Бөліну белгілері — бұл бөлуді орындамай-ақ, санның бүтіндей бөлінетінін білуге мүмкіндік беретін ережелер: соңғы цифрларға қарау немесе санның барлық цифрларын қосу жеткілікті. Бұл бетте 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 және 25-ке бөліну белгілерінің кестесі, 3 және 9-ға бөліну белгілерін цифрлар қосындысы арқылы көрнекі талдау, шешімі бар мысалдар, жиі кездесетін қателер және өзіңізді бірден тексеруге болатын интерактивті тренажер жинақталған.
Бөліну белгісі дегеніміз не
Бөліну белгісі — бұл бөлуді орындамай-ақ, санның басқа санға бүтіндей бөлінетінін білуге мүмкіндік беретін ереже. Соңғы цифрларға қарау немесе санның барлық цифрларын қосу жеткілікті.
Бөліну белгілері сандардың «құрылымын» жылдам түсіну қажет болған кезде барлық жерде көмекке келеді:
- бөлшектерді қысқартқанда — алымын да, бөлімін де неге қысқарту керектігін бірден көруге болады;
- санды жай көбейткіштерге жіктегенде;
- ортақ бөлгішті және ортақ еселікті тапқанда;
- мысалдар мен есептердегі жауапты жылдам тексергенде.
Екі түрлі сұрақты шатастырмау маңызды. «3726 саны 9-ға бөліне ме?» — бұған бөліну белгісі жауап береді: цифрлардың қосындысы 3 + 7 + 2 + 6 = 18 саны 9-ға бөлінеді, демек иә. Ал «қанша болады?» — бұл бөлудің өзі: 3726 : 9 = 414. Белгі тек «иә» немесе «жоқ» деген жауап береді, бірақ оны лезде және оймен жасауға болады.
Бөліну белгілерінің кестесі
Барлық мектептегі бөліну белгілерін бір кестеде алдыңызда ұстау ыңғайлы. Түс бойынша қайда қарау керектігін білуге болады: соңғы цифрға, цифрлар қосындысына, екі-үш соңғы цифрдың «құйрығына» немесе бірден екі белгіге.
| Неге | Бөліну белгісі | Мысал |
|---|---|---|
| 2 | соңғы цифр 0, 2, 4, 6 немесе 8 | 3726 → 6 |
| 3 | цифрлар қосындысы 3-ке бөлінеді | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | соңғы екі цифр 4-ке бөлінеді | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | соңғы цифр 0 немесе 5 | 1435 → 5 |
| 6 | бірден 2 және 3-ке бөлінеді | 5124 → 4 және 12 |
| 8 | соңғы үш цифр 8-ге бөлінеді | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | цифрлар қосындысы 9-ға бөлінеді | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | соңғы цифр 0 | 2340 → 0 |
| 11 | цифрлар соңынан + және − арқылы; қосындысы 11-ге бөлінеді | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | соңғы екі цифр 00, 25, 50 немесе 75 | 1875 → 75 |
2, 5 және 10-ға бөліну белгілері
Ең оңай топ: тек соңғы цифрға қараймыз, қалғандары маңызды емес.
- 2-ге барлық жұп сандар бөлінеді — яғни 0, 2, 4, 6 немесе 8-мен аяқталатын сандар;
- 5-ке — 0 немесе 5-пен аяқталатын сандар;
- 10-ға — 0-мен аяқталатын сандар.
Санның ұзындығы маңызды емес: 987 654 320 нөлмен аяқталатындықтан, 2-ге де, 5-ке де, 10-ға да бөлінеді. Ал 1435 саны 5-ке бөлінеді (соңғы цифры 5), бірақ 2-ге де, 10-ға да бөлінбейді — сан тақ.
Осыдан пайдалы қорытынды шығады: 10-ға тек 2 және 5-ке бірден бөлінетін сандар ғана бөлінеді.
3 және 9-ға бөліну белгілері: цифрлар қосындысы
Мұнда соңғы цифр ештеңені шешпейді — барлық цифрлардың қосындысы жұмыс істейді:
- сан 3-ке бөлінеді, егер оның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінсе;
- сан 9-ға бөлінеді, егер оның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе.
Егер қосынды үлкен болып шықса, белгіні оған қайта қолдануға болады: 899 991 санының цифрларының қосындысы 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, ал 45-тің қосындысы 4 + 5 = 9 — демек, бастапқы сан 9-ға да, 3-ке де бөлінеді.
