Ruutvõrrand on võrrand kujul \(ax^2 + bx + c = 0\), kus \(a \neq 0\). Selle juurte arvu määrab diskriminant \(D = b^2 - 4ac\), ja juured ise leitakse valemiga \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Sellel lehel on kõik teemad koos: standardkuju ja kordajad, kolm tüüpi mittetäielikke võrrandeid, diskriminant ja kolm juhtu, juurte valem ja selle „paaris“ variant, taandatud võrrand ja Viete teoreem, teguriteks lahutamine ja bikvadraatvõrrandid – koos samm-sammult näidetega, sagedaste vigade analüüsi ja interaktiivse treeninguga.
Mis on ruutvõrrand
Ruutvõrrand on võrrand kujul
kus \(x\) on tundmatu ja \(a\), \(b\), \(c\) on arvud (kordajad), kusjuures \(a \neq 0\). Sellist kuju nimetatakse ruutvõrrandi standardkujuks: vasakul pool on liikmed kahanevas järjekorras vastavalt astmele, paremal pool on null.
Tingimus \(a \neq 0\) ei ole formaalsus. Just liige \(ax^2\) teeb võrrandist ruutvõrrandi: kui \(a = 0\), jääb alles \(bx + c = 0\), mis on tavaline lineaarvõrrand ühe juurega. Seetõttu kontrollitakse parameetriga ülesannetes esmalt, kas kõrgeim kordaja ei muutu nulliks.
Võrrandit saab peaaegu alati standardkujule taandada: avada sulud, viia kõik liikmed vasakule poolele ja taandada sarnased liidetavad. Näiteks \(5x^2 = 3x - 2\) muutub pärast ülekandmist kujuks \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), millest \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Sõna „ruutvõrrand“ tähendab täpselt sama asja – see on lihtsalt teine nimetus.
Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid
Kui kõik kolm kordajat on nullist erinevad, nimetatakse võrrandit täielikuks. Kui \(b\) või \(c\) (või mõlemad) on nullid – mittetäielikuks. Mittetäielikke liike on täpselt kolm ja ükski neist ei vaja diskriminanti: igaüks lahendatakse ühe-kahe reaga, ja see on kõige kiirem viis aja säästmiseks kontrolltööl.
Peamine idee võrrandi \(ax^2 + bx = 0\) puhul – ühise teguri väljatoomine. Korrutis \(x(ax + b)\) on null siis ja ainult siis, kui vähemalt üks tegur on null, sellest kohe kaks juurt. Võrrandi \(ax^2 + c = 0\) puhul on idee teine: väljendada \(x^2\) ja vaadata saadud arvu märki – reaalarvu ruut ei saa olla negatiivne.
| Võrrandi tüüp | Kuidas lahendada |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Kanna c paremale ja jaga a-ga: x2 = −c/a. Võta ruutjuur, teist märki unustamata.x = 5 ja x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Võta x teguriks: x(ax + b) = 0. Korrutis on null, kui üks teguritest on null.x = 0 ja x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Jaga a-ga ja võta nullist ruutjuur. Juur on alati täpselt üks.x = 0 |
Diskriminant: kuidas leida ja mitu juurt saab
Diskriminant on arv, mida arvutatakse täieliku võrrandi kordajatest:
Sõna ise tähendab „eristajat“: diskriminant midagi ei lahenda, see ainult eristab kolme olukorda – juuri on kaks, juur on üks või juuri pole üldse. Seetõttu lahendatakse küsimus „mitu juurt on võrrandil“ ilma juurte leidmiseta.
Arvutage \(D\) hoolikalt: \(b^2\) on alati positiivne, isegi kui \(b\) ise on negatiivne, ja \(a\) ja \(c\) märgid sisalduvad korrutises \(4ac\) sellisena nagu nad on. Võtame \(x^2 + 4x - 5 = 0\): siin \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), seega \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminant on positiivne ja juuri on kaks.
Ruutvõrrandi juurte valem
Kui \(D \ge 0\), leitakse juured peamise valemi abil:
Märk \(\pm\) tähendab kahte arvutust: üks kord liitmisega, teine – lahutamisega. Kui \(D = 0\), annavad mõlemad arvutused sama arvu \(x = -\dfrac{b}{2a}\) – seda juurt nimetatakse kahekordseks.
Kaks kohta, kus kõige sagedamini eksitakse: lugejas on miinus \(b\) (kui \(b = -7\), siis \(+7\)), ja nimetajas – \(2a\), mitte lihtsalt \(2\). Kui \(a = 1\), pole erinevust näha, seetõttu viga ilmneb just seal, kus kõrgeim kordaja erineb ühest.
