Aritmeetiline progressioon on jada, milles iga järgmine liige on eelmisest sama arvu \(d\) võrra suurem (progressiooni vahe). Selle iga liige leitakse valemiga \(a_n = a_1 + (n-1)d\), ja esimeste \(n\) liikmete summa valemiga \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Sellel lehel käsitletakse definitsiooni ja vahet, mõlemat summa valemit, arvu kuulumise kontrollimist progressiooni, erinevust geomeetrilisest progressioonist, tüüpilisi OGE ülesandeid ja interaktiivset treeningut enesekontrolliks.
Mis on aritmeetiline progressioon
Aritmeetiline progressioon on arvuline jada, milles iga järgmine liige saadakse eelmisest, lisades ühe ja sama arvu. Seda arvu nimetatakse progressiooni vaheks ja tähistatakse tähega \(d\).
Definitsioon ühe valemiga: jada \(a_1, a_2, a_3, \dots\) nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks, kui iga numbri \(n\) korral kehtib võrdus
Võtame jada 3, 7, 11, 15, 19, … Esimene liige siin on \(a_1 = 3\), ja vahe \(d = 4\): iga järgmine arv on eelmisest täpselt 4 võrra suurem. Seetõttu on järgmine liige 23, ja kolme ees (kui jätkata tagasi) oleks üks miinusmärgiga.
Kogu progressioon määratakse vaid kahe arvuga — esimese liikme \(a_1\) ja vahega \(d\). Teades seda paari, saab nimetada iga liiget, arvutada mis tahes esimese liikmete summa ja kontrollida, kas antud arv esineb jadas. Progressiooni tähistatakse sümboliga \((a_n)\), ja selle liikmeid — \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) ja nii edasi, kus alaindeks tähistab alati numbrit, mitte väärtust.
Aritmeetilise progressiooni vahe: kuidas leida d
Vahe on alati järgmise liikme miinus eelmine liige:
Lahutamise järjekord on oluline: kui lahutada vastupidi, saadakse vahe vastupidise märgiga. Jada 20, 17, 14, 11, 8 korral on vahe \(17 - 20 = -3\), mitte \(+3\).
\(d\) märk määrab täielikult progressiooni käitumise:
- \(d > 0\) — progressioon kasvav, liikmed suurenevad;
- \(d < 0\) — progressioon kahanev, liikmed vähenevad;
- \(d = 0\) — kõik liikmed on ühesugused, näiteks 6, 6, 6, 6, … See on samuti aritmeetiline progressioon, lihtsalt konstantne.
Kui on teada kaks liiget erinevate numbritega, leitakse vahe valemiga
Näide. Olgu \(a_4 = 30\) ja \(a_{10} = 6\). Siis \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), ja esimene liige on \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Kontrollime progressiooni algust: 42, 38, 34, 30 — neljas liige on tõepoolest 30.
Vahe ei pea olema täisarv: jadal 1; 1,5; 2; 2,5 on vahe 0,5, ja see on täisväärtuslik aritmeetiline progressioon.
Aritmeetilise progressiooni n-liikme valem
Teema peamine valem võimaldab leida iga liiget, ilma et peaks kõiki eelnevaid välja kirjutama:
Kust tuleb \(n - 1\)? Et jõuda esimesest liikmest \(n\)-ndani, liidetakse vahet mitte \(n\) korda, vaid üks kord vähem: teiseni liikmeni — üks samm, kolmandani — kaks, kahekümnendani — üheksateist.
Näide. Progressiooni 3, 7, 11, 15, 19, … korral on meil \(a_1 = 3\) ja \(d = 4\), seega
Selline kokkuvõtlik kirjapilt on väga mugav: kohe on näha, et \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), ja \(a_{100} = 399\). Ühtlasi annab see vihje vahe kohta: igal aritmeetilisel progressioonil on \(n\)-liikme valem lineaarne, kujul \(a_n = dn + c\), ja \(n\)-i ees olev koefitsient ongi vahe.
