Keskmine, mediaan, mood ja ulatus on neli viisi arvude hulga kirjeldamiseks. Kolm neist – keskmine, mediaan ja mood – on keskmised näitajad: need näitavad, milline on "tüüpiline" väärtus. Neljas, ulatus, mõõdab andmete hajuvust. Sellelt lehelt leiad iga mõiste selge definitsiooni, täpse arvutusjuhendi (sh keerulisem paarisarvulise hulgaga mediaan), kasutusjuhised, lahendatud näited, levinumad vead ja interaktiivse testi harjutamiseks.
Mis on keskmine, mediaan, mood ja ulatus?
Iga näitaja vastab andmete kohta erinevale küsimusele:
- Keskmine — aritmeetiline keskmine. See tasakaalustab kõik väärtused üheks arvuks.
- Mediaan — keskmine väärtus, kui arvud on järjestatud.
- Mood — väärtus, mis esineb kõige sagedamini.
- Ulatus — hajuvus, väikseimast väärtusest suurimani.
Allolev tabel näitab, mis on igaüks neist ja kuidas seda arvutada. Pane tähele, et ainult mood on seotud sagedusega ja ainult ulatus kirjeldab hajuvust, mitte keskset väärtust.
| Näitaja | Mis see on | Kuidas arvutada |
|---|---|---|
| Keskmine | Keskmine väärtus | Liida kõik arvud kokku ja jaga nende arvuga |
| Mediaan | Keskmine väärtus järjestuses | Järjesta arvud; vali keskmine. Kui keskel on kaks arvu, leia nende keskmine |
| Mood | Kõige sagedasem väärtus | Leia väärtus, mis esineb kõige sagedamini. Neid võib olla null, üks või mitu |
| Ulatus | Andmete hajuvus | Lahuta suurimast väärtusest väikseim väärtus |
Kuidas leida keskmist, mediaani ja moodi
Arvutame kõik neli ühe andmekogumi põhjal, et näha, kuidas need erinevad. Võtame arvud 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (seitse väärtust).
Keskmine. Liidame need: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Väärtusi on 7, seega keskmine on 42 ÷ 7 = 6.
Mediaan. Järjestame esmalt: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. Seitsme väärtuse puhul on keskmine 4. kohal, seega mediaan on 6. (Enne keskmise valimist järjesta alati – see on kõige levinum viga.)
Mood. Arv 8 esineb kolm korda, sagedamini kui ükski teine, seega mood on 8.
Ulatus. Suurim väärtus on 8 ja väikseim on 3, seega ulatus on 8 − 3 = 5.
Üks andmekogum, neli erinevat vastust – sellepärast meil ongi neli erinevat näitajat.
Millal kasutada iga näitajat
Need näitajad ei võistle omavahel – igaüks neist sobib erinevat tüüpi küsimustele.
- Keskmine on igapäevane "keskmine" ja sobib hästi, kui väärtused on üsna ühtlased, näiteks keskmised hinded või päevased temperatuurid. Selle nõrkus: üks väga suur või väga väike väärtus (erand) võib selle keskmest kaugele nihutada.
- Mediaan on keskmine väärtus, seega erandid seda peaaegu ei mõjuta. Seetõttu esitatakse kinnisvarahindu ja sissetulekuid tavaliselt mediaanina – üks häärber ei moonuta tüüpilist väärtust.
- Mood on ainus näitaja, mis töötab asjade puhul, mida ei saa keskmistada, näiteks kõige sagedamini müüdud jalanõude suurus või klassi lemmikvärv. Andmekogumil võib olla üks mood, mitu moodi või üldse mitte moodi.
- Ulatus ei kirjelda tüüpilist väärtust üldse – see näitab, kui hajutatud andmed on. Väike ulatus tähendab, et väärtused on lähestikku; suur ulatus tähendab, et need on kaugel üksteisest.
Lahendatud näited: samm-sammult
Näide 1. Kõik neli näitajat ühes andmekogumis
Andmekogum: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
1. samm – Järjesta arvud. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
2. samm – Keskmine. Liida need: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Väärtusi on 7, seega keskmine on 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
3. samm – Mediaan. Seitsme väärtuse puhul on keskmine 4. kohal järjestatud loendis: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Mediaan on 6.
4. samm – Mood. Arv 3 esineb kolm korda, sagedamini kui ükski teine, seega mood on 3.
5. samm – Ulatus. Suurim miinus väikseim: 10 − 3 = 7.
Vastus: keskmine ≈ 5,57, mediaan = 6, mood = 3, ulatus = 7.
Näide 2. Mediaan paarisarvulise väärtuste hulgaga
Andmekogum: 12, 5, 8, 20 (neli väärtust – paarisarv).
1. samm – Järjesta. 5, 8, 12, 20.
