វិសមភាពសមាមTrésor គឺជាវិសមភាពក្នុងទម្រង់ \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), ដែល \(P(x)\) និង \(Q(x)\) គឺជាពហុធា, ហើយជំនួសឲ្យសញ្ញា \(>\) អាចមាន \(<\), \(\ge\) ឬ \(\le\)។ វិសមភាពបែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រចន្លោះ៖ ផ្ទេរអ្វីៗទាំងអស់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង, បំបែកទៅជាកត្តា, កត់សម្គាល់សូន្យនៃភាគយក និងសូន្យនៃភាគបែងលើអ័ក្សចំនួន, និងកំណត់សញ្ញា។ ខាងក្រោមនេះគឺជានិយមន័យ, អាល់ហ្គោរីតមពេញលេញ, ច្បាប់សម្រាប់ចំណុចដែលត្រូវលុប, កម្រិតនៃឫស, ឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយ និងឧបករណ៍ហ្វឹកហាត់ជាមួយនឹងការត្រួតពិនិត្យ។
តើវិសមភាពសមាមTrésor គឺជាអ្វី?
វិសមភាពសមាមTrésor គឺជាវិសមភាពដែលភាគីទាំងពីរត្រូវបានសរសេរជាកន្សោមសមាមTrésor, មានន័យថាពហុធា និងប្រភាគនៃពហុធា។ បន្ទាប់ពីផ្ទេរអ្វីៗទាំងអស់ទៅភាគីម្ខាង, វាតែងតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅទម្រង់
ដែល \(P(x)\) និង \(Q(x)\) គឺជាពហុធា, ហើយនៅកន្លែង \(\vee\) គឺជាសញ្ញាមួយក្នុងចំណោម \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\)។ ខាងស្តាំត្រូវតែជាសូន្យ — នេះគឺជាលក្ខខណ្ឌដែលគ្មានវាវិធីសាស្ត្រចន្លោះមិនដំណើរការ។
វិសមភាពសមាមTrésor ត្រូវបានបែងចែកជាពីរប្រភេទ។ ប្រសិនបើអថេរលេចឡើងតែក្នុងភាគយក, វិសមភាពត្រូវបានហៅថា វិសមភាពសមាមTrésorទាំងមូល៖ គ្មានអ្វីត្រូវចែកទេ, ហើយតម្លៃ x ណាមួយក៏ដោយគឺអាចទទួលយកបាន។ ប្រសិនបើអថេរមាននៅក្នុងភាគបែង, វិសមភាពគឺ វិសមភាពសមាមTrésorចម្រុះ (វាក៏ត្រូវបានហៅថាវិសមភាពប្រភាគ ឬវិសមភាពជាមួយនឹងប្រភាគ) — ហើយបន្ទាប់មកមានការរឹតត្បិតភ្លាមៗ \(Q(x) \neq 0\)។
ហេតុអ្វីបានជាមិនអាចគុណភាគីទាំងពីរដោយភាគបែង
ការល្បួងដ៏ខ្លាំងបំផុតពេលដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយនឹងប្រភាគគឺត្រូវ “កម្ចាត់ភាគបែង” ដោយការគុណវាលើភាគីទាំងពីរ។ ជាមួយនឹងសមីការ វាអាចធ្វើបាន, តែជាមួយនឹងវិសមភាព — មិនបានទេ។ មូលហេតុគឺសាមញ្ញ៖ ពេលគុណដោយ ចំនួនអវិជ្ជមាន សញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានបញ្ច្រាស, ហើយសញ្ញានៃកន្សោម \(Q(x)\) គឺមិនស្គាល់ជាមុន — វាអាស្រ័យលើ \(x\)។
សូមមើលវិសមភាព \(\frac{5}{x-3} < 1\)។ គុណភាគីទាំងពីរដោយ \(x - 3\), ដូចជាវាជាចំនួនវិជ្ជមាន៖ នឹងបាន \(5 < x - 3\), មានន័យថា \(x > 8\)។ ត្រួតពិនិត្យចម្លើយដោយការជំនួស \(x = 0\)៖ \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — វិសមភាពត្រឹមត្រូវ, ដូច្នេះសូន្យក៏ជាដំណោះស្រាយដែរ, ប៉ុន្តែវាមិនបានបញ្ចូលក្នុងចម្លើយ \(x > 8\)។ ចម្លើយត្រូវបានបាត់បង់។
ផ្លូវត្រឹមត្រូវ — គឺត្រូវផ្ទេរអ្វីៗទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង និងបង្រួមទៅជាប្រភាគតែមួយ៖