Mõnikord esimene liige pole teada, aga on antud mõni muu. Siis töötab sama idee üldises kujus: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Aritmeetilise progressiooni iseloomulik omadus
Iga progressiooni liige, välja arvatud esimene, on võrdne oma naabrite aritmeetilise keskmisega:
Just seepärast nimetatakse progressiooni aritmeetiliseks. See võrdus kehtib ka vastupidi: kui jadas on iga keskmine liige võrdne naabrite poolsummaga, siis on jada aritmeetiline progressioon. Sellist väidet nimetatakse aritmeetilise progressiooni tunnuseks, ja ülesannetes kasutatakse seda, et tõestada, et kolm arvu moodustavad progressiooni.
Näide. Arvud 7, \(x\), 23 — kolm järjestikust progressiooni liiget. Siis \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Kontroll: 7, 15, 23 — vahed 8 ja 8, kõik klapib.
Sama omaduse mugav kirjapilt: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), ehk keskmise liikme kahekordne väärtus on võrdne äärmiste liikmete summaga. Sellisel kujul on omadust lihtsam rakendada, kui liikmed on antud tähelise avaldisena.
Aritmeetilise progressiooni esimeste n liikmete summa
Summa \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) arvutatakse ühe kahe valemi abil:
Esimese valemi idee — see sama, mille legendi järgi leidis koolipoiss Gauss, liites arve 1-st 100-ni. Kui liita esimene liige viimasega, teine eelviimasega ja nii edasi, annavad kõik paarid ühe ja sama summa. Siit \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Teine valem saadakse esimesest, asendades \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — seda on vaja, kui viimane liige pole antud ja seda pole soovi eraldi arvutada.
Näide. Leiame progressiooni 3, 7, 11, 15, 19, … esimeste kahekümne liikme summa.
Esimese valemi järgi: \(a_{20} = 79\), seega \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Teise järgi: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Vastused langesid kokku — see ongi parim arvutuste kontroll.
Vastus: \(S_{20} = 820\).
Kuidas teada saada, kas arv kuulub aritmeetilisse progressiooni
Küsimus „kas arv on progressiooni liige“ lahendatakse võrrandiga. Arv kuulub progressiooni ainult siis, kui selle number \(n\) on naturaalarv: 1, 2, 3 ja nii edasi. Murdarvuline või mittenegatiivne \(n\) tähendab, et sellist liiget pole.
Näide 1. Kas arv 99 kuulub progressiooni 3, 7, 11, 15, 19, …? \(n\)-liikme valem siin on \(a_n = 4n - 1\), seetõttu lahendame \(4n - 1 = 99\), millest \(4n = 100\) ja \(n = 25\). Number on naturaalarv — tähendab, 99 on progressioonis olemas, see on selle kahekümnes viies liige.
Näide 2. Aga arv 2026? Siit \(4n - 1 = 2026\) saame \(4n = 2027\) ja \(n = 506{,}75\). Number on murdarvuline, seetõttu 2026 pole selle progressiooni liige.
Mugav vihje suuliseks kontrolliks: progressioonil, mille valem on \(a_n = 4n - 1\), annavad kõik liikmed jagamisel 4-ga jäägi 3. Arv 2026 annab jäägi 2, seetõttu „mööda“ progressioonist.
Tüüpilised OGE ülesanded aritmeetilise progressiooni kohta
Matemaatika OGE-s esinevad progressioonid igal aastal, ja peaaegu kõik ülesanded taanduvad neljale stsenaariumile.
Leia liige numbri järgi. Antud \(a_1\) ja \(d\) (või mitu esimest liiget) — asendame \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Leia number väärtuse järgi. Antud arv — võrdsustame selle \(n\)-liikme valemiga ja lahendame võrrandi \(n\) suhtes.
Leia summa. Arvutame \(S_n\) ühe kahe valemi järgi; kui \(a_n\) puudub — leiame selle esmalt.
