Арифметикалық прогрессия — әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан бірдей \(d\) санына (прогрессия айырмасы) артық болатын тізбек. Оның кез келген мүшесі \(a_n = a_1 + (n-1)d\) формуласымен, ал алғашқы \(n\) мүшесінің қосындысы \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) формуласымен табылады. Бұл бетте анықтамасы мен айырмасы, қосындының екі формуласы, сипаттамалық қасиеті, санның прогрессияға жататынын тексеру, геометриялық прогрессиядан айырмашылығы, типтік ОГЭ есептері және өзіңді тексеруге арналған интерактивті тренажер қарастырылған.
Арифметикалық прогрессия дегеніміз не
Арифметикалық прогрессия — әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесіне бірдей санды қосу арқылы алынатын сандық тізбек. Бұл санды прогрессия айырмасы деп атайды және \(d\) әрпімен белгілейді.
Бір формуламен анықтамасы: \(a_1, a_2, a_3, \dots\) тізбегі, егер кез келген \(n\) нөмірі үшін мына теңдік орындалса, арифметикалық прогрессия деп аталады:
3, 7, 11, 15, 19, … тізбегін алайық. Мұнда бірінші мүшесі \(a_1 = 3\), ал айырмасы \(d = 4\): әрбір келесі сан алдыңғысынан дәл 4-ке артық. Сондықтан келесі мүшесі 23-ке тең, ал үшке дейінгі сан (егер кері қарай жалғастырсақ) минус таңбасымен бір болар еді.
Бүкіл прогрессия небәрі екі санмен — бірінші мүшесі \(a_1\) және айырмасы \(d\) арқылы беріледі. Осы жұпты біле отырып, кез келген мүшені атауға, қанша алғашқы мүшенің қосындысын есептеуге және берілген санның тізбекте кездесетінін тексеруге болады. Прогрессияны \((a_n)\) белгісімен, ал оның мүшелерін \(a_1, a_2, a_3\) және т.б. деп белгілейді, мұндағы төменгі индекс әрқашан нөмірді білдіреді, мәнін емес.
Арифметикалық прогрессияның айырмасы: d-ны қалай табуға болады
Айырма — бұл әрқашан келесі мүше минус алдыңғы мүше:
Азайту реті маңызды: егер керісінше азайтсаңыз, айырманың таңбасы қарама-қарсы болады. 20, 17, 14, 11, 8 тізбегі үшін айырма \(17 - 20 = -3\)-ке тең, \(+3\)-ке емес.
\(d\)-ның таңбасы прогрессияның мінез-құлқын толығымен анықтайды:
- \(d > 0\) — прогрессия өспелі, мүшелері артады;
- \(d < 0\) — прогрессия кемімелі, мүшелері кемиді;
- \(d = 0\) — барлық мүшелері бірдей, мысалы 6, 6, 6, 6, … Бұл да арифметикалық прогрессия, жай ғана тұрақты.
Егер әртүрлі нөмірлі екі мүшесі белгілі болса, айырманы мына формуламен табады
Мысал. \(a_4 = 30\) және \(a_{10} = 6\) болсын. Сонда \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), ал бірінші мүшесі \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Прогрессияның басын тексереміз: 42, 38, 34, 30 — төртінші мүшесі шынымен 30.
Айырма бүтін болуы міндетті емес: 1; 1,5; 2; 2,5 тізбегінің айырмасы 0,5-ке тең және бұл толыққанды арифметикалық прогрессия.
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы
Тақырыптың басты формуласы барлық алдыңғы мүшелерін жазбай-ақ кез келген мүшені табуға мүмкіндік береді:
\(n - 1\) қайдан шықты? Бірінші мүшеден n-ші мүшеге жету үшін айырманы n рет емес, бір рет кем қосамыз: екінші мүшеге дейін — бір қадам, үшіншіге дейін — екі, жиырмасыншыға дейін — он тоғыз.
Мысал. 3, 7, 11, 15, 19, … прогрессиясы үшін \(a_1 = 3\) және \(d = 4\), демек
Мұндай ықшам жазба өте ыңғайлы: \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), ал \(a_{100} = 399\) екені бірден көрінеді. Сонымен қатар, ол айырманы да көрсетеді: кез келген арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы \(a_n = dn + c\) түріндегі сызықтық болады, ал n алдындағы коэффициент — айырма.
