Виет теоремасы квадрат теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттерімен байланыстырады: келтірілген \(x^2 + px + q = 0\) теңдеуі үшін түбірлердің қосындысы \(-p\)-ға, ал көбейтіндісі \(q\)-ға тең. Бұл дискриминантсыз, ауызша таңдау арқылы түбірлерді табуға мүмкіндік береді. Бұл бетте келтірілген теңдеу және жалпы түр үшін нақты формулалар, Виет теоремасының кері теоремасы, түбірлерді таңдау алгоритмі, талқыланған мысалдар және интерактивті тренажер берілген.
Виет теоремасы дегеніміз не
Виет теоремасы — бұл квадрат теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттерімен байланыстыратын ереже. Ол былайша тұжырымдалады: егер \(x_1\) және \(x_2\) келтірілген квадрат теңдеу \(x^2 + px + q = 0\) теңдеуінің түбірлері болса, онда
Сөзбен айтқанда: түбірлердің қосындысы екінші коэффициентке қарама-қарсы таңбамен тең, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Қосындыдағы минус таңбасы — бүкіл тақырыптың ең маңызды жері: дәл \(-p\) деп жазылады, \(p\) емес.
Жалпы түрдегі \(ax^2 + bx + c = 0\) теңдеуі үшін (\(a \neq 0\) болғанда) формулалар \(a\)-ға бөлу арқылы алынады:
Теорема тек нақты түбірлер болған жағдайда ғана жұмыс істейді, яғни \(D \ge 0\) болғанда. Дискриминант теріс болса, ештеңе таңдауға болмайды: мұндай қосынды мен көбейтіндісі бар нақты сандар жоқ.
Келтірілген теңдеу және жалпы түр: мұндағы $a$-ға бөлу керек
Келтірілген деп аталатын квадрат теңдеудің \(x^2\) алдындағы коэффициенті бірге тең: \(x^2 + px + q = 0\). Дәл осы үшін Виет теоремасы ең қысқа болып шығады, сондықтан түбірлерді таңдауды әрқашан келтіруден бастайды.
Егер \(a \neq 1\) болса, теңдеуді алдымен әр мүшесін \(a\)-ға бөледі. Мысалы, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) теңдеуі \(3\)-ке бөлінгеннен кейін \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\) болады, яғни \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Осыдан \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) және \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Сол ойды жалпы түр үшін де, теңдеуді келтірмей-ақ, бірден жазуға болады: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Ең жиі жіберілетін қате — «қысқа» \(-p\) және \(q\) формулаларын келтірілмеген теңдеуге қолданып, \(\frac{10}{3}\) орнына \(10\) қосындысын алу.
Виет теоремасының кері теоремасы
Виет теоремасының кері теоремасы бар, және дәл сол түбірлерді таңдау арқылы шешуге мүмкіндік береді. Ол былайша айтылады: егер \(m\) және \(n\) сандары
болса, онда \(m\) және \(n\) — \(x^2 + px + q = 0\) теңдеуінің түбірлері болады.
Айырмашылық принципиалды. Тура теорема түбірлерден коэффициенттерге қарай жүреді: түбірлер белгілі, біз олардың арасындағы байланыстарды аламыз. Кері теорема коэффициенттерден түбірлерге қарай жүреді: біз қажетті қосындысы мен қажетті көбейтіндісі бар сандар жұбын тапсақ — оларды түбірлер деп атауға толық құқымыз бар, бұдан әрі ештеңе дәлелдеудің қажеті жоқ.
Бұдан пайдалы ереже де шығады: егер \(x_1\) және \(x_2\) түбірлер болса, онда көпмүше \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\) көбейткіштерге жіктеледі. Мысалы, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Виет теоремасы бойынша түбірлерді таңдау: алгоритм
Түбірлерді таңдау — теореманың басты практикалық қолданысы. Түбірлер бүтін болғанда, ол дискриминанттан жылдам жұмыс істейді және бес қадамнан тұрады.
