Көлбеу-кесінді түрі — сызықтық теңдеуді \(y = mx + b\) түрінде жазу тәсілі, мұндағы \(m\) — түзудің көлбеуі, ал \(b\) — y-кесінді, яғни түзудің y-осін қиып өтетін нүктесі. Бұл график сызу үшін ең ыңғайлы түрі, себебі көлбеу мен бастапқы нүктені теңдеуден тікелей оқуға болады. Бұл бетте сіз \(m\) мен \(b\) нені білдіретінін, олар арқылы түзуді қалай сызуды, екі нүкте бойынша көлбеуді қалай табуды және өз теңдеуіңізді қалай жазуды үйренесіз — мұнда шешілген мысалдар мен интерактивті жаттықтырушы бар.
Көлбеу-кесінді түрі дегеніміз не?
Әрбір түзуді (тік емес) көлбеу-кесінді түрінде жазуға болады:
\(m\) және \(b\) әріптері ғана бір түзуден екіншісіне өзгеріп отырады. Оларды теңдеуден былай оқыңыз:
- \(m\) — көлбеу. Ол түзудің қаншалықты тік екенін және қай бағытқа қисайғанын көрсетеді. Көлбеу тік өсімнің көлденең өсімге қатынасын білдіреді: түзу оңға қарай әрбір бір бірлік жылжыған сайын қанша бірлік жоғары (немесе төмен) көтеріледі.
- \(b\) — y-кесінді. Бұл түзудің тік осьті қиып өтетін \(y\)-мәні, яғни \((0, b)\) нүктесі. \(x = 0\) болғанда, \(mx\) мүшесі жойылып, \(y = b\) болады.
Мысалы, \(y = 2x + 3\) теңдеуінде көлбеу \(m = 2\), ал y-кесінді \(b = 3\), сондықтан түзу y-осін \((0, 3)\) нүктесінде қиып өтеді және оңға қарай 1 бірлік жылжыған сайын 2 бірлікке көтеріледі.
m = көлбеу
Түзудің тіктігі: тік өсімнің көлденең өсімге қатынасы. Оң мән жоғары, теріс мән төмен қарай қисайтады.
b = y-кесінді
Түзудің y-осін қиып өтетін нүктесі (0, b).
Көлбеу-кесінді түрін қалай сызуға болады
\(y = mx + b\) теңдеуінен түзу сызу үш оңай қадамды талап етеді — мәндер кестесі қажет емес:
- y-кесіндіні белгілеңіз. y-осінде \((0, b)\) нүктесіне нүкте қойыңыз. Бұл сіздің бастапқы нүктеңіз.
- Екінші нүктені табу үшін көлбеуді қолданыңыз. \(m\) мәнін \(\frac{\text{тік өсім}}{\text{көлденең өсім}}\) бөлшегі ретінде жазыңыз. Бірінші нүктеден жоғары (тік өсім) және оңға (көлденең өсім) жылжыңыз. \(2\) сияқты бүтін сан түріндегі көлбеу \(\frac{2}{1}\) болып табылады.
- Түзуді сызыңыз екі нүкте арқылы және оны екі жаққа қарай созыңыз.
Төмендегі торда \(y = 2x + 1\) графигі көрсетілген: y-кесінді \((0, 1)\) нүктесінде, ал \(2 = \frac{2}{1}\) көлбеуі келесі \((1, 3)\) нүктесіне жету үшін 2 бірлік жоғары, 1 бірлік оңға жылжуды білдіреді.
Көлбеу мен y-кесіндіні қалай табуға болады
Теңдеуден. Егер ол \(y = mx + b\) түрінде болса, \(x\)-ке көбейтілген сан — көлбеу \(m\), ал бос мүше — y-кесінді \(b\). Таңбаларға назар аударыңыз: \(y = -3x - 4\) теңдеуінде көлбеу \(m = -3\), ал y-кесінді \(b = -4\). Егер теңдеу басқаша көрінсе (мысалы, \(2x + y = 5\)), алдымен \(y\)-ті өрнектеп алыңыз: \(y = -2x + 5\), демек \(m = -2\) және \(b = 5\).
Екі нүкте бойынша көлбеу. Екі \((x_1, y_1)\) және \((x_2, y_2)\) нүктелері берілгенде, көлбеу \(y\)-тің өзгерісін \(x\)-тің өзгерісіне бөлу арқылы табылады:
\((1, 2)\) және \((3, 8)\) нүктелері үшін: \(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). Координаталарды алым мен бөлімде бірдей ретпен азайтыңыз, әйтпесе таңба қате болады.
