Орташа мән, медиана, мода және ауқым — сандар жиынын сипаттаудың төрт тәсілі. Олардың үшеуі — орташа мән, медиана және мода — орталық үрдіс өлшемдері деп аталады: олар "типтік" мәннің қандай болатынын көрсетеді. Төртіншісі, ауқым, деректердің қаншалықты шашыраңқы екенін өлшейді. Бұл беттен сіз әрқайсысының анықтамасын, оларды қалай есептеу керектігін (соның ішінде жұп санды медиананы), қай кезде қолдану керектігін, шешілген мысалдарды, жиі кездесетін қателерді және жаттығуға арналған интерактивті тестті табасыз.
Орташа мән, медиана, мода және ауқым дегеніміз не?
Әрбір өлшем деректеріңіз туралы әртүрлі сұраққа жауап береді:
- Орташа мән — барлық мәндердің жиынтық орташасы.
- Медиана — сандарды ретімен қойғандағы ортаңғы мән.
- Мода — ең жиі кездесетін мән.
- Ауқым — ең кіші мәннен ең үлкен мәнге дейінгі аралық.
Төмендегі кестеде әрқайсысының не екені және оны қалай есептеу керектігі көрсетілген. Тек мода жиілікке қатысты, ал тек ауқым орталық мәнді емес, шашыраңқылықты сипаттайтынына назар аударыңыз.
| Өлшем | Не екені | Қалай есептеу керек |
|---|---|---|
| Орташа мән | Орташа көрсеткіш | Барлық сандарды қосып, олардың санына бөліңіз |
| Медиана | Реттелген қатардың ортасы | Сандарды реттеңіз; ортаңғысын таңдаңыз. Егер екі ортаңғы сан болса, олардың орташасын табыңыз |
| Мода | Ең жиі кездесетін мән | Ең жиі қайталанатын мәнді табыңыз. Ол болмауы, біреу немесе бірнешеу болуы мүмкін |
| Ауқым | Деректердің шашыраңқылығы | Ең үлкен мәннен ең кіші мәнді азайтыңыз |
Орташа мәнді, медиананы және моданы қалай табуға болады
Олардың қалай ерекшеленетінін көру үшін бір деректер жиынында төртеуін де есептеп көрейік. 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 сандарын алайық (жеті мән).
Орташа мән. Оларды қосамыз: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Барлығы 7 мән бар, сондықтан орташа мән 42 ÷ 7 = 6.
Медиана. Алдымен реттейміз: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. 7 мән болғанда ортаңғысы 4-ші орында тұр, сондықтан медиана 6 болады. (Таңдау алдында әрқашан реттеңіз — бұл ең жиі кездесетін қате.)
Мода. 8 саны үш рет кездеседі, бұл басқаларынан көп, сондықтан мода 8 болады.
Ауқым. Ең үлкен мән 8, ең кішісі 3, сондықтан ауқым 8 − 3 = 5.
Бір деректер жиыны, төрт түрлі жауап — сондықтан бізде төрт түрлі өлшем бар.
Әрбір өлшемді қашан қолдану керек
Бұл өлшемдер бір-бірімен бәсекелеспейді — әрқайсысы әртүрлі сұрақтар үшін тиімді.
- Орташа мән — күнделікті "орташа" көрсеткіш, мәндер бір-біріне жақын болғанда (мысалы, орташа бағалар немесе ауа райы) өте ыңғайлы. Кемшілігі: бір өте үлкен немесе өте кіші мән (ауытқу) оны орталықтан алыстатып жіберуі мүмкін.
- Медиана — ортаңғы мән, сондықтан ауытқулар оған әсер етпейді. Сондықтан үй бағалары мен табыс мөлшері әдетте медиана арқылы көрсетіледі — бір қымбат сарай типтік мәнді бұзбайды.
- Мода — орташасын табу мүмкін емес жағдайларда (мысалы, ең көп сатылған аяқ киім өлшемі немесе сыныптағы ең сүйікті түс) қолданылатын жалғыз өлшем. Деректер жиынында бір мода, бірнеше мода болуы немесе мүлдем болмауы мүмкін.
- Ауқым — типтік мәнді сипаттамайды, ол деректердің қаншалықты шашыраңқы екенін көрсетеді. Кіші ауқым мәндердің бір-біріне жақын екенін, үлкен ауқым олардың алшақ екенін білдіреді.
Шешілген мысалдар: қадам бойынша
1-мысал. Бір деректер жиынындағы төрт өлшем
Деректер жиыны: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
1-қадам — Сандарды реттеңіз. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
2-қадам — Орташа мән. Оларды қосыңыз: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Барлығы 7 мән бар, сондықтан орташа мән 39 ÷ 7 ≈ 5.57.
3-қадам — Медиана. 7 мән болғанда ортаңғысы реттелген тізімдегі 4-ші сан: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Медиана 6.
4-қадам — Мода. 3 саны үш рет кездеседі, бұл басқаларынан көп, сондықтан мода 3.
5-қадам — Ауқым. Ең үлкенінен ең кішісін азайтыңыз: 10 − 3 = 7.
Жауабы: орташа мән ≈ 5.57, медиана = 6, мода = 3, ауқым = 7.
2-мысал. Жұп санды деректер жиынының медианасы
Деректер жиыны: 12, 5, 8, 20 (төрт мән — жұп сан).
