Квадрат теңдеу — \(ax^2 + bx + c = 0\) түріндегі теңдеу, мұндағы \(a \neq 0\). Оның түбірлерінің санын дискриминант \(D = b^2 - 4ac\) анықтайды, ал түбірлерді \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) формуласымен табады. Бұл бетте тақырып бойынша барлығы жинақталған: стандартты түр және коэффициенттер, толымсыз теңдеулердің үш түрі, дискриминант және үш жағдай, түбірлер формуласы және оның «жұп» нұсқасы, келтірілген теңдеу және Виет теоремасы, көбейткіштерге жіктеу және биквадрат теңдеулер — қадамдық мысалдармен, жиі кездесетін қателерді талдаумен және интерактивті тренажермен.
Квадрат теңдеу дегеніміз не
Квадрат теңдеу — бұл
түріндегі теңдеу, мұндағы \(x\) — белгісіз, ал \(a\), \(b\), \(c\) — сандар (коэффициенттер), сонымен қатар \(a \neq 0\). Мұндай жазу квадрат теңдеудің стандартты түрі деп аталады: сол жақта мүшелер дәрежесінің кему ретімен орналасқан, оң жақта нөл тұр.
\(a \neq 0\) шарты — формальдылық емес. Дәл \(ax^2\) мүшесі теңдеуді квадратты етеді: \(a = 0\) болғанда \(bx + c = 0\) қалады, яғни бір түбірі бар кәдімгі сызықтық теңдеу. Сондықтан параметрлік есептерде бірінші кезекте аға коэффициенттің нөлге айналмайтынын тексереді.
Теңдеуді стандартты түрге келтіруге болады: жақшаларды ашу, барлық мүшелерді сол жаққа көшіру және ұқсас мүшелерді біріктіру. Мысалы, \(5x^2 = 3x - 2\) теңдеуін көшіргеннен кейін \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) болады, бұдан \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). «Квадраттық теңдеу» сөзі дәл соны білдіреді — бұл атаудың басқа нұсқасы ғана.
Толық және толымсыз квадрат теңдеулер
Егер үш коэффициенттің барлығы нөлден өзгеше болса, теңдеу толық деп аталады. Егер \(b\) немесе \(c\) (немесе екеуі де) нөлге тең болса — толымсыз. Толымсыз түрлердің тек үшеуі бар, және олардың ешқайсысы дискриминантты қажет етпейді: әрқайсысы бір-екі жолда шешіледі, бұл бақылау жұмысында уақытты үнемдеудің ең жылдам жолы.
\(ax^2 + bx = 0\) үшін негізгі идея — ортақ көбейткішті шығару. \(x(ax + b)\) көбейтіндісі нөлге тең болады, тек бір көбейткіш нөлге тең болғанда ғана, бұдан бірден екі түбір шығады. \(ax^2 + c = 0\) үшін идея басқаша: \(x^2\) өрнегін бөліп шығарып, алынған санның таңбасына қарау керек — нақты санның квадраты теріс бола алмайды.
| Теңдеу түрі | Шешу жолы |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | c-ні оң жаққа көшіріп, a-ға бөліңіз: x2 = −c/a. Екінші таңбаны жоғалтпай, түбірді шығарыңыз.x = 5 және x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | x-ті жақша сыртына шығарыңыз: x(ax + b) = 0. Көбейтінді нөлге тең болады, егер көбейткіштердің бірі нөлге тең болса.x = 0 және x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | a-ға бөліп, нөлден түбір шығарыңыз. Түбір әрқашан тек біреу болады.x = 0 |
Дискриминант: қалай табуға және қанша түбір болатыны
Дискриминант — бұл толық теңдеудің коэффициенттері бойынша есептелетін сан:
Сөздің өзі «айырушы» дегенді білдіреді: дискриминант ештеңені шешпейді, ол тек үш жағдайды ажыратады — түбір екеу, түбір біреу немесе түбір мүлдем жоқ. Сондықтан «теңдеудің қанша түбірі бар» деген сұрақ түбірлерді таппай-ақ шешіледі.
\(D\)-ны абайлап есептеу керек: \(b^2\) әрқашан оң болады, тіпті \(b\) өзі теріс болса да, ал \(a\) және \(c\) таңбалары \(4ac\) көбейтіндісіне өздерінше кіреді. \(x^2 + 4x - 5 = 0\) теңдеуін алайық: мұнда \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), демек \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Дискриминант оң, және түбір екеу болады.
