Көбейту кестесі — 1-ден 10-ға дейінгі сандардың барлық көбейтінділері. Бұл бетте ол екі түрде берілген: 10 × 10 шаршы (Пифагор кестесі) және 2, 3, 4… 9 бағандары бойынша — екеуін де басып шығару ыңғайлы. Сондай-ақ, жаттау әдістері, содан кейін кестенің жартысынан азын жаттау қалады, тоғызға арналған саусақ ережесі, бөлумен байланысы және көбейту кестесін бір аптада қалай жаттау жоспары бар. Өзіңізді «Тренажер» қойындысында тексеріп көруге болады.
Өзіңді тексер: 12 мысалдан 10 нұсқа, көрші мысал арқылы кеңес.
Жаттықтырушыны ашуКөбейту дегеніміз не
Көбейту — бірдей қосылғыштарды қосудың қысқаша жазылуы. \(4 + 4 + 4\) деп жазудың орнына, \(4 \times 3\) деп жазады: «төрттен үш рет ал».
Көбейтілетін сандар көбейткіштер, ал нәтижесі — көбейтінді деп аталады. \(4 \times 3 = 12\) жазбасында көбейткіштер — 4 және 3, көбейтінді — 12.
Көбейтуді нүктелерден немесе ұяшықтардан тұратын тіктөртбұрыш ретінде елестету ыңғайлы: әрқайсысында қанша қатар және қаншадан бар. Мұндай тіктөртбұрыш бірден қосуды да, көбейтуді де, көбейткіштерді ауыстырғанда жауап неге өзгермейтінін көрсетеді — суретті бұру жеткілікті.
Көбейту кестесі: Пифагор кестесі 1-ден 10-ға дейін
Толық көбейту кестесі бір 10 × 10 шаршыға сыяды — оны Пифагор кестесі деп атайды. Онымен қалай жұмыс істеуге болады: бірінші көбейткішті сол жақ бағаннан, екіншісін — жоғарғы жолдан табамыз, жауабы олардың қиылысында тұрады. Мысалы, 6-шы жол мен 7-ші баған 42 ұяшығында қиылысады.
Кестеге мұқият қарасаңыз, заңдылықтарды байқайсыз. Диагональ бойында шаршылар — бір-біріне көбейтілген сандар тұр. Кесте симметриялы: диагональ үстіндегі ұяшық астындағы ұяшыққа тең. Ал әрбір жол — бірдей қадамдармен санау: 3-ші жол 3, 6, 9, 12… деп барады.
Кестені басып шығарып, үстел үстіне ілу ыңғайлы: шаршылар мен қайталанатын ұяшықтар түспен белгіленген.
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 және 9-ға көбейту кестесі бағандар бойынша
Мектепте кестені әдетте бағандар бойынша жаттайды: алдымен 2-ге көбейтудің барлығы, содан кейін 3-ке және т.с.с. Бұл Пифагор кестесіндегідей сандар, тек әрбір жол мысалдармен жазылған. 1-ге және 10-ға арналған бағандар бұл жерде көрсетілмеген: 1-ге көбейткенде сан өзгермейді, ал 10-ға көбейткенде оған нөл тіркеледі.
Бағандар кестені бөліктер бойынша жаттауға жақсы. Бірақ тек ретімен жауап берсеңіз, басынан бастап «санап шығуға» үйреніп қалу оңай. Сондықтан, баған жатталғаннан кейін, оны ретсіз тексерген жөн.
Көбейту кестесін қалай тез жаттау: жартысы бұрыннан белгілі
Кестеде жүз мысал бар, бірақ шын мәнінде әлдеқайда аз жаттау керек.
- Ауыстырымдылық заңы. \(3 \times 8 = 8 \times 3\). Біреуін жаттасаңыз, екіншісін білесіз. 100 ұяшықтың 55-і әртүрлі қалады — кестенің жартысынан астамы тегін.
- 0-ге және 1-ге көбейту. Кез келген санды 0-ге көбейтсе, 0 шығады. 1-ге көбейтсе — өзі қалады.
