\(a\) санынан алынған шаршы түбір — бұл квадраты \(a\)-ға тең болатын сан, ал арифметикалық шаршы түбір деп тек оның теріс емес мәнін айтады: \(\sqrt{25} = 5\). Түбірді тек теріс емес сандардан ғана шығаруға болады, бірақ түбірдің қасиеттері күрделі өрнектерді қысқартуға көмектеседі. Бұл бетте — анықтамасы мен анықталу облысы, формулалары бар шаршы түбірдің барлық қасиеттері, 1-ден 20-ға дейінгі шаршы түбірлер кестесі, түбір шығару және көбейткішті шығару тәсілдері, талданған мысалдар, жиі кездесетін қателер мен интерактивті жаттықтырғыш бар.
Саннан шаршы түбір дегеніміз не
Саннан алынған шаршы түбір \(a\) — бұл квадраты \(a\)-ға тең болатын сан. Түбір шығару және квадраттау — өзара кері амалдар: \(7^2 = 49\) болғандықтан, 49-дың шаршы түбірі 7-ге тең екені бірден белгілі.
Бірақ оң санның тура екі шаршы түбірі болады және олар тек таңбасымен ғана ерекшеленеді: \(5^2 = 25\) және \((-5)^2 = 25\), яғни 25-тің шаршы түбірлері 5 те, -5 те болып табылады. \(\sqrt{25}\) жазуы тек бір ғана санды білдіруі үшін, \(\sqrt{\phantom{a}}\) таңбасымен тек теріс емес түбірді жазу туралы келісілді. Оны арифметикалық түбір деп атайды.
Жазудың өз атаулары бар: \(\sqrt{\phantom{a}}\) таңбасы — радикал, ал оның астындағы сан немесе өрнек — түбір астындағы өрнек.
Арифметикалық шаршы түбір: анықтамасы және анықталу облысы
Теріс емес \(a\) санынан алынған арифметикалық шаршы түбір деп квадраты \(a\)-ға тең болатын теріс емес санды айтады. Оны \(\sqrt{a}\) деп белгілейді және «а-ның түбірі» деп оқиды.
Анықтамада екі шарт жасырылған және екеуі де бірдей маңызды:
- түбір астындағы өрнек теріс емес: \(a \ge 0\);
- түбірдің мәні теріс емес: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Осыдан бірден мынаны аламыз: \(\sqrt{25} = 5\), -5 емес; \(\sqrt{0} = 0\); ал \(\sqrt{-9}\) жазуы нақты сандарда мағынасыз — квадраты теріс болатын сан жоқ.
Бірінші шарт түбір бар өрнектің анықталу облысын белгілейді. Мысалы, \(\sqrt{x-7}\) өрнегі \(x - 7 \ge 0\) болғанда, яғни \(x \ge 7\) болғанда ғана мағыналы: \(x\)-тің кез келген кіші мәні түбір астына теріс санды әкеледі.
Анықтамадан \(a \ge 0\) болғанда \((\sqrt{a})^2 = a\) теңдігі де шығады: түбірді квадраттау түбір астындағы санды қайтарады. Бұл тіпті түбірдің мәнін дәл есептей алмайтын жағдайда да жұмыс істейді: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Шаршы түбірлер кестесі: 1-ден 20-ға дейінгі сандардың квадраттары
Түбір түгелдей шығарылатын болса, түбір астындағы сан — толық квадрат болып табылады. Сондықтан квадраттар кестесі шаршы түбірлер кестесі ретінде де жұмыс істейді: оны екі жағынан да оқуға болады — \(14^2 = 196\), демек \(\sqrt{196} = 14\).
Кесте тек бүтін сандармен ғана емес, басқа жағдайларда да көмектеседі:
- ондық бөлшектер: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), себебі \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- жай бөлшектер: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — түбір алымынан да, бөлімінен де бөлек шығарылады;
- дөңгелек сандар: \(\sqrt{2500} = 50\), өйткені \(2500 = 25 \cdot 100\), ал әрбір көбейткіштің түбірі белгілі.
Шаршы түбірдің қасиеттері
Шаршы түбірдің қасиеттері әрбір түбірді жеке-жеке шығармай-ақ өрнектерді есептеуге және жауапты ықшамдауға мүмкіндік береді.
Көбейтіндіден түбір түбірлердің көбейтіндісіне тең: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), мұнда \(a \ge 0\) және \(b \ge 0\). Мысалы, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — бұл \(\sqrt{144}\)-пен бірдей жауап.
