ញាដកនៅមុខតួ គឺជាផ្នែកមួយនៃមេគុណ មិនមែនជាសញ្ញាដាច់ដោយឡែកទេ

គណនាឌីសគ្រីមីណង់

D = b² − 4ac — ការ៉េនៃ b តែងតែវិជ្ជមាន

ប្រៀបធៀប D ជាមួយសូន្យ ហើយរកឫស

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a; នៅពេល D = 0 មានឫសមួយ នៅពេល D < 0 គ្មានឫស

ពិនិត្យដោយការជំនួស

ជំនួសឫសនីមួយៗទៅក្នុងសមីការដើម — គួរតែទទួលបាន 0 = 0

មេគុណទីពីរជាចំនួនគូ៖ រូបមន្តជាមួយ D₁

ប្រសិនបើ $b$ ជាចំនួនគូ វាអាចសរសេរបានថា $b = 2k$ ហើយគណនាឌីសគ្រីមីណង់ «ដែលបានកាត់បន្ថយ»៖

\[D_1 = k^2 - ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}.\]

ចំនួនក្នុងការគណនាក្លាយជាតូចជាងមុនបួនដង ($D = 4D_1$) ហើយសញ្ញានៃ $D_1$ គឺដូចគ្នានឹង $D$ — ដូច្នេះការសន្និដ្ឋានអំពីចំនួនឫសមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

ឧទាហរណ៍៖ $3x^2 + 8x - 3 = 0$។ នៅទីនេះ $b = 8$ ដូច្នេះ $k = 4$ ហើយ $D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25$, $\sqrt{D_1} = 5$។ នោះ $x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}$ និង $x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3$។ ដោយប្រើរូបមន្តធម្មតា ត្រូវធ្វើការជាមួយ $D = 100$ — លទ្ធផលដូចគ្នា ប៉ុន្តែការគណនាកាន់តែច្រើន។

សមីការដែលបានកាត់បន្ថយ និងទ្រឹស្តីបទវីអែត

សមីការដែលមាន $a = 1$ ត្រូវបានគេហៅថា សមីការដែលបានកាត់បន្ថយ ហើយសរសេរជា $x^2 + px + q = 0$។ សមីការដឺក្រេទីពីរណាក៏ដោយអាចនាំទៅជាទម្រង់នេះដោយចែកនឹង $a$៖ ឧទាហរណ៍ $4x^2 - 12x + 8 = 0$ បន្ទាប់ពីចែកនឹង 4 វាក្លាយជា $x^2 - 3x + 2 = 0$។

ទម្រង់ដែលបានកាត់បន្ថយមានតម្លៃព្រោះ ទ្រឹស្តីបទវីអែត ដំណើរការសម្រាប់វា៖ ផលបូកនៃឫសស្មើនឹង $-p$ ហើយផលគុណស្មើនឹង $q$។ សម្រាប់ $x^2 - 7x + 10 = 0$ ត្រូវការចំនួនពីរដែលមានផលបូក 7 និងផលគុណ 10 — គឺ 2 និង 5 ហើយមិនចាំបាច់គណនាឌីសគ្រីមីណង់ទេ។

ការជ្រើសរើសតាមវីអែតជួយបាននៅពេលឫសជាចំនួនគត់ និងតូច ហើយវាក៏ពិនិត្យចម្លើយដែលរកឃើញតាមរយៈឌីសគ្រីមីណង់ដោយឥតគិតថ្លៃផងដែរ៖ ផលបូកគួរតែផ្តល់ $-p$ ផលគុណ — $q$។ រូបមន្តសម្រាប់ទម្រង់ទូទៅ ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាស និងក្បួនដោះស្រាយនៃការជ្រើសរើសត្រូវបានវិភាគនៅក្នុងឯកសារដាច់ដោយឡែកមួយ — ទ្រឹស្តីបទវីអែត។

ការបំបែកត្រីធាដឺក្រេទីពីរជាកត្តា

ប្រសិនបើឫស $x_1$ និង $x_2$ ត្រូវបានរកឃើញ ត្រីធាដឺក្រេទីពីរត្រូវបានបំបែកជាកត្តា៖

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).\]

កត្តា $a$ មិនត្រូវភ្លេចទេ — បើគ្មានវា សមភាពនឹងលែងត្រឹមត្រូវ។ ការពិនិត្យការបំបែកតែងតែងាយស្រួល៖ បំបែកវង់ក្រចក ហើយប្រៀបធៀបជាមួយត្រីធាដើម។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ $x^2 + 2x - 8$ ឫសស្មើនឹង 2 និង $-4$ ដូច្នេះ $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$។

