Arvu \(a\) ruutjuur on arv, mille ruut on \(a\), kuid aritmeetiliseks ruutjuureks nimetatakse ainult selle mitte-negatiivset väärtust: \(\sqrt{25} = 5\). Juurt saab võtta ainult mitte-negatiivsetest arvudest, kuid juure omadused muudavad kohmakad avaldised lühikesteks. Sellel lehel – definitsioon ja määramispiirkond, kõik ruutjuure omadused valemitega, ruutjuurte tabel 1-st 20-ni, juure võtmise ja teguri väljatoomise võtted, lahendatud näited, sagedased vead ja interaktiivne treeningprogramm.
Mis on arvu ruutjuur
Arvu \(a\) ruutjuur on arv, mille ruut on \(a\). Juure võtmine ja ruutu tõstmine on vastupidised tegevused: \(7^2 = 49\) järgneb kohe, et 49 ruutjuur on 7.
Kuid positiivsel arvul on täpselt kaks ruutjuurt, mis erinevad ainult märgilt: \(5^2 = 25\) ja \((-5)^2 = 25\), st 25 ruutjuured on nii \(5\) kui ka \(-5\). Et kirje \(\sqrt{25}\) tähistaks ühteainsat arvu, leppisime kokku: märgiga \(\sqrt{\phantom{a}}\) kirjutatakse ainult mitte-negatiivne juur. Seda nimetatakse aritmeetiliseks.
Kirjel on oma nimetused: märk \(\sqrt{\phantom{a}}\) on radikaal, ja arv või avaldis selle all on juurealune avaldis.
Aritmeetiline ruutjuur: definitsioon ja määramispiirkond
Mitte-negatiivse arvu \(a\) aritmeetiliseks ruutjuureks nimetatakse mitte-negatiivset arvu, mille ruut on \(a\). Seda tähistatakse \(\sqrt{a}\) ja loetakse „juur a-st“.
Definitsioonis on kaks tingimust ja mõlemad on võrdselt olulised:
- juurealune avaldis on mitte-negatiivne: \(a \ge 0\);
- juure väärtus on mitte-negatiivne: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Siit saame kohe: \(\sqrt{25} = 5\), mitte \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); ja kirje \(\sqrt{-9}\) reaalsetes arvudes mõtet ei oma – pole arvu, mille ruut oleks negatiivne.
Esimene tingimus määrab juureavaldisega avaldise määramispiirkonna. Näiteks \(\sqrt{x-7}\) on mõttekas, kui \(x - 7 \ge 0\), st kui \(x \ge 7\): iga väiksem \(x\) väärtus paneb juure alla negatiivse arvu.
Definitsioonist tuleneb ka võrdus \((\sqrt{a})^2 = a\) tingimusel \(a \ge 0\): juure ruutu tõstmine annab tagasi juurealuse arvu. See töötab isegi siis, kui me ise juurt täpselt arvutada ei saa: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Ruutjuurte tabel: arvude ruudud 1-st 20-ni
Juurt saab täpselt võtta ainult siis, kui juurealune arv on täielik ruut. Seetõttu töötab ruutude tabel ka ruutjuurte tabelina: seda loetakse mõlemat pidi – \(14^2 = 196\), seega \(\sqrt{196} = 14\).
Tabel aitab mitte ainult täisarvudega:
- kümnendmurrud: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), sest \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- lihtmurrud: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) – juur võetakse eraldi lugejast ja eraldi nimetajast;
- ümmargused arvud: \(\sqrt{2500} = 50\), sest \(2500 = 25 \cdot 100\), ja iga teguri juur on teada.
Ruutjuure omadused
Ruutjuure omadused võimaldavad avaldisi arvutada, ilma et iga juurt eraldi võtaks, ja lihtsustada vastust.
Juure korrutisest on võrdne juurte korrutisega: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) tingimusel \(a \ge 0\) ja \(b \ge 0\). Näiteks \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) – sama vastus kui \(\sqrt{144}\).
