Tõus-lõikepunkt kuju on lineaarvõrrandi kirjutamise viis \(y = mx + b\), kus \(m\) on sirge tõus ja \(b\) on y-telje lõikepunkt — punkt, kus sirge lõikab y-telge. See on graafiku joonestamiseks kõige kasulikum kuju, sest tõusu ja alguspunkti saab võrrandist otse välja lugeda. Sellel lehel näed, mida \(m\) ja \(b\) tähendavad, kuidas nende abil sirget joonestada, kuidas leida tõusu kahe punkti kaudu ja kuidas koostada oma võrrand — koos lahendatud näidete ja interaktiivse treeneriga.
Mis on tõus-lõikepunkt kuju?
Iga sirget (mis ei ole vertikaalne) saab kirjutada tõus-lõikepunkt kujul:
Kaks tähte \(m\) ja \(b\) on ainsad asjad, mis ühelt sirgelt teisele muutuvad. Loe need võrrandist välja nii:
- \(m\) — tõus. See näitab, kui järsk sirge on ja mis suunas see kaldub. Tõus tähendab tõusu ja nihke suhet: mitu ühikut sirge tõuseb (või langeb) iga ühe ühiku kohta, mida ta liigub paremale.
- \(b\) — y-telje lõikepunkt. See on \(y\)-väärtus, kus sirge lõikab vertikaalset telge, ehk punkt \((0, b)\). Kui \(x = 0\), siis \(mx\) liige kaob ja \(y = b\).
Näiteks võrrandis \(y = 2x + 3\) on tõus \(m = 2\) ja y-telje lõikepunkt \(b = 3\), seega sirge lõikab y-telge punktis \((0, 3)\) ja tõuseb 2 ühikut iga 1 ühiku kohta paremale.
m = tõus
Kui järsk sirge on: tõus jagatud nihkega. Positiivne tõuseb, negatiivne langeb.
b = y-telje lõikepunkt
Punkt, kus sirge lõikab y-telge, koordinaatidega (0, b).
Kuidas joonestada tõus-lõikepunkt kujul
Sirge joonestamine võrrandist \(y = mx + b\) võtab kolm lihtsat sammu — väärtuste tabelit pole vaja:
- Märgi y-telje lõikepunkt. Pane punkt y-teljele kohas \((0, b)\). See on sinu alguspunkt.
- Kasuta tõusu teise punkti leidmiseks. Kirjuta \(m\) murruna \(\frac{\text{tõus}}{\text{nihe}}\). Liigu esimesest punktist üles (tõus) ja paremale (nihe). Täisarvuline tõus nagu \(2\) on lihtsalt \(\frac{2}{1}\).
- Joonesta sirge läbi nende kahe punkti ja pikenda seda mõlemas suunas.
Allolev graafik kujutab võrrandit \(y = 2x + 1\): y-telje lõikepunkt on \((0, 1)\) ja tõus \(2 = \frac{2}{1}\) tähendab üles 2, paremale 1, et jõuda järgmise punktini \((1, 3)\).
Kuidas leida tõusu ja y-telje lõikepunkti
Võrrandist. Kui see on juba kujul \(y = mx + b\), siis \(x\)-i ees olev arv on tõus \(m\) ja vabaliige on y-telje lõikepunkt \(b\). Jälgi märke: võrrandis \(y = -3x - 4\) on tõus \(m = -3\) ja y-telje lõikepunkt \(b = -4\). Kui võrrand näeb teistsugune välja (näiteks \(2x + y = 5\)), avalda esmalt \(y\): \(y = -2x + 5\), seega \(m = -2\) ja \(b = 5\).
Tõus kahe punkti kaudu. Antud kahe punkti \((x_1, y_1)\) ja \((x_2, y_2)\) korral on tõus \(y\)-koordinaatide muudu ja \(x\)-koordinaatide muudu jagatis:
Punktide \((1, 2)\) ja \((3, 8)\) korral: \(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). Lahuta koordinaadid lugejas ja nimetajas samas järjekorras, muidu muutub märk vastupidiseks.
Võrrandite kirjutamine tõus-lõikepunkt kujul
Võrrandi kirjutamiseks on vaja vaid tõusu \(m\) ja y-telje lõikepunkti \(b\), seejärel aseta need kujusse \(y = mx + b\).
- Antud tõus ja y-telje lõikepunkt. Kui \(m = -2\) ja \(b = 5\), on võrrand \(y = -2x + 5\). Valmis.
- Antud tõus ja üks punkt. Aseta tõus ja punkt \((x, y)\) võrrandisse \(y = mx + b\) ja lahenda \(b\). Näide: tõus \(m = 4\) läbi punkti \((2, 3)\) annab \(3 = 4(2) + b\), seega \(b = 3 - 8 = -5\) ja võrrand on \(y = 4x - 5\).
- Antud kaks punkti. Leia esmalt tõus ülaltoodud valemiga, seejärel kasuta ühte punkti \(b\) leidmiseks, täpselt nagu eelmises sammus.
Tõusu märk näitab kohe, mis suunas sirge kulgeb.
| Tõus m | Sirge suund | Näide |
|---|---|---|
| m > 0 | Tõuseb vasakult paremale (ülesmäge) | y = 2x + 1 |
| m < 0 | Langeb vasakult paremale (allamäge) | y = -2x + 4 |
| m = 0 | Horisontaalne — lame sirge | y = 3 |
| määratlemata | Vertikaalne — pole tõus-lõikepunkt kuju | x = 5 |
Tõus-lõikepunkt kuju näited
Näide 1. Loe m ja b, seejärel joonesta
Võrrand: \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
1. samm — tuvasta osad. Tõus on \(m = \frac{1}{2}\) ja y-telje lõikepunkt on \(b = -2\).
