Амалдар реті — бұл математикалық өрнекте қай амалды бірінші орындау керектігін көрсететін ережелер жиынтығы. Оны есте сақтаудың ең кең таралған тәсілі — PEMDAS: Parentheses (жақшалар), Exponents (дәрежелер), Multiplication (көбейту) және Division (бөлу), Addition (қосу) және Subtraction (азайту). Осы ретті сақтасаңыз, әр өрнектің тек бір ғана дұрыс жауабы болады. Бұл бетте сіз PEMDAS ережесінің қадамдық түсіндірмесін, жақшалар мен дәрежелер бар мысалдарды, оқушылар жиі жіберетін қателерді және бірден жаттығуға арналған интерактивті тестті табасыз.
PEMDAS нені білдіреді: амалдар реті
PEMDAS — амалдардың орындалу ретін есте сақтауға арналған мнемоникалық әдіс. Көптеген оқушылар оны "Please Excuse My Dear Aunt Sally" тіркесі арқылы есте сақтайды. Амалдарды жоғарыдан төмен қарай орындаңыз:
- P — Parentheses (Жақшалар). Алдымен жақша ішіндегі амалдарды орындаңыз: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (Дәрежелер). Содан кейін дәрежелер мен түбірлер, мысалы 3² немесе √9.
- M және D — Көбейту және Бөлу. Олардың басымдығы бірдей. Оларды солдан оңға қарай қатар орындаңыз.
- A және S — Қосу және Азайту. Олардың да басымдығы бірдей. Оларды ең соңында, тағы да солдан оңға қарай орындаңыз.
Ең маңызды идея — көптеген оқушылардың қателігі: PEMDAS — бұл алты бөлек қадам емес. Көбейту әрқашан бөлуден бұрын орындалмайды, ал қосу әрқашан азайтудан бұрын орындалмайды. Әр жұп бір деңгейде, сондықтан оларды солдан оңға қарай орындау керек.
Солдан оңға қарай ережесі (M/D және A/S тең)
Көбейту мен бөлу бір деңгейде болғандықтан, оларды солдан оңға қарай оқи отырып, кездесу ретіне қарай орындайсыз — "алдымен барлық көбейту, сосын барлық бөлу" емес. Бұл қосу мен азайтуға да қатысты.
Жиі кездесетін қате — 20 ÷ 4 × 5. Егер көбейтуді бірінші орындасаңыз (4 × 5 = 20), онда 20 ÷ 20 = 1 болады — бұл қате. Бөлу сол жақта тұрғандықтан, оны бірінші орындаймыз: 20 ÷ 4 = 5, содан кейін 5 × 5 = 25. Дәл осы логика 10 − 6 + 2 өрнегіне де қолданылады: солдан оңға қарай орындасаңыз 4 + 2 = 6 шығады, 10 − 8 = 2 емес.
PEMDAS пен BODMAS: бір ереже, әртүрлі атау
Ұлыбританияда, Австралияда және басқа да көптеген елдерде бұл ереже BODMAS (кейде BIDMAS немесе BEDMAS) деп аталады. Әріптері әртүрлі болғанымен, реті бірдей — тек терминологиясы өзгереді.
- B — Brackets (Жақшалар) — бұл P — Parentheses сияқты.
- O — Orders (Дәрежелер) (немесе I — Indices, E — Exponents) — бұл дәрежелер мен түбірлер.
- DM және MD — бірдей басымдықтағы жұп, солдан оңға қарай орындалады.
- AS — қосу және азайту, солдан оңға қарай орындалады.
Сондықтан PEMDAS пен BODMAS әрқашан бірдей жауап береді. Төмендегі салыстыру оларды әріп бойынша сәйкестендіреді.
| Қадам | PEMDAS | BODMAS | Не істейсіз |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | Алдымен жақша іші |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | Дәрежелер мен түбірлер |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | Басымдығы тең, сол → оң |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | Басымдығы тең, сол → оң |
Амалдар реті мысалдары (қадам бойынша)
1-мысал. Қосудан бұрын көбейту
Өрнек: 3 + 4 × 2
1-қадам — Жақшалар / Дәрежелер: мұнда жоқ, келесісіне өтіңіз.
2-қадам — Көбейту / Бөлу: 4 × 2 = 8. Өрнек енді 3 + 8 түрінде.
3-қадам — Қосу / Азайту: 3 + 8 = 11.
Жиі кездесетін қате жауап — 14, ол 3 + 4-ті бірінші қосқаннан шығады. Көбейту қосудан бұрын орындалуы керек.
2-мысал. Жақшалар, дәрежелер, сосын солдан оңға қарай
Өрнек: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
1-қадам — Жақшалар: 6 + 2 = 8. Енді: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
2-қадам — Дәрежелер: 3² = 9. Енді: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
3-қадам — Көбейту / Бөлу (солдан оңға): 8 × 9 = 72, сосын 72 ÷ 4 = 18. Енді: 18 − 5.
4-қадам — Қосу / Азайту: 18 − 5 = 13.
3-мысал. Солдан оңға қарай тұзағы
Өрнек: 20 ÷ 4 × 5
Мұнда жақшалар немесе дәрежелер жоқ, сондықтан бірден көбейту мен бөлуге көшеміз. Олардың басымдығы тең, сондықтан солдан оңға қарай оқимыз.