Lahendame \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), seega \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) ja \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Paaris teine kordaja: valem D₁-ga
Kui \(b\) on paarisarv, on seda mugav kirjutada kui \(b = 2k\) ja arvutada „vähendatud“ diskriminanti:
Arvud arvutustes muutuvad neli korda väiksemaks (\(D = 4D_1\)), ja \(D_1\) märk on sama mis \(D\)-l – seega juurte arvu otsus ei muutu.
Näide: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Siin \(b = 8\), seega \(k = 4\), ja \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Siis \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) ja \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Tavavalemi puhul oleks tulnud töötada \(D = 100\)-ga – tulemus sama, aga aritmeetikat rohkem.
Taandatud võrrand ja Viete teoreem
Võrrandit \(a = 1\)-ga nimetatakse taandatuks ja kirjutatakse kujul \(x^2 + px + q = 0\). Iga ruutvõrrand saab taandatuks jagades \(a\)-ga: näiteks \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) muutub pärast jagamist neljaga kujuks \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Taandatud kuju on väärtuslik, sest selle puhul kehtib Viete teoreem: juurte summa on \(-p\), ja korrutis on \(q\). Võrrandi \(x^2 - 7x + 10 = 0\) puhul on vaja kahte arvu, mille summa on 7 ja korrutis 10 – need on 2 ja 5, ja diskriminanti polnud vaja arvutada.
Viete järgi sobitamine aitab, kui juured on täisarvud ja väikesed, ning see kontrollib tasuta ka leitud vastust diskriminandi abil: summa peab andma \(-p\), korrutis – \(q\). Valemid üldkuju jaoks, pöördteoreem ja sobitamisalgoritm on lahti seletatud eraldi materjalis – Viete teoreem.
Ruutkolmliikme lahutamine teguriteks
Kui juured \(x_1\) ja \(x_2\) on leitud, lahutatakse ruutkolmliige teguriteks:
Tegurit \(a\) ei tohi unustada – ilma selleta ei jää võrdsus kehtima. Lahutamist on alati kerge kontrollida: avada sulud ja võrrelda algse kolmliikmega. Näiteks \(x^2 + 2x - 8\) juured on 2 ja \(-4\), seetõttu \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Töötab ka vastupidine suund: kui kolmliige õnnestus suuliselt lahutada, on juured kohe näha ja diskriminanti pole vaja. Siin aitavad lühikese korrutamise valemid – näiteks \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) annab juured 4 ja \(-4\) koheselt.
Kolmas viis diskriminandita läbi saada – täieliku ruudu väljatoomine. Võrrandis \(x^2 + 6x + 5 = 0\) täiendatakse esimesed kaks liidetavat täisruuduks: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), see tähendab \((x + 3)^2 = 4\), millest \(x + 3 = \pm 2\) ja \(x = -1\) või \(x = -5\). Just selle võttega tuletatakse üldkujul juurte valem.
Ruutvõrranditeks taandatavad võrrandid: bikvadraatvõrrandid
Bikvadraatvõrrand on kujul \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): astmed on ainult paarisarvulised. Seda lahendatakse asendusega \(t = x^2\), kusjuures tingimus \(t \ge 0\) on kohustuslik – reaalarvu ruut ei saa olla negatiivne.
Pärast asendust saadakse tavaline ruutvõrrand \(at^2 + bt + c = 0\). Seda lahendatakse diskriminandi abil ja seejärel iga mitte-negatiivse juure \(t\) korral pöördutakse tagasi \(x = \pm\sqrt{t}\) juurde. Siit ka juurte arv: kuni neli.
Näiteks \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) annab pärast asendust \(t^2 - 5t + 4 = 0\) juurtega \(t = 1\) ja \(t = 4\). Mõlemad on positiivsed, seetõttu \(x = \pm 1\) ja \(x = \pm 2\) – kokku neli juurt. Kui üks \(t\) oleks negatiivne, oleks see lihtsalt ära jäetud.
Sama võttega lahendatakse murrulised ratsionaalvõrrandid (pärast ühise nimetaja leidmist ja keelatud väärtuste ärajätmist) ja asendusega võrrandid kujul \(t = x^2 + 3x\).
Ruutvõrrandite lahendamise näited
Näide 1. Täielik võrrand, D > 0
Lahendada \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Samm 1. Võrrand on juba standardkujul: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Samm 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) – juuri on kaks.
Samm 3. \(\sqrt{D} = 5\), seega \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Samm 4. Kontroll sisestamisega. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Vastus: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Näide 2. Diskriminant on null
Lahendada \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Samm 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Samm 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) – juur on üks.
Samm 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Samm 4. Kontroll. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Vastus: \(x = 1{,}5\). Pane tähele: vasak pool on täisruut \((2x - 3)^2\), seetõttu saadi juur üks.