Leia liikmete arv. \(n\)-liikme valemist saadakse mugav järeldus: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Muidu on tekstülesanne, kus progressioon on peidetud loo sisse. Näiteks: esimesel päeval valmistas tööline 12 detaili, ja iga järgmine päev — 3 detaili rohkem kui eelmisel; mitu detaili ta valmistab 15 päevaga? Siin \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Arvutame viimase liikme: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Siis \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) detaili.
Peamine nõuanne selliste ülesannete kohta: kirjutage esmalt eraldi reale, mis on antud (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) ja mida tuleb leida. Pool eksami vigadest juhtub mitte valemite tõttu, vaid seetõttu, et numbrit aetakse segi liikme väärtusega.
Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon: milles erinevus
Mõlemad progressioonid on reeglid, mille järgi ühest liikmest saadakse järgmine. Erinevus seisneb tegevuses: aritmeetilises liidetakse liikmele üks ja sama arv \(d\), geomeetrilises — korrutatakse üks ja sama arvuga \(q\), mida nimetatakse progressiooni teguriks.
Sellest ka erinev käitumine. Aritmeetiline progressioon kasvab ühtlaselt, „astmetega“: 3, 7, 11, 15 — iga samm lisab 4. Geomeetriline kasvab nagu lumelaviin: 3, 6, 12, 24 — iga samm kahekordistab arvu, ja juba kümne sammu pärast on liige suurem kui poolteist tuhat.
Jada tüübi kontrollimine on lihtne: arvutage järjestikuste liikmete vahed ja nende suhted. Ühesugused vahed — aritmeetiline progressioon, ühesugused suhted — geomeetriline. Kui ei klapi kumbki, on tegemist lihtsalt jadaga: näiteks 1, 4, 9, 16 — need on naturaalarvude ruudud, ja progressiooniga pole tegemist (vahed 3, 5, 7 on erinevad, suhted samuti).
Kooliprogrammis käivad mõlemad teemad järjest 9. klassis, seetõttu on valemeid lihtne segi ajada. Hoidke meeles tugipunkt: aritmeetilises lahutatakse vahe \(d\), geomeetrilises jagatakse teguriga \(q\). Kõik muu on selle tagajärg.
Näited aritmeetilise progressiooni ülesannete lahendamisest
Näide 1. Leia esimene liige ja vahe kahe liikme järgi
Antud. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Leia \(a_1\), \(d\) ja \(a_{20}\).
Samm 1. Kolmandast liikmest seitsmendani on täpselt \(7 - 3 = 4\) sammu, igal sammul lisatakse \(d\). Seega \(a_7 = a_3 + 4d\), millest \(30 = 14 + 4d\), millest \(4d = 16\) ja \(d = 4\).
Samm 2. Liigume tagasi esimese liikmeni: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Samm 3. Koostame \(n\)-liikme valemi: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Samm 4. Arvutame vajaliku liikme: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Kontroll. Kirjutame progressiooni alguse välja: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Kolmas liige 14, seitsmes 30 — klappis.
Vastus: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Näide 2. Kolmekümne esimese liikme summa (mõlemad valemid)
Antud. Progressioon \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Leia \(S_{30}\).
Samm 1. Määrame parameetrid: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Samm 2. Leiame kolmekümnenda liikme: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Samm 3. Arvutame esimese valemi järgi: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Samm 4. Kontroll teise valemi järgi. Kõigepealt lugeja: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Edasi nagu kolmandas sammus: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Mõlemad teed andsid 1155 — tähendab, aritmeetika on õige.
Vastus: \(S_{30} = 1155\).
Näide 3. Kõigi kahekohaliste arvude summa, mis jaguvad 7-ga
Ülesanne. Leia kõigi kahekohaliste arvude summa, mis jaguvad 7-ga.
