ស៊េរីនព្វន្ត៖ រូបមន្តនៃតួទី n និងផលបូក

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

ម៉ាស្កូតគណិតវិទ្យានៅក្បែរជួរឈរ ដែលជួរនីមួយៗខ្ពស់ជាងជួរមុនមួយកម្រិត

ស៊េរីនព្វន្ត គឺជាលំដាប់លេខដែលតួនីមួយៗធំជាងតួមុនវាដោយចំនួនថេរ $d$ (ផលសងរួមនៃស៊េរី)។ តួណាមួយអាចរកបានដោយរូបមន្ត $a_n = a_1 + (n-1)d$ ហើយផលបូកនៃ n តួដំបូងរកបានដោយរូបមន្ត $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$។ ទំព័រនេះពន្យល់ពីនិយមន័យ ផលសងរួម រូបមន្តផលបូកទាំងពីរ លក្ខណៈពិសេស ការពិនិត្យមើលថាតើលេខមួយស្ថិតក្នុងស៊េរីដែរឬទេ ភាពខុសគ្នាពីស៊េរីធរណីមាត្រ លំហាត់គំរូសម្រាប់ការប្រឡង និងកម្មវិធីហ្វឹកហាត់អន្តរកម្មសម្រាប់វាយតម្លៃខ្លួនឯង។

តើស៊េរីនព្វន្តជាអ្វី

ស៊េរីនព្វន្ត គឺជាលំដាប់លេខដែលតួនីមួយៗទទួលបានពីការបូកចំនួនថេរមួយទៅនឹងតួមុនវា។ ចំនួននេះត្រូវបានគេហៅថា ផលសងរួមនៃស៊េរី ហើយតាងដោយអក្សរ $d$។

និយមន័យដោយរូបមន្តតែមួយ៖ លំដាប់ $a_1, a_2, a_3, \dots$ ត្រូវបានគេហៅថាស៊េរីនព្វន្ត ប្រសិនបើសម្រាប់គ្រប់លេខរៀង $n$ គេបានសមភាព

\[a_{n+1} = a_n + d.\]

យកលំដាប់ 3, 7, 11, 15, 19, … តួទីមួយគឺ $a_1 = 3$ ហើយផលសងរួម $d = 4$៖ លេខនីមួយៗធំជាងលេខមុនវាចំនួន 4។ ដូច្នេះ តួបន្ទាប់គឺ 23 ហើយមុនលេខ 3 (ប្រសិនបើបន្តថយក្រោយ) គឺលេខ -1។

ស៊េរីទាំងមូលត្រូវបានកំណត់ដោយលេខពីរគឺ តួទីមួយ $a_1$ និងផលសងរួម $d$។ ដោយដឹងពីគូនេះ អ្នកអាចរកតួណាមួយ គណនាផលបូកនៃ n តួដំបូង និងពិនិត្យមើលថាតើលេខដែលបានកំណត់មានក្នុងលំដាប់ដែរឬទេ។ ស៊េរីត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា $(a_n)$ ហើយតួរបស់វាគឺ $a_1, a_2, a_3$ ជាដើម ដែលសន្ទស្សន៍ខាងក្រោមតែងតែបង្ហាញពី លេខរៀង មិនមែនតម្លៃនោះទេ។

d = 4 > 0 — ស៊េរីកើនឡើង

3+47+411+415+419+4?

d = −3 < 0 — ស៊េរីថយចុះ

20−317−314−311−38−3?

ជំហានតែងតែដូចគ្នា។ ប្រសិនបើអ្នកដកតួមុនចេញពីតួណាមួយ អ្នកនឹងទទួលបានលេខដដែល — នេះគឺជាផលសងរួម d។ ក្នុងជួរទីមួយ តួបន្ទាប់គឺ 23 ក្នុងជួរទីពីរគឺ 5។

ផលសងរួមនៃស៊េរីនព្វន្ត៖ របៀបរក d

ផលសងរួមគឺតែងតែជា តួបន្ទាប់ដកតួមុន៖

\[d = a_n - a_{n-1}.\]

លំដាប់នៃការដកគឺសំខាន់៖ ប្រសិនបើអ្នកដកច្រាសមកវិញ សញ្ញានៃផលសងនឹងផ្ទុយគ្នា។ សម្រាប់លំដាប់ 20, 17, 14, 11, 8 ផលសងរួមគឺ $17 - 20 = -3$ មិនមែន $+3$ ទេ។

សញ្ញានៃ $d$ កំណត់អាកប្បកិរិយានៃស៊េរីទាំងស្រុង៖

$d > 0$ — ស៊េរី កើនឡើង តួមានការកើនឡើង;
$d < 0$ — ស៊េរី ថយចុះ តួមានការថយចុះ;
$d = 0$ — តួទាំងអស់ដូចគ្នា ឧទាហរណ៍ 6, 6, 6, 6, … នេះក៏ជាស៊េរីនព្វន្តដែរ គ្រាន់តែជាស៊េរីថេរ។