Белгілер ұқсас, бірақ бір-бірін алмастырмайды. 9-ға бөлінетін кез келген сан 3-ке де бөлінеді — себебі тоғыздың өзі үштен бөлінеді. Керісіншесі дұрыс емес: цифрлар қосындысы 3-ке бөлінуі мүмкін, бірақ 9-ға бөлінбеуі мүмкін, сонда сан екі белгінің тек біреуін ғана өтейді. Екі жағдай да төменде талқыланған.
4, 8 және 25-ке бөліну белгілері: санның «құйрығына» қарау
Мұнда бір соңғы цифр жеткіліксіз — бірнеше соңғы цифрдан тұратын «құйрық» қажет:
- 4-ке санның соңғы екі цифры 4-ке бөлінетін санды құраса, бөлінеді;
- 8-ге — егер соңғы үш цифры 8-ге бөлінетін санды құраса;
- 25-ке — егер соңғы екі цифры 00, 25, 50 немесе 75 болса.
Құйрық неге жеткілікті: 100 саны 4-ке де, 25-ке де бөлінеді, ал 1000 саны 8-ге бөлінеді. Сондықтан сол жақта тұрған барлық нәрселер қажетті санға бөлінеді және әсер етпейді.
Осыдан маңызды қорытынды шығады: төрттік пен сегіздік үшін жұптылық жеткіліксіз. Сан жұп болуы мүмкін, бірақ оның екі немесе үш цифрдан тұратын құйрығы бүтіндей бөлінбесе, онда бүкіл сан да бөлінбейді. Құйрықтарды талдау — төмендегі қосымшада.
6-ға бөліну белгісі
Алты санының өзіндік ережесі жоқ: 6 = 2 · 3, және көбейткіштер өзара жай сандар. Сондықтан белгі құрама — сан 6-ға бөлінеді, егер ол бірден 2 және 3-ке бөлінсе.
5124 санын тексерейік: соңғы цифры 4 — сан жұп, демек 2-ге бөлінеді; цифрлар қосындысы 5 + 1 + 2 + 4 = 12 3-ке бөлінеді. Екі шарт та орындалды → 5124 : 6 = 854.
Жұптылықтың өзі жеткіліксіз: 1000 — жұп, бірақ оның цифрларының қосындысы 1 және 3-ке бөлінбейді, сондықтан сан 6-ға бөлінбейді. Керісіншесі де жұмыс істемейді: 4521 санының цифрлар қосындысы 12 3-ке бөлінеді, бірақ санның өзі тақ — 6-ға да бөлінбейді.
Дәл осылай басқа құрама белгілер құрастырылады: 12-ге — 3 және 4-ке бөлінеді, 15-ке — 3 және 5-ке, 18-ге — 2 және 9-ға, 45-ке — 5 және 9-ға.
11-ге бөліну белгісі
11-ге бөліну белгісі таңбалары алмасатын цифрлар қосындысын қолданады. Цифрларды соңғысынан бастап, кезектесіп таңбаны өзгертіп қосады: плюс, минус, плюс, минус. Нәтиже 11-ге бөлінсе (нөлге тең болса да), онда бүкіл сан 11-ге бөлінеді.
Дәл осы белгіні жиі басқаша тұжырымдайды: тақ орындардағы цифрлар қосындысы мен жұп орындардағы цифрлар қосындысының айырмасы 11-ге бөлінуі керек. Бұл бірдей ереже.
Бөліну белгілері бойынша мысалдар
1-мысал. 7254 саны қандай сандарға бөлінеді
Тапсырма. 7254 санының 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 сандарына бөлінетінін анықтаңыз.
1-қадам. 2-ге. Соңғы цифры 4 — жұп. Бөлінеді: 7254 : 2 = 3627.
2-қадам. 5 және 10-ға. Сан 0 немесе 5 орнына 4-пен аяқталады. 5-ке де, 10-ға да бөлінбейді.
3-қадам. 3 және 9-ға. Цифрлар қосындысы: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Ол 3-ке де, 9-ға да бөлінеді. Демек, 7254 : 3 = 2418 және 7254 : 9 = 806.
4-қадам. 6-ға. Сан 2 және 3-ке бөлінеді — демек, 6-ға бөлінеді: 7254 : 6 = 1209.
5-қадам. 4-ке. Соңғы екі цифр 54 береді, ал 54 саны 4-ке бөлінбейді. Бөлінбейді.
Жауап. 7254 саны 2, 3, 6 және 9-ға бөлінеді.
