Пропорция — екі қатынастың теңдігі, мысалы \(2:3 = 8:12\). Пропорцияларды шешу үшін тек бір құрал қажет — пропорцияның негізгі қасиеті: шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең. Мектепте оны «айқас-тұйқас» ережесі деп атайды. Төменде — қатынас пен пропорция дегеніміз не, белгісіз мүшені қалай табуға болады, тура пропорционалдылық кері пропорционалдылықтан қалай ерекшеленеді, рецепт, масштаб және баға туралы есептерді талдау, пайызға шығу және 10 есептен тұратын тренажер.
Қатынас және пропорция дегеніміз не
Екі санды қатынасы — олардың бөліндісі. \(2:3\) қатынасы («екіге үш» деп оқылады) бір сан екіншісінен неше есе үлкен екенін немесе бір сан екіншісінің қандай бөлігін құрайтынын көрсетеді. Оны екі түрлі жазуға болады: \(2:3\) немесе \(\frac{2}{3}\) бөлшегі — бұл бірдей.
Пропорция — екі қатынастың теңдігі:
Пропорцияда барлығы төрт сан болады және олардың аттары бар. Жазылудың шетіндегі сандар — шеткі мүшелер, ортасындағы сандар — ортаңғы мүшелер. Екі қатынас та бірдей санға тең болғанда пропорция дұрыс болады.
Пропорцияның негізгі қасиеті: «айқас-тұйқас» ережесі
Пропорцияның негізгі қасиеті: шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең.
Бұл қалай шығады? \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) теңдігінің екі жағын да \(b \cdot d\)-ға көбейтейік. Сол жақта \(b\), оң жақта \(d\) қысқарады, тек \(a \cdot d = c \cdot b\) қалады. Сиқыр емес — теңдіктердің қарапайым қасиеті.
Дәл осыны оқушылар «пропорцияны айқаспен шешу» деп атайды: сандарды диагональ бойынша, айқас-тұйқас көбейтіп шығады. Қасиет кері бағытта да жұмыс істейді: егер төрт сан (олардың ешқайсысы нөл емес) үшін \(a \cdot d = b \cdot c\) теңдігі орындалса, онда олардан дұрыс пропорция құруға болады.
Бұдан бірден екі дағды шығады: пропорцияның дұрыстығын тексеру және одан белгісіз санды табу.
Пропорцияның белгісіз мүшесін қалай табуға болады
Негізгі қасиеттен екі қысқа ереже шығады:
- белгісіз шеткі мүше = ортаңғылардың көбейтіндісі : белгілі шеткі мүше;
- белгісіз ортаңғы мүше = шеткілердің көбейтіндісі : белгілі ортаңғы мүше.
Оларды жаттау міндетті емес. Бір әмбебап тәсіл жеткілікті: айқас-тұйқас көбейтіп, «сан \(\cdot\, x\) = сан» түріндегі теңдікті алып, бөлу керек. Мұны \(x : 7 = 12 : 21\) пропорциясымен қадам бойынша талдап көрейік.
Соңғы қадам — тексеру — бес секунд уақыт алады және кез келген арифметикалық қатені анықтайды, сондықтан оны өткізіп алмаған жөн.
Тура және кері пропорционалдылық
Екі шаманы тура пропорционал деп атайды, егер біреуі бірнеше есе артқанда, екіншісі де сонша есе артса. Екі есе көп дәптер сатып алсаң — екі есе көп ақша төлейсің. Мұндай шамалардың қатынасы тұрақты болады.
Шамалар кері пропорционал болады, егер біреуі бірнеше есе артқанда, екіншісі сонша есе азайса. Екі есе көп жұмысшы — бірдей жұмысты істеуге екі есе аз күн кетеді. Мұндай шамалардың көбейтіндісі тұрақты болады.