Juure jagatisest on võrdne juurte jagatisega: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) tingimusel \(a \ge 0\) ja \(b > 0\). Näiteks \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Tingimus \(b > 0\) on range: nulliga jagada ei saa.
Juure ruudust on võrdne arvuga: \(\sqrt{a^2} = |a|\), ja see kehtib iga arvu \(a\) korral. Siin peitub kogu teema peamine nüanss. Kui \(a \ge 0\), ei muutu midagi: \(\sqrt{7^2} = 7\). Kuid negatiivse \(a\) korral „sirgestub“ märk: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), mitte \(-6\) – sest aritmeetiline juur ei saa olla negatiivne.
Juure ruut annab tagasi juurealuse arvu: \((\sqrt{a})^2 = a\) tingimusel \(a \ge 0\).
Kuid summa ja vahe korral sarnaseid omadusi pole: summa juur ei ole võrdne juurte summaga. See on teema kõige sagedasem viga, analüüs – allpool.
| Omadus ja tingimus | Näide |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bkui a ≥ 0 ja b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bkui a ≥ 0 ja b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|iga a korral | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = akui a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bkui b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Kuidas võtta arvu ruutjuurt
Kalkulaator pole alati käepärast, kuid kooliülesanded on peaaegu alati nii koostatud, et juur saab võtta. Toimingute järjekord on järgmine.
- Kontrolli ruutude tabelist. Kui arv on tabelis, on vastus valmis: \(\sqrt{289} = 17\).
- Eralda ümmargune tegur. Arvudest nullidega on mugav eraldada \(100\), \(10\,000\) jne: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Lahuta algteguriteks. See on universaalne võte: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), astendajad jagame pooleks ja saame \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Muuda kümnendmurd lihtmurruks. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Ühtlasi päästab see järgu kaotamisest.
- Kui täielikku ruutu pole – juur on irratsionaalne. Siis jäetakse see vastusesse sümbolina (nii kirjutataksegi: \(\sqrt{30}\)) või hinnatakse seda lähimate ruutude vahel.
Kontroll võtab sekundi: saadud arvu tõstame ruutu ja vaatame, kas juurealune arv tagasi tuli. \(24^2 = 576\) – õige.
Teguri väljatoomine juure alt
Juurt jäetakse harva „toorelt“ – selle alt tuuakse välja kõik, mis välja tuleb. Kehtib omadus \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) tingimusel \(b \ge 0\): otsime juurealuse arvu suurimat ruutjat jagajat.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Vastupidine tegevus – teguri viimine juure alla: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) tingimusel \(a \ge 0\). Näiteks \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Negatiivse teguriga tuleb olla ettevaatlik: miinus juure alla ei lähe ja jääb väljapoole. Õige kirje on \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), mitte \(\sqrt{12}\).
Miks seda vaja on: pärast teguri väljatoomist muutuvad sama juurealuse avaldisega juured sarnasteks liidetavateks ja neid saab liita. Teguri viimine juure alla on aga kõige kiirem viis võrrelda kahte juurtega avaldist.
Kui palju on ruutjuur, mida ei saa võtta
Kui juurealune arv pole täielik ruut, on juur irratsionaalarv: selle kümnendk Tartu on lõpmatu ja perioodita. Näiteks \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), ja täpne väärtus kirjutatakse ainult sümboliga \(\sqrt{2}\). Ümardatud vastust kirjutatakse ainult siis, kui seda ülesandes palutakse.
Sellist juurt saab hinnata ka ilma kalkulaatorita: leia kaks järjestikust täielikku ruutu, mille vahele juurealune arv jääb. Kehtib võrdlusreegel: kui \(a \ge 0\) ja \(b \ge 0\), siis \(a < b\) korral \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) – suuremale juurealusele arvule vastab suurem juur.
Ruutjuurte arvutamise näited
Näide 1. Ruutjuureavaldis
Arvuta \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Samm 1. \(\sqrt{121} = 11\), sest \(11^2 = 121\).
