រូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរ ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីពីរគ្រប់ទម្រង់ \(ax^2 + bx + c = 0\) (ដោយ \(a \neq 0\))។ ឫសរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ដោយ \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)។ នៅលើទំព័រនេះ អ្នកនឹងឃើញអត្ថន័យនៃផ្នែកនីមួយៗ របៀបប្រើប្រាស់រូបមន្តមួយជំហានម្តងៗ របៀបដែល តម្លៃរើស (discriminant) ប្រាប់អ្នកពីចំនួនដំណោះស្រាយដែលត្រូវរំពឹងទុក និងឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយយ៉ាងពេញលេញ — បូករួមទាំងកម្មវិធីហ្វឹកហាត់អន្តរកម្ម ដើម្បីឱ្យអ្នកអាចអនុវត្តបានភ្លាមៗ។
តើរូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរជាអ្វី
សមីការដឺក្រេទីពីរ គឺជាសមីការណាមួយដែលអ្នកអាចសរសេរក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ \(ax^2 + bx + c = 0\) ដែល \(a\), \(b\), និង \(c\) ជាចំនួន ហើយ \(a \neq 0\)។ ចំនួន \(a\), \(b\), និង \(c\) ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ៖ \(a\) គឺជាមេគុណនៃ \(x^2\), \(b\) គឺជាមេគុណនៃ \(x\), និង \(c\) គឺជាតួថេរ។
រូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរផ្តល់ដំណោះស្រាយ (ឫស) ដោយផ្ទាល់ពីមេគុណទាំងបីនេះ — មិនចាំបាច់បំបែកជាកត្តាទេ។ វាដំណើរការសម្រាប់សមីការដឺក្រេទីពីរគ្រប់ប្រភេទ សូម្បីតែសមីការដែលមិនអាចបំបែកជាកត្តាបានយ៉ាងងាយស្រួលក៏ដោយ។
ប្រភពដើម (ការទាញយក): រូបមន្តនេះគឺជាអ្វីដែលអ្នកទទួលបានដោយការ បំពេញការ៉េ លើសមីការទូទៅ។ ចែក \(ax^2 + bx + c = 0\) ដោយ \(a\), ផ្លាស់ទីតួថេរទៅម្ខាងទៀត, បូក \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) ទៅសងខាងដើម្បីបង្កើតជាការ៉េពេញលេញ ហើយទាញឫសការ៉េ។ លទ្ធផលគឺជារូបមន្តតែមួយខាងក្រោម ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់គ្រប់ \(a\), \(b\), \(c\)។
តម្លៃរើស (discriminant)៖ ចំនួនឫស
ផ្នែកនៅក្រោមឫសការ៉េ \(b^2 - 4ac\) ត្រូវបានគេហៅថា តម្លៃរើស (discriminant) (ជារឿយៗសរសេរថា \(D\))។ អ្នកមិនចាំបាច់បញ្ចប់រូបមន្តទាំងមូលដើម្បីដឹងថាមានដំណោះស្រាយប៉ុន្មានសម្រាប់សមីការនោះទេ — សញ្ញា នៃតម្លៃរើសប្រាប់អ្នកភ្លាមៗ។
ដោយសារអ្នកមិនអាចទាញឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានបានទេ សញ្ញានៃ \(D\) បែងចែកសមីការដឺក្រេទីពីរគ្រប់ប្រភេទជាបីករណី៖ ឫសពីរ, ឫសមួយដដែល, ឬគ្មានឫសពិត។ នៅលើក្រាហ្វ នេះគឺជាកន្លែងដែលប៉ារ៉ាបូល \(y = ax^2 + bx + c\) កាត់អ័ក្ស x — ពីរដង, ម្តង (នៅចំណុចកំពូល), ឬមិនកាត់ទាល់តែសោះ។
| តម្លៃរើស D = b² − 4ac | ឫសពិត | អ្វីដែលអ្នកទទួលបាន |
|---|---|---|
| D > 0 | ឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា | ប៉ារ៉ាបូលកាត់អ័ក្ស x ពីរដង។ ប្រើសញ្ញាទាំងពីរ៖ x = (−b ± √D) / 2a។ |
| D = 0 | ឫសពិតមួយ (ដដែល) | ប៉ារ៉ាបូលប៉ះអ័ក្ស x នៅចំណុចកំពូល។ ± បាត់ទៅ៖ x = −b / 2a។ |
| D < 0 | គ្មានឫសពិត | ប៉ារ៉ាបូលមិនដែលប៉ះអ័ក្ស x ទេ។ គ្មានឫសការ៉េពិតនៃចំនួនអវិជ្ជមានទេ។ |
របៀបប្រើប្រាស់រូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរ៖ ជំហាន
រូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរតែងតែដំណើរការតាមរបៀបដដែល។ អនុវត្តតាមជំហានទាំងប្រាំនេះតាមលំដាប់ ហើយវានឹងមិនធ្វើឱ្យអ្នកខកបំណងឡើយ — ផ្នែកដែលពិបាកបំផុតគឺគ្រាន់តែអានមេគុណ (ជាមួយសញ្ញារបស់វា) ឱ្យបានត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណោះ។