2. samm – Leia kaks keskmist väärtust. Paarisarvu puhul pole ühte keskmist arvu. Siin on kaks keskmist väärtust 8 ja 12.
3. samm – Leia nende keskmine. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Mediaan on 10 – kuigi 10 ei ole üks algsetest arvudest. See on paarisarvulise mediaani puhul normaalne.
Näide 3. Andmekogum ilma moodita
Andmekogum: 2, 5, 9, 11, 14.
Iga väärtus esineb täpselt üks kord, seega ükski väärtus ei kordu. Sellel andmekogumil pole moodi – see on kehtiv vastus, mitte viga.
Seevastu andmekogumil 4, 4, 7, 7, 9 on kaks moodi (4 ja 7), sest mõlemad esinevad kõige sagedamini. Kahe moodiga hulka nimetatakse bimodaalseks.
Levinumad vead, mida vältida
-
Mediaani leidmine ilma arvude eelneva järjestamiseta.
Mediaan on järjestatud arvude keskmine väärtus. Enne keskmise valimist järjesta arvud alati väikseimast suurimani. Hulgas 7, 2, 9 on mediaan 7 (järjestatult: 2, 7, 9), mitte 9.
-
Paarisarvulise väärtuste hulga puhul ainult ühe keskmise arvu valimine.
Paarisarvu puhul pole ühte keskmist. Võta kaks keskmist väärtust ja leia nende keskmine. Hulga 5, 8, 12, 20 puhul on mediaan (8 + 12) ÷ 2 = 10, mitte 8 või 12.
-
Eeldamine, et igal andmekogumil peab olema täpselt üks mood.
Andmekogumil võib mood puududa (kui miski ei kordu) või olla mitu moodi (kui kaks või enam väärtust jagavad esikohta). Mõlemad on õiged vastused – ära sunni ühte moodi peale.
-
Keskmise ja mediaani segiajamine ja nende käsitlemine sama asjana.
Keskmine on aritmeetiline keskmine (liida ja jaga); mediaan on järjestatud väärtuste keskmine. Need on sageli erinevad, eriti kui esineb erand. Hulga 2, 3, 4, 100 puhul on keskmine 27,25, kuid mediaan on vaid 3,5.
-
Ulatuse segiajamine moodiga või lahutamise unustamine.
Ulatus on hajuvuse näitaja: suurim väärtus miinus väikseim väärtus. See on üks arv, mis kirjeldab hajuvust, mitte kõige sagedasem väärtus. Hulga 4, 9, 15 puhul on ulatus 15 − 4 = 11.
Korduma kippuvad küsimused
Mis on keskmine, mediaan, mood ja ulatus?
Keskmine on aritmeetiline keskmine (liida kõik väärtused ja jaga nende arvuga). Mediaan on keskmine väärtus pärast arvude järjestamist. Mood on kõige sagedamini esinev väärtus. Ulatus on suurim väärtus miinus väikseim väärtus. Keskmine, mediaan ja mood kirjeldavad tüüpilist väärtust; ulatus kirjeldab andmete hajuvust.
Kuidas leida andmekogumi keskmist?
Liida kõik arvud kokku, et saada summa, seejärel jaga summa arvude arvuga. Näiteks arvude 4, 6, 8, 2 keskmine on (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Kuidas leida mediaani, kui väärtusi on paarisarv?
Järjesta arvud, seejärel võta kaks keskmist väärtust ja leia nende keskmine (liida need ja jaga 2-ga). Hulga 5, 8, 12, 20 puhul on kaks keskmist väärtust 8 ja 12, seega mediaan on (8 + 12) ÷ 2 = 10. Tulemuseks võib olla arv, mida algses hulgas ei olnud.
Mis vahe on keskmisel ja mediaanil?
Keskmine on kõigi väärtuste aritmeetiline keskmine, seega mõjutab seda iga arv. Mediaan on vaid järjestatud väärtuste keskmine, seega väga suured või väga väikesed arvud (erandid) seda peaaegu ei mõjuta. Kui andmekogumis on erandeid, annab mediaan sageli tüüpilisema väärtuse kui keskmine.
Kas andmekogumil võib olla rohkem kui üks mood või üldse mitte moodi?
Jah. Kui ükski väärtus ei kordu, siis moodi pole. Kui kaks või enam väärtust esinevad võrdselt sagedasti, on hulgal mitu moodi – kahe moodiga hulka nimetatakse bimodaalseks. Moodi puudumine või mitu moodi on täiesti korrektne.
Mis on keskmised näitajad?
Keskmised näitajad on üksikud arvud, mis kirjeldavad andmekogumi keskpunkti või tüüpilist väärtust. Kolm peamist on keskmine, mediaan ja mood. Ulatus ei ole keskmine näitaja – see mõõdab hoopis hajuvust.