Näide 3. Diskriminant on negatiivne
Lahendada \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Samm 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Samm 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Samm 3. Diskriminant on negatiivne, seega \(\sqrt{D}\) ei saa reaalarvude hulgas võtta. Juurte valemit rakendada pole vaja – lahendus on sellega lõppenud.
Vastus: reaalseid juuri pole. See on täielik vastus, mitte vea märk: funktsiooni \(y = 2x^2 + 3x + 5\) graafik lihtsalt ei lõiku x-telge.
Näide 4. Mittetäielik võrrand kujul ax² + c = 0
Lahendada \(3x^2 - 27 = 0\).
Samm 1. Viime vabaliikme paremale: \(3x^2 = 27\).
Samm 2. Jagame 3-ga: \(x^2 = 9\).
Samm 3. Ruut on 9 kahel arvul: \(x = 3\) ja \(x = -3\). Teist märki kaotatakse kõige sagedamini.
Samm 4. Kontroll. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Vastus: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Võrdle võrrandiga \(2x^2 + 8 = 0\): seal \(x^2 = -4\), ja reaalseid juuri pole.
Näide 5. Mittetäielik võrrand kujul ax² + bx = 0
Lahendada \(5x^2 - 15x = 0\).
Samm 1. Toome ühise teguri välja: \(5x(x - 3) = 0\).
Samm 2. Korrutis on null, kui üks teguritest on null: \(5x = 0\) või \(x - 3 = 0\).
Samm 3. Siit \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Samm 4. Kontroll. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Vastus: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Kui algne võrrand jagada \(x\)-iga, jääb alles ainult \(x = 3\) – juur \(x = 0\) kaob. Tundmatut sisaldava avaldisega jagada ei tohi.
Näide 6. Paaris teine kordaja
Lahendada \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Samm 1. \(b = -22\) – paaris, seetõttu \(k = -11\), ja \(a = 5\), \(c = 8\).
Samm 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Samm 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Samm 4. Kontroll. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Vastus: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Tavaline diskriminant annaks \(D = 324\) – sama vastus, aga arvutada oleks tulnud kauem.
Näide 7. Kõigepealt taandada standardkujule
Lahendada \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Samm 1. Avame sulud: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), see tähendab \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Samm 2. Viime üheksa vasakule: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Alles nüüd võib kordajad üles kirjutada: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Samm 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Samm 4. Kontroll algses võrrandis. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Vastus: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Sagedane viga siin – võrdsustada iga sulg üheksaga: „korrutis on null“ reegel kehtib ainult nulli korral.
Näide 8. Kolmliikme lahutamine teguriteks
Lahutada \(2x^2 - 5x - 3\) teguriteks.
Samm 1. Võrdsustame kolmliikme nulliga ja leiame juured: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Samm 2. Asendame valemisse \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Samm 3. Kahte on mugav teise sulgu viia: \((x - 3)(2x + 1)\).
Samm 4. Kontroll sulgude avamisega. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Vastus: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Näide 9. Bikvadraatvõrrand
Lahendada \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Samm 1. Asendus \(t = x^2\), kus \(t \ge 0\). Võrrand muutub kujuks \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Samm 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Samm 3. Mõlemad väärtused on mitte-negatiivsed, seetõttu pöördume tagasi \(x\)-i juurde: \(x^2 = 9\) annab \(x = \pm 3\), \(x^2 = 4\) – \(x = \pm 2\).
Samm 4. Kontroll. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Negatiivsete väärtuste korral annavad paarisastmed samad arvud.
Vastus: \(x = \pm 2\) ja \(x = \pm 3\) – neli juurt.
Sagedased vead ruutvõrrandite lahendamisel
-
Diskriminandi arvutamine, ilma et võrrand oleks standardkujule taandatud: $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ puhul võetakse kohe $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Kõigepealt viige kõik vasakule ja taandage sarnased liidetavad: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), see tähendab \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Alles sellest \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Juurte valem töötab ainult standardkuju korral.
-
Märgi kaotamine $b$ ruutu tõstmisel: võrrandi $x^2 - 9x + 14 = 0$ puhul kirjutatakse $D = -81 - 56$.
Iga arvu ruut on mitte-negatiivne: \((-9)^2 = 81\), mitte \(-81\). Õige on \(D = 81 - 56 = 25\), juured \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), st 7 ja 2. Kontroll: \(49 - 63 + 14 = 0\) ja \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Lugejasse jäetakse $b$ asemel $b$: võrrandi $x^2 + 5x - 6 = 0$ puhul arvutatakse $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Valemis on \(-b\), seetõttu kui \(b = 5\), on lugejas \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), millest \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Sisestamine kinnitab: \(1 + 5 - 6 = 0\) ja \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Kui $D = 0$, kirjutatakse „juuri pole“: võrrandil $x^2 + 14x + 49 = 0$ on nullist erinev diskriminant, ja lahendus katkestatakse.