2-мысал. 4715 саны 3 және 9-ға бөліне ме
Тапсырма. 4715 санының 3 және 9-ға бөлінуін тексеріңіз.
1-қадам. Цифрларды қосамыз: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
2-қадам. 3-ке. 17 саны 3-ке бөлінбейді (жақын көбейткіштер — 15 және 18). Демек, 4715 саны да 3-ке бөлінбейді.
3-қадам. 9-ға. 17 саны 9-ға да бөлінбейді. Демек, 4715 саны 9-ға да бөлінбейді.
Санның неге жарамды екені. Соңғы цифры 5 → сан 5-ке бөлінеді: 4715 : 5 = 943. 2 және 10-ға бөлінбейді — ол тақ.
Жауап. 4715 саны 3 және 9-ға бөлінбейді.
3-мысал. 4 және 8-ге бөліну: 6248 саны
Тапсырма. 6248 санының 4 және 8-ге бөлінетінін тексеріңіз.
1-қадам. 4-ке. Соңғы екі цифрды аламыз: 48. 48 саны 4-ке бөлінеді (48 : 4 = 12), демек 6248 саны да бөлінеді: 6248 : 4 = 1562.
2-қадам. 8-ге. Соңғы үш цифрды аламыз: 248. Бөлеміз: 248 : 8 = 31 — бөлінеді. Демек, 6248 : 8 = 781.
Кері ойлаудан сақ болыңыз. 4-ке бөлінуден 8-ге бөліну шықпайды: 6244 санының құйрығы 44 4-ке бөлінеді (6244 : 4 = 1561), ал соңғы үш цифры 244 8-ге бөлінбейді — сан 8-ге бөлінбейді.
Жауап. 6248 саны 4 және 8-ге де бөлінеді.
4-мысал. 11-ге бөліну белгісі: 2926 саны
Тапсырма. 2926 санының 11-ге бөлінетінін тексеріңіз.
1-қадам. Цифрларды жазып, соңынан таңбаларды қоямыз: соңғы цифр плюс таңбасымен, одан кейін кезектесіп минус және плюс.
2-қадам. Таңбалары алмасатын қосындыны есептейміз: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
3-қадам. Нәтиже 11 саны 11-ге бөлінеді → бүкіл сан да бөлінеді.
Бөлу арқылы тексеру. 2926 : 11 = 266.
Жауап. 2926 саны 11-ге бөлінеді.
5-мысал. Бөлшекті бөліну белгілері бойынша қысқарту
Тапсырма. 270/378 бөлшегін қысқартыңыз.
1-қадам. Цифрлар қосындысын есептейміз: 2 + 7 + 0 = 9 және 3 + 7 + 8 = 18. Екеуі де 9-ға бөлінеді → алымы да, бөлімі де 9-ға бөлінеді.
2-қадам. 9-ға қысқартамыз: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. 30/42 аламыз.
3-қадам. Екі сан да жұп → 2-ге қысқартамыз: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. 15/21 аламыз.
4-қадам. Цифрлар қосындысы 6 және 3 3-ке бөлінеді → 3-ке қысқартамыз.
Жауап. 270/378 = 5/7.
Бөліну белгілеріндегі жиі қателер
-
6-ға бөлінуді тек жұптылық бойынша тексереді: сан жұп болса — демек, 6-ға бөлінеді.
Екі шарт та бірден қажет: 2-ге де, 3-ке де. 7124 саны жұп, бірақ оның цифрлар қосындысы 14 3-ке бөлінбейді, сондықтан 6-ға бөлінбейді. Керісіншесі: 3471 саны үштік белгісін өтейді (қосынды 15, 3471 : 3 = 1157), бірақ тақ — 6-ға да бөлінбейді.
-
4-ке бөліну үшін бір соңғы цифрға қарайды: «8 4-ке бөлінеді, демек 9138 да сәйкес келеді».
Төрттік үшін ЕКІ соңғы цифрды алады. 9138 санында бұл 38, ал 38 саны 4-ке бөлінбейді. Дұрыс мысал: 9136 санының құйрығы 36, 36 : 4 = 9, демек 9136 : 4 = 2284. Сегіздік үшін құйрық одан да ұзын — үш цифр.
-
9-ға бөліну белгісін соңғы цифр бойынша тексереді: 9 немесе 0-мен аяқталатын сандарды іздейді.
Соңғы цифр тоғыздық үшін ештеңені білдірмейді. Барлық цифрлардың қосындысын есептейді: 4563 санында бұл 18, қосынды 9-ға бөлінеді — және сан бөлінеді (4563 : 9 = 507), бірақ 3-пен аяқталады.