- 10-ға көбейту. Санға нөл тіркеледі: \(10 \times 4 = 40\).
- 2-ге көбейту — бұл екі еселеу, санды өзіне қосу.
- 5-ке көбейту — 10-ға көбейтудің жартысы. Барлық жауаптар 0 немесе 5-пен аяқталады.
Осы ережелерден кейін 3-тен 9-ға дейінгі бағандарда аз ғана мысал қалады. Олардың әрқайсысын бұрыннан білетіндеріңізден шығаруға болады — әдістер төменде берілген.
9-ға көбейту кестесі: саусақпен және цифрлар қосындысы бойынша
9-ға арналған баған — ең «тәсілді». Онда екі сенімді ереже бар.
Цифрлар қосындысы ережесі. \(9 \times 2\)-ден \(9 \times 10\)-ға дейінгі жауаптарда цифрлар қосындысы әמיד 9-ға тең: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Ал ондықтар цифры екінші көбейткіштен бірге артық. Демек, \(9 \times 4\): ондықтар 3, ал бірліктер қосындысы 9 болатындай, яғни 6. Жауабы — 36.
Саусақ ережесі. Қолдарыңызды алдарыңызға қойыңыз, саусақтарыңызды солдан оңға қарай 1-ден 10-ға дейін нөмірлеңіз. 9-ды санға көбейту үшін, сол нөмірдегі саусақты бүгіңіз. Бүгілген саусақтың сол жағындағы саусақтар — ондықтар, оң жағындағылар — бірліктер. Ереже 1-ден 10-ға дейінгі көбейткіштерге қолданылады.
Үшінші тәсіл де бар, саусақсыз: 10-ға көбейтіп, сол санды азайту.
6, 7 және 8-ге көбейту кестесі: шаршылар мен көршілер
Бұл бағандар ең қиын болып саналады, бірақ барлық әдістерден кейін оларда тек бірнеше жаңа мысал қалады: 6 × 6, 6 × 7, 6 × 8, 7 × 7, 7 × 8 және 8 × 8.
Шаршылар басқаларына қарағанда оңай жатталады, себебі олар аз және кестенің диагоналінде тұрады: 36, 49, 64. Шаршыларды жаттағаннан кейін көрші жауаптарды бір қадамда алуға болады: \(7 \times 8\) — бұл \(7 \times 7\) және тағы бір жетілік: \(49 + 7 = 56\). Сол сияқты \(6 \times 7 = 36 + 6 = 42\).
Екінші жол — бестен арқылы: \(6 \times 8\) — бұл \(5 \times 8\) және тағы бір сегіздік: \(40 + 8 = 48\).
7 × 8 үшін сандық кеңес те бар: \(56 = 7 \times 8\) — 5, 6, 7, 8 сандары қатарынан келеді.
Көбейту және бөлу кестесі
Бөлу — көбейтуге кері амал. Сондықтан бөлу кестесін бөлек жаттаудың қажеті жоқ: ол көбейту кестесінің ішіне жасырылған.
Бір мысалдың үш санынан төрт дұрыс теңдік шығады: екеуі көбейтуге, екеуі бөлуге. Егер \(7 \times 8 = 56\) екенін білсеңіз, онда \(56 \div 8 = 7\) және \(56 \div 7 = 8\) екенін де білесіз.
Пифагор кестесін бөлу үшін қалай пайдалануға болады: бөлгіштің жолынан бөлінгішті табыңыз — баған нөмірі жауабы болады.
Көбейту кестесін бір аптада қалай жаттау: күнделікті жоспар
Оқу тәртібі маңызды: алдымен ең қарапайым бағандар мен бірден көп жауап беретін ережелер, ал қиын мысалдар — соңында, олар аз қалғанда. Бір рет ұзақ уақыт істегенше, күнде 10–15 минут аз-аздан шұғылданған дұрыс.
