រូបមន្តគុណកាត់

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

រូបមន្តគុណកាត់ គឺជាអត្តសញ្ញាណពិជគណិតដែលត្រៀមរួចជាស្រេច ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបើកវង់ក្រចក និងបំបែកកន្សោមជាកត្តាដោយមិនចាំបាច់គុណវែងអន្លាយ។ នៅលើទំព័រនេះ មានតារាងរូបមន្តទាំងប្រាំពីរ៖ ការ៉េនៃផលបូក និងផលដក, ផលដកនៃការ៉េ, គូបនៃផលបូក និងផលដក, ផលបូក និងផលដកនៃគូប។ យើងពន្យល់រូបមន្តនីមួយៗជាមួយនឹងការដកស្រង់ និងឧទាហរណ៍ ហើយនៅចុងបញ្ចប់មានលំហាត់អនុវត្តអន្តរកម្ម ដែលអ្នកអាចហ្វឹកហាត់ប្រើរូបមន្តគុណកាត់បានភ្លាមៗ។

តើរូបមន្តគុណកាត់ជាអ្វី

រូបមន្តគុណកាត់ គឺជាអត្តសញ្ញាណដែលទទួលបាននៅពេលដែលយើងគុណពហុធាដោយប្រុងប្រយ័ត្នម្តង ហើយចងចាំលទ្ធផល។ បន្ទាប់មក យើងមិនចាំបាច់បើកវង់ក្រចកជារៀងរាល់ដងទៀតទេ៖ គ្រាន់តែស្គាល់ «គំរូ» ហើយជំនួសលេខ ឬអក្សររបស់អ្នកចូលទៅ។

នៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី៧ រូបមន្តគុណកាត់ដំណើរការក្នុងពីរទិសដៅ៖

ពីឆ្វេងទៅស្តាំ — ដើម្បី បើកវង់ក្រចក និងលើកកន្សោមជាការ៉េ ឬគូបយ៉ាងរហ័ស;
ពីស្តាំទៅឆ្វេង — ដើម្បី បំបែកពហុធាជាកត្តា (នេះចាំបាច់សម្រាប់ការសម្រួលប្រភាគ និងការដោះស្រាយសមីការ)។

សរុបមានរូបមន្តចំនួនប្រាំពីរដែលត្រូវចងចាំ។ ខាងក្រោមនេះគឺជាតារាងជំនួយ ហើយបន្ទាប់មកជាការវិភាគរូបមន្តនីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នា។

តារាងរូបមន្តគុណកាត់

វាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការមើលរូបមន្តគុណកាត់ទាំងប្រាំពីរក្នុងតារាងតែមួយ។ អក្សរ $a$ និង $b$ នៅទីនេះ គឺជាកន្សោមណាមួយ៖ លេខ, អថេរ ឬឯកធាទាំងមូលដូចជា $2x$។

រូបមន្ត	ការសរសេរ
ការ៉េនៃផលបូក	(a + b)² = a² + 2ab + b²
ការ៉េនៃផលដក	(a − b)² = a² − 2ab + b²
ផលដកនៃការ៉េ	a² − b² = (a − b)(a + b)
គូបនៃផលបូក	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
គូបនៃផលដក	(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
ផលបូកនៃគូប	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
ផលដកនៃគូប	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

ការ៉េនៃផលបូក និងការ៉េនៃផលដក

ការ៉េនៃផលបូកទទួលបាននៅពេលដែលយើងគុណ $(a+b)$ នឹងខ្លួនវាផ្ទាល់៖

\[(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]

ជាពាក្យ៖ ការ៉េនៃផលបូកគឺស្មើនឹងការ៉េនៃកន្សោមទីមួយ បូកនឹងពីរដងនៃផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ បូកនឹងការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ។ ការ៉េនៃផលដកក៏ត្រូវបានដកស្រង់តាមរបៀបដូចគ្នាដែរ — សញ្ញានៅមុខតួទីពីរនឹងក្លាយជាដក៖