Негізгі айырмашылық пропорцияны жазу кезінде көрінеді. Тура тәуелділік үшін ол «қалай бар, солай» жазылады: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Кері үшін екінші қатынас кері айналады: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Неге? Кері тәуелділік үшін көбейтінді тұрақты болады: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Екі жағын да \(a_2 \cdot b_1\)-ге бөлсек — дәл \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\) шығады. Сондықтан «кері айналдыру» — жаттау керек болатын сиқыр емес, көбейтіндінің тұрақты қалуының салдары, ал қатынастың емес.
| Белгісі | Тура | Кері |
|---|---|---|
| Байланыс | артық → артық | артық → кем |
| Тұрақты | a : b қатынасы | a × b көбейтіндісі |
| Жазылуы | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Мысал | 3 ручка — 90 ₽, 5 ручка — 150 ₽ | 4 сырлаушы — 9 күн, 6 сырлаушы — 6 күн |
Рецепт, масштаб, баға бойынша есепке пропорцияны қалай құруға болады
«Пропорция туралы» мәтіндік есептер бір сценарий бойынша шешіледі:
- Шартты екі бағанға жазып шығарыңыз, сонда бірдей шамалар бір-бірінің астында тұрады (порциялар порциялардың астында, грамдар грамдардың астында).
- Ізделіндіні \(x\) деп белгілеңіз.
- Тәуелділік түрін анықтаңыз: бірінші шаманы ойша ұлғайтып, екіншісі өсе ме немесе кеми ме соны қараңыз.
- Пропорция құрыңыз — кері тәуелділік үшін екінші қатынасты кері айналдырыңыз.
- Айқас-тұйқас шешіп, алынған жауаптың ақылға қонымды екенін тексеріңіз.
Рецепт бойынша көрсетейік. 4 порция құймаққа 300 г ұн қажет — 6 порцияға қанша ұн қажет? Порциялар көбірек, демек ұн да көбірек: тәуелділік тура, пропорция «қалай бар, солай» құрылады:
6 порцияға 450 г ұн қажет. Жауап ақылға қонымды: порциялар бір жарым есе көбейді, және ұн да бір жарым есе көп қажет болды.
Дәл осылай масштаб (картадағы қашықтық масштаб санна қатынасымен жердегі қашықтыққа тең) және баға (тауар санының құнына қатынасы) туралы есептер шешіледі. Толық талдаулар — төмендегі мысалдарда.
Пайызды пропорция арқылы
Процент — санның жүзден бір бөлігі, сондықтан кез келген қарапайым пайыз есебі пропорцияға айналады:
Мұндағы төрт санның біреуі белгісіз — сол айқас-тұйқаспен табамыз.
Бөлікті табу. 240-тың 15%-ы қанша болады? \(x : 240 = 15 : 100\) деп жазамыз, демек \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) және \(x = 36\).
Тұтасты табу. 21 саны қандай да бір санның 35%-ын құрайды. \(21 : x = 35 : 100\) деп жазамыз, демек \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) және \(x = 60\).
Процентті табу. 18 саны 45-тің қанша процентін құрайды? \(18 : 45 = p : 100\) деп жазамыз, демек \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) және \(p = 40\), яғни 40%.
Бір тәсіл — үш түрлі есеп, қосымша ештеңе жаттаудың қажеті жоқ. Тек «шама қанша процентке өсті немесе азайды» деген сұрақ бөлек тұрады: онда алдымен өзгерісті тауып, содан кейін оны бастапқы мәнге бөледі — бұл пайыздық өзгеріс формуласы, ал қарапайым пропорция емес.
Пропорцияларды шешудің қадамдық мысалдары
1-мысал. Ортаңғы мүшені табу
Есеп. Пропорцияның белгісіз мүшесін тап: \(15 : x = 45 : 24\).
1-қадам. Қай мүше қайда екенін анықтаймыз. Шеткілер — 15 және 24, ортаңғылар — \(x\) және 45.
2-қадам. Негізгі қасиетті қолданамыз: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), яғни \(360 = 45x\).
3-қадам. Бөлеміз: \(x = 360 : 45 = 8\).
Тексеру. \(15 : 8 = 1{,}875\) және \(45 : 24 = 1{,}875\) — қатынастар тең.
Жауап: \(x = 8\).
2-мысал. Тура пропорционалдылық: баға және саны
Есеп. Алты дәптер 210 ₽ тұрады. Сол сияқты 10 дәптер қанша тұрады?
1-қадам. Дәптерлер көбірек — құны көбірек, демек тура тәуелділік.
2-қадам. Шартты бірдей шамалар қатар тұратындай етіп жазып, пропорцияны «қалай бар, солай» құрамыз:
3-қадам. Айқас-тұйқас: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), демек \(x = 2100 : 6 = 350\).