Samm 1. Sellised arvud moodustavad ise aritmeetilise progressiooni vahega 7. Väikseim kahekohaline seitsmega jaguv arv on 14, suurim — 98 (järgmine, 105, on juba kolmekohaline). Saame \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Samm 2. Arvutame liikmete arvu: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Samm 3. Arvutame summa: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Samm 4. Kontroll teise valemi järgi. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Vastus: 728.
Näide 4. Kontrolli, kas arv kuulub progressiooni
Ülesanne. Kas arv 145 on progressiooni \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\) liige? Aga arv 142?
Samm 1. Progressiooni parameetrid: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), seega \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Samm 2. Kontrollime 145: võrrand \(5n + 2 = 145\) annab \(5n = 143\) ja \(n = 28{,}6\). Number on murdarvuline, seetõttu 145 pole progressiooni liige mitte mingil juhul.
Samm 3. Kontrollime 142: \(5n + 2 = 142\), millest \(5n = 140\) ja \(n = 28\). Number on naturaalarv — arv kuulub.
Samm 4. Kontroll asendamisega. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Õige.
Vastus: 145 ei kuulu progressiooni; 142 kuulub ja on selle 28. liige.
Näide 5. Iseloomulik omadus tähelise liikmetega
Ülesanne. Mis väärtuse korral \(x\) on arvud \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) kolm järjestikust aritmeetilise progressiooni liiget?
Samm 1. Iseloomuliku omaduse järgi on keskmise liikme kahekordne väärtus võrdne äärmiste liikmete summaga:
Samm 2. Avame sulud: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Samm 3. Lahendame: \(2 + 4 = 5x - 4x\), ehk \(x = 6\).
Samm 4. Kontroll. Asendame \(x = 6\): esimene liige \(6 - 3 = 3\), teine \(2\cdot 6 + 1 = 13\), kolmas \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Vahed: \(13 - 3 = 10\) ja \(23 - 13 = 10\) — ühesugused.
Vastus: \(x = 6\), progressioon 3, 13, 23 vahega 10.
Näide 6. Mitu negatiivset liiget on progressioonis
Ülesanne. Mitu negatiivset liiget on progressioonil \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Samm 1. Parameetrid: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). \(n\)-liikme valem: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Samm 2. Koostame tingimuse „liige on negatiivne“: \(3n - 24 < 0\), millest \(3n < 24\) ja \(n < 8\).
Samm 3. Numbrid on naturaalarvud, seetõttu sobivad \(n = 1, 2, \dots, 7\) — kokku seitse liiget.
Samm 4. Piiri kontroll. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negatiivne. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — null pole negatiivne arv, seetõttu kaheksandat liiget enam ei arvestata. \(a_9 = 3\) — positiivne.
Vastus: seitse negatiivset liiget.
Sagedased vead aritmeetilise progressiooni ülesannetes
-
Aritmeetilise progressiooni $n$-liikme valemis kirjutatakse $a_n = a_1 + nd$ asemel $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Esimesest liikmest \(n\)-ndani tehakse üks samm vähem kui number. Progressiooni \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) kümnes liige on \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), mitte 45. Kiire valemi kontroll: asenda \(n = 1\) — peaks saama täpselt \(a_1\).
-
Vahet arvutatakse vastupidi: $d = a_1 - a_2$, ja märk saadakse vastupidine.
Vahe on järgmine liige miinus eelmine: \(d = a_2 - a_1\). Progressiooni \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) korral on õige \(d = 34 - 40 = -6\). Miinusmärk pole siin viga, vaid kahaneva progressiooni tunnus.
-
Summa valemis unustatakse jagada kahega või korrutada $n$-ga: kirjutatakse $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Paarid „esimene koos viimasega“ liidetakse, neid on täpselt \(\dfrac{n}{2}\), seetõttu jagamine kahega on kohustuslik. Progressiooni \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) korral on \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) ja \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), mitte 670.
-
Arvu kuulumise kontrollimisel saadakse $n = 0$ või negatiivne $n$ ja vastatakse ikka „kuulub“.