Түбірлердің таңбалары p және q коэффициенттері бойынша
Түбірлерді таңдамас бұрын, олардың қандай таңбалы болатынын білуге болады — бұл \(p\) және \(q\) таңбаларына қарап анықталады. Бұл таңдауды айтарлықтай қысқартады: екі оң сан, екі теріс сан немесе әртүрлі таңбалы сандар жұбын іздеу керектігі бірден белгілі болады.
| p және q | Түбірлер | Мысал |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | екеуі де > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | екеуі де < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | әртүрлі таңбалы | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 және −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Виет теоремасы немесе дискриминант: қайсын таңдау керек
Дискриминант арқылы түбірлер формуласы \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) әрқашан жұмыс істейді, бірақ есептеуді талап етеді. Виет теоремасы бірден жұмыс істейді, бірақ тек түбірлерді болжауға болатын жағдайда — әдетте бұл шағын бүтін сандар.
Практикалық ереже былайша:
- теңдеу келтірілген, ал \(q\) шағын көбейткіштер жұбына жіктеледі → Виет бойынша таңдауды қолданып көріңіз, жауап ауызша шығады;
- коэффициенттер үлкен немесе бөлшектер, түбірлер 10–15 секунд ішінде болжанбайды → дискриминантты есептеңіз;
- тек түбірлер саны немесе түбірлер таңбалары қажет, ал түбірлердің өздері қажет емес → \(D\) және жоғарыдағы таңбалар кестесі жеткілікті.
Біріктіру де пайдалы: дискриминантты есептеп, түбірлерді тапсаңыз — жауапты Виет бойынша тексеріңіз. Қосынды \(-p\)-ға, көбейтінді \(q\)-ға тең болуы керек. Мұндай тексеру бірне-екі секунд алады және арифметикалық қатенің кез келгенін анықтайды.
Виет теоремасы бойынша шешу мысалдары
1-мысал. Түбірлерді таңдау: екі түбір де оң
Шешу керек \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
1-қадам. Теңдеу келтірілген: \(p = -9\), \(q = 20\).
2-қадам. Дискриминантты тексереміз: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — екі түбір бар.
3-қадам. Байланыстарды жазамыз: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
4-қадам. 20 санын жіктеулерді қараймыз: \(1\cdot 20\) (қосындысы 21), \(2\cdot 10\) (қосындысы 12), \(4\cdot 5\) (қосындысы 9) — соңғы жұп сәйкес келеді. Екі көбейткіш те оң, себебі \(q > 0\), ал \(p < 0\).
5-қадам. Ауыстырып тексеру. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Жауап: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
2-мысал. Әртүрлі таңбалы түбірлер
Шешу керек \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
1-қадам. Теңдеу келтірілген: \(p = 3\), \(q = -28\).
2-қадам. \(q < 0\), демек түбірлер әртүрлі таңбалы және дискриминант әрдайым оң болады: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
3-қадам. Байланыстар: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
4-қадам. 28 санын жіктеулер: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). 3 айырмасы бар жұпты табу керек — 4 және 7 жұбы сәйкес келеді. Қосынды теріс болғандықтан, модуль бойынша үлкен түбірді минус таңбасымен аламыз: \(4\) және \(-7\).
5-қадам. Тексеру. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Жауап: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
3-мысал. Жалпы түрдегі теңдеу (a ≠ 1)
Шешу керек \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
1-қадам. Коэффициент \(a = 3\), сондықтан «қысқа» \(-p\) және \(q\) формулаларын қолдануға болмайды. Жалпы түрді қолданамыз: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
2-қадам. Көбейтінді 1-ге тең — демек түбірлер өзара кері сандар: егер біреуі \(t\) болса, екіншісі \(\tfrac{1}{t}\) болады. \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) қосындысы \(t = 3\) екенін көрсетеді, себебі \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
3-қадам. Ауыстырып тексеру. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Жауап: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
4-мысал. Теңдеуді оның түбірлері бойынша құру
Тапсырма. Түбірлері \(-4\) және \(6\) болатын келтірілген квадрат теңдеуді құрыңыз.