ឧទាហរណ៍នៃរូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរ (មួយជំហានម្តងៗ)
ឧទាហរណ៍ទី 1. ឫសពិតពីរ (D > 0)
ដោះស្រាយ \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)។
ជំហានទី 1–2. វាស្ថិតក្នុងទម្រង់ស្តង់ដាររួចហើយ ដូច្នេះអានមេគុណ៖ \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\)។
ជំហានទី 3. តម្លៃរើស៖ \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\)។
ជំហានទី 4. \(D = 25 > 0\) ដូច្នេះមាន ឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា។
ជំហានទី 5. ជំនួស៖ \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\)។
ប្រើសញ្ញាបូក៖ \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)។ ប្រើសញ្ញាដក៖ \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)។
ឫស៖ \(x = 3\) និង \(x = \tfrac{1}{2}\)។
ឧទាហរណ៍ទី 2. ឫសដដែលមួយ (D = 0)
ដោះស្រាយ \(x^2 - 6x + 9 = 0\)។
ជំហានទី 1–2. ទម្រង់ស្តង់ដាររួចហើយ៖ \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)។
ជំហានទី 3. តម្លៃរើស៖ \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\)។
ជំហានទី 4. \(D = 0\) ដូច្នេះមាន ឫសពិតមួយ (ឫសដដែល)។ តួ \(\pm\) បាត់ទៅព្រោះ \(\sqrt{0} = 0\)។
ជំហានទី 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\)។
ឫស៖ \(x = 3\) (សមីការនេះគឺជាការ៉េពេញលេញ \((x-3)^2 = 0\))។
ឧទាហរណ៍ទី 3. គ្មានឫសពិត (D < 0)
ដោះស្រាយ \(x^2 + 2x + 5 = 0\)។
ជំហានទី 1–2. ទម្រង់ស្តង់ដារ៖ \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\)។
ជំហានទី 3. តម្លៃរើស៖ \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\)។
ជំហានទី 4. \(D = -16 < 0\)។ ដោយសារអ្នកមិនអាចទាញឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានបានទេ សមីការនេះ គ្មានឫសពិត — ប៉ារ៉ាបូលរបស់វាមិនដែលកាត់អ័ក្ស x ទេ។
ជំហានទី 5. មិនចាំបាច់ធ្វើអ្វីទៀតសម្រាប់ដំណោះស្រាយពិតទេ។ (ប្រសិនបើអ្នកបានរៀនចំនួនកុំផ្លិច ឫសគឺ \(x = -1 \pm 2i\) ប៉ុន្តែសម្រាប់ចម្លើយពិត យើងឈប់ត្រឹមនេះ។)
កំហុសទូទៅជាមួយរូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរ
-
ខុសសញ្ញានៃ b ជាពិសេសនៅពេល b ជាចំនួនអវិជ្ជមាន។
រូបមន្តចាប់ផ្តើមដោយ −b។ ប្រសិនបើ b = −7 នោះ −b = +7 — សញ្ញាដកពីរដងកាត់គ្នា។ សរសេរការជំនួសឱ្យបានពេញលេញ ឧ. −(−7) មុនពេលសម្រួល។
-
ភ្លេច ± ហើយរាយការណ៍តែឫសមួយ។
នៅពេល D > 0 សញ្ញា ± ផ្តល់ចម្លើយពីរ៖ មួយជាមួយ + និងមួយជាមួយ −។ តែងតែគណនាទាំង (−b + √D)/(2a) និង (−b − √D)/(2a) លើកលែងតែ D = 0។
-
ចែកតែផ្នែកខ្លះនៃភាគយកដោយ 2a។
ភាគយកទាំងមូល −b ± √D ត្រូវចែកនឹង 2a — មិនមែនតែផ្នែក √D ទេ។ រក្សាវាជាប្រភាគតែមួយ៖ (−b ± √D) / (2a)។
-
គណនាតម្លៃរើសខុសនៅពេល a ឬ c ជាចំនួនអវិជ្ជមាន។
ក្នុង D = b² − 4ac ការដក 4ac នៅពេល a·c ជាចំនួនអវិជ្ជមាន គឺពិតជាការបូក។ សម្រាប់ 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12 ដូច្នេះ D = 4 + 12 = 16 មិនមែន 4 − 12 ទេ។
-
ប្រើរូបមន្តមុនពេលសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ។
ផ្លាស់ទីគ្រប់តួទៅម្ខាងដើម្បីឱ្យសមីការអានថា ax² + bx + c = 0 ជាមុនសិន។ ឧទាហរណ៍ x² = 5x − 6 ត្រូវក្លាយជា x² − 5x + 6 = 0 មុនពេលអ្នកអាន a, b, c។
សំណួរដែលសួរញឹកញាប់
តើរូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរជាអ្វី?
រូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរគឺ x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)។ វាផ្តល់ដំណោះស្រាយនៃសមីការដឺក្រេទីពីរគ្រប់ប្រភេទ ax² + bx + c = 0 (ជាមួយ a ≠ 0) ដោយផ្ទាល់ពីមេគុណ a, b, និង c។
តើអ្នកប្រើរូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរមួយជំហានម្តងៗដោយរបៀបណា?
សរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ ax² + bx + c = 0, កំណត់ a, b, និង c ជាមួយសញ្ញារបស់វា, គណនាតម្លៃរើស D = b² − 4ac, ពិនិត្យសញ្ញារបស់វាដើម្បីមើលចំនួនឫស, បន្ទាប់មកជំនួសចូលក្នុង x = (−b ± √D) / (2a) ហើយសម្រួលទាំងកំណែបូកនិងដក។
តើតម្លៃរើសជាអ្វី ហើយហេតុអ្វីវាសំខាន់?
តម្លៃរើសគឺ D = b² − 4ac ដែលជាកន្សោមនៅក្រោមឫសការ៉េ។ សញ្ញារបស់វាប្រាប់អ្នកពីចំនួនឫសពិតដោយមិនចាំបាច់បញ្ចប់ការគណនា៖ D > 0 ផ្តល់ឫសពិតពីរ, D = 0 ផ្តល់ឫសដដែលមួយ, និង D < 0 ផ្តល់គ្មានឫសពិត។
តើពេលណាដែលខ្ញុំគួរប្រើរូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរជំនួសឱ្យការបំបែកជាកត្តា?
ការបំបែកជាកត្តាគឺរហ័សនៅពេលសមីការអាចបំបែកបានជាមួយចំនួនគត់តូចៗ។ រូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរដំណើរការសម្រាប់សមីការគ្រប់ប្រភេទ រួមទាំងសមីការដែលមិនអាចបំបែកបានយ៉ាងងាយស្រួល ឬមានឫសមិនមែនជាចំនួនគត់ ដូច្នេះវាជាជម្រើសដែលអាចទុកចិត្តបាននៅពេលការបំបែកជាកត្តាមិនច្បាស់លាស់។
តើរូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរមកពីណា?
វាត្រូវបានទាញចេញដោយការបំពេញការ៉េលើសមីការទូទៅ ax² + bx + c = 0៖ ចែកដោយ a, បំពេញការ៉េដោយបូក (b/2a)², សរសេរផ្នែកខាងឆ្វេងឡើងវិញជាការ៉េពេញលេញ ហើយទាញឫសការ៉េនៃសងខាង។ លទ្ធផលគឺជារូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរ។
តើរូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរអាចផ្តល់ចម្លើយគ្មានទេ?
ប្រសិនបើតម្លៃរើសជាចំនួនអវិជ្ជមាន (D < 0) នោះគ្មានដំណោះស្រាយពិតទេ ព្រោះអ្នកមិនអាចទាញឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានបាន។ សមីការនៅតែមានឫសកុំផ្លិចពីរ ប៉ុន្តែគ្មានឫសពិតទេ — នៅលើក្រាហ្វ ប៉ារ៉ាបូលមិនដែលប៉ះអ័ក្ស x ឡើយ។
