Қысқаша көбейту формулалары (ҚКФ) — бұл жақшаларды ашуды және өрнектерді көбейткіштерге жіктеуді ұзақ көбейтусіз орындауға мүмкіндік беретін дайын алгебралық тепе-теңдіктер. Бұл бетте барлық жеті формуланы қамтитын кесте бар: қосынды мен айырманың квадраты, квадраттар айырымы, қосынды мен айырманың кубы, кубтардың қосындысы мен айырымы. Әр формуланы шығарылуымен және мысалдармен талдаймыз, ал соңында ҚКФ қолдануды бірден жаттықтыруға болатын интерактивті тренажер бар.
Қысқаша көбейту формулалары дегеніміз не
Қысқаша көбейту формулалары — бұл көпмүшелерді бір рет мұқият көбейтіп, нәтижесін есте сақтау арқылы алынатын тепе-теңдіктер. Одан әрі әр жолы жақша ашып жатудың қажеті жоқ: «үлгіні» танып, өз сандарыңызды немесе әріптеріңізді қойсаңыз жеткілікті.
Алгебраның 7-сынып бағдарламасында ҚКФ екі бағытта жұмыс істейді:
- солдан оңға қарай — өрнекті квадратқа немесе кубқа шығару үшін жақшаларды тез ашу;
- оңнан солға қарай — көпмүшені көбейткіштерге жіктеу (бұл бөлшектерді қысқарту және теңдеулерді шешу үшін қажет).
Барлығы жеті формуланы жаттау керек. Төменде — анықтамалық кесте, одан кейін әр формуланы жеке талдау.
Қысқаша көбейту формулаларының кестесі
Барлық жеті қысқаша көбейту формуласын бір кестеде көз алдыңызда ұстау ыңғайлы. Мұндағы \(a\) және \(b\) әріптері — кез келген өрнектер: сан, айнымалы немесе \(2x\) сияқты тұтас бірмүше болуы мүмкін.
| Формула | Жазылуы |
|---|---|
| Қосындының квадраты | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Айырманың квадраты | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Квадраттар айырымы | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Қосындының кубы | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Айырманың кубы | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Кубтардың қосындысы | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Кубтардың айырымы | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Қосындының квадраты және айырманың квадраты
Қосындының квадраты \((a+b)\)-ны өзіне-өзі көбейткенде шығады:
Сөзбен айтқанда: қосындының квадраты бірінші өрнектің квадратына, плюс бірінші мен екінші өрнектің екі еселенген көбейтіндісіне, плюс екінші өрнектің квадратына тең. Айырманың квадраты да дәл осылай шығарылады — ортаңғы мүшесінің таңбасы минус болады:
Ең бастысы — \(2ab\) ортаңғы мүшесін ұмытып кетпеу: дәл осы мүше үшін \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Қосындының квадраты мен айырманың квадратының айырмашылығы тек \(2ab\) алдындағы таңбада ғана, ал шеткі \(a^2\) және \(b^2\) мүшелері әрқашан плюс таңбасымен болады.
Мысал. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Қосындының квадратының көрнекі геометриялық мағынасы бар: бұл қабырғасы \((a+b)\) болатын үлкен квадраттың ауданы.
Квадраттар айырымы
Егер бірдей өрнектердің қосындысы мен айырмасын көбейтсеңіз, ортаңғы мүшелері өзара жойылады:
Квадраттар айырымы формуласы шығады: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Бұл көбейткіштерге жіктеу үшін ең пайдалы ҚКФ: екі квадраттың айырымын көрген бойда бірден көбейтіндіге жіктеңіз.
Мысал (жақшаларды ашу). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Мысал (көбейткіштерге жіктеу). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Маңызды: квадраттардың қосындысы \(a^2 + b^2\) бұл формула бойынша көбейткіштерге жіктелмейді — тек айырмасы ғана жұмыс істейді.
Қосындының кубы, айырманың кубы, кубтардың қосындысы мен айырымы
Қосындының кубы мен айырманың кубы төрт мүшеден тұрады:
Айырманың кубында таңбалар кезектесіп келеді: \(+\,-\,+\,-\). Тағы бір жиі кездесетін қателік: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — дәрежені жай ғана «таратып» беруге болмайды, \(3a^2b\) және \(3ab^2\) ортаңғы мүшелерін ұмытуға болмайды.
Мысал. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Кубтардың қосындысы мен айырымы бөлек қарастырылады — олар, керісінше, өрнекті көбейткіштерге жіктейді:
Екінші көбейткіш қосындының немесе айырманың толық емес квадраты деп аталады. Оның ортаңғы мүшесіндегі таңба әрқашан бірінші жақшадағы таңбаға қарама-қарсы болады: кубтардың қосындысында — \(-ab\), кубтардың айырымында — \(+ab\).
Мысал. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Қысқаша көбейту формулаларын қолдану мысалдары
1-мысал. Жақшаларды ашу: қосындының квадраты
Тапсырма. \((2x+5)^2\) өрнегін квадратқа шығару.
