Тиімсіз теңсіздік — бұл \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) түріндегі теңсіздік, мұндағы \(P(x)\) және \(Q(x)\) — көпмүшелер, ал \(>\) таңбасының орнына \(<\), \(\ge\) немесе \(\le\) тұруы мүмкін. Мұндай теңсіздіктерді интервал әдісімен шешеді: барлығын сол жаққа көшіреді, көбейткіштерге жіктейді, сан осіне алым мен бөлімінің нөлдерін белгілейді және таңбаларды қояды. Төменде — анықтама, толық алгоритм, сызылмайтын нүктелер ережесі, түбірлердің еселігі, қарастырылған мысалдар және тексеруі бар тренажер.
Тиімсіз теңсіздік дегеніміз не
Тиімсіз теңсіздік — бұл теңсіздіктің екі жағы да тиімсіз өрнектермен, яғни көпмүшелермен және көпмүшелерден құралған бөлшектермен жазылған теңсіздік. Барлығын бір жаққа көшіргеннен кейін ол әрқашан келесі түрге келеді
мұндағы \(P(x)\) және \(Q(x)\) — көпмүшелер, ал \(\vee\) орнында \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) белгілерінің бірі тұрады. Оң жақта міндетті түрде нөл болуы керек — бұл интервал әдісі жұмыс істемейтін жағдай.
Тиімсіз теңсіздіктер екі түрге бөлінеді. Егер айнымалы тек алымда кездессе, теңсіздік тұтас тиімсіз деп аталады: бөлуге ештеңе жоқ, және кез келген \(x\) мәндері жарамды. Егер айнымалы бөлімінде болса, теңсіздік бөлшек-тиімсіз (оның бөлшек теңсіздік немесе бөлшегі бар теңсіздік деп те аталады) — және бұл жағдайда дереу \(Q(x) \neq 0\) шектеуі пайда болады.
Неліктен теңсіздіктің екі жағын да бөліміне көбейтуге болмайды
Бөлшегі бар теңсіздікті шешу кезіндегі ең үлкен азғыру — екі жағын да бөліміне көбейтіп, «бөлімінен құтылу». Теңдеулерде бұлай істеуге болады, ал теңсіздіктерде — болмайды. Себебі қарапайым: теріс санға көбейткенде теңсіздік таңбасы өзгереді, ал \(Q(x)\) өрнегінің таңбасы алдын ала белгісіз — ол \(x\)-ке байланысты.
\(\frac{5}{x-3} < 1\) теңсіздігін қарастырайық. Екі жағын да \(x - 3\)-ке, оң сан деп ойлап, көбейтейік: \(5 < x - 3\), яғни \(x > 8\) болады. Жауапты \(x = 0\) қойып тексерейік: \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — теңсіздік дұрыс, демек нөл де шешім болады, бірақ \(x > 8\) жауабына кірмей қалды. Жауап жоғалды.
Дұрыс жолы — барлығын солға көшіріп, бір бөлшекке келтіру:
Соңғы қадамда екі жағын да \(-1\)-ге көбейттік және таңбаны өзгерттік — бұл заңды, себебі \(-1\) әрқашан теріс сан. Одан әрі интервал әдісі жұмыс істейді, және жауап \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) болады — оған жоғалған нөл де кіреді.
Ең оңай есте сақтау: айнымалысы бар өрнекке екі жағын да көбейтуге болмайды, қосылғыштарды көшіруге әрқашан болады. Көшіру теңсіздік таңбасын өзгертпейді.
Интервал әдісі: қадам бойынша шешу алгоритмі
Интервал әдісі бір қасиетке негізделген: тиімсіз өрнектің көршілес нөлдері арасында оның таңбасы тұрақты болады. Демек, тек алым немесе бөлімін нөлге айналдыратын барлық нүктелерді табу, олармен сан осін бөлу және әр бөліктегі таңбаны анықтау жеткілікті — әр сынақ нүктесі немесе түбірлердің еселігі бойынша.
Сызылмайтын және боялған нүктелер: АТЖ және теңсіздік таңбасы
Бір жақшадағы қателік дұрыс шешімді қате жауапқа айналдырады, сондықтан нүктелер туралы ережені бөлек жаттау керек. Тек екі ой жұмыс істейді.
Біріншісі — мүмкін болатын мәндер жиыны. Бөлімінің нөлдері әрқашан сызылады, теңсіздіктің кез келген таңбасы кезінде. Бұл нүктеде бөлшек жай ғана болмайды: нөлге бөлуге болмайды, сондықтан сан шешім бола алмайды, тіпті таңба қатаң емес болса да.