Квадрат теңдеудің түбірлері формуласы
Егер \(D \ge 0\) болса, түбірлер тақырыптың негізгі формуласы бойынша табылады:
\(\pm\) таңбасы екі есептеуді білдіреді: бір рет қосумен, екінші рет азайтумен. \(D = 0\) болғанда екі есептеу де бірдей \(x = -\dfrac{b}{2a}\) санын береді — бұл түбір қос түбір деп аталады.
Ең жиі қате жіберетін екі жер: алымда \(b\)-нің минус таңбасы ( \(b = -7\) үшін \(+7\) болады), ал бөлімінде — \(2a\), жай 2 емес. \(a = 1\) болғанда айырмашылық көрінбейді, сондықтан қате дәл осы жерде, аға коэффициент бірден өзгеше болғанда шығады.
\(2x^2 - 9x - 5 = 0\) теңдеуін шешейік: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), сондықтан \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) және \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Жұп екінші коэффициент: D₁-мен формула
Егер \(b\) — жұп сан болса, оны \(b = 2k\) деп жазып, «кішірейтілген» дискриминантты есептеу ыңғайлы:
Есептеулердегі сандар төрт есе азаяды (\(D = 4D_1\)), ал \(D_1\)-нің таңбасы \(D\)-ның таңбасымен бірдей — демек, түбірлер саны туралы қорытынды өзгермейді.
Мысал: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Мұнда \(b = 8\), яғни \(k = 4\), және \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Онда \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) және \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Қалыпты формула бойынша \(D = 100\) жұмыс істеуге тура келер еді — нәтиже бірдей, бірақ арифметикасы көбірек.
Келтірілген теңдеу және Виет теоремасы
\(a = 1\) болатын теңдеу келтірілген деп аталады және \(x^2 + px + q = 0\) түрінде жазылады. Кез келген квадрат теңдеуді \(a\)-ға бөлу арқылы осы түрге келтіруге болады: мысалы, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) теңдеуін 4-ке бөлгеннен кейін \(x^2 - 3x + 2 = 0\) болады.
Келтірілген форманың артықшылығы — Виет теоремасы жұмыс істейді: түбірлердің қосындысы \(-p\)-ге, ал көбейтіндісі \(q\)-ға тең. \(x^2 - 7x + 10 = 0\) үшін қосындысы 7 және көбейтіндісі 10 болатын екі сан керек — олар 2 және 5, және дискриминантты есептеудің қажеті болмады.
Виет бойынша іріктеу, егер түбірлер бүтін және кіші сандар болса, пайдалы болады, сондай-ақ ол дискриминант арқылы табылған жауапты тегін тексереді: қосындысы \(-p\)-ді, көбейтіндісі \(q\)-ды беруі керек. Жалпы түрге арналған формулалар, кері теорема және іріктеу алгоритмі бөлек материалда — Виет теоремасы қарастырылған.
Квадрат үшмүшесін көбейткіштерге жіктеу
Егер \(x_1\) және \(x_2\) түбірлері табылса, квадрат үшмүшесі көбейткіштерге жіктеледі:
\(a\) көбейткішін ұмытпау керек — онысыз теңдік дұрыс болмай қалады. Жіктеуді тексеру әрқашан оңай: жақшаларды ашып, бастапқы үшмүшемен салыстыру керек. Мысалы, \(x^2 + 2x - 8\) теңдеуінің түбірлері 2 және \(-4\) болса, онда \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\) болады.
Кері бағытта да жұмыс істейді: егер үшмүшені ауызша жіктеуге мүмкіндік болса, түбірлер бірден көрінеді және дискриминант қажет емес. Мұнда қысқаша көбейту формулалары көмектеседі — мысалы, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) түбірлерін бірден 4 және \(-4\) береді.
Формуласыз шешудің үшінші әдісі — толық квадратты бөліп шығару. \(x^2 + 6x + 5 = 0\) теңдеуіндегі алғашқы екі мүше қосындының квадратына толықтырылады: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), яғни \((x + 3)^2 = 4\), бұдан \(x + 3 = \pm 2\) және \(x = -1\) немесе \(x = -5\). Дәл осы әдіспен түбірлер формуласы жалпы түрде шығарылады.