1-қадам. Қосындының квадраты формуласын танимыз: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), мұнда \(a = 2x\), \(b = 5\).
2-қадам. Әр мүшені есептейміз:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Жауабы. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
2-мысал. Квадраттар айырымы формуласына келтіру
Тапсырма. \((3x-4)(3x+4)\) көбейтіндісін табу.
1-қадам. Біздің алдымызда бірдей өрнектердің айырмасы мен қосындысының көбейтіндісі тұр — бұл квадраттар айырымы \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), мұнда \(a = 3x\), \(b = 4\).
2-қадам. Әр өрнекті квадратқа шығарамыз: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Жауабы. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
3-мысал. Көбейткіштерге жіктеу
Тапсырма. \(x^2 - 36\) және \(x^3 + 27\) өрнектерін көбейткіштерге жіктеу.
Квадраттар айырымы. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Кубтардың қосындысы. \(27 = 3^3\) екенін байқаймыз, демек \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) формуласын \(a = x\), \(b = 3\) болғанда қолданамыз:
Толық емес квадраттағы \(-3x\) таңбасына назар аудар — кубтардың қосындысында ортаңғы мүшесі минус таңбасымен болады.
4-мысал. Қосындының кубы
Тапсырма. \((x+2)^3\) жақшаларын ашу.
1-қадам. Қосындының кубы формуласы: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), мұнда \(a = x\), \(b = 2\).
2-қадам. Мүшелерді ретімен есептейміз:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Жауабы. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
ҚКФ-мен жұмыс істегендегі жиі кездесетін қателіктер
-
Екі еселенген көбейтіндіні ұмыту: $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ деп жазу.
Қосындының және айырманың квадратында әрқашан \(2ab\) ортаңғы мүшесі болады: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Тексеру оңай — \((a+b)(a+b)\)-ны бағандап көбейтсең, ортаңғы мүшесі өздігінен шығады.
-
Айырманың квадраты мен квадраттар айырымындағы таңбаларды шатастыру.
Айырманың квадратында минус тек ортаңғы мүшесінде ғана болады: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (шеткілері — плюспен). Ал квадраттар айырымында минус — квадраттардың өздерінің арасында: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Бұлар әртүрлі формулалар.
-
Кубтың дәрежесін «таратып» беру: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Бұлай істеуге болмайды. Қосындының кубы төрт мүшеден тұрады: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) формуласы — мүлдем басқа (кубтардың қосындысы), ол көбейткіштерге жіктеу туралы.
-
Кубтардың қосындысы/айырымының толық емес квадратында $2ab$ екі еселенген көбейтіндіні қою.
Толық емес квадрат — бұл \(a^2 \pm ab + b^2\), \(ab\) алдында екілік жоқ. Таңбасы бірінші жақшадағы таңбаға қарама-қарсы: кубтардың қосындысы \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), кубтардың айырымы \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Квадраттардың қосындысын $a^2 + b^2$ көбейткіштерге жіктеуге тырысу.
Көбейткіштерге тек квадраттар айырымы \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) ғана жіктеледі. Мектеп курсында квадраттардың қосындысы \(a^2 + b^2\) көбейткіштерге жіктелмейді.
Сұрақтар мен жауаптар
Барлығы қанша қысқаша көбейту формуласы бар?
Жеті: қосындының квадраты, айырманың квадраты, квадраттар айырымы, қосындының кубы, айырманың кубы, кубтардың қосындысы және кубтардың айырымы. Олардың барлығы жоғарыдағы кестеде жинақталған.
Қосындының квадраты неге тең?
Бірінші өрнектің квадратына, плюс бірінші мен екінші өрнектің екі еселенген көбейтіндісіне, плюс екінші өрнектің квадратына тең: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Айырманың квадратында ортаңғы мүшесі минус таңбасымен болады: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Квадраттар айырымын қалай көбейткіштерге жіктеуге болады?
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) формуласы бойынша. Мысалы, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Екі қосылғыштың да толық квадрат екенін және олардың арасында минус тұрғанын байқасаңыз жеткілікті.
Неліктен $(a+b)^2$ өрнегі $a^2 + b^2$-ге тең емес?
Себебі \((a+b)(a+b)\)-ны көбейткенде тағы екі бірдей \(ab\) мүшесі пайда болады, олар \(2ab\) ортаңғы мүшесін береді. Оны ұмытуға болмайды: дұрысы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Қосындының кубы мен кубтардың қосындысының айырмашылығы неде?
Қосындының кубы \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — бұл жақшаларды ашу. Кубтардың қосындысы \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — керісінше, өрнекті көбейткіштерге жіктеу. Бұлар әртүрлі формулалар, оларды шатастырма.
Қысқаша көбейту формулалары нешінші сыныпта өтіледі?
Әдетте 7-сыныпта алгебра сабақтарында: алдымен қосынды мен айырманың квадраты, квадраттар айырымы, содан кейін кубтарға арналған формулалар. Оларды кейін өрнектерді ықшамдауда, бөлшектерді қысқартуда және теңдеулерді шешуде белсенді қолданады.