នៅជំហានចុងក្រោយយើងបានគុណភាគីទាំងពីរដោយ \(-1\) និង បញ្ច្រាសសញ្ញា — នេះគឺស្របច្បាប់, ព្រោះ \(-1\) គឺអវិជ្ជមានជានិច្ច។ បន្ទាប់មកវិធីសាស្ត្រចន្លោះដំណើរការ, ហើយចម្លើយគឺ \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — វាមានសូន្យដែលបាត់បង់ផងដែរ។
ងាយស្រួលបំផុតក្នុងការចងចាំ៖ កុំគុណភាគីទាំងពីរដោយកន្សោមដែលមានអថេរ, តែអាចផ្ទេរពាក្យបានជានិច្ច។ ការផ្ទេរមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាវិសមភាពទេ។
វិធីសាស្ត្រចន្លោះ៖ អាល់ហ្គោរីតមដោះស្រាយជាជំហានៗ
វិធីសាស្ត្រចន្លោះគឺផ្អែកលើលក្ខណៈមួយ៖ រវាងសូន្យដែលនៅជាប់គ្នានៃកន្សោមសមាមTrésor សញ្ញារបស់វាគឺថេរ។ ដូច្នេះ, វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការរកចំណុចទាំងអស់ដែលភាគយក ឬភាគបែងប្រែទៅជាសូន្យ, បំបែកអ័ក្សចំនួនដោយពួកវា, និងកំណត់សញ្ញាលើផ្នែកនីមួយៗ — ដោយចំណុចសាកល្បងមួយ ឬដោយកម្រិតនៃឫស។
ចំណុចដែលត្រូវលុប និងចំណុចដែលត្រូវបំពេញ៖ ODZ និងសញ្ញាវិសមភាព
កំហុសក្នុងវង់ក្រចកមួយធ្វើឲ្យដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវក្លាយជាចម្លើយខុស, ដូច្នេះច្បាប់សម្រាប់ចំណុចគួរត្រូវបានរៀនដោយឡែក។ ដំណើរការតែពីរចំណុចប៉ុណ្ណោះ។
ទីមួយ — តំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន (ODZ)។ សូន្យនៃភាគបែងត្រូវបានលុបជានិច្ច, មិនថាសញ្ញាវិសមភាពអ្វីទេ។ នៅចំណុចនោះប្រភាគគឺមិនមានទេ៖ មិនអាចចែកដោយសូន្យទេ, ដូច្នេះតម្លៃនោះមិនអាចជាដំណោះស្រាយបានទេ, ទោះបីជាសញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹងក៏ដោយ។
ទីពីរ — សញ្ញាតឹងរ៉ឹង ឬមិនតឹងរ៉ឹង។ សូន្យនៃភាគយកធ្វើឲ្យប្រភាគប្រែទៅជាសូន្យ។ ជាមួយនឹងសញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹង (\(\le\) ឬ \(\ge\)) ការស្មើនឹងសូន្យគឺអាចទទួលយកបាន, ដូច្នេះចំណុចត្រូវបានបំពេញ និងបញ្ចូលក្នុងចម្លើយដោយវង់ក្រចកបិទ។ ជាមួយនឹងសញ្ញាតឹងរ៉ឹង (\(<\) ឬ \(>\)) សូន្យមិនសមរម្យ, ហើយចំណុចត្រូវបានលុប។
ឧទាហរណ៍, សម្រាប់វិសមភាព \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) ចំណុច \(x = 6\) ត្រូវបានបំពេញ (សូន្យនៃភាគយក, សញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹង), ហើយចំណុច \(x = -1\) ត្រូវបានលុប (សូន្យនៃភាគបែង)។ ចម្លើយ៖ \(x \in (-1; 6]\)។
| ចំណុចប្រភេទអ្វី | របៀបសម្គាល់ |
|---|---|
| សូន្យនៃភាគបែង, Q(x) = 0 | ត្រូវលុប ជានិច្ច, មិនថាសញ្ញាអ្វីទេ — ចំណុចមិនមានក្នុង ODZ |
| សូន្យនៃភាគយក, សញ្ញាតឹងរ៉ឹង < ឬ > | ត្រូវលុប ប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ, ប៉ុន្តែត្រូវការសញ្ញាខុសពីនេះ |
| សូន្យនៃភាគយក, សញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹង ≤ ឬ ≥ | ត្រូវបំពេញ ការស្មើនឹងសូន្យគឺអាចទទួលយកបាន, ចំណុចត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងចម្លើយ |