ប្រសិនបើគេដឹងតួពីរដែលមានលេខរៀងផ្សេងគ្នា ផលសងរួមរកបានដោយរូបមន្ត

\[d = \frac{a_k - a_m}{k - m}.\]

ឧទាហរណ៍។ ឧបមាថា $a_4 = 30$ និង $a_{10} = 6$។ នោះ $d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4$ ហើយតួទីមួយគឺ $a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42$។ ពិនិត្យមើលដើមស៊េរី៖ 42, 38, 34, 30 — តួទីបួនពិតជា 30។

ផលសងរួមមិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់ទេ៖ សម្រាប់លំដាប់ 1; 1,5; 2; 2,5 ផលសងរួមគឺ 0,5 ហើយនេះគឺជាស៊េរីនព្វន្តពេញលេញ។

រូបមន្តតួទី n នៃស៊េរីនព្វន្ត

រូបមន្តសំខាន់នៃប្រធានបទនេះអនុញ្ញាតឱ្យរកតួណាមួយដោយមិនចាំបាច់សរសេរតួមុនៗទាំងអស់៖

\[a_n = a_1 + (n - 1)d.\]

តើ $n - 1$ មកពីណា? ដើម្បីទៅដល់តួទី n ពីតួទីមួយ ផលសងរួមត្រូវបានបូកមិនមែន n ដងទេ ប៉ុន្តែតិចជាងមួយដង៖ ដល់តួទីពីរគឺមួយជំហាន ដល់តួទីបីគឺពីរជំហាន ដល់តួទីម្ភៃគឺដប់ប្រាំបួនជំហាន។

ឧទាហរណ៍។ សម្រាប់ស៊េរី 3, 7, 11, 15, 19, … យើងមាន $a_1 = 3$ និង $d = 4$ ដូច្នេះ

\[a_n = 3 + (n - 1)\cdot 4 = 4n - 1.\]

ការសរសេរកាត់បែបនេះងាយស្រួលណាស់៖ គេឃើញភ្លាមថា $a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79$ និង $a_{100} = 399$។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ វាបង្ហាញពីផលសងរួម៖ សម្រាប់ស៊េរីនព្វន្តណាមួយ រូបមន្តតួទី n គឺលីនេអ៊ែរ ទម្រង់ $a_n = dn + c$ ហើយមេគុណមុខ n គឺជាផលសងរួម។

ជួនកាលតួទីមួយមិនស្គាល់ ប៉ុន្តែគេឱ្យតួផ្សេងមក។ ពេលនោះគំនិតដដែលដំណើរការក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖ $a_n = a_k + (n - k)d$។

តាមរយៈតួទីមួយ

a_n = a₁ + (n − 1)d

ពីតួទីមួយដល់តួទី n យើងធ្វើជំហានចំនួន n − 1 ដងតាម d។ លេខមួយក្នុងវង់ក្រចក — គឺជាចំណុចសំខាន់នៃរូបមន្ត។

តាមរយៈតួណាមួយដែលស្គាល់

a_n = a_k + (n − k)d

ងាយស្រួលនៅពេលតួទីមួយមិនស្គាល់៖ ឧទាហរណ៍ a₇ = a₃ + 4d។

ការពិនិត្យខ្លួនឯងរហ័ស៖ ជំនួស n = 1។ វាគួរតែទទួលបាន a₁ + 0 · d = a₁។ ប្រសិនបើចេញ a₁ + d — នោះរូបមន្តខ្វះលេខមួយ។

លក្ខណៈពិសេសនៃស៊េរីនព្វន្ត

តួណាមួយនៃស៊េរី លើកលែងតែតួទីមួយ ស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្តនៃតួជិតខាងរបស់វា៖

\[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \qquad n \ge 2.\]

នេះហើយជាមូលហេតុដែលស៊េរីនេះត្រូវបានគេហៅថា នព្វន្ត។ សមភាពនេះក៏ដំណើរការក្នុងទិសដៅផ្ទុយដែរ៖ ប្រសិនបើក្នុងលំដាប់មួយ តួកណ្តាលនីមួយៗស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលបូកនៃតួជិតខាង នោះលំដាប់នោះគឺជាស៊េរីនព្វន្ត។ ការអះអាងនេះត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្គាល់ នៃស៊េរីនព្វន្ត ហើយក្នុងលំហាត់គេប្រើវាដើម្បីបង្ហាញថាចំនួនបីបង្កើតបានជាស៊េរី។

ឧទាហរណ៍។ ចំនួន 7, $x$, 23 គឺជាតួបីជាប់គ្នានៃស៊េរី។ នោះ $x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15$។ ពិនិត្យ៖ 7, 15, 23 — ផលសងគឺ 8 និង 8, អ្វីៗត្រឹមត្រូវ។