Бөлшектен түбір түбірлердің бөліндісіне тең: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), мұнда \(a \ge 0\) және \(b > 0\). Мысалы, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). \(b > 0\) шарты қатаң: нөлге бөлуге болмайды.
Квадраттан түбір модульге тең: \(\sqrt{a^2} = |a|\), бұл кез келген \(a\) саны үшін дұрыс. Бұл тақырыптың ең басты нәзік тұсы. Егер \(a \ge 0\) болса, ештеңе өзгермейді: \(\sqrt{7^2} = 7\). Бірақ теріс \(a\) болғанда таңба «түзеледі»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), -6 емес — өйткені арифметикалық түбір теріс бола алмайды.
Түбірдің квадраты түбір астындағы санды қайтарады: \((\sqrt{a})^2 = a\), мұнда \(a \ge 0\).
Ал қосынды мен айырма үшін мұндай қасиеттер жоқ: қосындыдан түбір түбірлердің қосындысына тең емес. Бұл тақырыптағы ең жиі кездесетін қате, оны төменде талдаймыз.
| Қасиеті мен шарты | Мысал |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √ba ≥ 0 және b ≥ 0 болғанда | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √ba ≥ 0 және b > 0 болғанда | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|кез келген a үшін | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aa ≥ 0 болғанда | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bb ≥ 0 болғанда | √(25 · 3) = 5√3 |
Шаршы түбірді қалай шығару керек
Қолда калькулятор болмаған кезде, мектеп тапсырмалары түбір оңай шығатындай етіп құрастырылады. Әрекеттер реті мынадай:
- Квадраттар кестесі бойынша тексеру. Егер сан кестеде болса, жауабы дайын: \(\sqrt{289} = 17\).
- Дөңгелек көбейткішті бөліп алу. Нөлі бар сандардан \(100\), \(10\,000\) және т.б. бөліп алған ыңғайлы: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Жай көбейткіштерге жіктеу. Бұл әмбебап тәсіл: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), дәреже көрсеткіштерін екіге бөлеміз де, \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\) аламыз.
- Ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Бұл разрядты жоғалтып алудан сақтайды.
- Егер толық квадрат болмаса — түбір иррационал болады. Онда оны не жауапта таңбамен қалдырады (\(\sqrt{30}\) деп жазады), не көршілес квадраттардың арасында бағалайды.
Тексеру бір секунд алады: алынған санды квадраттап, түбір астындағы санның шыққанын көреміз. \(24^2 = 576\) — дұрыс.
Көбейткішті түбір таңбасының алдына шығару
Түбірді сирек «шикі» күйінде қалдырады — оның ішінен шығарылатынның бәрін алдына шығарады. \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) қасиеті жұмыс істейді, мұнда \(b \ge 0\): түбір астындағы санның ең үлкен квадраттық бөлгішін іздейміз.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Кері әрекет — көбейткішті түбір астына енгізу: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\), мұнда \(a \ge 0\). Мысалы, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Теріс көбейткішпен абай болу керек: минус түбір астына кірмейді және сыртта қалады. Дұрыс жазу — \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), \(\sqrt{12}\) емес.
Бұл не үшін керек: көбейткішті шығарғаннан кейін түбір астындағы өрнектері бірдей түбірлер ұқсас қосылғыштарға айналады, оларды қосуға болады. Ал көбейткішті түбір астына енгізу — түбірлері бар екі өрнекті салыстырудың ең жылдам тәсілі.
Шығарылмайтын шаршы түбір неге тең
Егер түбір астындағы сан толық квадрат болмаса, түбір — иррационал сан: оның ондық жазылуы шексіз және периодты емес. Мысалы, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), және дәл мәнін тек \(\sqrt{2}\) таңбасымен ғана жазады. Жуықталған жауапты тек тапсырмада сұралғанда ғана жазады.
Мұндай түбірді калькуляторсыз бағалауға болады: түбір астындағы сан жататын екі көршілес толық квадратты табу керек. Салыстыру ережесі жұмыс істейді: \(a \ge 0\) және \(b \ge 0\) үшін \(a < b\) болса, \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) болады — түбір астындағы үлкен санға үлкен түбір сәйкес келеді.
Шаршы түбірлермен есептеу мысалдары
1-мысал. Түбірлері бар өрнектің мәні
Есептеңіз: \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
1-қадам. \(\sqrt{121} = 11\), себебі \(11^2 = 121\).