Квадрат теңдеулерге келтірілетін теңдеулер: биквадрат теңдеулер
Биквадрат теңдеу \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) түріне ие: дәрежелер тек жұп. Ол \(t = x^2\) алмастыруымен шешіледі, сонымен қатар міндетті түрде \(t \ge 0\) шартымен — нақты санның квадраты теріс бола алмайды.
Алмастырудан кейін \(at^2 + bt + c = 0\) кәдімгі квадрат теңдеуі шығады. Оны дискриминантпен шешеді, содан кейін әрбір теріс емес \(t\) түбірі үшін \(x = \pm\sqrt{t}\) алмастыруына қайта оралады. Міне, сондықтан түбірлер саны: төртке дейін.
Мысалы, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) теңдеуі алмастырудан кейін \(t^2 - 5t + 4 = 0\) болып, \(t = 1\) және \(t = 4\) түбірлерін береді. Екеуі де оң, сондықтан \(x = \pm 1\) және \(x = \pm 2\) — барлығы төрт түбір. Егер \(t\)-ның біреуі теріс болса, оны жай ғана алып тастайды.
Дәл осы әдіспен бөлшек-рационал теңдеулерді (ортақ бөлімге келтіріп, тыйым салынған мәндерді алып тастағаннан кейін) және \(t = x^2 + 3x\) түріндегі алмастыруы бар теңдеулерді шешеді.
Квадрат теңдеулерді шешу мысалдары
1-мысал. Толық теңдеу, D > 0
Шешу керек \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
1-қадам. Теңдеу стандартты түрде: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
2-қадам. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — екі түбір бар.
3-қадам. \(\sqrt{D} = 5\), сондықтан \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
4-қадам. Орнына қою арқылы тексеру. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Жауабы: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
2-мысал. Дискриминант нөлге тең
Шешу керек \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
1-қадам. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
2-қадам. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — түбір біреу.
3-қадам. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
4-қадам. Тексеру. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Жауабы: \(x = 1{,}5\). Назар аударыңыз: сол жақ бөлігі толық квадрат \((2x - 3)^2\), сондықтан түбір бір ғана шықты.
3-мысал. Дискриминант теріс
Шешу керек \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
1-қадам. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
2-қадам. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
3-қадам. Дискриминант теріс, демек \(\sqrt{D}\) нақты сандар арасында шығару мүмкін емес. Түбірлер формуласын қолданудың қажеті жоқ — шешу осымен аяқталды.
Жауабы: нақты түбірлер жоқ. Бұл толық жауап, қателік белгісі емес: \(y = 2x^2 + 3x + 5\) функциясының графигі \(x\) өсін қиып өтпейді.
4-мысал. Толымсыз теңдеу ax² + c = 0 түрінде
Шешу керек \(3x^2 - 27 = 0\).
1-қадам. Бос мүшені көшіреміз: \(3x^2 = 27\).
2-қадам. 3-ке бөлеміз: \(x^2 = 9\).
3-қадам. Квадрат 9-ға тең екі сан бар: \(x = 3\) және \(x = -3\). Екінші таңбаны көбінесе жоғалтады.
4-қадам. Тексеру. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Жауабы: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). \(2x^2 + 8 = 0\) теңдеуімен салыстырыңыз: онда \(x^2 = -4\), және нақты түбірлер жоқ.
5-мысал. Толымсыз теңдеу ax² + bx = 0 түрінде
Шешу керек \(5x^2 - 15x = 0\).
1-қадам. Ортақ көбейткішті шығарамыз: \(5x(x - 3) = 0\).
2-қадам. Көбейтінді нөлге тең болады, егер көбейткіштердің бірі нөлге тең болса: \(5x = 0\) немесе \(x - 3 = 0\).
3-қадам. Бұдан \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
4-қадам. Тексеру. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Жауабы: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Бастапқы теңдеуді \(x\)-ке қысқартса, тек \(x = 3\) қалады — \(x = 0\) түбірі жоғалады. Белгісіз өрнекке бөлуге болмайды.
6-мысал. Жұп екінші коэффициент
Шешу керек \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
1-қадам. \(b = -22\) — жұп, сондықтан \(k = -11\), ал \(a = 5\), \(c = 8\).