ដំណើរការបញ្ច្រាសក៏ដំណើរការដែរ៖ ប្រសិនបើត្រីធាអាចបំបែកបានដោយផ្ទាល់មាត់ ឫសនឹងឃើញភ្លាមៗ ហើយឌីសគ្រីមីណង់មិនចាំបាច់ទេ។ នៅទីនេះ រូបមន្តគុណកាត់ ជួយបាន — ឧទាហរណ៍ $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ ផ្តល់ឫស $4$ និង $-4$ ភ្លាមៗ។

វិធីទីបីដើម្បីជៀសវាងរូបមន្តរកឫសគឺ ការបំពេញការ៉េពេញលេញ។ នៅក្នុង $x^2 + 6x + 5 = 0$ តួពីរដំបូងត្រូវបានបំពេញទៅជាការ៉េនៃផលបូក៖ $(x + 3)^2 - 9 + 5 = 0$ នោះគឺ $(x + 3)^2 = 4$ ដែលនាំឱ្យ $x + 3 = \pm 2$ និង $x = -1$ ឬ $x = -5$។ វាគឺជាវិធីសាស្ត្រនេះដែលរូបមន្តរកឫសត្រូវបានទាញចេញក្នុងទម្រង់ទូទៅ។

សមីការដែលអាចនាំទៅជាសមីការដឺក្រេទីពីរ៖ សមីការប៊ីក្វាដ្រាទិក

សមីការប៊ីក្វាដ្រាទិក មានទម្រង់ $ax^4 + bx^2 + c = 0$៖ មានតែដឺក្រេគូ។ វាត្រូវបានដោះស្រាយដោយការជំនួស $t = x^2$ ដោយមានលក្ខខណ្ឌ $t \ge 0$ — ការ៉េនៃចំនួនពិតមិនអាចជាចំនួនអវិជ្ជមានបានទេ។

បន្ទាប់ពីជំនួសរួច ទទួលបានសមីការដឺក្រេទីពីរធម្មតា $at^2 + bt + c = 0$។ វាត្រូវបានដោះស្រាយដោយឌីសគ្រីមីណង់ ហើយបន្ទាប់មកសម្រាប់ឫស $t$ នីមួយៗដែល មិនអវិជ្ជមាន ត្រឡប់ទៅ $x = \pm\sqrt{t}$។ ពីនេះទទួលបានចំនួនឫស៖ រហូតដល់បួន។

ឧទាហរណ៍ $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ បន្ទាប់ពីជំនួសរួចផ្តល់ $t^2 - 5t + 4 = 0$ ដែលមានឫស $t = 1$ និង $t = 4$។ ទាំងពីរមានវិជ្ជមាន ដូច្នេះ $x = \pm 1$ និង $x = \pm 2$ — សរុបមានឫសបួន។ ប្រសិនបើ $t$ មួយក្នុងចំណោមនោះអវិជ្ជមាន វានឹងត្រូវបោះបង់ចោល។

វិធីសាស្ត្រដូចគ្នានេះត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការប្រភាគ (បន្ទាប់ពីនាំទៅរកភាគបែងរួម និងបោះបង់តម្លៃដែលហាមឃាត់) និងសមីការដែលមានការជំនួសទម្រង់ $t = x^2 + 3x$។

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីពីរ

ឧទាហរណ៍ទី 1. សមីការពេញលេញ, D > 0

ដោះស្រាយ $3x^2 - 7x + 2 = 0$។

ជំហានទី 1. សមីការស្ថិតក្នុងទម្រង់ស្តង់ដាររួចហើយ៖ $a = 3$, $b = -7$, $c = 2$។

ជំហានទី 2. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0$ — មានឫសពីរ។

ជំហានទី 3. $\sqrt{D} = 5$ ដូច្នេះ $x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}$៖ $x_1 = \dfrac{12}{6} = 2$, $x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$។

ជំហានទី 4. ពិនិត្យដោយការជំនួស។ $3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$; $3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0$។

ចម្លើយ៖ $x_1 = 2$, $x_2 = \dfrac{1}{3}$។

ឧទាហរណ៍ទី 2. ឌីសគ្រីមីណង់ស្មើនឹងសូន្យ

ដោះស្រាយ $4x^2 - 12x + 9 = 0$។

ជំហានទី 1. $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$។

ជំហានទី 2. $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$ — មានឫសមួយ។

ជំហានទី 3. $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$។

ជំហានទី 4. ពិនិត្យ។ $4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$។

ចម្លើយ៖ $x = 1{,}5$។ ចំណាំ៖ ផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាការ៉េពេញលេញ $(2x - 3)^2$ ដូច្នេះឫសមានតែមួយគត់។