ទម្រង់សរសេរងាយស្រួលនៃលក្ខណៈដដែល៖ $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$ ពោលគឺ តួកណ្តាលគុណនឹងពីរស្មើនឹងផលបូកនៃតួចុង។ ក្នុងទម្រង់នេះ លក្ខណៈពិសេសងាយស្រួលអនុវត្តនៅពេលតួត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោមអក្សរ។

ផលបូក n តួដំបូងនៃស៊េរីនព្វន្ត

ផលបូក $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ គណនាដោយរូបមន្តមួយក្នុងចំណោមរូបមន្តពីរ៖

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n \qquad \text{ឬ} \qquad S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n.\]

គំនិតនៃរូបមន្តទីមួយ គឺជាអ្វីដែលយោងតាមរឿងព្រេង សិស្សសាលា Gauss បានរកឃើញដោយបូកលេខពី 1 ដល់ 100។ ប្រសិនបើអ្នកបូកតួទីមួយជាមួយតួចុង តួទីពីរជាមួយតួមុនចុង ជាដើម គូទាំងអស់នឹងផ្តល់ផលបូកដូចគ្នា។ ពីនេះ $1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050$។

រូបមន្តទីពីរទទួលបានពីទីមួយដោយជំនួស $a_n = a_1 + (n-1)d$ — វាចាំបាច់នៅពេលតូចុងមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយមិនចង់គណនាវាដោយឡែក។

ឧទាហរណ៍។ រកផលបូកនៃតួម្ភៃដំបូងនៃស៊េរី 3, 7, 11, 15, 19, …

តាមរូបមន្តទីមួយ៖ $a_{20} = 79$ ដូច្នេះ $S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820$។

តាមរូបមន្តទីពីរ៖ $S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820$។

ចម្លើយដូចគ្នា — នេះគឺជាវិធីពិនិត្យការគណនាដ៏ល្អបំផុត។

ស្គាល់តូចុង

S_n =a₁ + a_n2· n

ពាក់កណ្តាលនៃផលបូកតូចុង គុណនឹងចំនួនតួ។ យកប្រើនៅពេល a_n ត្រូវបានគណនារួច ឬត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌ។

ស្គាល់តួទីមួយ និងផលសងរួម

S_n =2a₁ + (n − 1)d2· n

មិនចាំបាច់គណនាអ្វីជាមុនទេ។ យកប្រើនៅពេល a_n មិនស្គាល់។

នេះគឺជារូបមន្តតែមួយ។ ទីពីរទទួលបានពីទីមួយដោយជំនួស a_n = a₁ + (n − 1)d ដូច្នេះចម្លើយត្រូវតែដូចគ្នា — ជាវិធីងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យខ្លួនឯង។

របៀបដឹងថា តើលេខមួយស្ថិតក្នុងស៊េរីនព្វន្តដែរឬទេ

សំណួរថា "តើលេខមួយជាតួនៃស៊េរីដែរឬទេ" ត្រូវបានដោះស្រាយដោយសមីការ។ លេខមួយស្ថិតក្នុងស៊េរី លុះត្រាតែលេខរៀង $n$ របស់វាជា ចំនួនគត់វិជ្ជមាន៖ 1, 2, 3 ជាដើម។ n ជាប្រភាគ ឬមិនវិជ្ជមាន មានន័យថាគ្មានតួបែបនេះទេ។

ឧទាហរណ៍ 1. តើលេខ 99 ជាតួនៃស៊េរី 3, 7, 11, 15, 19, … ដែរឬទេ? រូបមន្តតួទី n នៅទីនេះគឺ $a_n = 4n - 1$ ដូច្នេះយើងដោះស្រាយ $4n - 1 = 99$ ដែលបាន $4n = 100$ និង $n = 25$។ លេខរៀងជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន — មានន័យថា 99 មានក្នុងស៊េរី វាជាតួទីម្ភៃប្រាំ។

ឧទាហរណ៍ 2. ចុះលេខ 2026 វិញ? ពី $4n - 1 = 2026$ យើងទទួលបាន $4n = 2027$ និង $n = 506{,}75$។ លេខរៀងជាប្រភាគ ដូច្នេះ 2026 មិនមែនជាតួនៃស៊េរីនេះទេ។

គន្លឹះមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការគណនាផ្ទាល់មាត់៖ សម្រាប់ស៊េរីដែលមានរូបមន្ត $a_n = 4n - 1$ តួទាំងអស់នៅពេលចែកនឹង 4 ផ្តល់សំណល់ 3។ លេខ 2026 ផ្តល់សំណល់ 2 ដូច្នេះវា "ខុស" ពីស៊េរី។