Екіншісі — қатаң немесе қатаң емес таңба. Алымның нөлдері бөлшекті нөлге теңестіреді. Қатаң емес таңбамен (\(\le\) немесе \(\ge\)) нөлге тең болу бізді қанағаттандырады, демек нүкте боялады және жауапқа шаршы жақшамен кіреді. Қатаң таңбамен (\(<\) немесе \(>\)) нөл сәйкес келмейді, және нүкте сызылады.
Мысалы, \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) теңсіздігінде \(x = 6\) нүктесі боялады (алымның нөлі, таңба қатаң емес), ал \(x = -1\) нүктесі сызылады (бөлімінің нөлі). Жауап: \(x \in (-1; 6]\).
| Нүкте қандай | Қалай белгілейміз |
|---|---|
| Бөлімінің нөлі, Q(x) = 0 | сызылмайтын әрқашан, кез келген таңбамен — АТЖ-да нүкте жоқ |
| Алымның нөлі, таңбасы қатаң < немесе > | сызылмайтын бөлшек нөлге тең, ал қатаң басқа таңба қажет |
| Алымның нөлі, таңбасы қатаң емес ≤ немесе ≥ | боялған нөлге тең болуы жарайды, нүкте жауапқа кіреді |
Түбірлердің еселігі: таңба қайда өзгереді, қайда өзгерермейді
Аралықтардағы таңбалар жай ғана алмасуға міндетті емес — бұл тақырыптағы ең жиі кездесетін қате түсінік. Алмасу тек барлық жақшалар бірінші дәрежеде болғанда ғана жұмыс істейді. Ереже түбірдің еселігі арқылы дәлірек айтылады — сәйкес жақшаның дәреже көрсеткіші.
Тақ еселік түбір арқылы өткенде (1, 3, 5 дәреже) өрнектің таңбасы өзгереді. Жұп еселік түбір арқылы өткенде (2, 4 дәреже) таңба өзгермейді: жұп дәрежедегі жақша теріс емес және өрнектің таңбасын бұзбайды. Еселік алым мен бөлім үшін бірдей есептеледі.
\((x-9)^2(x+3) > 0\) қарастырайық. Түбірлер: \(x = 9\) — еселігі 2 және \(x = -3\) — еселігі 1. Тоғыздан оң жақта өрнек оң болады. \(9\) арқылы өткенде — еселігі жұп, таңба сақталады, \((-3; 9)\) аралығында да плюс болады. \(-3\) арқылы өткенде — еселігі тақ, таңба минусқа өзгереді. Қатаң теңсіздіктің жауабы: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), \(9\) нүктесі сызылады, себебі онда өрнек нөлге тең. Ал қатаң емес \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) теңсіздігінің жауабы басқаша: \(x \in [-3; +\infty)\) — тоғыз боялады және екі аралықты бірге «жабыстырады».
| Түбір еселігі | Ауысу кезіндегі таңба |
|---|---|
| Тақ: (x − a), (x − a)3 | өзгереді |
| Жұп: (x − a)2, (x − a)4 | өзгермейді |
Сан осіндегі мысал: таңбаларды қою
Барлығын жинақтайық \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) теңсіздігінде. Алымның нөлдері: \(x = -7\). Бөлімінің нөлдері: \(x = 2\) және \(x = 5\), олар АТЖ-ны анықтайды. Барлық үш жақша бірінші дәрежеде, сондықтан таңбалар алмасады. Сынақ нүктесі \(x = 10\) ең оң жақ аралықта \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) береді — плюспен бастап, әр нүктеде таңбаны өзгертіп солға қарай жүрейік.
Тиімсіз теңсіздіктерді шешу мысалдары
1-мысал. Қарапайым бөлшек теңсіздік
Шешу керек \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
1-қадам. Оң жақта нөл бар, бөлшек бір — көшіруге және келтіруге ештеңе жоқ.
2-қадам. АТЖ. \(x + 5 \neq 0\), яғни \(x \neq -5\).
3-қадам. Нөлдер. Алым нөлге тең \(x = 3\) болғанда, бөлім — \(x = -5\) болғанда.
4-қадам. Осьтегі нүктелер. \(x = 3\) боялады (алымның нөлі, таңба қатаң емес), \(x = -5\) сызылады (бөлімінің нөлі).