ឧទាហរណ៍ទី 3. ឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមាន

ដោះស្រាយ $2x^2 + 3x + 5 = 0$។

ជំហានទី 1. $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$។

ជំហានទី 2. $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0$។

ជំហានទី 3. ឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមាន ដូច្នេះមិនអាចទាញ $\sqrt{D}$ ក្នុងចំណោមចំនួនពិតបានទេ។ មិនចាំបាច់ប្រើរូបមន្តរកឫសទេ — ដំណោះស្រាយចប់ត្រឹមនេះ។

ចម្លើយ៖ គ្មានឫសពិត។ នេះគឺជាចម្លើយពេញលេញ មិនមែនជាសញ្ញានៃកំហុសទេ៖ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y = 2x^2 + 3x + 5$ មិនកាត់អ័ក្ស $x$ ទេ។

ឧទាហរណ៍ទី 4. សមីការមិនពេញលេញទម្រង់ ax² + c = 0

ដោះស្រាយ $3x^2 - 27 = 0$។

ជំហានទី 1. ផ្ទេរតួឯករាជ្យ៖ $3x^2 = 27$។

ជំហានទី 2. ចែកនឹង 3៖ $x^2 = 9$។

ជំហានទី 3. ការ៉េស្មើនឹង 9 សម្រាប់ចំនួនពីរ៖ $x = 3$ និង $x = -3$។ សញ្ញាទីពីរតែងតែត្រូវបានភ្លេចញឹកញាប់បំផុត។

ជំហានទី 4. ពិនិត្យ។ $3 \cdot 3^2 - 27 = 0$; $3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0$។

ចម្លើយ៖ $x_1 = 3$, $x_2 = -3$។ ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការ $2x^2 + 8 = 0$៖ នៅទីនោះ $x^2 = -4$ ហើយគ្មានឫសពិត។

ឧទាហរណ៍ទី 5. សមីការមិនពេញលេញទម្រង់ ax² + bx = 0

ដោះស្រាយ $5x^2 - 15x = 0$។

ជំហានទី 1. ទាញកត្តារួម៖ $5x(x - 3) = 0$។

ជំហានទី 2. ផលគុណស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលកត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តាទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ៖ $5x = 0$ ឬ $x - 3 = 0$។

ជំហានទី 3. ពីនេះ $x_1 = 0$, $x_2 = 3$។

ជំហានទី 4. ពិនិត្យ។ $5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0$; $5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0$។

ចម្លើយ៖ $x_1 = 0$, $x_2 = 3$។ ប្រសិនបើសម្រួលសមីការដើមនឹង $x$ វានឹងនៅសល់តែ $x = 3$ — ឫស $x = 0$ នឹងបាត់បង់។ មិនអាចចែកនឹងកន្សោមដែលមានអញ្ញាតបានទេ។

ឧទាហរណ៍ទី 6. មេគុណទីពីរជាចំនួនគូ

ដោះស្រាយ $5x^2 - 22x + 8 = 0$។

ជំហានទី 1. $b = -22$ ជាចំនួនគូ ដូច្នេះ $k = -11$ ហើយ $a = 5$, $c = 8$។

ជំហានទី 2. $D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81$, $\sqrt{D_1} = 9$។

ជំហានទី 3. $x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}$៖ $x_1 = 4$, $x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$។

ជំហានទី 4. ពិនិត្យ។ $5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0$; $5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0$។

ចម្លើយ៖ $x_1 = 4$, $x_2 = 0{,}4$។ ឌីសគ្រីមីណង់ធម្មតានឹងផ្តល់ $D = 324$ — ចម្លើយដូចគ្នា ប៉ុន្តែការគណនានឹងចំណាយពេលយូរជាង។

ឧទាហរណ៍ទី 7. នាំទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារជាមុន

ដោះស្រាយ $(x - 3)(x + 5) = 9$។

ជំហានទី 1. បំបែកវង់ក្រចក៖ $x^2 + 5x - 3x - 15 = 9$ នោះគឺ $x^2 + 2x - 15 = 9$។

ជំហានទី 2. ផ្ទេរ 9 ទៅខាងឆ្វេង៖ $x^2 + 2x - 24 = 0$។ ទើបតែពេលនេះអាចសរសេរមេគុណ៖ $a = 1$, $b = 2$, $c = -24$។