Тексеру. Бір дәптер \(210 : 6 = 35\) ₽ тұрады, ал он дәптер — \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Сәйкес келді.
Жауап: 350 ₽.
3-мысал. Кері пропорционалдылық: жұмысшылар және күндер
Есеп. Сегіз жұмысшы тапсырысты 15 күнде орындайды. Сол тапсырысты 12 жұмысшы қанша күнде орындайды, егер олар бірдей жылдамдықпен жұмыс істесе?
1-қадам. Жұмысшылар көбірек — күн аз қажет болады. Кері тәуелділік.
2-қадам. Екінші қатынасты кері айналдырып, пропорция құрамыз:
Мұнда \(x\) — 12 жұмысшыға арналған күндер, ал 15 — 8 жұмысшыға арналған күндер: олар орындарын ауыстырды, себебі тәуелділік кері.
3-қадам. Айқас-тұйқас: \(8 \cdot 15 = 12x\), яғни \(120 = 12x\) және \(x = 10\).
Тексеру. Көбейтінді тұрақты: \(8 \cdot 15 = 120\) және \(12 \cdot 10 = 120\). Сәйкес келді, және жауап ақылға қонымды — күн аз болды.
Жауап: 10 күн.
4-мысал. Карта масштабы
Есеп. Карта масштабы \(1 : 200\,000\). Картадағы ауылдар арасындағы қашықтық 7 см. Жер бетінде бұл қашықтық қандай?
1-қадам. Масштаб \(1 : 200\,000\) дегеніміз: картадағы 1 см жер бетінде 200 000 см-ге сәйкес келеді. Бұл дайын қатынас.
2-қадам. Пропорция құрамыз:
3-қадам. Айқас-тұйқас: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), яғни \(x = 1\,400\,000\) см.
4-қадам. Ыңғайлы бірліктерге аударамыз: бір километрде 100 000 см, сондықтан \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) км.
Жауап: 14 км.
5-мысал. Пайызды пропорция арқылы
Есеп. Сыныпта 25 оқушы бар, олардың 60%-ы походқа шықты. Походқа қанша адам шықты?
1-қадам. Тұтас — бұл барлық 25 оқушы, оларға 100% сәйкес келеді. Ізделінді бөлік — \(x\) адам, оған 60% сәйкес келеді.
2-қадам. «Бөлік : тұтас = процент : 100» пропорциясын құрамыз:
3-қадам. Айқас-тұйқас: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), демек \(x = 15\).
Тексеру. 25-тен 15 адам — бұл \(15 : 25 = 0{,}6\), яғни дәл 60%.
Жауап: 15 адам.
Пропорцияларды шешу кезіндегі жиі кездесетін қателер
-
Сандарды айқас-тұйқас емес, «бойымен» көбейтеді: 5 : 2 = 20 : 8 пропорциясында 5 · 2 және 20 · 8 деп есептейді.
Негізгі қасиет шеткі мүшелерді ортаңғы мүшелермен байланыстырады, яғни диагональ бойынша сандарды: 5 · 8 = 40 және 2 · 20 = 40. Көбейтінділер тең — пропорция дұрыс. Ал 5 · 2 және 20 · 8 тең емес және ештеңе айтпайды.
-
Кері тәуелділік туралы есепте «тура» пропорция құрады. Алты сорғы бассейнды 10 сағатта толтырады; 6 : 15 = 10 : x жазылуы 15 сорғы үшін 25 сағатты береді.
Сорғылар көбейді — уақыт азаюы керек, ал көбейді: демек, пропорция дұрыс емес бағытта құрылған. Екінші қатынасты кері айналдыру керек: 6 : 15 = x : 10, онда 15x = 60 және x = 4 сағат. Жауапты әрқашан ақылға қонымдылығына тексеріңіз.
-
«Айқас-тұйқас»-тан кейін керісінше бөледі: 8x = 96 теңдігінен x = 8 : 96 деп алады.
x-ті табу үшін көбейтіндіні x-тің жанындағы көбейткішке бөледі: x = 96 : 8 = 12. Табылған санды кері қою дағдысы пайдалы: 8 · 12 = 96, бәрі дұрыс.