5-қадам. Таңбалар. Сынақ нүктесі \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — оң жақта плюс. Екі жақша да бірінші дәрежеде, демек таңбалар алмасады: \((-5; 3)\)-те минус, \((-\infty; -5)\)-те плюс. Тексерейік: \(x = -6\) болғанда \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — сәйкес келеді.
6-қадам. Жауап. «Плюс немесе нөл» таңбасы қажет: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
2-мысал. Оң жақта нөл емес — көшіреміз
Шешу керек \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
1-қадам. Бірді солға көшіреміз. \(x - 4\)-ке көбейтуге болмайды, бұл өрнектің таңбасы белгісіз:
2-қадам. Бір бөлшекке келтіреміз.
3-қадам. АТЖ. \(x \neq 4\).
4-қадам. Нүктелер. \(x = -5\) — алымның нөлі, таңба қатаң емес, боялады. \(x = 4\) — бөлімінің нөлі, сызылады.
5-қадам. Таңбалар. \(x = 5\) болғанда бөлшек \(\frac{10}{1} > 0\). Демек \((4; +\infty)\)-да плюс, \((-5; 4)\)-те минус, \((-\infty; -5)\)-те плюс.
6-қадам. Жауап. \(x \in [-5; 4)\). Шекаралық нүктелерді тексеру: \(x = -5\) болғанда бөлшек нөлге тең — \(\le\) үшін жарайды; \(x = 4\) болғанда бөлшек жоқ — жарамайды.
3-мысал. Жұп еселік түбір және оқшауланған нүкте
Шешу керек \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
1-қадам. АТЖ. \(x \neq 9\).
2-қадам. Нөлдер және еселіктер. \(x = 2\) — еселігі 2 (жұп), \(x = -6\) — еселігі 1, \(x = 9\) — бөлімде еселігі 1.
3-қадам. Нүктелер. \(x = 2\) және \(x = -6\) боялады (алымның нөлдері қатаң емес таңба кезінде), \(x = 9\) сызылады.
4-қадам. Таңбалар. Сынақ нүктесі \(x = 10\): алым оң, бөлім 1 — плюс. Солға қарай жүрейік. \(9\) арқылы (тақ еселік) таңба өзгереді: \((2; 9)\)-да минус. \(2\) арқылы (жұп еселік) таңба өзгермейді: \((-6; 2)\)-да да минус. \(-6\) арқылы (тақ еселік) таңба өзгереді: \((-\infty; -6)\)-да плюс.
5-қадам. Жауап. «Плюс» аралықтарды плюс нөлге тең болатын барлық нүктелерді аламыз. \(x = 2\) нүктесі минус аралығының ішінде жатыр, бірақ өрнек сол жерде нөлге тең, демек ол жауапқа бөлек кіреді:
Жауаптағы мұндай «жалғыз» нүкте — жұп еселік түбірдің қатаң емес таңба кезіндегі белгісі.
4-мысал. Бөлшекті қысқарту: АТЖ-дағы тұзақ
Шешу керек \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
1-қадам. Көбейткіштерге жіктейміз. Алым — толық квадрат: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Бөлімі үшін дискриминантты есептейміз: \(D = 81 + 40 = 121\), түбірлер \(x_1 = \frac{1}{5}\) және \(x_2 = -2\), сондықтан \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
2-қадам. АТЖ — кез келген қысқартудан бұрын. \(5 - 1 \neq 0\) және \(x + 2 \neq 0\), яғни \(x \neq \frac{1}{5}\) және \(x \neq -2\).
3-қадам. Қысқартамыз. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), бірақ тек \(x \neq \frac{1}{5}\) болғанда — қысқарту сызылған нүктені кері қайтармайды.
4-қадам. \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\) шешеміз. Нөлдер: \(\frac{1}{5}\) және \(-2\). \(x = 1\) болғанда бөлшек \(\frac{4}{3} > 0\). Демек \((\frac{1}{5}; +\infty)\)-да плюс, \((-2; \frac{1}{5})\)-те минус, \((-\infty; -2)\)-да плюс.
5-қадам. АТЖ-ны қайтарамыз. \((-2; \frac{1}{5}]\) аралығы таңба бойынша сәйкес келер еді, бірақ \(\frac{1}{5}\) нүктесі сызылған: бастапқы теңсіздікте бөлім \(5x^2+9x-2\) \(x = \frac{1}{5}\) болғанда нөлге тең, бөлшек сол жерде болмайды.
Жауап: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — екі жақша да дөңгелек.