ជំហានទី 3. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$, $\sqrt{D} = 10$, $x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}$៖ $x_1 = 4$, $x_2 = -6$។

ជំហានទី 4. ពិនិត្យក្នុងសមីការដើម។ $(4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9$; $(-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9$។

ចម្លើយ៖ $x_1 = 4$, $x_2 = -6$។ កំហុសទូទៅនៅទីនេះគឺការកំណត់វង់ក្រចកនីមួយៗស្មើនឹង 9៖ ច្បាប់ «ផលគុណស្មើនឹងសូន្យ» ដំណើរការតែសម្រាប់សូន្យប៉ុណ្ណោះ។

ឧទាហរណ៍ទី 8. ការបំបែកត្រីធាជាកត្តា

បំបែក $2x^2 - 5x - 3$ ជាកត្តា។

ជំហានទី 1. កំណត់ត្រីធាស្មើនឹងសូន្យ ហើយរកឫស៖ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$, $\sqrt{D} = 7$, $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$៖ $x_1 = 3$, $x_2 = -\dfrac{1}{2}$។

ជំហានទី 2. ជំនួសក្នុងរូបមន្ត $a(x - x_1)(x - x_2)$៖ $2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)$។

ជំហានទី 3. 2 អាចដាក់ចូលក្នុងវង់ក្រចកទីពីរ៖ $(x - 3)(2x + 1)$។

ជំហានទី 4. ពិនិត្យដោយបំបែកវង់ក្រចក។ $(x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$។

ចម្លើយ៖ $2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)$។

ឧទាហរណ៍ទី 9. សមីការប៊ីក្វាដ្រាទិក

ដោះស្រាយ $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$។

ជំហានទី 1. ជំនួស $t = x^2$ ដែល $t \ge 0$។ សមីការក្លាយជា $t^2 - 13t + 36 = 0$។

ជំហានទី 2. $D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$, $\sqrt{D} = 5$, $t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}$៖ $t_1 = 9$, $t_2 = 4$។

ជំហានទី 3. តម្លៃទាំងពីរមិនអវិជ្ជមាន ដូច្នេះត្រឡប់ទៅ $x$ វិញ៖ ពី $x^2 = 9$ ទទួលបាន $x = \pm 3$, ពី $x^2 = 4$ — $x = \pm 2$។

ជំហានទី 4. ពិនិត្យ។ $3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0$; $2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0$។ សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាន ដឺក្រេគូផ្តល់ចំនួនដូចគ្នា។

ចម្លើយ៖ $x = \pm 2$ និង $x = \pm 3$ — មានឫសបួន។

កំហុសទូទៅក្នុងការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីពីរ

គណនាឌីសគ្រីមីណង់ដោយមិននាំសមីការទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖ សម្រាប់ $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ យក $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$ ភ្លាមៗ។

ដំបូងផ្ទេរអ្វីៗទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង ហើយបូកតួដូចគ្នា៖ $2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0$ នោះគឺ $x^2 + 3x - 5 = 0$។ ទើបតែពេលនេះ $a = 1$, $b = 3$, $c = -5$។ រូបមន្តរកឫសដំណើរការតែជាមួយទម្រង់ស្តង់ដារប៉ុណ្ណោះ។
ភ្លេចសញ្ញានៅពេលលើក $b$ ជាការ៉េ៖ សម្រាប់ $x^2 - 9x + 14 = 0$ សរសេរ $D = -81 - 56$។

ការ៉េនៃចំនួនណាក៏ដោយមិនអវិជ្ជមាន៖ $(-9)^2 = 81$ មិនមែន $-81$ ទេ។ ត្រឹមត្រូវគឺ $D = 81 - 56 = 25$, ឫស $x = \dfrac{9 \pm 5}{2}$ នោះគឺ 7 និង 2។ ការពិនិត្យ៖ $49 - 63 + 14 = 0$ និង $4 - 18 + 14 = 0$។
នៅភាគយកទុក $b$ ជំនួសឱ្យ $-b$៖ សម្រាប់ $x^2 + 5x - 6 = 0$ គណនា $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$។