Кейде бірінші мүшесі белгісіз, бірақ басқа біреуі беріледі. Сонда сол идея жалпы түрде жұмыс істейді: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Арифметикалық прогрессияның сипаттамалық қасиеті
Прогрессияның кез келген мүшесі, біріншісінен басқасы, өзінің көршілерінің арифметикалық ортасына тең:
Дәл осы себепті прогрессия арифметикалық деп аталады. Бұл теңдік кері бағытта да жұмыс істейді: егер тізбекте әрбір ортаңғы мүше көршілерінің жартылай қосындысына тең болса, онда тізбек — арифметикалық прогрессия. Мұндай тұжырымды арифметикалық прогрессияның белгісі деп атайды және есептерде үш санның прогрессия құрайтынын дәлелдеу үшін қолданылады.
Мысал. 7, \(x\), 23 сандары прогрессияның үш қатарлас мүшесі. Сонда \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Тексеру: 7, 15, 23 — айырмалары 8 және 8, бәрі сәйкес келеді.
Сол қасиеттің ыңғайлы жазба түрі: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), яғни ортаңғы мүшенің екі еселенгені шеткі мүшелерінің қосындысына тең. Мұндай түрде қасиетті мүшелер әріптік өрнектермен берілгенде қолдану оңайырақ.
Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы
Қосындыны \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) екі формуланың бірімен есептейді:
Бірінші формуланың идеясы — аңыз бойынша оқушы Гаусс 1-ден 100-ге дейінгі сандарды қосқанда тапқан идея. Егер бірінші мүшені соңғысымен, екіншісін соңғысының алдындағымен және т.б. қоссақ, барлық жұптар бірдей қосынды береді. Осыдан \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Екінші формула біріншісінен \(a_n = a_1 + (n-1)d\) қою арқылы алынады — ол соңғы мүшесі берілмегенде және оны бөлек есептегіңіз келмегенде қажет.
Мысал. 3, 7, 11, 15, 19, … прогрессиясының алғашқы жиырма мүшесінің қосындысын табайық.
Бірінші формула бойынша: \(a_{20} = 79\), сондықтан \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Екіншісі бойынша: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Жауаптары сәйкес келді — бұл есептеулерді тексерудің ең жақсы жолы.
Санның арифметикалық прогрессияға жататынын қалай білуге болады
«Сан прогрессия мүшесі бола ма» деген сұрақ теңдеу арқылы шешіледі. Сан прогрессияға тек қана оның нөмірі \(n\) натурал сан болғанда ғана енеді: 1, 2, 3 және т.б. Бөлшек немесе оң емес \(n\) мұндай мүше жоқ дегенді білдіреді.
Мысал 1. 99 саны 3, 7, 11, 15, 19, … прогрессиясына ене ме? n-ші мүше формуласы мұнда \(a_n = 4n - 1\), сондықтан \(4n - 1 = 99\) теңдеуін шешеміз, одан \(4n = 100\) және \(n = 25\). Нөмірі натурал — демек, 99 прогрессияда бар, бұл оның жиырма бесінші мүшесі.
Мысал 2. Ал 2026 саны ше? \(4n - 1 = 2026\)-дан \(4n = 2027\) және \(n = 506{,}75\) аламыз. Нөмірі бөлшек, сондықтан 2026 бұл прогрессияның мүшесі емес.
Ауызша бағалау үшін пайдалы кеңес: \(a_n = 4n - 1\) формуласы бар прогрессияның барлық мүшелері 4-ке бөлгенде 3 қалдығын береді. 2026 саны 2 қалдығын береді, сондықтан прогрессиядан «ауытқып» кетеді.
Арифметикалық прогрессия бойынша типтік ОГЭ есептері
Математикадан ОГЭ-де прогрессиялар жыл сайын кездеседі және барлық тапсырмалар төрт сюжетке келіп тіреледі.
Нөмірі бойынша мүшені табу. \(a_1\) және \(d\) берілген (немесе бірнеше алғашқы мүшесі) — \(a_n = a_1 + (n-1)d\) формуласына қоямыз.
Мәні бойынша нөмірін табу. Сан берілген — оған n-ші мүше формуласын теңестіреміз және n-ге қатысты теңдеуді шешеміз.
