Jaguvuse tunnused on reeglid, mis võimaldavad teada saada, kas arv jagub täpselt, ilma jagamist sooritamata: piisab viimaste numbrite vaatamisest või kõigi arvu numbrite liitmisest. Sellel lehel on koostatud tabel jaguvuse tunnuste kohta 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 ja 25 järgi, numbrite summa põhjalik analüüs 3 ja 9 järgi, näited lahendustega, sagedased vead ja interaktiivne treening, kus saate end kohe kontrollida.
Mis on jaguvuse tunnus
Jaguvuse tunnus on reegel, mille järgi saab teada, kas arv jagub täpselt teisega, ilma ise jagamist tegemata. Piisab viimaste numbrite vaatamisest või kõigi arvu numbrite liitmisest.
Jaguvuse tunnused aitavad igal pool, kus on vaja kiiresti mõista arvu „ehitust“:
- murdude lihtsustamisel – kohe on näha, millega saab lugejat ja nimetajat lihtsustada;
- arvu teisendusteguriteks lahutamisel;
- ühise jagaja ja ühise kordse leidmisel;
- näidete ja ülesannete vastuste kiirel kontrollimisel.
Oluline on mitte segi ajada kahte erinevat küsimust. „Kas 3726 jagub 9-ga?“ – sellele vastab jaguvuse tunnus: numbrite summa 3 + 7 + 2 + 6 = 18 jagub 9-ga, seega jah. Aga „mitu saab?“ – see on juba ise jagamine: 3726 : 9 = 414. Tunnus annab ainult vastuse „jah“ või „ei“, aga see-eest koheselt ja peast.
Jaguvuse tunnuste tabel
Kõik koolis õpitavad jaguvuse tunnused on mugav ühes tabelis silme ees hoida. Värv annab aimu, kuhu vaadata: viimase numbri, numbrite summa, kahe-kolme viimase numbri „saba“ või kohe kahe tunnuse poole.
| Mille järgi | Jaguvuse tunnus | Näide |
|---|---|---|
| 2 | viimane number on 0, 2, 4, 6 või 8 | 3726 → 6 |
| 3 | numbrite summa jagub 3-ga | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | viimane number on 0 või 5 | 1435 → 5 |
| 6 | jagub korraga nii 2-ga kui ka 3-ga | 5124 → 4 ja 12 |
| 8 | kolm viimast numbrit jaguvad 8-ga | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | numbrite summa jagub 9-ga | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | viimane number on 0 | 2340 → 0 |
| 11 | numbrid lõpust alates vahelduva märgiga (+ ja −); summa jagub 11-ga | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | kaks viimast numbrit on 00, 25, 50 või 75 | 1875 → 75 |
Jaguvuse tunnused 2, 5 ja 10 järgi
Kõige lihtsam rühm: vaatame ainult viimast numbrit, teised pole olulised.
- 2-ga jagunevad kõik paarisarvud – need, mis lõppevad 0, 2, 4, 6 või 8-ga;
- 5-ga – arvud, mis lõppevad 0 või 5-ga;
- 10-ga – arvud, mis lõppevad 0-ga.
Arvu pikkus pole oluline: 987 654 320 jagub nii 2-ga, 5-ga kui ka 10-ga, sest see lõpeb nulliga. Aga 1435 jagub 5-ga (viimane number 5), kuid ei jagu ei 2-ga ega 10-ga – arv on paaritu.
Siit kasulik järeldus: 10-ga jagunevad täpselt need arvud, mis jaguvad korraga nii 2-ga kui ka 5-ga.
Jaguvuse tunnused 3 ja 9 järgi: numbrite summa
Siin viimane number midagi ei otsusta – töötab kõigi arvu numbrite summa:
- arv jagub 3-ga, kui selle numbrite summa jagub 3-ga;
- arv jagub 9-ga, kui selle numbrite summa jagub 9-ga.
Kui summa osutub suureks, võib tunnust sellele uuesti rakendada: arvu 899 991 numbrite summa on 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, ja 45 summa on 4 + 5 = 9 – seega jagub algne arv nii 9-ga kui ka 3-ga.
Tunnused on sarnased, kuid ei asenda üksteist. Iga arv, mis jagub 9-ga, jagub ka 3-ga – sest üheksa ise jagub kolmega. Vastupidine aga pole tõsi: numbrite summa võib jaguda 3-ga ja samal ajal mitte jaguda 9-ga, ja siis läbib arv ainult ühe tunnuse kahest. Mõlemad juhud on allpool lahti seletatud.
Jaguvuse tunnused 4, 8 ja 25 järgi: vaatame arvu „saba“
Ühest viimasest numbrist siin ei piisa – vaja on mitme viimase numbri „saba“:
- 4-ga jagub arv, mille kaks viimast numbrit moodustavad arvu, mis jagub 4-ga;
- 8-ga – kui kolm viimast numbrit moodustavad arvu, mis jagub 8-ga;
- 25-ga – kui kaks viimast numbrit moodustavad 00, 25, 50 või 75.
Miks sabast piisab: 100 jagub nii 4-ga kui ka 25-ga, ja 1000 jagub 8-ga. Seetõttu jagub kõik, mis on vasakul pool, juba ise vajaliku arvuga ja ei mõjuta vastust.
Siit oluline järeldus: paarisus nelja ja kaheksa puhul pole piisav. Arv võib olla paaris, kuid kui selle kahe või kolme numbri saba ei jagu täpselt, siis ei jagu ka kogu arv. Sabade analüüs – allolevas lisas.