2-қадам. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
3-қадам. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
4-қадам. Тексеру. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Жауабы: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Қалыпты дискриминант \(D = 324\) берер еді — нәтиже бірдей, бірақ есептеу ұзағырақ болар еді.
7-мысал. Алдымен стандартты түрге келтіру
Шешу керек \((x - 3)(x + 5) = 9\).
1-қадам. Жақшаларды ашамыз: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), яғни \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
2-қадам. Тоғызды солға көшіреміз: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Тек енді коэффициенттерді жазуға болады: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
3-қадам. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
4-қадам. Бастапқы теңдеуде тексеру. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Жауабы: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Мұндағы жиі қателік — әр жақшаны 9-ға теңестіру: «көбейтінді нөлге тең» ережесі тек нөл үшін ғана жұмыс істейді.
8-мысал. Үшмүшені көбейткіштерге жіктеу
\(2x^2 - 5x - 3\) үшмүшесін көбейткіштерге жіктеңіз.
1-қадам. Үшмүшені нөлге теңестіріп, түбірлерді табамыз: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
2-қадам. \(a(x - x_1)(x - x_2)\) формуласына қоямыз: \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
3-қадам. Екіні екінші жақшаға енгізу ыңғайлы: \((x - 3)(2x + 1)\).
4-қадам. Жақшаларды ашу арқылы тексеру. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Жауабы: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
9-мысал. Биквадрат теңдеу
Шешу керек \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
1-қадам. \(t = x^2\) алмастыруын енгіземіз, мұнда \(t \ge 0\). Теңдеу \(t^2 - 13t + 36 = 0\) болады.
2-қадам. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
3-қадам. Екі мән де теріс емес, сондықтан \(x\)-ке қайта ораламыз: \(x^2 = 9\)-дан \(x = \pm 3\) аламыз, \(x^2 = 4\)-дан — \(x = \pm 2\).
4-қадам. Тексеру. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Теріс мәндер үшін жұп дәрежелер бірдей сандарды береді.
Жауабы: \(x = \pm 2\) және \(x = \pm 3\) — төрт түбір.
Квадрат теңдеулерді шешу кезіндегі жиі кездесетін қателер
-
Теңдеуді стандартты түрге келтірмей дискриминантты есептейді: $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ үшін бірден $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$ алады.
Алдымен барлығын солға көшіріп, ұқсас мүшелерді біріктіреді: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), яғни \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Тек осыдан кейін \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Түбірлер формуласы тек стандартты түрмен жұмыс істейді.
-
b-ны квадратқа шығарғанда таңбасын жоғалтады: $x^2 - 9x + 14 = 0$ үшін $D = -81 - 56$ деп жазады.
Кез келген санның квадраты теріс емес: \((-9)^2 = 81\), ал \(-81\) емес. Дұрыс \(D = 81 - 56 = 25\), түбірлер \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), яғни 7 және 2. Тексеру: \(49 - 63 + 14 = 0\) және \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Алымда $b$ орнына $-b$ қалдырады: $x^2 + 5x - 6 = 0$ үшін $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$ деп есептейді.
Формулада \(-b\) тұрады, сондықтан \(b = 5\) болғанда алымда \(-5\) болады: \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), бұдан \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Орнына қою растайды: \(1 + 5 - 6 = 0\) және \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
D = 0 болғанда «түбірлер жоқ» деп жазады: $x^2 + 14x + 49 = 0$ теңдеуінің дискриминанты нөлге тең, және шешуді тоқтатады.
Түбірлер тек \(D < 0\) болғанда ғана жоқ. \(D = 0\) болғанда түбір біреу ғана болады: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Тексеру: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
$4x^2 - 9x = 0$ теңдеуін $x$-ке қысқартып, жалғыз $x = 2{,}25$ түбірін алады.
Белгісіз өрнекке бөлуге болмайды: \(x\) нөлге тең болуы мүмкін, және \(x = 0\) түбірі жоғалады. Дұрыс — көбейткішті шығару керек: \(x(4x - 9) = 0\), бұдан \(x_1 = 0\) және \(x_2 = 2{,}25\). Тексеру: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
$x^2 = 16$ теңдеуінде тек $x = 4$ деп жазады.