កម្រិតនៃឫស៖ កន្លែងដែលសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ, និងកន្លែងដែលមិនផ្លាស់ប្តូរ
សញ្ញាលើចន្លោះមិនចាំបាច់ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរជានិច្ច — នេះគឺជាការយល់ខុសទូទៅបំផុតក្នុងប្រធានបទនេះ។ ការផ្លាស់ប្តូរគ្នាដំណើរការតែនៅពេលដែលវង់ក្រចកទាំងអស់ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងដឺក្រេទីមួយប៉ុណ្ណោះ។ ច្បាប់កាន់តែត្រឹមត្រូវគឺតាមរយៈ កម្រិតនៃឫស — អំណាចនៃដឺក្រេនៃវង់ក្រចកដែលត្រូវគ្នា។
ពេលឆ្លងកាត់ឫសនៃកម្រិត សេស (ដឺក្រេ 1, 3, 5) សញ្ញានៃកន្សោមត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ពេលឆ្លងកាត់ឫសនៃកម្រិត គូ (ដឺក្រេ 2, 4) សញ្ញាមិនផ្លាស់ប្តូរ៖ វង់ក្រចកក្នុងដឺក្រេគូគឺមិនអវិជ្ជមានទេ និងមិនធ្វើឲ្យសញ្ញានៃកន្សោមខូចទេ។ កម្រិតត្រូវបានរាប់ដូចគ្នាទាំងសម្រាប់ភាគយក និងភាគបែង។
សូមពិចារណា \((x-9)^2(x+3) > 0\)។ ឫស៖ \(x = 9\) កម្រិត 2 និង \(x = -3\) កម្រិត 1។ ខាងស្តាំនៃប្រាំបួន, កន្សោមគឺវិជ្ជមាន។ ឆ្លងកាត់ 9 — កម្រិតគូ, សញ្ញាត្រូវបានរក្សាទុក, នៅលើចន្លោះ \((-3; 9)\) ក៏មានបូកដែរ។ ឆ្លងកាត់ \(-3\) — កម្រិតសេស, សញ្ញាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅជាដក។ ចម្លើយនៃវិសមភាពតឹងរ៉ឹង៖ \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), ចំណុច 9 ត្រូវបានលុប, ព្រោះនៅទីនោះកន្សោមស្មើនឹងសូន្យ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់វិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹង \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) ចម្លើយគឺខុសគ្នាទៅវិញ៖ \(x \in [-3; +\infty)\) — ប្រាំបួនត្រូវបានបំពេញ និង “ភ្ជាប់” ចន្លោះពីរទៅជាមួយ។
| កម្រិតនៃឫស | សញ្ញាពេលឆ្លង |
|---|---|
| សេស៖ (x − a), (x − a)3 | ផ្លាស់ប្តូរ |
| គូ៖ (x − a)2, (x − a)4 | មិនផ្លាស់ប្តូរ |
អ័ក្សចំនួនក្នុងឧទាហរណ៍៖ កំណត់សញ្ញា
សូមប្រមូលអ្វីៗទាំងអស់រួមគ្នាលើវិសមភាព \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\)។ សូន្យនៃភាគយក៖ \(x = -7\)។ សូន្យនៃភាគបែង៖ \(x = 2\) និង \(x = 5\), ដែលជាអ្នកកំណត់ ODZ។ វង់ក្រចកទាំងបីមានដឺក្រេទីមួយ, ដូច្នេះសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរគ្នា។ ចំណុចសាកល្បង \(x = 10\) ក្នុងចន្លោះខាងស្តាំបំផុតផ្តល់ \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — ចាប់ផ្តើមដោយបូក និងទៅខាងឆ្វេង, ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅចំណុចនីមួយៗ។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយវិសមភាពសមាមTrésor
ឧទាហរណ៍ 1. វិសមភាពប្រភាគសាមញ្ញ
ដោះស្រាយ \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\)។