បង្កើតរូបមន្តតួទី n

a_n = a₁ + (n − 1)d ហើយពន្លាតវង់ក្រចក

ដាក់វាឱ្យស្មើនឹងលេខដែលត្រូវពិនិត្យ

នឹងទទួលបានសមីការលីនេអ៊ែរធម្មតាដែលមានអញ្ញាត n

ដោះស្រាយសមីការរក n

n — គឺជាលេខរៀង មិនមែនតម្លៃនៃតួទេ

ពិនិត្យមើល n ដែលរកឃើញ

ចំនួនគត់វិជ្ជមាន (1, 2, 3, …) — លេខនោះមានក្នុងស៊េរី ហើយនេះជាលេខរៀងរបស់វា; ប្រភាគ ឬ n ≤ 0 — មិនមានក្នុងស៊េរីទេ

លំហាត់គំរូសម្រាប់ការប្រឡងលើស៊េរីនព្វន្ត

ក្នុងការប្រឡងគណិតវិទ្យា ស៊េរីនព្វន្តតែងតែចេញជារៀងរាល់ឆ្នាំ ហើយកិច្ចការស្ទើរតែទាំងអស់ត្រូវបានកាត់បន្ថយមកត្រឹមប្រធានបទបួន។

រកតួតាមលេខរៀង។ គេឱ្យ $a_1$ និង $d$ (ឬតួដំបូងមួយចំនួន) — យើងជំនួសក្នុង $a_n = a_1 + (n-1)d$។

រកលេខរៀងតាមតម្លៃ។ គេឱ្យលេខមួយ — យើងដាក់រូបមន្តតួទី n ឱ្យស្មើនឹងលេខនោះ ហើយដោះស្រាយសមីការរក n។

រកផលបូក។ យើងគណនា $S_n$ ដោយរូបមន្តមួយក្នុងចំណោមពីរ; ប្រសិនបើខ្វះ $a_n$ — យើងរកវាជាមុនសិន។

រកចំនួនតួ។ ពីរូបមន្តតួទី n យើងទទួលបានលទ្ធផលងាយស្រួល៖ $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$។

ដោយឡែកមាន លំហាត់អត្ថបទ ដែលស៊េរីត្រូវបានលាក់ក្នុងសាច់រឿង។ ឧទាហរណ៍៖ ថ្ងៃដំបូងកម្មករផលិតបាន 12 គ្រឿង ហើយរាល់ថ្ងៃបន្ទាប់ផលិតបានច្រើនជាងថ្ងៃមុន 3 គ្រឿង; តើគាត់នឹងផលិតបានប៉ុន្មានគ្រឿងក្នុងរយៈពេល 15 ថ្ងៃ? នៅទីនេះ $a_1 = 12$, $d = 3$, $n = 15$។ យើងគណនាតូចុង៖ $a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54$។ នោះ $S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495$ គ្រឿង។

ដំបូន្មានសំខាន់សម្រាប់លំហាត់បែបនេះ៖ ដំបូងត្រូវសរសេរដោយឡែកនូវអ្វីដែលគេឱ្យ ($a_1$, $d$, $n$, $a_n$, $S_n$) និងអ្វីដែលត្រូវរក។ កំហុសពាក់កណ្តាលក្នុងការប្រឡងមិនមែនមកពីរូបមន្តទេ ប៉ុន្តែមកពីការច្រឡំលេខរៀងជាមួយតម្លៃនៃតួ។

ស៊េរីនព្វន្ត និងស៊េរីធរណីមាត្រ៖ តើភាពខុសគ្នានៅឯណា

ស៊េរីទាំងពីរគឺជាច្បាប់ដែលគេប្រើដើម្បីទទួលបានតួបន្ទាប់ពីតួមួយ។ ភាពខុសគ្នានៅត្រង់សកម្មភាព៖ ក្នុងស៊េរីនព្វន្តគេ បូក ចំនួនថេរ $d$ ទៅនឹងតួ ក្នុងស៊េរីធរណីមាត្រគេ គុណ នឹងចំនួនថេរ $q$ ដែលគេហៅថាផលធៀបរួមនៃស៊េរី។

ពីនេះក៏មានអាកប្បកិរិយាខុសគ្នាដែរ។ ស៊េរីនព្វន្តកើនឡើងស្មើៗគ្នា "តាមកម្រិត"៖ 3, 7, 11, 15 — ជំហាននីមួយៗបន្ថែម 4។ ស៊េរីធរណីមាត្រកើនឡើងដូចបាក់ដី៖ 3, 6, 12, 24 — ជំហាននីមួយៗគុណនឹងពីរ ហើយត្រឹមតែដប់ជំហាន តួនឹងធំជាងមួយពាន់កន្លះ។