Квадрат 16-ға тең және \(-4\) саны да. Екі түбірді де жазу керек: \(x = \pm 4\). Сенімдірек — стандартты түрге келтіріп шешу керек \(x^2 - 16 = 0\), яғни \((x - 4)(x + 4) = 0\) — сонда екі көбейткіш бірден көрінеді.
-
Параметрлік теңдеуде $a \neq 0$ шартын тексермейді: $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ үшін бірден дискриминантты есептейді.
\(m = 2\) болғанда аға коэффициент нөлге айналады, және теңдеу \(3x - 1 = 0\) сызықтық теңдеуіне айналады, оның жалғыз түбірі \(x = \dfrac{1}{3}\). \(m = 2\) жағдайын бөлек қарайды, ал түбірлер формуласын тек \(m \neq 2\) болғанда қолданады.
Сұрақтар мен жауаптар
Квадрат теңдеу дегеніміз не?
Бұл \(ax^2 + bx + c = 0\) түріндегі теңдеу, мұндағы \(a\), \(b\), \(c\) — сандар және \(a \neq 0\). Белгісіз дәрежесі екінші болғандықтан, түбірлер екеу, біреу немесе мүлдем болмауы мүмкін.
Квадрат теңдеудің стандартты түрі қандай?
Стандартты (жалпы) түр — \(ax^2 + bx + c = 0\): барлық мүшелер сол жақта дәрежесінің кему ретімен жинақталған, оң жақта нөл. Оған кез келген квадрат теңдеуді дискриминантты есептеу алдында келтіреді.
Дискриминантты қалай табуға болады?
\(D = b^2 - 4ac\) формуласы бойынша, коэффициенттерді олардың таңбаларымен бірге қойып. Мысалы, \(x^2 + 3x - 10 = 0\) үшін \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\) аламыз, ал түбірлер \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), яғни 2 және \(-5\) болады.
Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы қандай?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), немесе қысқаша \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Ол \(D \ge 0\) болғанда қолданылады; бөлімде дәл \(2a\), ал 2 емес.
Квадрат теңдеудің қанша түбірі болуы мүмкін?
Екіден артық емес. \(D > 0\) болғанда түбір екеу, \(D = 0\) болғанда — біреу (қос түбір), \(D < 0\) болғанда нақты түбірлер жоқ.
Толымсыз квадрат теңдеу дегеніміз не?
Бұл \(b = 0\), \(c = 0\) немесе екеуі де бір мезгілде болатын теңдеу: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Үшеуі де дискриминантсыз шешіледі — мүшені көшіру немесе \(x\)-ті жақша сыртына шығару арқылы.
Дискриминантсыз квадрат теңдеулерді қалай шешуге болады?
Үш жолы бар: келтірілген теңдеу үшін Виет теоремасы бойынша түбірлерді іріктеу, көбейткіштерге жіктеу және толық квадратты бөліп шығару. Түбірлер кіші бүтін сандар болғанда іріктеу ең жылдам жұмыс істейді.
Дискриминант теріс болса не істеу керек?
Нақты түбірлер жоқ деп жазып, шешуді аяқтау керек. Теріс дискриминант — бұл қалыпты жауап: сәйкес параболаның графигі \(x\) өсін қиып өтпейді. Мұндай жағдайда түбірлер тек комплексті сандар арасында болады, ал оларды кейінірек оқиды.
Табылған түбірлерді қалай тексеруге болады?
Әрбір түбірді бастапқы теңдеуге қою керек — дұрыс теңдік шығуы тиіс. Келтірілген теңдеу үшін Виет теоремасы бойынша жылдам тексеру де бар: түбірлердің қосындысы \(-p\)-ге, көбейтіндісі \(q\)-ға тең.
Квадрат теңдеу мен квадраттық теңдеу — бір нәрсе ме?
Иә, бұл бір объектінің екі атауы \(ax^2 + bx + c = 0\). Оны квадраттық функция \(y = ax^2 + bx + c\) шатастырмаңыз: теңдеудің түбірлері — бұл функция графигінің \(x\) өсін қиып өтетін нүктелерінің абсциссалары.
Квадрат теңдеулерді қай сыныпта өтеді?
8 сыныпта алгебрадан: алдымен толымсыз теңдеулер, содан кейін дискриминант, түбірлер формуласы және Виет теоремасы. Бұдан кейін тақырып квадраттық функцияда, теңсіздіктерде, ОЖЭ және ЖРЭ есептерінде кездеседі.