1-қадам. Қосынды мен көбейтіндіні есептейміз: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
2-қадам. Виет теоремасының кері теоремасы бойынша коэффициенттер \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) және \(q = x_1 x_2 = -24\) тең. Міне, басты қақпан: \(p\) — қосындының қарама-қарсы таңбасымен тең.
3-қадам. Теңдеуді жазамыз: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
4-қадам. Ауыстырып тексеру. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Жауап: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Сол нәтижені \((x + 4)(x - 6) = 0\) жіктеуі де береді.
5-мысал. Басқа біреудің жауабын Виет теоремасы бойынша тексеру
Тапсырма. Оқушы \(x^2 + 5x + 6 = 0\) теңдеуін шешіп, жауабын жазды: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Ол қателескенін тексеріңіз.
1-қадам. Виет бойынша \(x_1 + x_2 = -p = -5\) және \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\) болуы керек.
2-қадам. Ұсынылған жауаптың көбейтіндісі сәйкес келеді (\(2\cdot 3 = 6\)), ал қосындысы — жоқ: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Демек, жауап дұрыс емес: таңбасы жоғалған.
3-қадам. Дұрыс жұпты іздейміз: көбейтіндісі \(6\) және қосындысы \(-5\) болатын сандар керек — бұл \(-2\) және \(-3\) (екеуі де теріс, себебі \(q > 0\) және \(p > 0\)).
4-қадам. Ауыстырып тексеру. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Жауап: дұрыс түбірлер — \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Виет теоремасымен жұмыс істегенде жиі кездесетін қателер
-
Қосындыдағы минус таңбасын жоғалтады: $x_1 + x_2 = -p$ орнына $x_1 + x_2 = p$ деп жазады.
Минус тек қосындыда болады, көбейтінді сол таңбамен алынады: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). \(x^2 - 5x + 6 = 0\) қарапайым теңдеуімен тексеріңіз: мұнда \(p = -5\), түбірлердің қосындысы \(5\)-ке тең, ал түбірлер шынында да 2 және 3.
-
$-p$ және $q$ формулаларын келтірілмеген теңдеуге қолданады: $2x^2 - 9x + 4 = 0$ теңдеуі үшін «қосынды 9, көбейтінді 4» деп айтады.
\(a \neq 1\) болғанша, жалпы түрдегі формулаларды қолданыңыз: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Мұндағы түбірлер 4 және \(\tfrac{1}{2}\) болады, 4 және 1 емес. Немесе алдымен бүкіл теңдеуді \(a\)-ға бөліңіз.
-
Дискриминантты тексермей, түбірлерді таңдауға тырысады: $x^2 + x + 1 = 0$ теңдеуі үшін қосындысы $-1$ және көбейтіндісі $1$ болатын сандар жұбын іздейді.
Алдымен түбірлер бар екеніне көз жеткізіңіз: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), нақты түбірлер жоқ, таңдау мүмкін емес. Виет теоремасы тек \(D \ge 0\) болғанда жұмыс істейді.
-
Тек көбейтінді бойынша жұпты таңдайды, қосындысын тексермейді: $x^2 - 8x + 12 = 0$ теңдеуі үшін 3 және 4 сандарын алады, себебі олардың көбейтіндісі 12-ге тең.
Екі байланысты бірден тексеру керек. \(x^2 - 8x + 12 = 0\) теңдеуі үшін 12 көбейтіндісін (1; 12), (2; 6), (3; 4) жұптары береді, ал 8 қосындысын тек 2 және 6 жұбы береді. Тексеру: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) және \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Теңдеуді түбірлер бойынша құрғанда, $p$-ны қосындыға тең деп алады: 2 және 5 түбірлері үшін $x^2 + 7x + 10 = 0$ деп жазады.
Коэффициент \(p\) қосындыға қарама-қарсы таңбамен тең: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), яғни \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Ауыстырып қою растайды: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Виет теоремасы тек бүтін түбірлер үшін дұрыс деп санайды және жауапты тексеру үшін қолданбайды.