ជំហាន 1. ខាងស្តាំគឺជាសូន្យហើយ, ប្រភាគគឺមួយហើយ — មិនចាំបាច់ផ្ទេរ និងបង្រួមទេ។
ជំហាន 2. ODZ. \(x + 5 \neq 0\), មានន័យថា \(x \neq -5\)។
ជំហាន 3. សូន្យ។ ភាគយកស្មើសូន្យពេល \(x = 3\), ភាគបែង — ពេល \(x = -5\)។
ជំហាន 4. ចំណុចលើអ័ក្ស។ \(x = 3\) ត្រូវបានបំពេញ (សូន្យនៃភាគយក, សញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹង), \(x = -5\) ត្រូវបានលុប (សូន្យនៃភាគបែង)។
ជំហាន 5. សញ្ញា។ ចំណុចសាកល្បង \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — ខាងស្តាំគឺបូក។ វង់ក្រចកទាំងពីរមានដឺក្រេទីមួយ, ដូច្នេះសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរគ្នា៖ នៅ \((-5; 3)\) គឺដក, នៅ \((-\infty; -5)\) គឺបូក។ សូមត្រួតពិនិត្យ៖ ពេល \(x = -6\) ទទួលបាន \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — ត្រូវគ្នា។
ជំហាន 6. ចម្លើយ។ ទាមទារសញ្ញា “បូក ឬសូន្យ”៖ \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\)។
ឧទាហរណ៍ 2. ខាងស្តាំមិនមែនសូន្យ — ផ្ទេរ
ដោះស្រាយ \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\)។
ជំហាន 1. ផ្ទេរមួយទៅខាងឆ្វេង។ មិនអាចគុណដោយ \(x - 4\) បានទេ, សញ្ញានៃកន្សោមនេះមិនស្គាល់៖
ជំហាន 2. បង្រួមទៅជាប្រភាគតែមួយ។
ជំហាន 3. ODZ. \(x \neq 4\)។
ជំហាន 4. ចំណុច។ \(x = -5\) — សូន្យនៃភាគយក, សញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹង, បំពេញ។ \(x = 4\) — សូន្យនៃភាគបែង, លុប។
ជំហាន 5. សញ្ញា។ ពេល \(x = 5\) ប្រភាគស្មើ \(\frac{10}{1} > 0\)។ ដូច្នេះនៅ \((4; +\infty)\) គឺបូក, នៅ \((-5; 4)\) គឺដក, នៅ \((-\infty; -5)\) គឺបូក។
ជំហាន 6. ចម្លើយ។ \(x \in [-5; 4)\)។ ការត្រួតពិនិត្យចំណុចព្រំដែន៖ ពេល \(x = -5\) ប្រភាគស្មើសូន្យ — សមរម្យសម្រាប់ \(\le\); ពេល \(x = 4\) ប្រភាគមិនមាន — មិនសមរម្យ។
ឧទាហរណ៍ 3. ឫសគូ និងចំណុចដាច់ដោយឡែក
ដោះស្រាយ \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\)។
ជំហាន 1. ODZ. \(x \neq 9\)។
ជំហាន 2. សូន្យ និងកម្រិត។ \(x = 2\) — កម្រិត 2 (គូ), \(x = -6\) — កម្រិត 1, \(x = 9\) — កម្រិត 1 នៅក្នុងភាគបែង។
ជំហាន 3. ចំណុច។ \(x = 2\) និង \(x = -6\) ត្រូវបានបំពេញ (សូន្យនៃភាគយកពេលសញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹង), \(x = 9\) ត្រូវបានលុប។
ជំហាន 4. សញ្ញា។ ចំណុចសាកល្បង \(x = 10\): ភាគយកគឺវិជ្ជមាន, ភាគបែងស្មើ 1 — បូក។ ទៅខាងឆ្វេង។ ឆ្លងកាត់ 9 (កម្រិតសេស) សញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ៖ នៅ \((2; 9)\) គឺដក។ ឆ្លងកាត់ 2 (កម្រិត គូ) សញ្ញា មិនផ្លាស់ប្តូរ៖ នៅ \((-6; 2)\) ក៏ដកដែរ។ ឆ្លងកាត់ \(-6\) (កម្រិតសេស) សញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ៖ នៅ \((-\infty; -6)\) គឺបូក។