Samm 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), sest \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Samm 3. Murru juur võetakse lugejast ja nimetajast eraldi: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Samm 4. Liidame: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Vastus: 11.
Näide 2. Juure korrutis
Arvuta \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Samm 1. Eraldi neid juuri ei saa võtta, seega ühendame need üheks: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Samm 2. Arvutame korrutise juure all: \(8 \cdot 18 = 144\).
Samm 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Teine tee – tegurite väljatoomine ette: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) ja \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), siis \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Vastused langesid kokku.
Vastus: 12.
Näide 3. Juure võtmine lahutamisega tegureiks
Arvuta \(\sqrt{576}\) ja \(\sqrt{6400}\).
Samm 1. Arvu 576 pole ruutude tabelis, seega lahutame selle algteguriteks: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Samm 2. Astendajad jagame pooleks: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Samm 3. Kontroll. \(24^2 = 576\) – õige.
Samm 4. Arvu 6400 puhul on mugavam eraldada ümmargune tegur: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Kontroll: \(80^2 = 6400\).
Vastus: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Näide 4. Teguri väljatoomine ja sarnaste liitmine
Lihtsusta \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Samm 1. Toome tegurid iga juure alt välja: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), seega \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Samm 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Samm 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Samm 4. Liita saab ainult sama juurealuse avaldisega juuri: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), ja \(\sqrt{3}\)-ga liidetav jääb eraldi.
Vastus: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Näide 5. Ruudu juur muutujaga
Lihtsusta \(\sqrt{(x-4)^2}\) tingimusel \(x < 4\).
Samm 1. Ruudu juure omaduse järgi \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) – kirjutame kohe mooduli, mitte \(x - 4\).
Samm 2. Avame mooduli tingimuse järgi. Kui \(x < 4\), siis vahe \(x - 4\) on negatiivne, ja negatiivse arvu moodul on vastandarv: \(|x-4| = 4 - x\).
Samm 3. Kontroll. Võtame \(x = 1\): vasakul \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), paremal \(4 - 1 = 3\) – klapib.
Vastus: \(4 - x\). Võrdluseks, tingimusel \(x \ge 4\) oleks vastus \(x - 4\).
Näide 6. Juurtega avaldiste võrdlemine
Võrdle \(3\sqrt{5}\) ja \(5\sqrt{2}\).
Samm 1. Mõlemad arvud on positiivsed, seega viime tegurid juure alla: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Samm 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Samm 3. Võrdleme juurealuseid arve: \(45 < 50\), ja suuremale juurealusele arvule vastab suurem juur.
Vastus: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Sagedased vead ruutjuurega töötamisel
-
Kirjutavad $\sqrt{a^2} = a$, unustades mooduli.
Õige võrdus on \(\sqrt{a^2} = |a|\). Negatiivse arvu korral on see põhimõtteline: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), mitte \(-13\). Aritmeetiline juur ei saa olla negatiivne, seega „sirgestub“ märk juure all.
-
Peavad juure summast võrdseks juurte summaga: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Sellist omadust pole. Kõigepealt teeme tehte juure all: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), mitte 7. Omadused on ainult korrutisel ja jagatisel: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) ja \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Vastavad, et $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) – aritmeetiline juur on alati üks ja mitte-negatiivne. Kaks väärtust ilmnevad teises ülesandes: võrrandil \(x^2 = 49\) on juured \(x = 7\) ja \(x = -7\). Juure kirjet ja võrrandi lahendit ei tohi segi ajada.
-
Kirjutavad $\sqrt{-16} = -4$, põhjendades „miinus miinusega“.
Juure alla ei saa panna negatiivset arvu: \((-4)^2 = 16\), mitte \(-16\), nii et \(\sqrt{-16}\) reaalsetes arvudes mõtet ei oma. Kuid avaldis \(-\sqrt{16} = -4\) on täiesti korrektne – miinus on juure ees, mitte all.