-
Өлшем бірліктерін сәйкестендірмейді. Масштаб 1 : 50 000 есебінде картадағы 3 см үшін жауапты «1,5» деп бірліксіз жазады немесе оны метр деп атайды.
Алдымен масштабта берілген бірліктермен есептейміз: 3 · 50 000 = 150 000 см. Содан кейін ғана аударамыз: 150 000 см = 1500 м = 1,5 км. Жауаптағы бірліктер санның өзі сияқты маңызды.
-
Қатынасты және пропорцияны шатастырады: пропорция құру туралы өтінішке бір қатынасты «12 : 4» деп жазады.
Қатынас — бұл екі санның бөліндісі: 12 : 4 = 3. Пропорция — бұл екі қатынастың теңдігі, оның міндетті түрде төрт саны және теңдік белгісі болады: 12 : 4 = 30 : 10 (тексереміз: 12 · 10 = 120 және 4 · 30 = 120).
Сұрақтар мен жауаптар
Қатынас пропорциядан қалай ерекшеленеді?
Қатынас — бұл екі санның бөліндісі, мысалы 12 : 4. Пропорция — бұл екі қатынастың теңдігі, оның құрамында төрт сан болады: 12 : 4 = 30 : 10. Қатынас «неше есе» деген сұраққа жауап береді, ал пропорция екі салыстырудың бірдей нәтиже беретінін растайды.
Пропорцияның шеткі және ортаңғы мүшелері дегеніміз не?
a : b = c : d жазылуында шеткі мүшелер — шетінде тұрғандары, яғни a және d. Ортаңғылар — ортасында тұрғандары, яғни b және c. Егер пропорция бөлшектермен жазылса, шеткі мүшелер — бірінші бөлшектің алымы және екіншінің бөлімі, ал ортаңғылар — біріншінің бөлімі және екіншінің алымы.
Пропорцияның дұрыстығын қалай тексеруге болады?
Айқас-тұйқас көбейтіп, көбейтінділерді салыстыру керек. Мысалы, 9 : 12 = 15 : 20 үшін 9 · 20 = 180 және 12 · 15 = 180 деп есептейміз — сандар сәйкес келді, демек пропорция дұрыс. Егер көбейтінділер әртүрлі болса, пропорция дұрыс емес.
Пропорция мүшелерін орындарымен ауыстыруға бола ма?
Иә, егер ережелер бойынша жасалса. Дұрыс пропорцияда шеткі мүшелерді орындарымен ауыстыруға, ортаңғы мүшелерді орындарымен ауыстыруға болады, немесе екі жағын да бірден кері айналдыруға болады — пропорция дұрыс қалады. 4 : 6 = 10 : 15-тен 4 : 10 = 6 : 15 немесе 6 : 4 = 15 : 10 шығады — диагональ бойынша көбейтінді әр жерде 60-қа тең. Бірақ тек бір санды ауыстыруға болмайды.
«Айқаспен пропорцияны шешу» деген не?
Бұл пропорцияның негізгі қасиетінің ауызекі атауы. Сандарды диагональ бойынша, айқас-тұйқас көбейтеді: шеткіні шеткіге және ортаңғыны ортаңғыға. Бір белгісізі бар теңдеу шығады, оны бір бөлумен шешеді. Негізгі қасиеттен басқа жеке «айқас әдісі» жоқ.
Есепте тура пропорционалдылық немесе кері екенін қалай анықтауға болады?
Бірінші шаманы 2 есе ұлғайтып, екіншісіне қараңыз. Егер ол да екі есе өссе — тәуелділік тура, пропорция «қалай бар, солай» құрылады. Егер екі есе азайса — тәуелділік кері, екінші қатынасты кері айналдыру керек. Тағы бір белгісі: тура тәуелділікте шамалардың қатынасы тұрақты, кері тәуелділікте — олардың көбейтіндісі тұрақты.
Пайыз есептерін пропорция арқылы қалай шешуге болады?
«Бөлік : тұтас = процент : 100» пропорциясын құрып, белгісізді айқас-тұйқаспен табыңыз. Мысалы, 350-тің 12%-ы: x : 350 = 12 : 100 шығады, демек 100x = 4200 және x = 42. Сол сияқты белгілі бөлік бойынша тұтасты, және проценттің өзін де табады.