ជំហាន 5. ចម្លើយ។ យកចន្លោះដែលមានសញ្ញា “បូក” បូកជាមួយនឹងចំណុចទាំងអស់ដែលកន្សោមស្មើសូន្យ។ ចំណុច \(x = 2\) ស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះដក, ប៉ុន្តែកន្សោមខ្លួនវានៅទីនោះស្មើសូន្យ, ដូច្នេះវាត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងចម្លើយដោយឡែក៖
ចំណុច “ឯកា” បែបនេះក្នុងចម្លើយ — ជាសញ្ញាត្រឹមត្រូវនៃឫសគូពេលសញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹង។
ឧទាហរណ៍ 4. ការកាត់ប្រភាគ៖ អន្ទាក់ ODZ
ដោះស្រាយ \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\)។
ជំហាន 1. បំបែកទៅជាកត្តា។ ភាគយក — ការ៉េពេញលេញ៖ \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\)។ ចំពោះភាគបែងគណនាឌីសគ្រីមីណង់៖ \(D = 81 + 40 = 121\), ឫស \(x_1 = \frac{1}{5}\) និង \(x_2 = -2\), ដូច្នេះ \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\)។
ជំហាន 2. ODZ — មុនការកាត់ណាមួយ។ \(5x - 1 \neq 0\) និង \(x + 2 \neq 0\), មានន័យថា \(x \neq \frac{1}{5}\) និង \(x \neq -2\)។
ជំហាន 3. កាត់។ \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), ប៉ុន្តែត្រឹមតែពេល \(x \neq \frac{1}{5}\) — ការកាត់មិនបានបញ្ចូលចំណុចដែលត្រូវលុបត្រឡប់មកវិញទេ។
ជំហាន 4. ដោះស្រាយ \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\)។ សូន្យ៖ \(\frac{1}{5}\) និង \(-2\)។ ពេល \(x = 1\) ប្រភាគស្មើ \(\frac{4}{3} > 0\)។ ដូច្នេះនៅ \((\frac{1}{5}; +\infty)\) គឺបូក, នៅ \((-2; \frac{1}{5})\) គឺដក, នៅ \((-\infty; -2)\) គឺបូក។
ជំហាន 5. ត្រឡប់ ODZ មកវិញ។ ចន្លោះ \((-2; \frac{1}{5}]\) នឹងសមរម្យតាមសញ្ញា, ប៉ុន្តែចំណុច \(\frac{1}{5}\) ត្រូវបានលុប៖ នៅវិសមភាពដើម ភាគបែង \(5x^2+9x-2\) ពេល \(x = \frac{1}{5}\) ប្រែទៅជាសូន្យ, ប្រភាគនៅទីនោះមិនមានទេ។
ចម្លើយ៖ \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — វង់ក្រចកទាំងពីរគឺបើក។
ឧទាហរណ៍ 5. ពហុធាការ៉េក្នុងភាគយក
ដោះស្រាយ \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\)។
ជំហាន 1. បំបែកភាគយកទៅជាកត្តា។ ដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta សរុបឫសគឺ 7, ផលគុណ 10, មានន័យថា \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\)។ វិសមភាពក្លាយជា \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\)។
ជំហាន 2. ODZ. \(x \neq -4\)។
ជំហាន 3. ចំណុច។ ចំណុចទាំងបីត្រូវបានលុប៖ \(-4\) — សូន្យនៃភាគបែង, \(2\) និង \(5\) — សូន្យនៃភាគយកពេលសញ្ញាតឹងរ៉ឹង។
ជំហាន 4. សញ្ញា។ ចំណុចសាកល្បង \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\)។ វង់ក្រចកទាំងអស់មានដឺក្រេទីមួយ, ដូច្នេះសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរគ្នា៖ នៅ \((5; +\infty)\) គឺបូក, នៅ \((2; 5)\) គឺដក, នៅ \((-4; 2)\) គឺបូក, នៅ \((-\infty; -4)\) គឺដក។