2. samm — märgi y-telje lõikepunkt. Pane punkt \((0, -2)\) y-teljele.
3. samm — kasuta tõusu. \(m = \frac{1}{2}\) tähendab üles 1, paremale 2. Punktist \((0, -2)\) liigu punkti \((2, -1)\), seejärel punkti \((4, 0)\).
4. samm — joonesta sirge läbi nende punktide. See tõuseb õrnalt, sest tõus on positiivne, kuid väiksem kui 1.
Näide 2. Leia tõus kahe punkti kaudu
Punktid: \((-1, 4)\) ja \((2, -2)\)
1. samm — kasuta valemit. \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\).
2. samm — kontrolli märki. Tõus on negatiivne, seega sirge langeb vasakult paremale. See klapib punktidega: kui \(x\) kasvab, siis \(y\) kahaneb.
Selle sirge tõus on \(m = -2\).
Näide 3. Kirjuta võrrand tõusu ja punkti kaudu
Antud: tõus \(m = 3\), läbib punkti \((2, 1)\).
1. samm — alusta \(y = mx + b\) kus \(m = 3\): \(\; y = 3x + b\).
2. samm — asenda punkt \((2, 1)\): \(\; 1 = 3(2) + b = 6 + b\).
3. samm — lahenda b: \(\; b = 1 - 6 = -5\).
Võrrand: \(y = 3x - 5\).
Näide 4. Teisenda tõus-lõikepunkt kujule
Võrrand: \(4x + 2y = 6\)
1. samm — eralda y-liige. Lahuta \(4x\) mõlemalt poolt: \(2y = -4x + 6\).
2. samm — jaga 2-ga: \(\; y = -2x + 3\).
3. samm — loe välja m ja b. Nüüd on see tõus-lõikepunkt kujul: tõus \(m = -2\), y-telje lõikepunkt \(b = 3\).
Levinud vead tõus-lõikepunkt kujuga
-
m ja b vahetamine — tõusu lugemine vabaliikmena (või vastupidi).
Tõus m on alati x-iga korrutatud arv; y-telje lõikepunkt b on eraldiseisev arv. Võrrandis y = 5x + 2 on tõus 5 ja y-telje lõikepunkt 2 — mitte kunagi vastupidi.
-
Tõusu märgi kaotamine, nt võrrandi y = -3x + 1 tõusu nimetamine lihtsalt 3-ks.
Miinusmärk on osa tõusust. Siin m = -3, mis tähendab, et sirge langeb. Negatiivne tõus tähendab alati allamäge liikumist vasakult paremale.
-
Tõusu ja nihke segiajamine — liikumine esmalt paremale, siis üles, nii et tõus pöördub ümber.
Tõus on tõus jagatud nihkega, mitte vastupidi. Tõus 2 = 2/1 tähendab üles 2 iga 1 ühiku kohta paremale; tõus 1/2 tähendab üles 1 iga 2 ühiku kohta paremale. Hoia tõus lugejas.
-
Y-telje lõikepunkti lugemine x-väärtusena, nt b = 3 märkimine punktina (3, 0) asemel (0, 3).
Y-telje lõikepunkt asub y-teljel: b on alati punkt (0, b). Alusta iga graafikut y-teljel üles või alla liikudes, mitte x-teljel.
-
Koordinaatide lahutamine erinevas järjekorras tõusu valemis.
Kasuta lugejas ja nimetajas sama järjekorda: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Kui alustad teise punkti y-ga lugejas, alusta ka teise punkti x-ga nimetajas, muidu märk muutub.
Korduma kippuvad küsimused
Mis on tõus-lõikepunkt kuju?
Tõus-lõikepunkt kuju on sirge võrrand kujul y = mx + b, kus m on tõus ja b on y-telje lõikepunkt. See on graafiku joonestamiseks kõige mugavam kuju, sest nii järskus (m) kui ka alguspunkt y-teljel (b) on võrrandis kohe näha.
Mida m ja b tähistavad võrrandis y = mx + b?
m on tõus — kui järsk sirge on ja kas see tõuseb või langeb, mõõdetuna tõusu ja nihke suhtena. b on y-telje lõikepunkt — y-väärtus, kus sirge lõikab vertikaalset telge, ehk punkt (0, b).
Kuidas leida tõusu kahe punkti kaudu?
Kasuta tõusu valemit m = (y2 - y1) / (x2 - x1): lahuta kaks y-väärtust lugejas ja vastavad x-väärtused nimetajas. Näiteks punktide (1, 2) ja (3, 8) korral m = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
Kuidas joonestada sirget tõus-lõikepunkt kujul?
Esmalt märgi y-telje lõikepunkt (0, b). Seejärel kasuta tõusu kui tõusu ja nihke suhet, et liikuda teise punktini — üles (või alla) tõusu jaoks, paremale nihke jaoks. Joonesta sirge läbi nende kahe punkti ja pikenda mõlemas suunas.
Kuidas kirjutada võrrandit tõus-lõikepunkt kujul?
Leia tõus m ja y-telje lõikepunkt b, seejärel asenda need võrrandisse y = mx + b. Kui sul on ainult tõus ja üks punkt, asenda punkt võrrandisse ja lahenda esmalt b. Kui sul on kaks punkti, leia tõus valemiga ja seejärel lahenda b.
Mida tõusu märk sulle ütleb?
Positiivne tõus tähendab, et sirge tõuseb vasakult paremale; negatiivne tõus tähendab, et see langeb. Tõus 0 annab horisontaalse sirge ja vertikaalsel sirgel on määratlemata tõus, mida ei saa kirjutada tõus-lõikepunkt kujul.