Көлбеу-кесінді түрінде теңдеулер жазу
Теңдеу жазу үшін сізге тек көлбеу \(m\) мен y-кесінді \(b\) қажет, содан кейін оларды \(y = mx + b\) теңдеуіне қойыңыз.
- Көлбеу мен y-кесінді берілгенде. \(m = -2\) және \(b = 5\) болса, теңдеу \(y = -2x + 5\) болады. Дайын.
- Көлбеу және бір нүкте берілгенде. Көлбеу мен \((x, y)\) нүктесін \(y = mx + b\) теңдеуіне қойып, \(b\)-ны табыңыз. Мысалы: \((2, 3)\) нүктесі арқылы өтетін \(m = 4\) көлбеуі үшін \(3 = 4(2) + b\), демек \(b = 3 - 8 = -5\) және теңдеу \(y = 4x - 5\) болады.
- Екі нүкте берілгенде. Алдымен жоғарыдағы формуламен көлбеуді табыңыз, содан кейін \(b\)-ны табу үшін бір нүктені қолданыңыз, дәл алдыңғы қадамдағыдай.
Көлбеудің таңбасы түзудің қай бағытқа кететінін бірден көрсетеді.
| Көлбеу m | Түзу бағыты | Мысал |
|---|---|---|
| m > 0 | Жоғарылайды (солдан оңға қарай) | y = 2x + 1 |
| m < 0 | Төмендейді (солдан оңға қарай) | y = -2x + 4 |
| m = 0 | Көлденең — түзу сызық | y = 3 |
| анықталмаған | Тік — көлбеу-кесінді түрі емес | x = 5 |
Көлбеу-кесінді түрінің мысалдары
1-мысал. m мен b мәндерін оқып, график сызу
Теңдеу: \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
1-қадам — бөліктерін анықтау. Көлбеу \(m = \frac{1}{2}\), ал y-кесінді \(b = -2\).
2-қадам — y-кесіндіні белгілеу. y-осінде \((0, -2)\) нүктесіне нүкте қойыңыз.
3-қадам — көлбеуді қолдану. \(m = \frac{1}{2}\) дегеніміз 1 бірлік жоғары, 2 бірлік оңға. \((0, -2)\) нүктесінен \((2, -1)\) нүктесіне, одан кейін \((4, 0)\) нүктесіне жылжыңыз.
4-қадам — түзуді сызу. Ол нүктелер арқылы түзу сызыңыз. Көлбеу оң болғанымен 1-ден кіші болғандықтан, түзу баяу жоғарылайды.
2-мысал. Екі нүкте бойынша көлбеуді табу
Нүктелер: \((-1, 4)\) және \((2, -2)\)
1-қадам — формуланы қолдану. \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\).
2-қадам — таңбаны тексеру. Көлбеу теріс, сондықтан түзу солдан оңға қарай төмендейді. Бұл нүктелерге сәйкес келеді: x артқан сайын y кемиді.
Бұл түзудің көлбеуі \(m = -2\).
3-мысал. Көлбеу мен нүкте бойынша теңдеу жазу
Берілгені: көлбеу \(m = 3\), \((2, 1)\) нүктесі арқылы өтеді.
1-қадам — \(y = mx + b\) теңдеуінен бастау (\(m = 3\)): \(\; y = 3x + b\).
2-қадам — \((2, 1)\) нүктесін қою: \(\; 1 = 3(2) + b = 6 + b\).
3-қадам — b-ны табу: \(\; b = 1 - 6 = -5\).
Теңдеу: \(y = 3x - 5\).
4-мысал. Көлбеу-кесінді түріне келтіру
Теңдеу: \(4x + 2y = 6\)
1-қадам — y-ті оқшаулау. Екі жағынан \(4x\)-ті азайтыңыз: \(2y = -4x + 6\).
2-қадам — 2-ге бөлу: \(\; y = -2x + 3\).
3-қадам — m мен b мәндерін оқу. Енді ол көлбеу-кесінді түрінде: көлбеу \(m = -2\), y-кесінді \(b = 3\).