\(x_1 + x_2 = -p\) және \(x_1 x_2 = q\) байланыстары кез келген нақты түбірлер — бүтін, бөлшек және иррационал сандар үшін орындалады. Тек ауызша таңдау бүтін сандар үшін ыңғайлы, ал қалғандары үшін теорема жауапты тексерудің жылдам әдісі болып қала береді.
Сұрақтар мен жауаптар
Виет теоремасы қарапайым сөздермен қалай айтылады?
Егер келтірілген квадрат теңдеу \(x^2 + px + q = 0\) теңдеуінің түбірлері болса, онда олардың қосындысы екінші коэффициентке қарама-қарсы таңбамен, ал көбейтіндісі бос мүшеге тең болады: \(x_1 + x_2 = -p\) және \(x_1 x_2 = q\).
$ax^2 + bx + c = 0$ теңдеуінің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісі неге тең?
Жалпы түрдегі теңдеу үшін түбірлердің қосындысы \(-\dfrac{b}{a}\)-ға, ал көбейтіндісі \(\dfrac{c}{a}\)-ға тең. Бұл формулалар келтірілген жағдайдан бүкіл теңдеуді \(a\)-ға бөлу арқылы алынады.
Виет теоремасының кері теоремасы тура теоремадан несімен ерекшеленеді?
Тура теорема түбірлерден коэффициенттерге қарай жүреді: түбірлерді білсек, біз \(-p\) қосындысын және \(q\) көбейтіндісін аламыз. Кері теорема керісінше жүреді: егер сандар жұбы қажетті қосынды мен қажетті көбейтіндіні берсе, онда бұл сандар теңдеудің түбірлері болады. Дәл кері теорема теңдеулерді таңдау арқылы шешуге мүмкіндік береді.
Виет теоремасы бойынша түбірлерді қалай таңдауға болады?
Теңдеуді \(x^2 + px + q = 0\) түріне келтіріңіз, \(D \ge 0\) екеніне көз жеткізіңіз, \(x_1 + x_2 = -p\) және \(x_1 x_2 = q\) байланыстарын жазыңыз, \(q\) санын жұп көбейткіштерге жіктеулерді қарастырып, қосындысы \(-p\)-ға тең болатын жұпты таңдаңыз. Мысалы, \(x^2 + 6x + 8 = 0\) теңдеуі үшін көбейтіндісі 8 және қосындысы \(-6\) болатын сандар керек — бұл \(-2\) және \(-4\).
Егер $x^2$ алдындағы коэффициент бірге тең болмаса, Виет теоремасы жұмыс істей ме?
Иә, бірақ жалпы түрде: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Қысқа формулалар \(-p\) және \(q\) тек келтірілген теңдеу үшін дұрыс, сондықтан \(a \neq 1\) болғанда теңдеуді алдымен \(a\)-ға бөлу керек.
Виет теоремасы бойынша түбірлер таңдалмаса, не істеу керек?
Демек, түбірлер бүтін емес немесе мүлдем жоқ. Дискриминантты есептеңіз: \(D < 0\) болғанда нақты түбірлер жоқ, ал \(D \ge 0\) болғанда \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) формуласы бойынша түбірлерді табыңыз, содан кейін жауапты Виет теоремасы бойынша тексеріңіз.
Түбірлердің таңбаларын теңдеуді шешпей-ақ қалай анықтауға болады?
\(p\) және \(q\) таңбалары бойынша \(D \ge 0\) болғанда: егер \(q > 0\) және \(p < 0\) — екі түбір де оң; егер \(q > 0\) және \(p > 0\) — екі түбір де теріс; егер \(q < 0\) — түбірлер әртүрлі таңбалы; егер \(q = 0\) — түбірлердің біреуі нөлге тең.
Виет теоремасы қай сыныпта өтіледі?
8 сыныпта алгебра сабақтарында, квадрат теңдеулер мен дискриминанттан кейін бірден. Бұдан әрі ол квадрат үшмүшені \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\) көбейткіштерге жіктеуде, параметрмен түбірлерді зерттеуде және ОГЭ мен ЕГЭ тапсырмаларында қолданылады.