\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

អ្វីដែលសំខាន់គឺកុំភ្លេចតួទីពីរ $2ab$៖ ដោយសារតែវាទើប $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$។ ការ៉េនៃផលបូក និងការ៉េនៃផលដកខុសគ្នាតែសញ្ញានៅមុខ $2ab$ ប៉ុណ្ណោះ ចំណែកឯតួខាងចុង $a^2$ និង $b^2$ តែងតែមានសញ្ញាបូកជានិច្ច។

ឧទាហរណ៍។ $(x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.$

ការ៉េនៃផលបូកមានអត្ថន័យធរណីមាត្រច្បាស់លាស់៖ វាគឺជាផ្ទៃក្រឡានៃការ៉េធំមួយដែលមានជ្រុង $(a+b)$។

(a + b)² = a² + 2ab + b² — ផ្ទៃក្រឡានៃការ៉េដែលមានជ្រុង (a + b) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េពីរ (a² និង b²) និងចតុកោណកែងដូចគ្នាពីរ ab។

ផលដកនៃការ៉េ

ប្រសិនបើគុណផលបូក និងផលដកនៃកន្សោមដូចគ្នា តួកណ្តាលនឹងកាត់គ្នាទៅវិញទៅមក៖

\[(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2.\]

លទ្ធផលគឺរូបមន្ត ផលដកនៃការ៉េ៖ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)។ នេះគឺជារូបមន្តគុណកាត់ដែលមានប្រយោជន៍បំផុតសម្រាប់ការ បំបែកជាកត្តា៖ នៅពេលដែលអ្នកឃើញផលដកនៃការ៉េពីរភ្លាម — ចូរបំបែកវាជាផលគុណភ្លាម។

ឧទាហរណ៍ (បើកវង់ក្រចក)។ $(x-7)(x+7) = x^2 - 49.$

ឧទាហរណ៍ (បំបែកជាកត្តា)។ $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).$

សំខាន់៖ ផលបូក នៃការ៉េ $a^2 + b^2$ មិនអាចបំបែកជាកត្តាតាមរូបមន្តនេះបានទេ — មានតែផលដកប៉ុណ្ណោះដែលដំណើរការ។

គូបនៃផលបូក, គូបនៃផលដក, ផលបូក និងផលដកនៃគូប

គូបនៃផលបូក និងគូបនៃផលដកមានតួចំនួនបួន៖

\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]

នៅក្នុងគូបនៃផលដក សញ្ញាឆ្លាស់គ្នា៖ $+\,-\,+\,-$។ ហើយជាថ្មីម្តងទៀត គឺជាអន្ទាក់ទូទៅ៖ $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$ — អ្នកមិនអាចគ្រាន់តែ «ចែក» សញ្ញាដឺក្រេទេ តួកណ្តាល $3a^2b$ និង $3ab^2$ មិនអាចបោះបង់ចោលបានទេ។

ឧទាហរណ៍។ $(x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$

ដាច់ដោយឡែកពីគ្នាគឺ ផលបូក និងផលដកនៃគូប — ពួកវាផ្ទុយទៅវិញ បំបែកកន្សោមជាកត្តា៖

\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), \qquad a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).\]

កត្តាទីពីរត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េមិនពេញលេញ នៃផលបូក ឬផលដក។ សញ្ញានៅក្នុងតួទីពីររបស់វាគឺផ្ទុយពីសញ្ញានៅក្នុងវង់ក្រចកទីមួយជានិច្ច៖ សម្រាប់ផលបូកនៃគូបគឺ $-ab$, សម្រាប់ផលដកនៃគូបគឺ $+ab$។

ឧទាហរណ៍។ $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).$

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តគុណកាត់

ឧទាហរណ៍ទី១។ បើកវង់ក្រចក៖ ការ៉េនៃផលបូក

លំហាត់។ លើក $(2x+5)^2$ ជាការ៉េ។

ជំហានទី១។ សម្គាល់រូបមន្តការ៉េនៃផលបូក៖ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ដែល $a = 2x$, $b = 5$។

ជំហានទី២។ គណនាតួនីមួយៗ៖

$a^2 = (2x)^2 = 4x^2$;
$2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x$;
$b^2 = 5^2 = 25$.