Liikme number on naturaalarv, loendamine algab ühest. Näiteks progressiooni \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) korral annab võrrand \(10 + 4(n-1) = 6\) tulemuseks \(n = 0\), mis tähendab, et 6 ei kuulu progressiooni: see arv oleks esimese liikme ees.
-
Segamini aetakse, mis on leitud: liikme väärtus asendatakse sinna, kus on vaja selle numbrit, ja vastupidi.
\(a_n\) on väärtus, \(n\) on järjekorranumber. Kui ülesandes küsitakse „mitmendal kohal liige on võrdne 142“, on vastuseks 28, mitte 142. Kasulik harjumus: kirjutage enne lahendamist rida „antud: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), leida: \(n\)“.
-
Arvatakse, et progressioon peab kasvama ja koosnema täisarvudest.
Vahe võib olla negatiivne (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), murdarvuline (1; 1,5; 2; 2,5) ja isegi null (\(8, 8, 8, …\)). Kõik kolm juhtu on seaduslikud aritmeetilised progressioonid, ja kõik valemid töötavad nende jaoks muutmata kujul.
Küsimused ja vastused
Mis on aritmeetiline progressioon lihtsate sõnadega?
See on arvude jada, milles iga järgmine arv saadakse eelmisest, lisades ühe ja sama arvu \(d\) — progressiooni vahe. Näiteks 3, 7, 11, 15, 19, … — progressioon esimese liikme 3 ja vahega 4.
Mis on aritmeetilise progressiooni $n$-liikme valem?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), kus \(a_1\) on esimene liige, \(d\) on vahe, \(n\) on number. Kui pole teada esimene, vaid mõni muu liige, töötab üldine kuju \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Kuidas leida aritmeetilise progressiooni vahet?
Lahutada igast liikmest eelmine: \(d = a_n - a_{n-1}\). Kui on antud kaks liiget erinevate numbritega, kasutage \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Näiteks, kui \(a_5 = 23\) ja \(a_9 = 43\), saame \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), ja esimene liige on \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Kuidas leida aritmeetilise progressiooni esimene liige?
\(n\)-liikme valemist: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Näiteks, kui \(a_{12} = 60\) ja \(d = 4\), siis \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Kontroll: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Kuidas leida aritmeetilise progressiooni esimeste n liikmete summa?
Valemi \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) järgi, kui viimane liige on teada, või valemi \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\) järgi, kui on teada ainult esimene liige ja vahe. Mõlemad annavad sama tulemuse, seetõttu on teist mugav kasutada esimese kontrollina.
Kuidas leida aritmeetilise progressiooni liikmete arvu?
\(n\)-liikme valemist: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Näiteks, progressioonis \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) on vahe 5, seetõttu \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) liiget.
Milles erineb aritmeetiline progressioon geomeetrilisest?
Aritmeetilises liidetakse igale liikmele vahe \(d\), geomeetrilises aga korrutatakse iga liige teguriga \(q\). \(n\)-liikme valemid: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) versus \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Tüübi määramiseks arvutage järjestikuste liikmete vahed ja nende suhted: ühesugused vahed — aritmeetiline, ühesugused suhted — geomeetriline.
Kas vahe võib olla negatiivne või null?
Jah. Kui \(d < 0\) progressioon kahaneb (näiteks 20, 17, 14, 11), kui \(d = 0\) kõik liikmed on ühesugused (6, 6, 6, …) — see on konstantne progressioon. Vahe võib olla ka murdarvuline: 1; 1,5; 2; 2,5 — samuti aritmeetiline progressioon.
Mis klassis õpitakse aritmeetilist progressiooni?
- klassis algebra tundides, koos geomeetrilise progressiooni ja arvuliste jadadega. Ülesanded progressioonide kohta kuuluvad OGE-sse: tavaliselt tuleb leida liige numbri järgi, number väärtuse järgi, liikmete arv või esimeste \(n\) liikmete summa.