-
Егер сан 3-ке бөлінсе, онда 9-ға да бөлінеді деп санайды.
Тек бір бағытта жұмыс істейді: 9-ға бөлінеді → 3-ке де бөлінеді. Керісіншесі дұрыс емес. 8241 санының цифрлар қосындысы 15: 3-ке бөлінеді (8241 : 3 = 2747), ал 9-ға бөлінбейді.
-
11-ге бөліну белгісі үшін 3 және 9-ға сияқты барлық цифрларды қосады.
Он бір үшін қосынды таңбалары алмасады: цифрларды соңынан қосады, әр екіншісінің таңбасын өзгертеді. 6479 үшін бұл 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → бөлінеді (6479 : 11 = 589). Қарапайым цифрлар қосындысы мұнда 26 және ештеңені білдірмейді.
-
Бөліну белгісін бөлумен шатастырады: «5391 саны 9-ға бөліне ме?» деген сұраққа «иә, 18» деп жауап береді.
18 — бұл цифрлар қосындысы, белгінің аралық нәтижесі. Бөліндіні бөлек есептейді: 5391 : 9 = 599. Белгі тек «бөлінеді / бөлінбейді» деп жауап береді.
Сұрақтар мен жауаптар
Бөліну белгісі дегеніміз қарапайым сөздермен не?
Бұл санның өзін бөлмей-ақ, бүтіндей бөлінетінін білуге мүмкіндік беретін ереже. Әдетте санның соңғы цифрларына қарау немесе оның барлық цифрларын қосу жеткілікті.
Санның 3-ке бөлінетінін қалай білуге болады?
Санның барлық цифрларын қосыңыз. Шыққан қосынды 3-ке бөлінсе, онда санның өзі де 3-ке бөлінеді. Мысалы, 2571 санының цифрлар қосындысы 2 + 5 + 7 + 1 = 15, ал 15 саны 3-ке бөлінеді → 2571 : 3 = 857.
3-ке бөліну белгісі 9-ға бөліну белгісінен қалай ерекшеленеді?
Ереже бірдей — цифрлар қосындысын есептейміз, бірақ оны әртүрлі сандарға тексереміз: үштік үшін қосынды 3-ке бөлінуі керек, тоғыздық үшін — 9-ға бөлінуі керек. Сондықтан 9-ға бөлінетін кез келген сан 3-ке де бөлінеді, ал керісіншесі әрдайым бола бермейді: 9420 санының цифрлар қосындысы 15 3-ке бөлінеді (9420 : 3 = 3140), бірақ 9-ға бөлінбейді.
Егер цифрлар қосындысы үлкен болып шықса, не істеу керек?
Белгіні қайта қолданыңыз — енді қосындының өзіне. 777 771 санының цифрлар қосындысы 36, 36-ның қосындысы 3 + 6 = 9. Тоғыз саны 9-ға бөлінеді, демек бастапқы сан да 9-ға бөлінеді (және 3-ке де): 777 771 : 9 = 86 419.
7-ге бөліну белгісі бар ма?
Үштік қосындысы сияқты қарапайым ережесі жоқ, және мектеп бөліну белгілері кестесіне кірмейді. Әдіс бар: соңғы цифрды алып тастап, оны екі еселеп, қалған саннан азайту керек. Мысалы, 343 үшін: 3-ті алып тастаймыз, екі еселейміз — 6, 34 − 6 = 28 есептейміз. 28 саны 7-ге бөлінеді, демек 343 саны да бөлінеді: 343 : 7 = 49.
12, 15 және 45-ке бөліну белгілері қандай?
Олар құрама — сан бірден екі белгіні өтуі керек: 12-ге — 3 және 4-ке бөлінуі, 15-ке — 3 және 5-ке, 45-ке — 5 және 9-ға. Көбейткіштер өзара жай сандар болуы маңызды: 12 = 2 · 6 жіктелуі жарамайды, себебі 18 саны 2 және 6-ға да бөлінеді, бірақ 12-ге бөлінбейді.
Бөліну белгілері қай сыныпта оқытылады?
6-сыныпта математика сабақтарында: алдымен 10, 5 және 2-ге бөліну белгілері, содан кейін 3 және 9-ға. 4, 8, 11 және 25-ке бөліну белгілері әдетте қосымша қарастырылады — олар бөлшектерді қысқартқанда және олимпиадаларда пайдалы болады.