1-қадам: 20 ÷ 4 = 5 (бөлу ең сол жақта). Енді: 5 × 5.
2-қадам: 5 × 5 = 25.
Егер көбейтуді бірінші орындасаңыз (4 × 5 = 20), онда 20 ÷ 20 = 1 шығар едіңіз — бұл классикалық қате. M-ден кейін D келеді дегені көбейту бөлуден басым дегенді білдірмейді; солдан оңға қарай орындау маңызды.
PEMDAS-тағы жиі кездесетін қателер
-
Әріптер ретіне (M-D және A-S) байланысты көбейту әрқашан бөлуден (немесе қосу азайтудан) бұрын орындалады деп ойлау.
Көбейту мен бөлудің басымдығы тең, қосу мен азайтудікі де солай. Әр жұп ішінде солдан оңға қарай орындаңыз. 20 ÷ 4 × 5 мысалында бөлу сол жақта тұрғандықтан, оны бірінші орындайсыз, нәтижесі 25 — 1 емес.
-
Азайту үшін солдан оңға қарай ережесін елемеу, сондықтан 10 − 6 + 2 өрнегін 10 − 8 = 2 деп оқу.
Солдан оңға қарай орындаңыз: 10 − 6 = 4, сосын 4 + 2 = 6. Қосу азайтудың алдына "секіріп" шыға алмайды.
-
Жақшаларды өткізіп жіберу немесе оларды өрнектің ортасында болғандықтан соңында орындау.
Жақшалар қай жерде тұрса да, әрқашан бірінші орындалады. 2 × (3 + 4) өрнегінде көбейтпес бұрын 3 + 4 = 7 есептеңіз, нәтижесі 14 — 2 × 3 + 4 = 10 емес.
-
Дәреже көрсеткішін дұрыс түсінбеу, −3² мен (−3)²-ні бірдей деп санау.
Дәреже тек өзінің астындағы санға ғана қатысты. −3² дегеніміз −(3²) = −9, ал (−3)² дегеніміз (−3)(−3) = 9. Егер таңбаны қосқыңыз келсе, жақшаны қолданыңыз.
-
Іштей салынған жақшаларды сыртынан ішіне қарай орындау.
Ең ішкі жақшадан бастап сыртқа қарай орындаңыз. 2 × [3 + (4 − 1)] өрнегінде алдымен 4 − 1 = 3, сосын 3 + 3 = 6, соңында 2 × 6 = 12.
Жиі қойылатын сұрақтар
PEMDAS нені білдіреді?
PEMDAS — Parentheses (жақшалар), Exponents (дәрежелер), Multiplication and Division (көбейту және бөлу), Addition and Subtraction (қосу және азайту) дегенді білдіреді. Бұл математикалық өрнекті есептеу реті. Көптеген оқушылар оны "Please Excuse My Dear Aunt Sally" тіркесі арқылы есте сақтайды.
PEMDAS пен BODMAS-тың айырмашылығы неде?
Математикалық жағынан ешқандай айырмашылық жоқ — тек атауында. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) Ұлыбритания мен басқа да көптеген елдерде оқытылады, ал PEMDAS АҚШ-та қолданылады. Brackets (жақшалар) Parentheses-пен бірдей, ал Orders (немесе Indices) Exponents-пен бірдей. Екеуі де кез келген өрнек үшін бірдей жауап береді.
PEMDAS-та көбейту әрқашан бөлуден бұрын орындала ма?
Жоқ. Көбейту мен бөлудің басымдығы тең. Солдан оңға қарай оқығанда қайсысы бірінші кездессе, соны орындайсыз. Мысалы, 20 ÷ 4 × 5 өрнегінде бөлу сол жақта тұрғандықтан, алдымен бөлесіз, сосын көбейтесіз, нәтижесі 25 болады.
Неліктен бізге амалдар реті керек?
Келісілген рет болмаса, бір өрнек әртүрлі адамдарда әртүрлі жауап берер еді. Мысалы, 3 + 4 × 2 өрнегі көбейтуді бірінші орындасаңыз 11, ал қосуды бірінші орындасаңыз 14 болар еді. PEMDAS әр өрнектің тек бір ғана дұрыс жауабы болуын қамтамасыз етеді.
Дәрежелер мен теріс таңбаларды қалай бірге қолданамыз?
Дәреже тек өзінің астындағы мәнге ғана қатысты. Сондықтан −3² тең −(3 × 3) = −9, себебі дәреже теріс таңба қолданылмас бұрын 3-ке әсер етеді. Егер теріс таңбаны қосқыңыз келсе, (−3)² деп жазыңыз, ол 9-ға тең. Жақшалар дәреженің қай жерге дейін әсер ететінін бақылайды.
Іштей салынған жақшалармен не істейміз?
Ең ішкі топтан бастап сыртқа қарай орындаңыз. 2 × [3 + (4 − 1)] өрнегінде алдымен 4 − 1 = 3, сосын 3 + 3 = 6, соңында 2 × 6 = 12. Әр жақша қабаты сыртындағы амал орындалмас бұрын шешілуі керек.