5-мысал. Алымдағы квадраттық үшмүше
Шешу керек \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
1-қадам. Алымды жіктейміз. Виет теоремасы бойынша түбірлердің қосындысы 7, көбейтіндісі 10, демек \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Теңсіздік \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\) түріне келеді.
2-қадам. АТЖ. \(x \neq -4\).
3-қадам. Нүктелер. Барлық үш нүкте сызылады: \(-4\) — бөлімінің нөлі, \(2\) және \(5\) — алымның нөлдері қатаң таңба кезінде.
4-қадам. Таңбалар. Сынақ нүктесі \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Барлық жақшалар бірінші дәрежеде, сондықтан таңбалар алмасады: \((5; +\infty)\)-да плюс, \((2; 5)\)-те минус, \((-4; 2)\)-да плюс, \((-\infty; -4)\)-да минус.
5-қадам. Жауап. Қатаң минус қажет: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Қою арқылы тексеру: \(x = -5\) болғанда \(\frac{70}{-1} < 0\), \(x = 3\) болғанда \(\frac{-2}{7} < 0\) — екі аралық та сәйкес келеді.
Тиімсіз теңсіздіктерді шешу кезіндегі жиі кездесетін қателер
-
Теңсіздіктің екі жағын да бөліміне көбейтеді: $\frac{3}{x-8} > 1$-ден $3 > x - 8$ және $x < 11$ деп жазады.
\(x - 8\) өрнегінің таңбасы алдын ала белгісіз, ал теріс санға көбейткенде теңсіздік таңбасы өзгереді. Тексеру: \(x = 0\) алғанда \(\frac{3}{-8} < 1\) — нөл шешім емес, бірақ \(x < 11\) жауабына кіріп кетті. Дұрыс: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), яғни \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), бұдан \(x \in (8; 11)\).
-
Бөлімінің нөлін бояйды, себебі таңба қатаң емес: $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ теңсіздігінде жетінің жанына шаршы жақша қояды.
Бөлімінің нөлі әрқашан, кез келген таңбамен сызылады: бұл нүктеде бөлшек жай ғана болмайды. Дұрыс жауап: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — бірдің жанында шаршы жақша, жетінің жанында дөңгелек жақша.
-
Бөлшекті қысқартады және АТЖ-ны жоғалтады: $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ теңсіздігінен $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ алады және жауапқа $x = -3$ нүктесін қосады.
АТЖ қысқартудан бұрын бастапқы бөлім бойынша жазылады: \(x \neq -3\) және \(x \neq 5\). Қысқартылған бөлшек \(\frac{x+3}{x-5}\) \([-3; 5)\) аралығында теріс емес — \(x = 0\) болғанда ол \(-0{,}6\)-ға тең, бұл \(\le\) таңбасы үшін қажет. Бірақ \(-3\) нүктесі АТЖ бойынша сызылған, сондықтан жауап — \((-3; 5)\), ал \([-3; 5)\) емес.
-
Аралықтардағы таңбалар әрқашан алмасады деп санайды, және $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ теңсіздігі үшін бірден оң жақта минус қояды.
Алмасу тек бірінші дәрежедегі жақшалар үшін дұрыс. \(x = 1\) түбірі 2 еселікке ие, сондықтан одан өткенде таңба өзгермейді. Өрнек \((-4; +\infty)\) аралығында оң болады, тек бір нүктесінен басқа, онда ол нөлге тең. Жауап: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Таңбаны ауыстыру кезінде теңсіздік таңбасын өзгертеді: $\frac{x}{x-2} \le 3$-тен $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$ деп жазады.
Бір бөліктен екінші бөлікке қосылғышты көшіру теңсіздік таңбасын өзгертпейді — тек қосылғыштың таңбасы өзгереді. Таңба тек екі жағын да теріс санға көбейткенде немесе бөлгенде өзгереді. Дұрыс: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), одан әрі \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), яғни \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Тек алым нөлдерін ғана осьте белгілейді, ал бөлімін «кейін» тексереді: $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ үшін бір $-11$ нүктесін қояды.
Осьте барлық нөлдерді бірден белгілейді — алымның да, бөлімінің де, әйтпесе аралықтар қате болады. Мұнда \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), сондықтан үш нүкте бар: \(-11\), \(-4\) және \(4\), бір емес. Барлығы сызылады (таңба қатаң), жауап: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Сұрақтар мен жауаптар
Тиімсіз теңсіздік дегеніміз не?