1-қадам — Реттеңіз. 5, 8, 12, 20.
2-қадам — Екі ортаңғы мәнді табыңыз. Жұп сан болғанда бір ғана ортаңғы сан болмайды. Мұнда екі ортаңғы мән 8 және 12.
3-қадам — Олардың орташасын табыңыз. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Медиана 10 болады — 10 бастапқы сандардың ішінде болмаса да. Бұл жұп санды медиана үшін қалыпты жағдай.
3-мысал. Модасы жоқ деректер жиыны
Деректер жиыны: 2, 5, 9, 11, 14.
Әрбір мән тек бір рет қана кездеседі, сондықтан қайталанатын мән жоқ. Бұл деректер жиынында мода жоқ — бұл қате емес, дұрыс жауап.
Керісінше, 4, 4, 7, 7, 9 деректер жиынында екі мода (4 және 7) бар, себебі екеуі де ең жиі кездеседі. Екі модасы бар жиын бимодальды деп аталады.
Болатын қателер
-
Сандарды алдымен реттемей медиананы табу.
Медиана — сандарды реттегеннен кейінгі ортаңғы мән. Ортасын таңдамас бұрын әрқашан кішісінен үлкеніне қарай реттеңіз. 7, 2, 9 қатарында медиана 7 (реттелгені: 2, 7, 9), 9 емес.
-
Жұп санды жиында екі ортаңғы санның біреуін ғана таңдау.
Жұп сан болғанда бір ғана ортаңғы сан болмайды. Екі ортаңғы мәнді алып, олардың орташасын табыңыз. 5, 8, 12, 20 үшін медиана (8 + 12) ÷ 2 = 10, 8 немесе 12 емес.
-
Әрбір деректер жиынында міндетті түрде бір мода болуы керек деп ойлау.
Деректер жиынында мода болмауы мүмкін (егер ештеңе қайталанбаса) немесе бірнеше мода болуы мүмкін (егер екі немесе одан да көп мән ең жиі кездессе). Екеуі де дұрыс жауап — бір ғана моданы мәжбүрлеп іздемеңіз.
-
Орташа мән мен медиананы шатастыру және оларды бірдей деп санау.
Орташа мән — барлығын қосып бөлу; медиана — реттелген қатардағы ортаңғы мән. Олар көбінесе әртүрлі болады, әсіресе ауытқулар болғанда. 2, 3, 4, 100 үшін орташа мән 27.25, ал медиана тек 3.5.
-
Ауқымды модамен шатастыру немесе азайтуды ұмыту.
Ауқым — шашыраңқылық өлшемі: ең үлкен мәннен ең кіші мәнді азайту. Бұл ең жиі кездесетін мән емес, шашыраңқылықты сипаттайтын бір сан. 4, 9, 15 үшін ауқым 15 − 4 = 11.
Жиі қойылатын сұрақтар
Орташа мән, медиана, мода және ауқым дегеніміз не?
Орташа мән — барлық мәндердің орташасы (барлығын қосып, санына бөлу). Медиана — сандарды реттегеннен кейінгі ортаңғы мән. Мода — ең жиі кездесетін мән. Ауқым — ең үлкен мәннен ең кіші мәнді азайту. Орташа мән, медиана және мода типтік мәнді сипаттайды; ауқым деректердің қаншалықты шашыраңқы екенін көрсетеді.
Деректер жиынының орташа мәнін қалай табуға болады?
Барлық сандарды қосып, қосындыны сандардың санына бөліңіз. Мысалы, 4, 6, 8, 2 сандарының орташа мәні (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Жұп санды деректер жиынында медиананы қалай табуға болады?
Сандарды реттеңіз, содан кейін ортадағы екі мәнді алып, олардың орташасын табыңыз (қосып, 2-ге бөліңіз). 5, 8, 12, 20 үшін екі ортаңғы мән 8 және 12, сондықтан медиана (8 + 12) ÷ 2 = 10. Нәтиже бастапқы жиында жоқ сан болуы мүмкін.
Орташа мән мен медиананың айырмашылығы неде?
Орташа мән барлық мәндердің орташасы, сондықтан әрбір сан оған әсер етеді. Медиана тек реттелген қатардағы ортаңғы мән, сондықтан оған өте үлкен немесе өте кіші сандар (ауытқулар) әсер етпейді. Деректер жиынында ауытқулар болғанда, медиана көбінесе орташа мәнге қарағанда типтік мәнді дәлірек көрсетеді.
Деректер жиынында бірнеше мода болуы немесе мүлдем болмауы мүмкін бе?
Иә. Егер ешбір мән қайталанбаса, деректер жиынында мода болмайды. Егер екі немесе одан да көп мән ең жиі кездессе, жиынның бірнеше модасы болады — екі модасы бар жиын бимодальды деп аталады. Моданың болмауы немесе бірнеше моданың болуы толықтай дұрыс жағдай.
Орталық үрдіс өлшемдері дегеніміз не?
Орталық үрдіс өлшемдері — деректер жиынының ортасын немесе типтік мәнін сипаттайтын сандар. Негізгі үшеуі: орташа мән, медиана және мода. Ауқым орталық үрдіс өлшемі емес — ол шашыраңқылықты өлшейді.