ការពិនិត្យប្រភេទលំដាប់គឺងាយស្រួល៖ គណនាផលសងនៃតួជិតខាង និងផលធៀបរបស់វា។ ផលសងដូចគ្នា — ស៊េរីនព្វន្ត, ផលធៀបដូចគ្នា — ស៊េរីធរណីមាត្រ។ ប្រសិនបើមិនដូចគ្នាទាំងពីរ នោះគ្រាន់តែជាលំដាប់ធម្មតា៖ ឧទាហរណ៍ 1, 4, 9, 16 — នេះជាការ៉េនៃចំនួនគត់ ហើយវាមិនមែនជាស៊េរីទេ (ផលសង 3, 5, 7 ខុសគ្នា ផលធៀបក៏ខុសគ្នាដែរ)។

ក្នុងកម្មវិធីសិក្សាសាលា ប្រធានបទទាំងពីរនេះបន្តបន្ទាប់គ្នានៅថ្នាក់ទី 9 ដូច្នេះរូបមន្តងាយនឹងច្រឡំ។ ចងចាំក្នុងចិត្ត៖ ក្នុងស៊េរីនព្វន្តផលសង $d$ ត្រូវបានដក (ក្នុងន័យរកផលសង), ក្នុងស៊េរីធរណីមាត្រផលធៀប $q$ ត្រូវបានចែក។ អ្វីៗផ្សេងទៀតគឺជាលទ្ធផល។

នព្វន្ត

ជំហានបូក d

តួទី na_n = a₁ + (n − 1)d

ផលបូកS_n = a₁ + a_n2 · n

ឧទាហរណ៍3, 7, 11, 15 (+4)

ធរណីមាត្រ

ជំហានគុណនឹង q

តួទី nb_n = b₁ · qⁿ⁻¹

ផលបូក (q ≠ 1)S_n = b₁(qⁿ − 1)q − 1

ឧទាហរណ៍3, 6, 12, 24 (×2)

របៀបសម្គាល់ក្នុង 10 វិនាទី៖ គណនាផលសងនៃតួជិតខាង។ ដូចគ្នា — ស៊េរីនព្វន្ត។ ប្រសិនបើមិនមែនផលសងទេ ប៉ុន្តែផលធៀប (តួបន្ទាប់ចែកនឹងតួមុនទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា) — ធរណីមាត្រ។

លំហាត់គំរូនៃដំណោះស្រាយលើស៊េរីនព្វន្ត

ឧទាហរណ៍ 1. រកតួទីមួយ និងផលសងរួមតាមតួពីរ

គេឱ្យ។ $a_3 = 14$, $a_7 = 30$។ រក $a_1$, $d$ និង $a_{20}$។

ជំហាន 1. ពីតួទីបីដល់តួទីប្រាំពីរមាន $7 - 3 = 4$ ជំហាន ដែលជំហាននីមួយៗបូកបន្ថែម d។ ដូច្នេះ $a_7 = a_3 + 4d$ ពោលគឺ $30 = 14 + 4d$ ដែលបាន $4d = 16$ និង $d = 4$។

ជំហាន 2. ត្រឡប់ថយក្រោយទៅតួទីមួយ៖ $a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6$។

ជំហាន 3. សរសេររូបមន្តតួទី n៖ $a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2$។

ជំហាន 4. គណនាតួដែលត្រូវការ៖ $a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82$។

ពិនិត្យ។ សរសេរដើមស៊េរី៖ 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30។ តួទីបី 14, តួទីប្រាំពីរ 30 — ត្រូវគ្នា។

ចម្លើយ៖ $a_1 = 6$, $d = 4$, $a_{20} = 82$។

ឧទាហរណ៍ 2. ផលបូកនៃតួ 30 ដំបូង (រូបមន្តទាំងពីរ)

គេឱ្យ។ ស៊េរី $-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots$ រក $S_{30}$។

ជំហាន 1. កំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ $a_1 = -5$, $d = -2 - (-5) = 3$។

ជំហាន 2. រកតួទីសាមសិប៖ $a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82$។

ជំហាន 3. គណនាតាមរូបមន្តទីមួយ៖ $S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155$។

ជំហាន 4. ពិនិត្យតាមរូបមន្តទីពីរ។ ដំបូងភាគយក៖ $2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77$។

បន្ទាប់មកដូចជំហានទីបី៖ $S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155$។

ផ្លូវទាំងពីរបាន 1155 — មានន័យថាការគណនាត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖ $S_{30} = 1155$។

ឧទាហរណ៍ 3. ផលបូកនៃចំនួនពីរខ្ទង់ទាំងអស់ដែលចែកនឹង 7 ដាច់

លំហាត់។ រកផលបូកនៃចំនួនពីរខ្ទង់ទាំងអស់ដែលចែកនឹង 7 ដាច់។

ជំហាន 1. ចំនួនទាំងនេះបង្កើតបានជាស៊េរីនព្វន្តដែលមានផលសងរួម 7។ ចំនួនពីរខ្ទង់តូចបំផុតដែលចែកនឹង 7 ដាច់គឺ 14, ធំបំផុតគឺ 98 (បន្ទាប់គឺ 105 ដែលជាចំនួនបីខ្ទង់)។ យើងបាន $a_1 = 14$, $d = 7$, $a_n = 98$។