Қосындыны табу. \(S_n\)-ді екі формуланың бірімен есептейміз; егер \(a_n\) жетіспесе — алдымен оны табамыз.
Мүшелер санын табу. n-ші мүше формуласынан ыңғайлы салдар шығады: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Бөлек мәтіндік есеп тұрады, онда прогрессия сюжетте жасырылған. Мысалы: жұмысшы бірінші күні 12 бөлшек жасады, ал әрбір келесі күні алдыңғы күнге қарағанда 3 бөлшекке артық жасады; 15 күнде ол қанша бөлшек жасайды? Мұнда \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Соңғы мүшесін есептейміз: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Сонда \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) бөлшек.
Мұндай тапсырмалар бойынша басты кеңес: алдымен не берілгенін (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) және нені табу керектігін бөлек жолға жазып алыңыз. Емтихандағы қателердің жартысы формулаларға емес, нөмірді мүше мәнімен шатастыруға байланысты болады.
Арифметикалық және геометриялық прогрессия: айырмашылығы неде
Екі прогрессия да бір мүшеден келесісін алу ережелері. Айырмашылығы әрекетте: арифметикалықта мүшеге бірдей \(d\) санын қосамыз, геометриялықта прогрессияның еселігі деп аталатын бірдей \(q\) санына көбейтеміз.
Осыдан әртүрлі мінез-құлық туындайды. Арифметикалық прогрессия бірқалыпты, «сатылап» өседі: 3, 7, 11, 15 — әрбір қадам 4-ті қосады. Геометриялық көшкін сияқты өседі: 3, 6, 12, 24 — әрбір қадам санды екі еселейді және он қадамнан кейін мүшесі бір жарым мыңнан асады.
Тізбек түрін тексеру оңай: көршілес мүшелердің айырмасын және олардың қатынасын есептеңіз. Бірдей айырмалар — арифметикалық прогрессия, бірдей қатынастар — геометриялық. Егер ешқайсысы сәйкес келмесе, алдыңызда жай ғана тізбек: мысалы, 1, 4, 9, 16 — бұл натурал сандардың квадраттары және ол прогрессия емес (айырмалары 3, 5, 7 әртүрлі, қатынастары да).
Мектеп бағдарламасында екі тақырып та 9-сыныпта қатар жүреді, сондықтан формулаларды шатастыру оңай. Ойларыңызда тірек ұстаңыз: арифметикалықта \(d\) айырмасын азайтады, геометриялықта \(q\) еселігін бөледі. Қалғанының бәрі — салдар.
Арифметикалық прогрессияға есептер шығару мысалдары
Мысал 1. Екі мүшесі бойынша бірінші мүшесі мен айырмасын табу
Берілгені. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). \(a_1\), \(d\) және \(a_{20}\)-ны табу керек.
1-қадам. Үшінші мүшеден жетіншіге дейін дәл \(7 - 3 = 4\) қадам, әрқайсысында d қосылады. Демек \(a_7 = a_3 + 4d\), яғни \(30 = 14 + 4d\), одан \(4d = 16\) және \(d = 4\).
2-қадам. Бірінші мүшеге кері қайтамыз: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
3-қадам. n-ші мүше формуласын жазамыз: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
4-қадам. Керекті мүшені есептейміз: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Тексеру. Прогрессияның басын жазамыз: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Үшінші мүшесі 14, жетіншісі 30 — сәйкес келді.
Жауабы: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Мысал 2. Алғашқы 30 мүшесінің қосындысы (екі формула)
Берілгені. \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) прогрессиясы. \(S_{30}\)-ды табу керек.
1-қадам. Параметрлерді анықтаймыз: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
2-қадам. Отызыншы мүшені табамыз: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
3-қадам. Бірінші формуламен есептейміз: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
4-қадам. Екінші формуламен тексеру. Алдымен алымы: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Үшінші қадамдағыдай: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Екі жол да 1155 берді — демек, арифметика дұрыс.
Жауабы: \(S_{30} = 1155\).
Мысал 3. 7-ге еселі барлық екі таңбалы сандардың қосындысы
Тапсырма. 7-ге бөлінетін барлық екі таңбалы сандардың қосындысын табу.