ចម្លើយ។ $(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.$

ឧទាហរណ៍ទី២។ បង្រួមទៅជារូបមន្តផលដកនៃការ៉េ

លំហាត់។ រកផលគុណ $(3x-4)(3x+4)$។

ជំហានទី១។ នៅចំពោះមុខយើងគឺជាផលគុណនៃផលដក និងផលបូកនៃកន្សោមដូចគ្នា — នេះគឺជាផលដកនៃការ៉េ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ ដែល $a = 3x$, $b = 4$។

ជំហានទី២។ លើកកន្សោមនីមួយៗជាការ៉េ៖ $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$, $b^2 = 4^2 = 16$.

ចម្លើយ។ $(3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.$

ឧទាហរណ៍ទី៣។ បំបែកជាកត្តា

លំហាត់។ បំបែក $x^2 - 36$ និង $x^3 + 27$ ជាកត្តា។

ផលដកនៃការ៉េ។ $x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).$

ផលបូកនៃគូប។ យើងកត់សម្គាល់ថា $27 = 3^3$ ដូច្នេះ $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$។ អនុវត្តរូបមន្ត $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ ជាមួយ $a = x$, $b = 3$៖

\[x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9).\]

សូមកត់សម្គាល់សញ្ញា $-3x$ នៅក្នុងការ៉េមិនពេញលេញ — សម្រាប់ផលបូកនៃគូប តួទីពីរមានសញ្ញាដក។

ឧទាហរណ៍ទី៤។ គូបនៃផលបូក

លំហាត់។ បើកវង់ក្រចក $(x+2)^3$។

ជំហានទី១។ រូបមន្តគូបនៃផលបូក៖ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ ដែល $a = x$, $b = 2$។

ជំហានទី២។ គណនាតួតាមលំដាប់៖

$a^3 = x^3$;
$3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2$;
$3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x$;
$b^3 = 2^3 = 8$.

ចម្លើយ។ $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$

កំហុសទូទៅនៅពេលធ្វើការជាមួយរូបមន្តគុណកាត់

ភ្លេចគុណនឹងពីរ៖ សរសេរ $(a+b)^2 = a^2 + b^2$។

នៅក្នុងការ៉េនៃផលបូក និងផលដក តែងតែមានតួទីពីរ $2ab$៖ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$។ ការពិនិត្យគឺងាយស្រួល — បើក $(a+b)(a+b)$ តាមជួរឈរ ហើយតួទីពីរនឹងលេចឡើងដោយខ្លួនឯង។
ច្រឡំសញ្ញានៅក្នុងការ៉េនៃផលដក និងផលដកនៃការ៉េ។

នៅក្នុងការ៉េនៃផលដក សញ្ញាដកមានតែនៅតួទីពីរទេ៖ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (តួខាងចុងមានសញ្ញាបូក)។ ចំណែកឯនៅក្នុងផលដកនៃការ៉េ សញ្ញាដកគឺនៅចន្លោះការ៉េទាំងពីរ៖ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$។ ទាំងនេះជារូបមន្តផ្សេងគ្នា។
«ចែក» សញ្ញាដឺក្រេសម្រាប់គូប៖ $(a+b)^3 = a^3 + b^3$។

មិនអាចធ្វើបែបនេះបានទេ។ គូបនៃផលបូកមានតួចំនួនបួន៖ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$។ រូបមន្ត $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ គឺជារឿងផ្សេងទាំងស្រុង (ផលបូកនៃគូប) វាសម្រាប់ការបំបែកជាកត្តា។
នៅក្នុងការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូក/ផលដកនៃគូប គេដាក់ពីរដងនៃផលគុណ $2ab$។

ការ៉េមិនពេញលេញគឺ $a^2 \pm ab + b^2$ ដោយគ្មានលេខពីរនៅមុខ $ab$។ សញ្ញាគឺផ្ទុយពីសញ្ញានៃវង់ក្រចកទីមួយ៖ ផលបូកនៃគូប $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$, ផលដកនៃគូប $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$។
ព្យាយាមបំបែកផលបូកនៃការ៉េ $a^2 + b^2$ ជាកត្តា។

មានតែផលដកនៃការ៉េ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ ប៉ុណ្ណោះដែលអាចបំបែកជាកត្តាបាន។ ផលបូកនៃការ៉េ $a^2 + b^2$ មិនអាចបំបែកជាកត្តាក្នុងកម្មវិធីសិក្សាសាលាបានទេ។

សំណួរ និងចម្លើយ

តើរូបមន្តគុណកាត់មានប៉ុន្មាន?