ជំហាន 2. គណនាចំនួនតួ៖ $n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13$។

ជំហាន 3. គណនាផលបូក៖ $S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728$។

ជំហាន 4. ពិនិត្យតាមរូបមន្តទីពីរ។ $S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728$។

ចម្លើយ៖ 728។

ឧទាហរណ៍ 4. ពិនិត្យថាតើលេខមួយស្ថិតក្នុងស៊េរីដែរឬទេ

លំហាត់។ តើលេខ 145 ជាតួនៃស៊េរី $7,\ 12,\ 17,\ \dots$ ដែរឬទេ? ចុះលេខ 142 វិញ?

ជំហាន 1. ប៉ារ៉ាម៉ែត្រស៊េរី៖ $a_1 = 7$, $d = 5$ ដូច្នេះ $a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2$។

ជំហាន 2. ពិនិត្យ 145៖ សមីការ $5n + 2 = 145$ ផ្តល់ $5n = 143$ និង $n = 28{,}6$។ លេខរៀងជាប្រភាគ ដូច្នេះ 145 មិនមែន ជាតួនៃស៊េរីទេ។

ជំហាន 3. ពិនិត្យ 142៖ $5n + 2 = 142$ ដែលបាន $5n = 140$ និង $n = 28$។ លេខរៀងជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន — លេខនេះមានក្នុងស៊េរី។

ជំហាន 4. ពិនិត្យដោយជំនួស។ $a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142$។ ត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖ 145 មិនមានក្នុងស៊េរីទេ; 142 មាន ហើយជាតួទី 28។

ឧទាហរណ៍ 5. លក្ខណៈពិសេសជាមួយតួជាអក្សរ

លំហាត់។ តើសម្រាប់តម្លៃ $x$ ណាដែលចំនួន $x - 3$, $2x + 1$, $4x - 1$ ជាតួបីជាប់គ្នានៃស៊េរីនព្វន្ត?

ជំហាន 1. តាមលក្ខណៈពិសេស តួកណ្តាលគុណនឹងពីរស្មើនឹងផលបូកតូចុង៖

\[2(2x + 1) = (x - 3) + (4x - 1).\]

ជំហាន 2. ពន្លាតវង់ក្រចក៖ $4x + 2 = 5x - 4$។

ជំហាន 3. ដោះស្រាយ៖ $2 + 4 = 5x - 4x$ ពោលគឺ $x = 6$។

ជំហាន 4. ពិនិត្យ។ ជំនួស $x = 6$៖ តួទីមួយ $6 - 3 = 3$, តួទីពីរ $2\cdot 6 + 1 = 13$, តួទីបី $4\cdot 6 - 1 = 23$។ ផលសង៖ $13 - 3 = 10$ និង $23 - 13 = 10$ — ដូចគ្នា។

ចម្លើយ៖ $x = 6$, ស៊េរី 3, 13, 23 ដែលមានផលសងរួម 10។

ឧទាហរណ៍ 6. តើមានតួអវិជ្ជមានប៉ុន្មានក្នុងស៊េរី

លំហាត់។ តើមានតួអវិជ្ជមានប៉ុន្មានក្នុងស៊េរី $-21,\ -18,\ -15,\ \dots$?

ជំហាន 1. ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ $a_1 = -21$, $d = 3$។ រូបមន្តតួទី n៖ $a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24$។

ជំហាន 2. សរសេរលក្ខខណ្ឌ "តួជាអវិជ្ជមាន"៖ $3n - 24 < 0$ ដែលបាន $3n < 24$ និង $n < 8$។

ជំហាន 3. លេខរៀងជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ដូច្នេះយក $n = 1, 2, \dots, 7$ — សរុបមាន ប្រាំពីរ តួ។

ជំហាន 4. ពិនិត្យព្រំដែន។ $a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3$ — អវិជ្ជមាន។ $a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0$ — សូន្យមិនមែនជាចំនួនអវិជ្ជមានទេ ដូច្នេះតួទីប្រាំបីមិនរាប់បញ្ចូលទេ។ $a_9 = 3$ — វិជ្ជមាន។