ជំហាន 5. ចម្លើយ។ ទាមទារដកតឹងរ៉ឹង៖ \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\)។ ការត្រួតពិនិត្យដោយការជំនួស៖ ពេល \(x = -5\) ទទួលបាន \(\frac{70}{-1} < 0\), ពេល \(x = 3\) ទទួលបាន \(\frac{-2}{7} < 0\) — ចន្លោះទាំងពីរសមរម្យ។
កំហុសទូទៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពសមាមTrésor
-
គុណភាគីទាំងពីរដោយភាគបែង៖ ពី $\frac{3}{x-8} > 1$ ធ្វើជា $3 > x - 8$ និងសរសេរ $x < 11$។
សញ្ញានៃកន្សោម \(x - 8\) មិនស្គាល់ជាមុន, ហើយពេលគុណដោយចំនួនអវិជ្ជមាន វិសមភាពត្រូវបានបញ្ច្រាស។ ការត្រួតពិនិត្យ៖ \(x = 0\) ផ្តល់ \(\frac{3}{-8} < 1\) — សូន្យមិនមែនជាដំណោះស្រាយ, ទោះបីជាវាបានបញ្ចូលក្នុងចម្លើយ \(x < 11\)។ ត្រឹមត្រូវ៖ \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), មានន័យថា \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), ដែលនាំឲ្យបាន \(x \in (8; 11)\)។
-
បំពេញសូន្យនៃភាគបែង, ព្រោះសញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹង៖ សម្រាប់ $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ សរសេរចម្លើយជាមួយនឹងវង់ក្រចកបិទនៅលេខ 7។
សូន្យនៃភាគបែងត្រូវបានលុបជានិច្ច, មិនថាសញ្ញាវិសមភាពអ្វីទេ៖ នៅចំណុចនោះប្រភាគគឺមិនមានទេ។ ចម្លើយត្រឹមត្រូវ៖ \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — នៅលេខ 1 គឺវង់ក្រចកបិទ, នៅលេខ 7 គឺវង់ក្រចកបើក។
-
កាត់ប្រភាគហើយបាត់បង់ ODZ៖ ពី $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ ទទួលបាន $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ និងបញ្ចូលចំណុច $x = -3$ ក្នុងចម្លើយ។
ODZ ត្រូវបានកត់ត្រា មុនពេលកាត់, តាមភាគបែងដើម៖ \(x \neq -3\) និង \(x \neq 5\)។ ប្រភាគដែលត្រូវបានកាត់ \(\frac{x+3}{x-5}\) គឺមិនវិជ្ជមាននៅ \([-3; 5)\) — ពេល \(x = 0\) វាស្មើ -0.6, ដែលត្រូវបានទាមទារសម្រាប់សញ្ញា \(\le\)។ ប៉ុន្តែចំណុច \(-3\) ត្រូវបានលុបតាម ODZ, ដូច្នេះចម្លើយគឺ \((-3; 5)\), មិនមែន \([-3; 5)\)។
-
គិតថាសញ្ញាលើចន្លោះតែងតែផ្លាស់ប្តូរគ្នា, ហើយសម្រាប់ $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ ដាក់ដកខាងស្តាំនៃមួយ។
ការផ្លាស់ប្តូរគ្នាគឺត្រឹមត្រូវតែជាមួយនឹងវង់ក្រចកក្នុងដឺក្រេទីមួយប៉ុណ្ណោះ។ ឫស \(x = 1\) មានកម្រិត 2, ដូច្នេះសញ្ញាឆ្លងកាត់វាមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ កន្សោមគឺវិជ្ជមាននៅលើ \((-\infty; +\infty)\) ទាំងមូល, លើកលែងតែចំណុចមួយដែលវាស្មើសូន្យ។ ចម្លើយ៖ \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\)។
-
ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាវិសមភាពពេលផ្ទេរពាក្យ៖ ពី $\frac{x}{x-2} \le 3$ ធ្វើជា $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$។
ការផ្ទេរពាក្យពីភាគីមួយទៅភាគីមួយទៀតមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាវិសមភាពទេ — វាផ្លាស់ប្តូរតែសញ្ញានៃពាក្យខ្លួនវាប៉ុណ្ណោះ។ សញ្ញាត្រូវបានបញ្ច្រាសតែពេលគុណ ឬចែកភាគីទាំងពីរដោយចំនួនអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ត្រឹមត្រូវ៖ \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), បន្ទាប់មក \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), មានន័យថា \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\)។
-
សម្គាល់លើអ័ក្សតែសូន្យនៃភាគយក, ហើយភាគបែងពិនិត្យ “ពេលក្រោយ”៖ សម្រាប់ $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ ដាក់ចំណុចមួយ $-11$។
លើអ័ក្សសម្គាល់សូន្យទាំងអស់ភ្លាមៗ — ទាំងភាគយក និងភាគបែង, បើមិនដូច្នោះទេចន្លោះនឹងមិនត្រឹមត្រូវ។ នៅទីនេះ \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), ដូច្នេះមានបីចំណុច៖ \(-11\), \(-4\) និង \(4\), មិនមែនមួយទេ។ ទាំងអស់ត្រូវបានលុប (សញ្ញាតឹងរ៉ឹង), ចម្លើយ៖ \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\)។
សំណួរ និងចម្លើយ
តើវិសមភាពសមាមTrésor គឺជាអ្វី?
វាគឺជាវិសមភាពដែលភាគីទាំងពីរគឺជាកន្សោមសមាមTrésor (ពហុធា និងប្រភាគនៃពហុធា)។ បន្ទាប់ពីផ្ទេរអ្វីៗទាំងអស់ទៅភាគីខាងឆ្វេង វាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅទម្រង់ \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), ដែល \(P(x)\) និង \(Q(x)\) គឺជាពហុធា, ហើយជំនួសឲ្យ > អាចមាន \(<\), \(\le\) ឬ \(\ge\)។
របៀបដោះស្រាយវិសមភាពសមាមTrésor?
ដោយវិធីសាស្ត្រចន្លោះក្នុងប្រាំមួយជំហាន៖ ផ្ទេរអ្វីៗទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង, ដើម្បីឲ្យខាងស្តាំនៅសល់សូន្យ; បង្រួមទៅជាប្រភាគតែមួយ និងបំបែកភាគយក និងភាគបែងទៅជាកត្តា; កត់ត្រា ODZ (\(Q(x) \neq 0\)); កត់សម្គាល់សូន្យនៃភាគយក និងភាគបែងលើអ័ក្សចំនួន; កំណត់សញ្ញាលើចន្លោះដោយចំណុចសាកល្បង និងកម្រិតឫស; កត់ត្រាចន្លោះដែលមានសញ្ញាត្រឹមត្រូវក្នុងចម្លើយ។
តើវិសមភាពសមាមTrésorចម្រុះខុសពីវិសមភាពសមាមTrésorទាំងមូលយ៉ាងណា?
នៅវិសមភាពសមាមTrésorទាំងមូល អថេរមានតែក្នុងភាគយកប៉ុណ្ណោះ, ឧទាហរណ៍ \((x-1)(x+4) > 0\), ហើយ ODZ គឺជាចំនួនពិតទាំងអស់។ នៅវិសមភាពសមាមTrésorចម្រុះ អថេរមាននៅក្នុងភាគបែង, ឧទាហរណ៍ \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), ហើយមានការរឹតត្បិត \(x \neq -4\)។ អាល់ហ្គោរីតមគឺដូចគ្នា — មានតែចំណុចដែលត្រូវលុបប៉ុណ្ណោះដែលផ្លាស់ប្តូរ។
របៀបដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយនឹងប្រភាគ?