Әрбір сабақты өткен күнгіні қысқаша қайталаудан бастаңыз. Ретімен емес, ретсіз дауыстап жауап беріңіз. Қателерді бөлек жазып алыңыз: бұл сіздің ертеңгі жеке тізіміңіз.
Өзіңізді осы беттің «Тренажер» қойындысында тексеріп көру ыңғайлы: онда жеке бағандарды таңдауға болады — мысалы, тек 6, 7 және 8 — және тек соларды жаттықтыруға болады.
Мысалдармен талдау: егер ұмытып қалсаңыз, жауапты қалай табуға болады
1-ші мысал. 6 × 9 ұмытылды — қалай қалпына келтіруге болады
1-ші тәсіл — ондық арқылы. \(10 \times 6 = 60\), бір алтыны азайтамыз: \(60 - 6 = 54\).
2-ші тәсіл — бестен арқылы. \(5 \times 9 = 45\), тағы бір тоғызды қосамыз: \(45 + 9 = 54\).
Цифрлар қосындысы бойынша тексеру: \(5 + 4 = 9\) — 9-ға арналған бағаннан алынған жауап дұрыс сияқты.
Жауабы: \(6 \times 9 = 54\).
2-ші мысал. 4 × 8 екі еселеу арқылы
1-ші қадам. 4-ке көбейту — екі рет екі еселеу деген сөз.
2-ші қадам. \(8 + 8 = 16\).
3-ші қадам. \(16 + 16 = 32\).
Жауабы: \(4 \times 8 = 32\). Сол сан \(8 \times 4\) ұяшығында да тұр.
3-ші мысал. Кесте арқылы бөлу: 72 ÷ 9
1-ші қадам. Көбейтуге сұрақ қоямыз: 9-ды қаншаға көбейткенде 72 шығады?
2-ші қадам. 9-ға арналған бағанды еске түсіреміз: 72 санындағы ондықтар цифры 7, демек, екінші көбейткіш бірге артық — 8.
3-ші қадам. Тексереміз: \(9 \times 8 = 72\).
Жауабы: \(72 \div 9 = 8\).
4-ші мысал. Есеп: қарындаштар қораптары
Есеп. Бір қорапта 6 қарындаш бар. 4 қорапта қанша қарындаш бар?
1-ші қадам. Бірдей санды бірнеше рет алу — бұл көбейту: \(6 \times 4\).
2-ші қадам. Екі рет екі еселейміз: \(6 \to 12 \to 24\).
Жауабы: 24 қарындаш.
Көбейту кестесіндегі жиі кездесетін қателер
-
7 × 8 және 6 × 8 шатастырады: «7 × 8 = 48» дейді.
48 — бұл 6 × 8. 7 × 8 жауабы бір сегіздікке артық: 48 + 8 = 56. Ескертпе: 56 = 7 × 8 жазбасында 5, 6, 7, 8 сандары қатарынан келеді.
-
6 × 7, 6 × 8 және 7 × 8 жауаптарын шатастырады — 42, 48 және 56 сандары «жүзіп» жүреді.
Шаршыларға сүйеніңіз: 6 × 6 = 36, демек 6 × 7 = 36 + 6 = 42. 7 × 7 = 49, демек 7 × 8 = 49 + 7 = 56. Ал 6 × 8 = 40 + 8 = 48 бестен арқылы. Үш санның әрқайсысы өзінің қысқа жолымен алынады.
-
0-ге көбейткенде санды өзі жазады: 5 × 0 = 5.
Егер нөлді бес рет алса, нөл шығады. Кез келген санды 0-ге көбейтсе, 0-ге тең болады. Сан тек 1-ге көбейткенде өзі қалады.
-
1-ге көбейткенде бірді қосады: 8 × 1 = 9.
1-ге көбейту — санды бір рет алу, сондықтан 8 × 1 = 8. Бірді қосу — бұл көбейту емес, қосу амалы.
-
Көбейтудің орнына қосады: 4 × 4 = 8.
4 + 4 = 8, ал 4 × 4 — бұл төрт төрттік: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. Шатасу 2 × 2 = 2 + 2 = 4-тен басталады — бұл қосу мен көбейту сәйкес келетін жалғыз жағдай.