Бұл теңсіздік, оның екі жағы да тиімсіз өрнектер (көпмүшелер және көпмүшелерден құралған бөлшектер). Барлығын сол жаққа көшіргеннен кейін ол \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) түріне келеді, мұндағы \(P(x)\) және \(Q(x)\) — көпмүшелер, ал \(>\) орнына \(<\), \(\le\) немесе \(\ge\) тұруы мүмкін.
Тиімсіз теңсіздіктерді қалай шешуге болады?
Алты қадам бойынша интервал әдісімен: барлығын солға көшіріңіз, сонда оң жақта нөл қалады; бір бөлшекке келтіріп, алым мен бөлімін көбейткіштерге жіктеңіз; АТЖ жазыңыз (\(Q(x) \neq 0\)); сан осіне алым мен бөлімінің нөлдерін белгілеңіз; сынақ нүктесі және түбір еселігі бойынша аралықтардағы таңбаларды қойыңыз; қажетті таңбасы бар аралықтарды жауап ретінде жазыңыз.
Бөлшек-тиімсіз теңсіздік тұтас тиімсіз теңсіздіктен несімен ерекшеленеді?
Тұтас тиімсіз теңсіздікте айнымалы тек алымда болады, мысалы \((x-1)(x+4) > 0\), және АТЖ — барлық нақты сандар. Бөлшек-тиімсіз теңсіздікте айнымалы бөлімінде болады, мысалы \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), және \(x \neq -4\) шектеуі пайда болады. Алгоритм бірдей — тек сызылмайтын нүктелер өзгереді.
Бөлшегі бар теңсіздіктерді қалай шешуге болады?
Кез келген тиімсіз теңсіздік сияқты: алдымен барлығын сол жаққа көшіріп, бір бөлшекке келтіріңіз, ал бөлімінен құтылуға тырыспаңыз. Мысалы, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) теңсіздігі \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), яғни \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\) болады. Алым тұрақты және теріс, демек бөлшек тек теріс бөлім болғанда ғана теріс емес болады: \(x + 2 < 0\). Жауап: \(x \in (-\infty; -2)\).
Неліктен теңсіздіктің екі жағын да бөліміне көбейтуге болмайды?
Себебі бөлімінің таңбасы \(x\)-ке байланысты: оң өрнекке көбейткенде теңсіздік таңбасы сақталады, ал теріс санға көбейткенде — өзгереді. Қай жағдай алдыңызда екенін алдын ала білу мүмкін емес, сондықтан шешімдердің бір бөлігі жоғалады, ал бір бөлігі артық қосылады. Қосылғыштарды көшіруге әрқашан болады — бұл теңсіздік таңбасын өзгертпейді.
Теңсіздікте АТЖ-ны қалай табуға болады?
Тиімсіз теңсіздік үшін АТЖ — бұл барлық \(x\) мәндері, бұл кезде бөлім нөлге тең болмайды. Бөлімді нөлге теңестіріп, теңдеуді шешіп, табылған сандарды алып тастаңыз. АТЖ-ны бастапқы бөлім бойынша, бөлшекті қысқартудан бұрын жазу керек — әйтпесе сызылмайтын нүктелер жоғалады.
Қай нүктелер сызылмайтын, ал қайсылары боялған?
Бөлімінің нөлдері әрқашан, теңсіздіктің кез келген таңбасымен сызылады. Алымның нөлдері қатаң емес таңбамен (\(\le\) немесе \(\ge\)) боялады және қатаң таңбамен (\(<\) немесе \(>\)) сызылады. Жауап жазбасында сызылмайтын нүктеге дөңгелек жақша, боялған нүктеге — шаршы жақша сәйкес келеді.
Түбір еселігі дегеніміз не және интервал әдісінде ол не үшін қажет?
Еселік — бұл жақшаның жіктелудегі дәрежесі. Тақ еселік түбір арқылы өткенде өрнектің таңбасы өзгереді, жұп еселік түбір арқылы өткенде — сақталады. Міне сондықтан таңбалар әрқашан жай ғана алмаса бермейді: \((x-9)^2(x+3)\) өрнегінде тоғыз нүктесінде таңба бұрынғы қалпында қалады.
Тиімсіз теңсіздіктер қандай сыныпта өтіледі?
9 сыныпта алгебра сабақтарында, квадраттық теңсіздіктерден және көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеуден кейін. Интервал әдісі кейін көрсеткіштік, логарифмдік және иррационал теңсіздіктерді шешуде, сондай-ақ ОГЭ және профильдік ЕГЭ тапсырмаларында қолданылады.