Juuri pole ainult siis, kui \(D < 0\). Kui \(D = 0\), on juur täpselt üks: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Kontroll: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Võrrandit $4x^2 - 9x = 0$ taandatakse $x$-iga ja saadakse ainus juur $x = 2{,}25$.
Tundmatut sisaldava avaldisega jagada ei tohi: \(x\) võib olla null, ja juur \(x = 0\) kaob. Õige on tegur välja tuua: \(x(4x - 9) = 0\), millest \(x_1 = 0\) ja \(x_2 = 2{,}25\). Kontroll: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
Võrrandis $x^2 = 16$ kirjutatakse ainult $x = 4$.
Ruut on 16 ka arvu \(-4\) korral. Tuleb kirjutada mõlemad juured: \(x = \pm 4\). Kindlam on lahendada standardkuju kaudu \(x^2 - 16 = 0\), see tähendab \((x - 4)(x + 4) = 0\) – siis on mõlemad tegurid kohe näha.
-
Ei kontrollita tingimust $a \neq 0$ parameetriga võrrandis: $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ puhul arvutatakse kohe diskriminant.
Kui \(m = 2\), muutub kõrgeim kordaja nulliks ja võrrand muutub lineaarseks \(3x - 1 = 0\) ühe juurega \(x = \dfrac{1}{3}\). Juhud \(m = 2\) lahutatakse eraldi, ja juurte valemit rakendatakse ainult kui \(m \neq 2\).
Küsimused ja vastused
Mis on ruutvõrrand?
See on võrrand kujul \(ax^2 + bx + c = 0\), kus \(a\), \(b\), \(c\) on arvud ja \(a \neq 0\). Tundmatu siseneb sellesse teises astmes, seetõttu võib juuri olla kaks, üks või mitte ühtegi.
Kuidas näeb välja ruutvõrrandi standardkuju?
Standardkuju (üldkuju) on \(ax^2 + bx + c = 0\): kõik liidetavad on kogutud vasakule kahanevas järjekorras vastavalt astmele, paremal on null. Sellele taandatakse iga ruutvõrrand enne diskriminandi arvutamist.
Kuidas leida diskriminanti?
Valemiga \(D = b^2 - 4ac\), asendades kordajad koos nende märkidega. Näiteks võrrandi \(x^2 + 3x - 10 = 0\) puhul saame \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), ja juured on \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), st 2 ja \(-5\).
Mis on ruutvõrrandi juurte valem?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), või lühemalt \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Seda rakendatakse, kui \(D \ge 0\); nimetajas on just \(2a\), mitte 2.
Mitu juurt võib ruutvõrrandil olla?
Mitte rohkem kui kaks. Kui \(D > 0\) on juuri kaks, kui \(D = 0\) – üks (kahekordne), kui \(D < 0\) reaalseid juuri pole.
Mis on mittetäielik ruutvõrrand?
See on võrrand, mille puhul \(b = 0\), \(c = 0\) või mõlemad korraga: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Kõik kolm lahendatakse ilma diskriminandita – liidetise ülekandmise või \(x\)-i sulgudest väljatoomise teel.
Kuidas lahendada ruutvõrrandeid ilma diskriminandita?
On kolm teed: juurte sobitamine Viete teoreemi abil taandatud võrrandi jaoks, teguriteks lahutamine ja täieliku ruudu väljatoomine. Kõige kiiremini töötab sobitamine, kui juured on väikesed täisarvud.
Mida teha, kui diskriminant on negatiivne?
Kirjutada, et reaalseid juuri pole, ja lahendus lõpetada. Negatiivne diskriminant on normaalne vastus: vastava parabooli graafik ei lõika x-telge. Juured sellisel juhul eksisteerivad ainult kompleksarvude hulgas, ja neid õpitakse hiljem.
Kuidas kontrollida leitud juuri?
Asendada iga juur algsesse võrrandisse – peaks saama tõene võrdsus. Taandatud võrrandi jaoks on ka kiire kontroll Viete teoreemi abil: juurte summa on \(-p\), korrutis on \(q\).
Kas ruutvõrrand ja ruutliikme võrrand on sama asi?
Jah, need on ühe objekti \(ax^2 + bx + c = 0\) kaks nimetust. Ärge ajage seda segi ruutfunktsiooniga \(y = ax^2 + bx + c\): võrrandi juured on just funktsiooni graafiku x-telge lõikavate punktide abstissid.
Mis klassis ruutvõrrandeid õpitakse?
- klassis algebrast: kõigepealt mittetäielikud võrrandid, seejärel diskriminant, juurte valem ja Viete teoreem. Hiljem teema kordub ruutfunktsioonis, võrratustes, OGE ja EGE ülesannetes.