-
Бағанды тек ретімен біледі және әр рет басынан санайды: «7, 14, 21, 28…».
Бұл санау, кестені білу емес. Баған жатталғаннан кейін, жауап бірден пайда болғанша, оны ретсіз жаттықтырыңыз. «Тренажер» қойындысында мысалдар дәл осылай берілген.
Сұрақтар мен жауаптар
Көбейту кестесін қалай тез жаттауға болады?
Жүз мысалды қатарынан жаттамаңыз. Алдымен ауыстырымдылық заңын және қарапайым ережелерді (×0, ×1, ×2, ×5, ×10) — олардан кейін кестенің жартысынан азы қалады. Содан кейін ×4 және ×9 үшін әдістер, содан кейін ×6, ×7, ×8 үшін шаршылар мен көршілер. Күнде 10–15 минут шұғылданып, ретсіз тексеріп отырыңыз — сонда кесте шамамен бір аптада жатталады.
Шын мәнінде көбейту кестесінде қанша мысал жаттау керек?
Пифагор кестесінде 100 ұяшық бар, бірақ ауыстырымдылық заңына байланысты әртүрлі мысалдар барлығы 55. Егер ережелермен шешілетін 0, 1, 2, 5 және 10-ға көбейтуді алып тастасақ, және саусақ ережесі бар 9-ға арналған бағанды алып тастасақ, 15 мысал қалады. Ал ең қиындары, әдіс қажет ететіндері, шамамен оншақты, негізінен 6, 7 және 8 бағандарында.
Пифагор кестесі көбейту кестесінен бағандар бойынша несімен ерекшеленеді?
Олардағы сандар бірдей. Пифагор кестесі — 10 × 10 шаршы, онда жауап жол мен бағанның қиылысында тұрады; онда заңдылықтар мен симметрия жақсы көрінеді. Бағандар — сол жолдар, «7 × 3 = 21» мысалдарымен жазылған; оларды бөліктер бойынша жаттау ыңғайлы.
Көбейту кестесін қалай басып шығаруға болады?
Бұл бетті ашып, браузерде басып шығаруды таңдаңыз (компьютерде — Ctrl+P немесе ⌘+P). Басып шығаруда Пифагор кестесі де, бағандар бойынша кесте де болады; қажетсіз беттерді басып шығармауға болады, олардың нөмірлерін басып шығару терезесінде көрсету арқылы.
Қай сыныпта көбейту кестесін оқытады?
Әдетте 2–3 сыныпта: алдымен көбейтуді бірдей сандарды қосу ретінде таныстырады, содан кейін бағандар бойынша кестені жаттайды және оны бірден бөлумен байланыстырады. Нақты тәртіп мектеп бағдарламасына байланысты.
Калькулятор болса, кестені неге жаттау керек?
Көбейту кестесі кейінгі математиканың бәрінің негізі болып табылады: бөлу, бөлшектер, қысқарту, бағанмен көбейту, теңдеулер. Егер әр рет санап шықсаңыз, назар тапсырманың өзіне емес, арифметикаға кетеді.
Баламен көбейту кестесін жыламай қалай жаттауға болады?
Күнде қысқа сабақтар, бір рет ұзақ емес. Қолынан келетіндерден бастап, көптеген жауаптарды баланың бұрыннан білетінін көрсету. Жылдамдық пен дұрыс жауаптар үшін мақтау, ал қиын мысалдарды жиі қайталау. Жылдамдыққа арналған ойындар мен ретсіз карточкалар жақсы жұмыс істейді.
Көбейту кестесінің жатталғанын қалай тексеруге болады?
Кесте жатталған болып саналады, егер кез келген ретсіз мысалға жауап бірден, қайта санамай пайда болса, және бөлуге арналған кері мысалдарға да дәл солай тез жауап берсеңіз. Өзіңізді «Тренажер» қойындысында тексеріп көруге болады — онда қандай бағандарда қателер бар екені көрінеді.