1-қадам. Мұндай сандардың өздері 7 айырмасы бар арифметикалық прогрессия құрайды. Жетіге еселі ең кіші екі таңбалы сан — 14, ең үлкені — 98 (келесісі, 105, үш таңбалы). \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\) аламыз.
2-қадам. Мүшелер санын есептейміз: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
3-қадам. Қосындыны есептейміз: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
4-қадам. Екінші формуламен тексеру. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Жауабы: 728.
Мысал 4. Санның прогрессияға жататынын тексеру
Тапсырма. 145 саны \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\) прогрессиясының мүшесі бола ма? Ал 142 саны ше?
1-қадам. Прогрессия параметрлері: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), демек \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
2-қадам. 145-ті тексереміз: \(5n + 2 = 145\) теңдеуі \(5n = 143\) және \(n = 28{,}6\) береді. Нөмірі бөлшек, сондықтан 145 прогрессия мүшесі емес.
3-қадам. 142-ні тексереміз: \(5n + 2 = 142\), одан \(5n = 140\) және \(n = 28\). Нөмірі натурал — сан енеді.
4-қадам. Қою арқылы тексеру. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Дұрыс.
Жауабы: 145 прогрессияға енбейді; 142 енеді және оның 28-ші мүшесі.
Мысал 5. Әріптік мүшелері бар сипаттамалық қасиет
Тапсырма. \(x\)-тің қандай мәнінде \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) сандары арифметикалық прогрессияның үш қатарлас мүшесі болады?
1-қадам. Сипаттамалық қасиет бойынша ортаңғы мүшенің екі еселенгені шеткі мүшелерінің қосындысына тең:
2-қадам. Жақшаны ашамыз: \(4x + 2 = 5x - 4\).
3-қадам. Шешеміз: \(2 + 4 = 5x - 4x\), яғни \(x = 6\).
4-қадам. Тексеру. \(x = 6\) қоямыз: бірінші мүшесі \(6 - 3 = 3\), екіншісі \(2\cdot 6 + 1 = 13\), үшіншісі \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Айырмалары: \(13 - 3 = 10\) және \(23 - 13 = 10\) — бірдей.
Жауабы: \(x = 6\), прогрессия 3, 13, 23, айырмасы 10.
Мысал 6. Прогрессияда қанша теріс мүше бар
Тапсырма. \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\) прогрессиясында қанша теріс мүше бар?
1-қадам. Параметрлер: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). n-ші мүше формуласы: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
2-қадам. «Мүше теріс» шартын жазамыз: \(3n - 24 < 0\), одан \(3n < 24\) және \(n < 8\).
3-қадам. Нөмірлері натурал, сондықтан \(n = 1, 2, \dots, 7\) жарайды — барлығы жеті мүше.
4-қадам. Шекараны тексеру. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — теріс. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — нөл теріс сан емес, сондықтан сегізінші мүшені санамаймыз. \(a_9 = 3\) — оң.
Жауабы: жеті теріс мүше.
Арифметикалық прогрессия есептеріндегі жиі кездесетін қателер
-
n-ші мүше формуласында $a_n = a_1 + (n-1)d$ орнына $a_n = a_1 + nd$ деп жазады.
Бірінші мүшеден n-ші мүшеге дейін нөмірден бір қадам кем жасалады. \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) прогрессиясы үшін оныншы мүшесі \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), 45 емес. Формуланы жылдам тексеру: n = 1 қойып көр — дәл \(a_1\) шығуы керек.
-
Айырманы керісінше есептейді: $d = a_1 - a_2$, және таңбасы қарама-қарсы шығады.
Айырма — бұл келесі мүше минус алдыңғы мүше: \(d = a_2 - a_1\). \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) прогрессиясы үшін \(d = 34 - 40 = -6\) дұрыс. Мұндағы минус таңбасы қате емес, кемімелі прогрессияның белгісі.
-
Қосынды формуласында 2-ге бөлуді немесе n-ге көбейтуді ұмытады: $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$ деп жазады.
«Біріншісі мен соңғысы» жұптары қосылады, олардың саны дәл \(\dfrac{n}{2}\), сондықтан 2-ге бөлу міндетті. \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) прогрессиясы үшін \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) және \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), 670 емес.