ក្នុងរូបមន្តមាន $-b$ ដូច្នេះសម្រាប់ $b = 5$ នៅភាគយកនឹងមាន $-5$៖ $x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}$ ដែល $x_1 = 1$, $x_2 = -6$។ ការជំនួសបញ្ជាក់៖ $1 + 5 - 6 = 0$ និង $36 - 30 - 6 = 0$។
នៅពេល $D = 0$ សរសេរថា «គ្មានឫស»៖ សម្រាប់ $x^2 + 14x + 49 = 0$ ឌីសគ្រីមីណង់ស្មើនឹងសូន្យ ហើយដំណោះស្រាយត្រូវបានបញ្ឈប់។

គ្មានឫសតែនៅពេល $D < 0$ ប៉ុណ្ណោះ។ នៅពេល $D = 0$ មានឫសតែមួយ៖ $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7$។ ការពិនិត្យ៖ $49 - 98 + 49 = 0$។
សម្រួលសមីការ $4x^2 - 9x = 0$ នឹង $x$ ហើយទទួលបានឫសតែមួយ $x = 2{,}25$។

មិនអាចចែកនឹងកន្សោមដែលមានអញ្ញាតបានទេ៖ $x$ អាចជាសូន្យ ហើយឫស $x = 0$ នឹងបាត់បង់។ ត្រឹមត្រូវគឺទាញកត្តារួម៖ $x(4x - 9) = 0$ ដែល $x_1 = 0$ និង $x_2 = 2{,}25$។ ការពិនិត្យ៖ $4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0$។
ក្នុងសមីការ $x^2 = 16$ សរសេរតែ $x = 4$។

ការ៉េស្មើនឹង 16 ក៏សម្រាប់ចំនួន $-4$ ដែរ។ ត្រូវសរសេរឫសទាំងពីរ៖ $x = \pm 4$។ សុវត្ថិភាពជាងគឺដោះស្រាយតាមទម្រង់ស្តង់ដារ $x^2 - 16 = 0$ នោះគឺ $(x - 4)(x + 4) = 0$ — ពេលនោះកត្តាទាំងពីរនឹងឃើញភ្លាមៗ។
មិនពិនិត្យលក្ខខណ្ឌ $a \neq 0$ ក្នុងសមីការដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ ក្នុង $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ភ្លាមៗ។

នៅពេល $m = 2$ មេគុណនាំមុខស្មើនឹងសូន្យ ហើយសមីការក្លាយជាដឺក្រេទីមួយ $3x - 1 = 0$ ដែលមានឫសតែមួយ $x = \dfrac{1}{3}$។ ករណី $m = 2$ ត្រូវវិភាគដាច់ដោយឡែក ហើយរូបមន្តរកឫសប្រើតែនៅពេល $m \neq 2$ ប៉ុណ្ណោះ។

សំណួរ និងចម្លើយ

តើសមីការដឺក្រេទីពីរជាអ្វី?

វាគឺជាសមីការដែលមានទម្រង់ $ax^2 + bx + c = 0$ ដែល $a$, $b$, $c$ ជាចំនួន និង $a \neq 0$។ អញ្ញាតចូលក្នុងវាដោយដឺក្រេទីពីរ ដូច្នេះអាចមានឫសពីរ មួយ ឬគ្មាន។

តើទម្រង់ស្តង់ដារនៃសមីការដឺក្រេទីពីរមានលក្ខណៈដូចម្តេច?

ទម្រង់ស្តង់ដារ (ទូទៅ) គឺ $ax^2 + bx + c = 0$៖ តួទាំងអស់ត្រូវបានប្រមូលនៅខាងឆ្វេងតាមលំដាប់ថយចុះនៃដឺក្រេ ហើយនៅខាងស្តាំគឺសូន្យ។ សមីការដឺក្រេទីពីរណាក៏ដោយត្រូវនាំទៅជាទម្រង់នេះមុនពេលគណនាឌីសគ្រីមីណង់។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកឌីសគ្រីមីណង់?

តាមរូបមន្ត $D = b^2 - 4ac$ ដោយជំនួសមេគុណរួមទាំងសញ្ញារបស់វា។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ $x^2 + 3x - 10 = 0$ ទទួលបាន $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$ ហើយឫសស្មើនឹង $\dfrac{-3 \pm 7}{2}$ នោះគឺ 2 និង $-5$។

តើរូបមន្តរកឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរជាអ្វី?

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ឬខ្លីជាងនេះ $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$។ វាត្រូវបានប្រើនៅពេល $D \ge 0$ ហើយនៅភាគបែងគឺ $2a$ មិនមែន 2 ទេ។

តើសមីការដឺក្រេទីពីរអាចមានឫសប៉ុន្មាន?