ចម្លើយ៖ តួអវិជ្ជមានចំនួនប្រាំពីរ។

កំហុសញឹកញាប់ក្នុងលំហាត់ស៊េរីនព្វន្ត

ក្នុងរូបមន្តតួទី n គេសរសេរ $a_n = a_1 + nd$ ជំនួសឱ្យ $a_n = a_1 + (n-1)d$។

ពីតួទីមួយដល់តួទី n គេធ្វើជំហានតិចជាងលេខរៀងមួយដង។ សម្រាប់ស៊េរី $5,\ 9,\ 13,\ \dots$ តួទីដប់គឺ $a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41$ មិនមែន 45 ទេ។ ការពិនិត្យរូបមន្តរហ័ស៖ ជំនួស $n = 1$ — គួរតែទទួលបាន $a_1$។
ផលសងរួមគេគណនាច្រាស៖ $d = a_1 - a_2$ ហើយសញ្ញាទទួលបានផ្ទុយគ្នា។

ផលសងរួមគឺតួបន្ទាប់ដកតួមុន៖ $d = a_2 - a_1$។ សម្រាប់ស៊េរី $40,\ 34,\ 28,\ \dots$ ត្រឹមត្រូវគឺ $d = 34 - 40 = -6$។ សញ្ញាដកនៅទីនេះមិនមែនជាកំហុសទេ ប៉ុន្តែជាសញ្ញានៃស៊េរីថយចុះ។
ក្នុងរូបមន្តផលបូក គេភ្លេចចែកនឹង 2 ឬគុណនឹង $n$៖ គេសរសេរ $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$។

គេបូកគូ "តួទីមួយជាមួយតូចុង" ដែលមានចំនួន $\dfrac{n}{2}$ គូ ដូច្នេះការចែកនឹង 2 គឺចាំបាច់។ សម្រាប់ស៊េរី $2,\ 9,\ 16,\ \dots$ យើងមាន $a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65$ និង $S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335$ មិនមែន 670 ទេ។
នៅពេលពិនិត្យការស្ថិតក្នុងស៊េរី គេទទួលបាន $n = 0$ ឬ n អវិជ្ជមាន ហើយនៅតែឆ្លើយថា "មានក្នុងស៊េរី"។

លេខរៀងតួគឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ការរាប់ចាប់ផ្តើមពីមួយ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ស៊េរី $10,\ 14,\ 18,\ \dots$ សមីការ $10 + 4(n-1) = 6$ ផ្តល់ $n = 0$ ដែលមានន័យថា 6 មិនមានក្នុងស៊េរីទេ៖ លេខនេះនឹងស្ថិតនៅមុនតួទីមួយ។
ច្រឡំអ្វីដែលរកឃើញ៖ ជំនួសតម្លៃតួទៅកន្លែងដែលត្រូវការលេខរៀង និងច្រាសមកវិញ។

$a_n$ — គឺជាតម្លៃ, $n$ — គឺជាលេខរៀង។ ប្រសិនបើលំហាត់សួរថា "តើតួទីប៉ុន្មានស្មើនឹង 142" ចម្លើយគឺ 28 មិនមែន 142 ទេ។ ទម្លាប់មានប្រយោជន៍៖ សរសេរមុនពេលដោះស្រាយជួរ "គេឱ្យ៖ $a_1 = \dots$, $d = \dots$, រក៖ $n$"។
គិតថា ស៊េរីត្រូវតែមានការកើនឡើង និងមានចំនួនគត់។

ផលសងរួមអាចជាអវិជ្ជមាន ($20,\ 17,\ 14,\ \dots$), ជាប្រភាគ (1; 1,5; 2; 2,5) និងសូម្បីតែសូន្យ (8, 8, 8, …)។ ករណីទាំងបីនេះ សុទ្ធតែជាស៊េរីនព្វន្តស្របច្បាប់ ហើយរូបមន្តទាំងអស់ដំណើរការដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ។

សំណួរ និងចម្លើយ

តើស៊េរីនព្វន្តជាអ្វីដោយពាក្យសាមញ្ញ?

វាជាលំដាប់លេខដែលលេខបន្ទាប់នីមួយៗទទួលបានពីលេខមុនដោយបូកចំនួនថេរ $d$ — ផលសងរួមនៃស៊េរី។ ឧទាហរណ៍ 3, 7, 11, 15, 19, … — ស៊េរីដែលមានតួទីមួយ 3 និងផលសងរួម 4។

តើរូបមន្តតួទី n នៃស៊េរីនព្វន្តជាអ្វី?

$a_n = a_1 + (n-1)d$ ដែល $a_1$ ជាតួទីមួយ, $d$ ជាផលសងរួម, $n$ ជាលេខរៀង។ ប្រសិនបើស្គាល់តួផ្សេងមិនមែនតួទីមួយ នោះប្រើទម្រង់ទូទៅ $a_n = a_k + (n-k)d$។

របៀបរកផលសងរួមនៃស៊េរីនព្វន្ត?

ដកតួមុនចេញពីតួណាមួយ៖ $d = a_n - a_{n-1}$។ ប្រសិនបើគេឱ្យតួពីរដែលមានលេខរៀងផ្សេងគ្នា សូមប្រើ $d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}$។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ $a_5 = 23$ និង $a_9 = 43$ យើងបាន $d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5$ ហើយតួទីមួយគឺ $23 - 4\cdot 5 = 3$។

របៀបរកតួទីមួយនៃស៊េរីនព្វន្ត?