-
Санның енуін тексергенде n = 0 немесе теріс n алып, бәрібір «енеді» деп жауап береді.
Мүше нөмірі — натурал сан, санау бірден басталады. Мысалы, \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) прогрессиясы үшін \(10 + 4(n-1) = 6\) теңдеуі n = 0 береді, демек 6 прогрессияға енбейді: бұл сан бірінші мүшеге дейін тұрар еді.
-
Ненің табылғанын шатастырады: мүше мәнін нөмірі керек жерге қояды және керісінше.
\(a_n\) — бұл мәні, n — реттік нөмірі. Егер есепте «қаншасыншы мүшесі 142-ге тең» деп сұраса, жауабы 28 болады, 142 емес. Пайдалы әдет: шешу алдында «берілгені: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), табу керек: \(n\)» жолын жазып алу.
-
Прогрессия өсіп, бүтін сандардан тұруы керек деп ойлайды.
Айырма теріс (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), бөлшек (1; 1,5; 2; 2,5) және тіпті нөл (8, 8, 8, …) болуы мүмкін. Үш жағдай да заңды арифметикалық прогрессиялар және олар үшін барлық формулалар өзгеріссіз жұмыс істейді.
Сұрақтар мен жауаптар
Арифметикалық прогрессия дегеніміз не, қарапайым тілмен?
Бұл әрбір келесі сан алдыңғы санға бірдей \(d\) санын — прогрессия айырмасын қосу арқылы алынатын сандар тізбегі. Мысалы, 3, 7, 11, 15, 19, … — бірінші мүшесі 3 және айырмасы 4 болатын прогрессия.
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы қандай?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), мұнда \(a_1\) — бірінші мүше, \(d\) — айырма, \(n\) — нөмір. Егер біріншісі емес, басқа бір мүшесі белгілі болса, \(a_n = a_k + (n-k)d\) жалпы түрі жұмыс істейді.
Арифметикалық прогрессияның айырмасын қалай табуға болады?
Кез келген мүшеден алдыңғысын азайту: \(d = a_n - a_{n-1}\). Егер әртүрлі нөмірлі екі мүшесі берілсе, \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\) қолданыңыз. Мысалы, \(a_5 = 23\) және \(a_9 = 43\) болғанда \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\) аламыз, ал бірінші мүшесі \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесін қалай табуға болады?
n-ші мүше формуласынан: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Мысалы, егер \(a_{12} = 60\) және \(d = 4\) болса, онда \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Тексеру: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын қалай табуға болады?
Соңғы мүшесі белгілі болса \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) формуласымен, немесе тек бірінші мүшесі мен айырмасы белгілі болса \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\) формуласымен. Екеуі де бірдей нәтиже береді, сондықтан екіншісін біріншісін тексеру үшін қолданған ыңғайлы.
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің санын қалай табуға болады?
n-ші мүше формуласынан: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Мысалы, \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) прогрессиясында айырма 5-ке тең, сондықтан \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) мүше бар.
Арифметикалық прогрессия геометриялықтан несімен ерекшеленеді?
Арифметикалықта әр мүшеге \(d\) айырмасын қосады, ал геометриялықта әр мүшені \(q\) еселігіне көбейтеді. n-ші мүше формулалары: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) қарсы \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Түрін анықтау үшін көршілес мүшелердің айырмасын және қатынасын есептеңіз: бірдей айырмалар — арифметикалық, бірдей қатынастар — геометриялық.
Айырма теріс немесе нөлге тең бола ала ма?
Иә. \(d < 0\) болғанда прогрессия кемиді (мысалы, 20, 17, 14, 11), \(d = 0\) болғанда барлық мүшелері бірдей (6, 6, 6, …) — бұл тұрақты прогрессия. Айырма бөлшек те бола алады: 1; 1,5; 2; 2,5 — бұл да арифметикалық прогрессия.
Арифметикалық прогрессияны қай сыныпта оқиды?
9-сыныпта алгебра сабақтарында, геометриялық прогрессиямен және сандық тізбектермен бірге. Прогрессияға арналған тапсырмалар ОГЭ-ге енеді: әдетте нөмірі бойынша мүшені, мәні бойынша нөмірін, мүшелер санын немесе алғашқы \(n\) мүшесінің қосындысын табу талап етіледі.