មិនលើសពីពីរទេ។ នៅពេល $D > 0$ មានឫសពីរ នៅពេល $D = 0$ — មួយ (ឫសទ្វេ) នៅពេល $D < 0$ គ្មានឫសពិត។

តើសមីការដឺក្រេទីពីរមិនពេញលេញជាអ្វី?

វាគឺជាសមីការដែល $b = 0$, $c = 0$ ឬទាំងពីរ៖ $ax^2 + c = 0$, $ax^2 + bx = 0$, $ax^2 = 0$។ ទាំងបីត្រូវបានដោះស្រាយដោយមិនប្រើឌីសគ្រីមីណង់ — ដោយផ្ទេរតួ ឬទាញ $x$ ជាកត្តារួម។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីពីរដោយមិនប្រើឌីសគ្រីមីណង់?

មានបីផ្លូវ៖ ការជ្រើសរើសឫសតាមទ្រឹស្តីបទវីអែតសម្រាប់សមីការដែលបានកាត់បន្ថយ ការបំបែកជាកត្តា និងការបំពេញការ៉េពេញលេញ។ លឿនបំផុតគឺការជ្រើសរើស នៅពេលឫសជាចំនួនគត់តូចៗ។

តើត្រូវធ្វើដូចម្តេចប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមាន?

សរសេរថាគ្មានឫសពិត ហើយបញ្ចប់ដំណោះស្រាយ។ ឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមានគឺជាចម្លើយធម្មតា៖ ក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូលដែលពាក់ព័ន្ធមិនកាត់អ័ក្ស $x$ ទេ។ ឫសក្នុងករណីនោះមានតែក្នុងចំណោមចំនួនកុំផ្លិចប៉ុណ្ណោះ ដែលនឹងរៀននៅពេលក្រោយ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពិនិត្យឫសដែលរកឃើញ?

ជំនួសឫសនីមួយៗទៅក្នុងសមីការដើម — គួរតែទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់សមីការដែលបានកាត់បន្ថយ ក៏មានការពិនិត្យរហ័សតាមទ្រឹស្តីបទវីអែត៖ ផលបូកនៃឫសស្មើនឹង $-p$ ផលគុណស្មើនឹង $q$។

តើសមីការដឺក្រេទីពីរ និងសមីការការ៉េ គឺជាវត្ថុតែមួយឬ?

បាទ វាគឺជាឈ្មោះពីរនៃវត្ថុតែមួយ $ax^2 + bx + c = 0$។ កុំច្រឡំវាជាមួយអនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរ $y = ax^2 + bx + c$៖ ឫសនៃសមីការគឺជាអាប់ស៊ីសនៃចំណុចដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍កាត់អ័ក្ស $x$។

តើគេរៀនសមីការដឺក្រេទីពីរនៅថ្នាក់ទីប៉ុន្មាន?

នៅថ្នាក់ទី 8 ក្នុងមុខវិជ្ជាពិជគណិត៖ ដំបូងសមីការមិនពេញលេញ បន្ទាប់មកឌីសគ្រីមីណង់ រូបមន្តរកឫស និងទ្រឹស្តីបទវីអែត។ បន្ទាប់មកប្រធានបទនេះជួបប្រទះក្នុងអនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរ វិសមីការ និងលំហាត់ប្រឡង។

នៅមានសំណួរទៀតទេ? បន្តក្នុងឆាត

ដោះស្រាយសមីការរបស់ខ្ញុំ ពិនិត្យដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ មានឫសប៉ុន្មាន? បំបែកជាកត្តា ពន្យល់សមីការមិនពេញលេញ ផ្តល់លំហាត់សម្រាប់ហ្វឹកហាត់

អ្នកប្រើប្រាស់ #4365351

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តកម្មវិធីកែសម្រួលអត្ថបទលើរូបភាពណាស់ — លទ្ធផលគឺពិតជាអស្ចារ្យខ្លាំងណាស់។

Web · ឧសភា 2026

អ្នកប្រើប្រាស់ #4383661

សូមអរគុណ ការងាររបស់ AI ពិតជាធ្វើឱ្យខ្ញុំចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំង។ ល្អឥតខ្ចោះ!

អ្នកប្រើប្រាស់ #4279467

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តវាណាស់ — ប្រសិនបើអាចបន្ថែមការសាកល្បងដោយឥតគិតថ្លៃទៀតនោះនឹងកាន់តែល្អ។

Google Play · ឧសភា 2026

អ្នកប្រើប្រាស់ #4160129

កម្មវិធីដ៏អស្ចារ្យជាមួយនឹងតម្លៃសមរម្យ។