2-қадам. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), себебі \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
3-қадам. Бөлшектен түбірді алымы мен бөлімі бойынша шығарамыз: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
4-қадам. Қосамыз: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Жауабы: 11.
2-мысал. Көбейтіндіден түбір
Есептеңіз: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
1-қадам. Бұл түбірлер жеке-жеке шығарылмайды, сондықтан оларды біріктіреміз: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
2-қадам. Түбір астындағы көбейтіндіні есептейміз: \(8 \cdot 18 = 144\).
3-қадам. \(\sqrt{144} = 12\).
Басқа жол — көбейткіштерді алдын ала шығару: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) және \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), онда \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Жауаптары сәйкес келді.
Жауабы: 12.
3-мысал. Көбейткіштерге жіктеу арқылы түбір шығару
Есептеңіз: \(\sqrt{576}\) және \(\sqrt{6400}\).
1-қадам. 576 саны квадраттар кестесінде жоқ, сондықтан оны жай көбейткіштерге жіктейміз: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
2-қадам. Дәреже көрсеткіштерін екіге бөлеміз: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
3-қадам. Тексеру. \(24^2 = 576\) — дұрыс.
4-қадам. 6400 санынан дөңгелек көбейткішті бөліп алған ыңғайлы: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Тексеру: \(80^2 = 6400\).
Жауабы: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
4-мысал. Көбейткішті шығару және ұқсас қосылғыштарды келтіру
Ықшамдаңыз: \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
1-қадам. Әрбір түбірдің алдына көбейткіштерді шығарамыз: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), демек \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
2-қадам. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
3-қадам. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
4-қадам. Тек түбір астындағы өрнегі бірдей түбірлерді ғана қосуға болады: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), ал \(\sqrt{3}\) бар қосылғыш бөлек қалады.
Жауабы: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
5-мысал. Айнымалысы бар квадраттан түбір
Ықшамдаңыз: \(\sqrt{(x-4)^2}\), мұнда \(x < 4\).
1-қадам. Квадраттан түбір қасиеті бойынша \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — бірден модульді жазамыз, \(x - 4\) емес.
2-қадам. Шарт бойынша модульді ашамыз. Егер \(x < 4\) болса, онда \(x - 4\) айырмасы теріс, ал теріс санның модулі — қарама-қарсы сан: \(|x-4| = 4 - x\).
3-қадам. Тексеру. \(x = 1\) деп алайық: сол жағында \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), оң жағында \(4 - 1 = 3\) — сәйкес келеді.
Жауабы: \(4 - x\). Салыстыру үшін, \(x \ge 4\) болғанда жауабы \(x - 4\) болар еді.
6-мысал. Түбірлері бар өрнектерді салыстыру
Салыстырыңыз: \(3\sqrt{5}\) және \(5\sqrt{2}\).
1-қадам. Екі сан да оң, сондықтан көбейткішті түбір астына енгіземіз: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
2-қадам. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
3-қадам. Түбір астындағы сандарды салыстырамыз: \(45 < 50\), ал түбір астындағы үлкен санға үлкен түбір сәйкес келеді.
Жауабы: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Шаршы түбірмен жұмыс істегендегі жиі кездесетін қателер
-
Модульді ұмытып, $\sqrt{a^2} = a$ деп жазады.
Дұрыс теңдік — \(\sqrt{a^2} = |a|\). Теріс сан үшін бұл өте маңызды: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), -13 емес. Арифметикалық түбір теріс бола алмайды, сондықтан түбір астындағы таңба «түзеледі».
-
Қосындыдан түбір түбірлердің қосындысына тең деп есептейді: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Мұндай қасиет жоқ. Алдымен түбір астындағы амалды орындаймыз: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), 7 емес. Қасиеттер тек көбейтінді мен бөлінді үшін ғана бар: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) және \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
$\sqrt{49} = \pm 7$ деп жауап береді.
\(\sqrt{49} = 7\) — арифметикалық түбір әрқашан біреу және ол теріс емес. Екі мән басқа тапсырмада пайда болады: \(x^2 = 49\) теңдеуінің түбірлері \(x = 7\) және \(x = -7\). Түбір жазуын теңдеудің шешімімен шатастыруға болмайды.
-
«Минус минусқа көбейтілгенде плюс болады» деп, $\sqrt{-16} = -4$ деп жазады.
