Квадрат теңдеудің формуласы \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) түріндегі кез келген квадрат теңдеуді шешуге мүмкіндік береді. Оның түбірлері \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) формуласымен беріледі. Бұл бетте сіз әр бөліктің мағынасын, формуланы қалай кезең-кезеңімен қолдануды, дискриминанттың түбірлер санын қалай анықтайтынын және толық шешілген мысалдарды көресіз — сонымен қатар бірден жаттығуға болатын интерактивті тренажер бар.
Квадрат теңдеудің формуласы деген не
Квадрат теңдеу — \(ax^2 + bx + c = 0\) стандартты түрінде жазуға болатын кез келген теңдеу, мұндағы \(a\), \(b\) және \(c\) — сандар, ал \(a \neq 0\). \(a\), \(b\) және \(c\) сандары коэффициенттер деп аталады: \(a\) — \(x^2\)-тің коэффициенті, \(b\) — \(x\)-тің коэффициенті, ал \(c\) — бос мүше.
Квадрат теңдеудің формуласы шешімдерді (яғни түбірлерді) осы үш коэффициент арқылы тікелей береді — көбейткіштерге жіктеудің қажеті жоқ. Ол кез келген квадрат теңдеу үшін жұмыс істейді, тіпті көбейткіштерге оңай жіктелмейтіндері үшін де.
Қайдан шыққан (қорытылуы): бұл формула жалпы теңдеуді толық квадратқа келтіру арқылы алынады. \(ax^2 + bx + c = 0\) теңдеуін \(a\)-ға бөліп, бос мүшені оң жаққа өткізіп, екі жағына да \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) қосып, толық квадрат жасап, түбір шығарамыз. Нәтижесінде кез келген \(a\), \(b\), \(c\) үшін жарамды төмендегі формула шығады.
Дискриминант: түбірлер санын анықтау
Түбір астындағы \(b^2 - 4ac\) өрнегі дискриминант (көбінесе \(D\) деп жазылады) деп аталады. Теңдеудің қанша шешімі бар екенін білу үшін бүкіл формуланы есептеудің қажеті жоқ — дискриминанттың таңбасы мұны бірден көрсетеді.
Теріс саннан нақты квадрат түбір алу мүмкін болмағандықтан, \(D\)-ның таңбасы әрбір квадрат теңдеуді үш жағдайға бөледі: екі түбір, бір қайталанатын түбір немесе нақты түбірлердің болмауы. Графикте бұл \(y = ax^2 + bx + c\) параболасының x-осімен қиылысуына сәйкес келеді — екі рет, бір рет (төбесінде) немесе мүлдем қиылыспайды.
| Дискриминант D = b² − 4ac | Нақты түбірлер | Нәтиже |
|---|---|---|
| D > 0 | Екі әртүрлі нақты түбір | Парабола x-осін екі рет қияды. Екі таңбаны да қолданыңыз: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Бір нақты түбір (қайталанатын) | Парабола x-осіне төбесінде жанасады. ± жойылады: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Нақты түбірлер жоқ | Парабола x-осіне ешқашан тимейді. Теріс саннан нақты квадрат түбір шықпайды. |
Квадрат теңдеудің формуласын қалай қолдану керек: қадамдар
Квадрат теңдеудің формуласы әрқашан бірдей жұмыс істейді. Осы бес қадамды ретімен орындасаңыз, қателеспейсіз — ең қиыны тек коэффициенттерді (таңбаларымен бірге) дұрыс анықтау.
Квадрат теңдеудің формуласына мысалдар (қадам бойынша)
1-мысал. Екі нақты түбір (D > 0)
Шешіңіз: \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
1–2-қадам. Стандартты түрде берілген, коэффициенттерді анықтаймыз: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
3-қадам. Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
4-қадам. \(D = 25 > 0\), демек екі әртүрлі нақты түбір бар.
5-қадам. Формулаға қоямыз: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Плюс таңбасымен: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Минус таңбасымен: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Түбірлері: \(x = 3\) және \(x = \tfrac{1}{2}\).
2-мысал. Бір қайталанатын түбір (D = 0)
Шешіңіз: \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
1–2-қадам. Стандартты түрде: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
3-қадам. Дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
4-қадам. \(D = 0\), демек дәл бір нақты түбір (қайталанатын түбір) бар. \(\pm\) мүшесі жойылады, себебі \(\sqrt{0} = 0\).
5-қадам. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Түбірі: \(x = 3\) (бұл квадрат теңдеу \((x-3)^2 = 0\) толық квадраты болып табылады).