ដូចគ្នានឹងវិសមភាពសមាមTrésorណាមួយដែរ៖ ដំបូងផ្ទេរអ្វីៗទាំងអស់ទៅភាគីខាងឆ្វេង និងបង្រួមទៅជាប្រភាគតែមួយ, មិនមែនកម្ចាត់ភាគបែងទេ។ ឧទាហរណ៍, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) ក្លាយជា \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), មានន័យថា \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\)។ ភាគយកគឺថេរ និងអវិជ្ជមាន, ដូច្នេះប្រភាគគឺមិនអវិជ្ជមានតែពេលភាគបែងអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ៖ \(x + 2 < 0\)។ ចម្លើយ៖ \(x \in (-\infty; -2)\)។
ហេតុអ្វីបានជាមិនអាចគុណភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពដោយភាគបែង?
ព្រោះសញ្ញានៃភាគបែងអាស្រ័យលើ \(x\)៖ ពេលគុណដោយកន្សោមវិជ្ជមាន សញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក, ហើយពេលគុណដោយចំនួនអវិជ្ជមាន — ត្រូវបានបញ្ច្រាស។ មិនអាចដឹងជាមុនថាករណីណានៅពីមុខអ្នក, ដូច្នេះផ្នែកនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានបាត់បង់, និងផ្នែកត្រូវបានបន្ថែមលើសលប់។ ការផ្ទេរពាក្យគឺអាចធ្វើបានជានិច្ច — ការផ្ទេរមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាវិសមភាពទេ។
របៀបរក ODZ ក្នុងវិសមភាព?
សម្រាប់វិសមភាពសមាមTrésor ODZ គឺជាតម្លៃ x ទាំងអស់ដែលភាគបែងមិនប្រែទៅជាសូន្យ។ ដាក់ភាគបែងស្មើសូន្យ, ដោះស្រាយសមីការ និងដកតម្លៃដែលបានរកឃើញចេញ។ ត្រូវកត់ត្រា ODZ តាមភាគបែងដើម, មុនពេលកាត់ ប្រភាគ — បើមិនដូច្នោះទេចំណុចដែលត្រូវលុបនឹងបាត់បង់។
ចំណុចណាត្រូវបានលុប, និងចំណុចណាត្រូវបានបំពេញ?
សូន្យនៃភាគបែងត្រូវបានលុបជានិច្ច, មិនថាសញ្ញាវិសមភាពអ្វីទេ។ សូន្យនៃភាគយកត្រូវបានបំពេញពេលសញ្ញាមិនតឹងរ៉ឹង (\(\le\) ឬ \(\ge\)) និងត្រូវបានលុបពេលតឹងរ៉ឹង (\(<\) ឬ \(>\)). ក្នុងការសរសេរចម្លើយ ចំណុចដែលត្រូវលុបត្រូវបានផ្គូផ្គងជាមួយនឹងវង់ក្រចកបើក, ចំណុចដែលត្រូវបំពេញ — ជាមួយនឹងវង់ក្រចកបិទ។
តើកម្រិតឫសគឺជាអ្វី និងហេតុអ្វីវាចាំបាច់ក្នុងវិធីសាស្ត្រចន្លោះ?
កម្រិតគឺជាដឺក្រេដែលវង់ក្រចកត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងការបំបែកទៅជាកត្តា។ ពេលឆ្លងកាត់ឫសនៃកម្រិតសេស សញ្ញានៃកន្សោមត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ, ពេលឆ្លងកាត់ឫសនៃកម្រិតគូ — ត្រូវបានរក្សាទុក។ ដោយសារតែនេះហើយទើបសញ្ញាមិនតែងតែផ្លាស់ប្តូរគ្នាជានិច្ច៖ ចំពោះ \((x-9)^2(x+3)\) នៅចំណុច 9 សញ្ញានៅតែដដែល។
តើវិសមភាពសមាមTrésorត្រូវបានសិក្សានៅថ្នាក់ណា?
នៅថ្នាក់ទី 9 ក្នុងមេរៀនពិជគណិត, បន្ទាប់ពីវិសមភាពការ៉េ និងការបំបែកពហុធាទៅជាកត្តា។ វិធីសាស្ត្រចន្លោះត្រូវបានប្រើបន្តបន្ទាប់ទៀតសម្រាប់វិសមភាពលោការីត, អិចស្ប៉ូណង់ស៊ែល និងអរតឹកគី, ក៏ដូចជាក្នុងកិច្ចការ OGE និងEGE ប្រវត្តិរូប។