Түбір астында теріс сан тұра алмайды: \((-4)^2 = 16\), -16 емес, сондықтан \(\sqrt{-16}\) нақты сандарда жоқ. Ал \(-\sqrt{16} = -4\) өрнегі толықтай дұрыс — минус түбірдің астында емес, алдында тұр.
-
Теріс көбейткішті түбір астына енгізеді: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
\(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) ережесі тек \(a \ge 0\) болғанда ғана жұмыс істейді. Минус сыртта қалады: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Таңбамен тексеру: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), ал \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — сандар қарама-қарсы.
-
Ондық бөлшектің разрядын жоғалтады: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Кері квадраттау арқылы тексеріңіз: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), сәйкес келмейді. Дұрысы \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), өйткені \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Сенімді тәсіл — жай бөлшекке көшу: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Түбір әрқашан санның өзінен кіші деп сенеді.
Бұл тек бірден үлкен сандар үшін ғана дұрыс. 0 мен 1 аралығында бәрі керісінше: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), ал \(0{,}5\) \(0{,}25\)-тен үлкен. Ал 0 мен 1 үшін түбір санның өзіне тең.
Сұрақтар мен жауаптар
Арифметикалық шаршы түбір дегеніміз не, қарапайым тілмен айтқанда?
Бұл квадраттағанда түбір астындағы санды беретін теріс емес сан. \(\sqrt{a}\) деп жазады, бұл ретте түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек: \(a \ge 0\). Мысалы, \(\sqrt{64} = 8\), себебі \(8 \ge 0\) және \(8^2 = 64\).
Шаршы түбірдің арифметикалық шаршы түбірден айырмашылығы неде?
Оң санның екі шаршы түбірі болады — таңбалары қарама-қарсы. Арифметикалық түбір деп олардың тек теріс емесін айтады, \(\sqrt{\phantom{a}}\) таңбасы дәл соны білдіреді. Сондықтан \(\sqrt{25} = 5\), дегенмен \(x^2 = 25\) теңдеуінің екі түбірі бар: 5 және -5.
Калькуляторсыз саннан шаршы түбірді қалай шығаруға болады?
Алдымен санды квадраттар кестесі бойынша тексеріңіз. Егер ол онда болмаса — көбейткіштерге жіктеп, толық квадраттарды бөліп алыңыз: \(784 = 16 \cdot 49\), сондықтан \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Жауапты әрқашан кері әрекетпен тексеріңіз: \(28^2 = 784\).
Теріс саннан шаршы түбір шығаруға бола ма?
Нақты сандарда — жоқ: кез келген санның квадраты теріс емес, сондықтан \(\sqrt{-9}\) өрнегінің мағынасы жоқ. Дәл осы шарттан анықталу облысын іздейді: мысалы, \(\sqrt{x-7}\) тек \(x \ge 7\) болғанда ғана бар.
Санның квадратынан алынған түбір неге тең?
Сол санның модуліне: \(\sqrt{a^2} = |a|\). \(a\) теріс емес болса, санның өзі шығады, теріс болса — оған қарама-қарсы сан: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Көбейткішті түбір таңбасының алдына қалай шығаруға болады?
Түбір астындағы санның ең үлкен квадраттық бөлгішін табыңыз және \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) қасиетін қолданыңыз. Мысалы, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Кері әрекет — көбейткішті түбір астына енгізу: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
2-нің шаршы түбірі неге тең?
\(\sqrt{2}\) саны иррационал: оның ондық жазылуы шексіз және периодты емес, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Бөлшек түріндегі дәл мәні жоқ, сондықтан жауаптарда оны \(\sqrt{2}\) таңбасымен қалдырады, ал жуықтауды тек шарт талап еткенде ғана жасайды.
Түбірлері бар екі санды есептемей қалай салыстыруға болады?
Көбейткіштерді түбір астына енгізіп, түбір астындағы сандарды салыстырыңыз: түбір астындағы үлкен санға үлкен түбір сәйкес келеді. Мысалы, \(\sqrt{17}\) және 4: \(4 = \sqrt{16}\) және \(17 > 16\) болғандықтан, \(\sqrt{17} > 4\).
Шаршы түбірлерді қай сыныпта оқиды?
8-сыныпта алгебра сабақтарында: алдымен арифметикалық шаршы түбірдің анықтамасы мен қасиеттері, содан кейін түбірлері бар өрнектерді түрлендіру және \(x^2 = a\) түріндегі теңдеулерді шешу. Одан әрі түбірлер дискриминант формуласында және ОЖБ мен ҰБТ тапсырмаларында кездеседі.