ប្រាំពីរ៖ ការ៉េនៃផលបូក, ការ៉េនៃផលដក, ផលដកនៃការ៉េ, គូបនៃផលបូក, គូបនៃផលដក, ផលបូកនៃគូប និងផលដកនៃគូប។ ទាំងអស់ត្រូវបានប្រមូលផ្តុំនៅក្នុងតារាងខាងលើ។

តើការ៉េនៃផលបូកស្មើនឹងអ្វី?

ស្មើនឹងការ៉េនៃកន្សោមទីមួយ បូកនឹងពីរដងនៃផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ បូកនឹងការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ៖ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$។ សម្រាប់ការ៉េនៃផលដក តួទីពីរមានសញ្ញាដក៖ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបំបែកផលដកនៃការ៉េជាកត្តា?

តាមរូបមន្ត $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$។ ឧទាហរណ៍ $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$។ គ្រាន់តែឃើញថា តួទាំងពីរគឺជាការ៉េពេញលេញ ហើយមានសញ្ញាដកនៅចន្លោះពួកវា។

ហេតុអ្វីបានជា $(a+b)^2$ មិនស្មើនឹង $a^2 + b^2$?

ដោយសារតែនៅពេលគុណ $(a+b)(a+b)$ មានតួ $ab$ ពីរទៀតដែលដូចគ្នា ដែលផ្តល់ឱ្យតួទីពីរ $2ab$។ វាមិនអាចបោះបង់ចោលបានទេ៖ ត្រឹមត្រូវគឺ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$។

តើគូបនៃផលបូកខុសពីផលបូកនៃគូបយ៉ាងដូចម្តេច?

គូបនៃផលបូក $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ គឺជាការបើកវង់ក្រចក។ ផលបូកនៃគូប $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ គឺផ្ទុយទៅវិញ គឺជាការបំបែកកន្សោមជាកត្តា។ ទាំងនេះជារូបមន្តផ្សេងគ្នា កុំច្រឡំវា។

តើគេរៀនរូបមន្តគុណកាត់នៅថ្នាក់ទីប៉ុន្មាន?

ជាធម្មតានៅថ្នាក់ទី៧ ក្នុងមេរៀនពិជគណិត៖ ដំបូងការ៉េនៃផលបូក និងផលដក, ផលដកនៃការ៉េ, បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់គូប។ ពួកវាត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មនៅពេលក្រោយសម្រាប់ការសម្រួលកន្សោម, ការសម្រួលប្រភាគ និងការដោះស្រាយសមីការ។

នៅមានសំណួរទៀតទេ? បន្តនៅក្នុងការជជែក

បើកវង់ក្រចកឱ្យខ្ញុំ បំបែកជាកត្តា ពិនិត្យដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ គូបនៃផលបូក ឬផលបូកនៃគូប? ផ្តល់ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការហ្វឹកហាត់

អ្នកប្រើប្រាស់ #4365351

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តកម្មវិធីកែសម្រួលអត្ថបទលើរូបភាពណាស់ — លទ្ធផលគឺពិតជាអស្ចារ្យខ្លាំងណាស់។

Web · ឧសភា 2026

អ្នកប្រើប្រាស់ #4383661

សូមអរគុណ ការងាររបស់ AI ពិតជាធ្វើឱ្យខ្ញុំចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំង។ ល្អឥតខ្ចោះ!

អ្នកប្រើប្រាស់ #4279467

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តវាណាស់ — ប្រសិនបើអាចបន្ថែមការសាកល្បងដោយឥតគិតថ្លៃទៀតនោះនឹងកាន់តែល្អ។

Google Play · ឧសភា 2026