-
Viivad juure alla negatiivse teguri: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Reegel \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) kehtib ainult tingimusel \(a \ge 0\). Miinus jääb väljapoole: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Märgiga kontroll: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), ja \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) – arvud on vastandid.
-
Kaotavad järgu kümnendmurrust: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Kontrollige pöördtehtega ruutu tõstmisega: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), ei klapi. Õige on \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), sest \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Kindel viis – teisendada lihtmurruks: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
On kindlad, et juur on alati arvust väiksem.
See kehtib ainult arvude korral, mis on suuremad kui üks. Lõigul 0 kuni 1 on vastupidi: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), ja \(0{,}5\) on suurem kui \(0{,}25\). Ja 0 ja 1 korral on juur võrdne arvuga ise.
Küsimused ja vastused
Mis on aritmeetiline ruutjuur lihtsamalt öeldes?
See on mitte-negatiivne arv, mis ruutu tõstmisel annab juurealuse arvu. Kirjutatakse \(\sqrt{a}\), kusjuures juurealune avaldis peab olema mitte-negatiivne: \(a \ge 0\). Näiteks \(\sqrt{64} = 8\), sest \(8 \ge 0\) ja \(8^2 = 64\).
Mille poolest erineb ruutjuur aritmeetilisest ruutjuurest?
Positiivsel arvul on kaks ruutjuurt – vastupidised märgilt. Aritmeetiliseks nimetatakse ainult mitte-negatiivset neist, ja just seda tähistab märk \(\sqrt{\phantom{a}}\). Seetõttu \(\sqrt{25} = 5\), kuigi võrrandil \(x^2 = 25\) on kaks juurt: 5 ja \(-5\).
Kuidas võtta arvu ruutjuurt ilma kalkulaatorita?
Kõigepealt kontrollige arvu ruutude tabelist. Kui seda seal pole – lahutage tegureiks ja eraldage täielikud ruudud: \(784 = 16 \cdot 49\), seega \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Kontrollige vastust alati pöördtehtega: \(28^2 = 784\).
Kas negatiivsest arvust saab ruutjuurt võtta?
Reaalsetes arvudes – ei: iga arvu ruut on mitte-negatiivne, seetõttu pole avaldisel \(\sqrt{-9}\) mõtet. Just sellest tingimusest otsitakse määramispiirkonda: näiteks \(\sqrt{x-7}\) eksisteerib ainult tingimusel \(x \ge 7\).
Kui palju on arvu ruudu juur?
Selle arvu moodul: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Mitte-negatiivse \(a\) korral on tulemuseks arv ise, negatiivse korral – vastandarv: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Kuidas tuua tegur juure alt välja?
Leidke juurealuse arvu suurim ruutjat jagaja ja rakendage omadust \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Näiteks \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Vastupidine tegevus – teguri viimine juure alla: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Kui palju on 2 ruutjuur?
Arv \(\sqrt{2}\) on irratsionaalarv: selle kümnendk Tartu on lõpmatu ja perioodita, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Täpset murdarvulist väärtust pole olemas, seetõttu jäetakse vastustes see sümbolina \(\sqrt{2}\), ja ümardatakse ainult siis, kui tingimus seda nõuab.
Kuidas võrrelda kahte juurtega arvu, neid arvutamata?
Viige tegurid juure alla ja võrrelge juurealuseid arve: suuremale juurealusele arvule vastab suurem juur. Näiteks \(\sqrt{17}\) ja 4: kuna \(4 = \sqrt{16}\) ja \(17 > 16\), siis \(\sqrt{17} > 4\).
Mis klassis ruutjuuri õpitakse?
- klassis algebra tundides: kõigepealt aritmeetilise ruutjuure definitsioon ja selle omadused, seejärel teisendused juurtega avaldistega ja võrrandite lahendamine kujul \(x^2 = a\). Edasi esinevad juured diskriminandi valemis ja ÜEÜ ning EÜE ülesannetes.