Көлбеу-кесінді түріндегі жиі кездесетін қателер
-
m мен b-ны ауыстырып алу — көлбеуді бос мүше ретінде оқу (немесе керісінше).
Көлбеу m әрқашан x-ке көбейтілген сан; y-кесінді b — бос тұрған сан. y = 5x + 2 теңдеуінде көлбеу 5, ал y-кесінді 2 — ешқашан керісінше емес.
-
Көлбеудің таңбасын түсіріп алу, мысалы, y = -3x + 1 теңдеуіндегі көлбеуді 3 деп атау.
Минус таңбасы көлбеудің бөлігі. Мұнда m = -3, бұл түзудің төмендейтінін білдіреді. Теріс көлбеу әрқашан солдан оңға қарай төмендейді.
-
Тік өсім мен көлденең өсімді шатастыру — алдымен оңға, сосын жоғары жылжу, нәтижесінде көлбеу кері болып шығады.
Көлбеу — тік өсімнің көлденең өсімге қатынасы, керісінше емес. 2 = 2/1 көлбеуі әрбір 1 оңға жылжыған сайын 2 жоғары көтерілуді білдіреді; 1/2 көлбеуі әрбір 2 оңға жылжыған сайын 1 жоғары көтерілуді білдіреді. Тік өсімді әрқашан алымда сақтаңыз.
-
y-кесіндіні x-мәні ретінде оқу, мысалы, b = 3 болғанда (3, 0) нүктесін белгілеу, (0, 3) емес.
y-кесінді y-осінде орналасады: b әрқашан (0, b) нүктесі. Әрбір графикті y-осі бойынша жоғары немесе төмен жылжудан бастаңыз, x-осі бойынша емес.
-
Көлбеу формуласында координаталарды әртүрлі ретпен азайту.
Алым мен бөлімде бірдей ретті қолданыңыз: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Егер алымда екінші нүктенің y-інен бастасаңыз, бөлімде де екінші нүктенің x-інен бастаңыз, әйтпесе таңба өзгереді.
Жиі қойылатын сұрақтар
Көлбеу-кесінді түрі дегеніміз не?
Көлбеу-кесінді түрі — y = mx + b түрінде жазылған түзудің теңдеуі, мұнда m — көлбеу, ал b — y-кесінді. Бұл график сызу үшін ең ыңғайлы түрі, себебі тіктік (m) пен y-осіндегі бастапқы нүкте (b) теңдеуде бірден көрініп тұрады.
y = mx + b теңдеуіндегі m мен b нені білдіреді?
m — көлбеу, яғни түзудің қаншалықты тік екені және жоғарылайтыны немесе төмендейтіні, тік өсімнің көлденең өсімге қатынасымен өлшенеді. b — y-кесінді, яғни түзудің тік осьті қиып өтетін y-мәні, яғни (0, b) нүктесі.
Екі нүкте бойынша көлбеуді қалай табуға болады?
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) көлбеу формуласын қолданыңыз: алымда екі y-мәнін, ал бөлімде сәйкес x-мәндерін азайтыңыз. Мысалы, (1, 2) және (3, 8) үшін m = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
Көлбеу-кесінді түріндегі түзуді қалай сызуға болады?
Алдымен y-кесіндіні (0, b) нүктесінде белгілеңіз. Содан кейін көлбеуді тік өсімнің көлденең өсімге қатынасы ретінде пайдаланып, екінші нүктеге қадам жасаңыз — тік өсім үшін жоғары (немесе төмен), көлденең өсім үшін оңға. Екі нүкте арқылы түзу сызыңыз және оны екі бағытта созыңыз.
Көлбеу-кесінді түрінде теңдеуді қалай жазуға болады?
Көлбеу m мен y-кесінді b-ны табыңыз, содан кейін оларды y = mx + b теңдеуіне қойыңыз. Егер сізде тек көлбеу мен бір нүкте болса, нүктені теңдеуге қойып, алдымен b-ны табыңыз. Егер екі нүкте болса, формуламен көлбеуді табыңыз, содан кейін b-ны есептеңіз.
Көлбеудің таңбасы не көрсетеді?
Оң көлбеу түзудің солдан оңға қарай жоғарылайтынын білдіреді; теріс көлбеу оның төмендейтінін білдіреді. 0 көлбеуі көлденең түзуді береді, ал тік түзудің көлбеуі анықталмаған, оны көлбеу-кесінді түрінде жазу мүмкін емес.