3-мысал. Нақты түбірлер жоқ (D < 0)
Шешіңіз: \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
1–2-қадам. Стандартты түрде: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
3-қадам. Дискриминант: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
4-қадам. \(D = -16 < 0\). Теріс саннан нақты квадрат түбір алу мүмкін емес болғандықтан, бұл теңдеудің нақты түбірлері жоқ — оның параболасы x-осін ешқашан қиып өтпейді.
5-қадам. Нақты шешімдер үшін әрі қарай есептеудің қажеті жоқ. (Егер сіз кешенді сандармен таныс болсаңыз, түбірлері \(x = -1 \pm 2i\) болады, бірақ нақты жауап үшін осы жерде тоқтаймыз.)
Квадрат теңдеудің формуласын қолданудағы жиі кездесетін қателер
-
b-ның таңбасын қате анықтау, әсіресе b теріс болғанда.
Формула −b-дан басталады. Егер b = −7 болса, онда −b = +7 болады — екі минус таңбасы қысқарады. Ықшамдамас бұрын орын қоюды толық жазып алыңыз, мысалы, −(−7).
-
± таңбасын ұмытып, тек бір түбірді ғана жазу.
D > 0 болғанда ± екі жауап береді: біреуі + таңбасымен, екіншісі − таңбасымен. D = 0 болмаса, әрқашан (−b + √D)/(2a) және (−b − √D)/(2a) екеуін де есептеңіз.
-
Алымның тек бір бөлігін ғана 2a-ға бөлу.
Бүкіл алым, яғни −b ± √D, 2a-ға бөлінеді — тек √D бөлігі емес. Оны бір бөлшек түрінде сақтаңыз: (−b ± √D) / (2a).
-
a немесе c теріс болғанда дискриминантты қате есептеу.
D = b² − 4ac формуласында, егер a·c теріс болса, 4ac-ны азайту шын мәнінде қосу болып табылады. 3x² − 2x − 1 үшін, −4·3·(−1) = +12, сондықтан D = 4 + 12 = 16, 4 − 12 емес.
-
Теңдеуді стандартты түрге келтірмей тұрып формуланы қолдану.
Алдымен барлық мүшелерді бір жаққа өткізіп, теңдеуді ax² + bx + c = 0 түріне келтіріңіз. Мысалы, x² = 5x − 6 теңдеуі a, b, c-ны анықтамас бұрын x² − 5x + 6 = 0 түріне айналуы керек.
Жиі қойылатын сұрақтар
Квадрат теңдеудің формуласы деген не?
Квадрат теңдеудің формуласы: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Ол кез келген ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) квадрат теңдеуінің шешімдерін a, b және c коэффициенттері арқылы тікелей береді.
Квадрат теңдеудің формуласын қалай кезең-кезеңімен қолдану керек?
Теңдеуді ax² + bx + c = 0 стандартты түріне келтіріңіз, a, b және c-ны таңбаларымен анықтаңыз, D = b² − 4ac дискриминантын есептеңіз, түбірлер санын білу үшін оның таңбасын тексеріңіз, содан кейін x = (−b ± √D) / (2a) формуласына қойып, плюс және минус нұсқаларын ықшамдаңыз.
Дискриминант деген не және ол не үшін маңызды?
Дискриминант — D = b² − 4ac, түбір астындағы өрнек. Оның таңбасы есептеуді аяқтамай-ақ нақты түбірлер санын көрсетеді: D > 0 екі нақты түбір береді, D = 0 бір қайталанатын түбір береді, ал D < 0 нақты түбірлердің жоқтығын білдіреді.
Квадрат теңдеудің формуласын көбейткіштерге жіктеудің орнына қашан қолдану керек?
Көбейткіштерге жіктеу кіші бүтін сандармен оңай болғанда тиімді. Квадрат теңдеудің формуласы кез келген квадрат теңдеу үшін жұмыс істейді, соның ішінде көбейткіштерге оңай жіктелмейтін немесе иррационал/бүтін емес түбірлері бар теңдеулер үшін, сондықтан ол көбейткіштерге жіктеу қиын болған жағдайда сенімді әдіс.
Квадрат теңдеудің формуласы қайдан шыққан?
Ол ax² + bx + c = 0 жалпы теңдеуін толық квадратқа келтіру арқылы алынған: a-ға бөлу, (b/2a)² қосу арқылы толық квадрат жасау, сол жақты толық квадрат ретінде жазу және екі жағынан түбір шығару. Нәтижесінде квадрат теңдеудің формуласы шығады.
Квадрат теңдеудің формуласы шешім бермей қалуы мүмкін бе?
Егер дискриминант теріс болса (D < 0), нақты шешім болмайды, себебі теріс саннан нақты квадрат түбір алу мүмкін емес. Теңдеудің екі кешенді түбірі болады, бірақ нақты түбірлері жоқ — графикте парабола x-осіне ешқашан тимейді.