ពីរូបមន្តតួទី n៖ $a_1 = a_n - (n-1)d$។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ $a_{12} = 60$ និង $d = 4$ នោះ $a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16$។ ពិនិត្យ៖ $16 + 11\cdot 4 = 60$។

របៀបរកផលបូកនៃតួ n ដំបូងនៃស៊េរីនព្វន្ត?

តាមរូបមន្ត $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$ ប្រសិនបើស្គាល់តូចុង ឬតាមរូបមន្ត $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n$ ប្រសិនបើស្គាល់តែតួទីមួយ និងផលសងរួម។ ទាំងពីរផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នា ដូច្នេះរូបមន្តទីពីរងាយស្រួលប្រើសម្រាប់ពិនិត្យរូបមន្តទីមួយ។

របៀបរកចំនួនតួនៃស៊េរីនព្វន្ត?

ពីរូបមន្តតួទី n៖ $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងស៊េរី $8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98$ ផលសងរួមគឺ 5 ដូច្នេះ $n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19$ តួ។

តើស៊េរីនព្វន្តខុសពីស៊េរីធរណីមាត្រយ៉ាងណា?

ក្នុងស៊េរីនព្វន្តគេ បូក ផលសងរួម $d$ ទៅនឹងតួនីមួយៗ ចំណែកក្នុងស៊េរីធរណីមាត្រគេ គុណ តួនីមួយៗនឹងផលធៀបរួម $q$។ រូបមន្តតួទី n៖ $a_n = a_1 + (n-1)d$ ទល់នឹង $b_n = b_1 q^{\,n-1}$។ ដើម្បីកំណត់ប្រភេទ សូមគណនាផលសងនៃតួជិតខាង និងផលធៀបរបស់វា៖ ផលសងដូចគ្នា — នព្វន្ត, ផលធៀបដូចគ្នា — ធរណីមាត្រ។

តើផលសងរួមអាចជាអវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹងសូន្យដែរឬទេ?

បាទ។ សម្រាប់ $d < 0$ ស៊េរីថយចុះ (ឧទាហរណ៍ 20, 17, 14, 11), សម្រាប់ $d = 0$ តួទាំងអស់ដូចគ្នា (6, 6, 6, …) — នេះជាស៊េរីថេរ។ ផលសងរួមអាចជាប្រភាគផងដែរ៖ 1; 1,5; 2; 2,5 — ក៏ជាស៊េរីនព្វន្តដែរ។

តើគេសិក្សាស៊េរីនព្វន្តនៅថ្នាក់ទីប៉ុន្មាន?

នៅថ្នាក់ទី 9 ក្នុងមេរៀនពិជគណិត រួមជាមួយស៊េរីធរណីមាត្រ និងលំដាប់លេខ។ លំហាត់លើស៊េរីត្រូវបានដាក់បញ្ចូលក្នុងការប្រឡង៖ ជាធម្មតាគេតម្រូវឱ្យរកតួតាមលេខរៀង, លេខរៀងតាមតម្លៃ, ចំនួនតួ ឬផលបូកនៃតួ n ដំបូង។

នៅមានសំណួរទៀតទេ? បន្តក្នុងឆាត

ដោះស្រាយលំហាត់ស៊េរី ពិនិត្យដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ រកផលសងរួម និងរូបមន្ត តើត្រូវប្រើរូបមន្តផលបូកមួយណា? នព្វន្ត ឬធរណីមាត្រ? ផ្តល់លំហាត់សម្រាប់ហ្វឹកហាត់

អ្នកប្រើប្រាស់ #4365351

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តកម្មវិធីកែសម្រួលអត្ថបទលើរូបភាពណាស់ — លទ្ធផលគឺពិតជាអស្ចារ្យខ្លាំងណាស់។

Web · ឧសភា 2026

អ្នកប្រើប្រាស់ #4383661

សូមអរគុណ ការងាររបស់ AI ពិតជាធ្វើឱ្យខ្ញុំចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំង។ ល្អឥតខ្ចោះ!

អ្នកប្រើប្រាស់ #4279467

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តវាណាស់ — ប្រសិនបើអាចបន្ថែមការសាកល្បងដោយឥតគិតថ្លៃទៀតនោះនឹងកាន់តែល្អ។

Google Play · ឧសភា 2026

អ្នកប្រើប្រាស់ #4160129

កម្មវិធីដ៏អស្ចារ្យជាមួយនឹងតម្លៃសមរម្យ។

ស៊េរីនព្វន្ត៖ រូបមន្ត ផលសងរួម និងផលបូក n តួដំបូង