Jaguvuse tunnus 6 järgi
Kuuel oma eraldi reeglit pole: 6 = 2 · 3, ja tegurid on üksteisega."kõrvutiolevad" (vastastikku algarvud). Seetõttu on tunnus liitne – arv jagub 6-ga, kui see jagub korraga nii 2-ga kui ka 3-ga.
Kontrollime 5124: viimane number 4 – arv on paaris, seega jagub 2-ga; numbrite summa 5 + 1 + 2 + 4 = 12 jagub 3-ga. Mõlemad tingimused on täidetud → 5124 : 6 = 854.
Üksnes paarisusest ei piisa: 1000 on paaris, kuid selle numbrite summa on 1 ja ei jagu 3-ga, seega arv 6-ga ei jagu. Ka vastupidine pool ei tööta: arvu 4521 numbrite summa 12 jagub 3-ga, kuid arv ise on paaritu – 6-ga see ka ei jagu.
Samamoodi koostatakse teised liittunnused: 12 järgi – jagub 3-ga ja 4-ga, 15 järgi – 3-ga ja 5-ga, 18 järgi – 2-ga ja 9-ga, 45 järgi – 5-ga ja 9-ga.
Jaguvuse tunnus 11 järgi
Jaguvuse tunnus 11 järgi kasutab vahelduva märgiga numbrite summat. Numbrid liidetakse, alustades viimasest, vaheldumisi märke muutes: pluss, miinus, pluss, miinus. Kui tulemus jagub 11-ga (sh on null), siis jagub ka kogu arv 11-ga.
Sama tunnust sõnastatakse sageli teisiti: paaritute kohtade numbrite summa ja paaris kohtade numbrite summa vahe peab jaguma 11-ga. See on sama reegel.
Näited jaguvuse tunnuste kohta
Näide 1. Mille järgi jagub 7254
Ülesanne. Määra, mille järgi 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 jagub 7254.
Samm 1. 2 järgi. Viimane number 4 – paaris. Jagub: 7254 : 2 = 3627.
Samm 2. 5 ja 10 järgi. Arv lõpeb 4-ga, mitte 0 või 5-ga. Ei jagu ei 5-ga ega 10-ga.
Samm 3. 3 ja 9 järgi. Numbrite summa: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. See jagub nii 3-ga kui ka 9-ga. Seega 7254 : 3 = 2418 ja 7254 : 9 = 806.
Samm 4. 6 järgi. Arv jagub nii 2-ga kui ka 3-ga – seega jagub 6-ga: 7254 : 6 = 1209.
Samm 5. 4 järgi. Kaks viimast numbrit annavad 54, ja 54 ei jagu 4-ga. Ei jagu.
Vastus. 7254 jagub 2, 3, 6 ja 9 järgi.
Näide 2. Kas 4715 jagub 3 ja 9 järgi
Ülesanne. Kontrolli arvu 4715 jaguvust 3 ja 9 järgi.
Samm 1. Liidame numbrid: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Samm 2. 3 järgi. 17 ei jagu 3-ga (lähimad kordarvud – 15 ja 18). Seega ka 4715 ei jagu 3-ga.
Samm 3. 9 järgi. 17 ei jagu ka 9-ga. Seega 4715 ei jagu ka 9-ga.
Mida arv siiski oskab. Viimane number 5 → arv jagub 5-ga: 4715 : 5 = 943. 2 ja 10 järgi ei jagu – see on paaritu.
Vastus. Arv 4715 ei jagu ei 3-ga ega 9-ga.
Näide 3. Jaguvus 4 ja 8 järgi: arv 6248
Ülesanne. Kontrolli, kas 6248 jagub 4 ja 8 järgi.
Samm 1. 4 järgi. Võtame kaks viimast numbrit: 48. Arv 48 jagub 4-ga (48 : 4 = 12), seega ka 6248 jagub: 6248 : 4 = 1562.
Samm 2. 8 järgi. Võtame kolm viimast numbrit: 248. Jagame: 248 : 8 = 31 – jagub. Seega 6248 : 8 = 781.
Ettevaatust tagurpidise arutlusega. Jaguvusest 4 järgi ei tulene jaguvus 8 järgi: arvu 6244 saba 44 jagub 4-ga (6244 : 4 = 1561), kuid kolm viimast numbrit 244 ei jagu 8-ga – arv 8-ga ei jagu.
Vastus. 6248 jagub nii 4 kui ka 8 järgi.
Näide 4. Jaguvuse tunnus 11 järgi: arv 2926
Ülesanne. Kontrolli, kas 2926 jagub 11 järgi.
Samm 1. Kirjutame numbrid ja paneme märgid lõpust alates: viimane number plussmärgiga, järgmised vaheldumisi miinus ja pluss.
Samm 2. Arvutame vahelduva märgiga summa: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Samm 3. Tulemus 11 jagub 11-ga → jagub ka kogu arv.
Kontroll jagamisega. 2926 : 11 = 266.
Vastus. 2926 jagub 11 järgi.
Näide 5. Lihtsustame murdu jaguvuse tunnuste abil
Ülesanne. Lihtsustada murdu 270/378.
Samm 1. Arvutame numbrite summad: 2 + 7 + 0 = 9 ja 3 + 7 + 8 = 18. Mõlemad jaguvad 9-ga → nii lugeja kui ka nimetaja jaguvad 9-ga.
Samm 2. Lihtsustame 9-ga: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Saame 30/42.
Samm 3. Mõlemad arvud on paaris → lihtsustame 2-ga: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Saame 15/21.
Samm 4. Numbrite summad 6 ja 3 jaguvad 3-ga → lihtsustame 3-ga.
Vastus. 270/378 = 5/7.
Sagedased vead jaguvuse tunnuste kasutamisel
-
Jaguvust 6 järgi kontrollitakse ainult paarisuse järgi: kuna arv on paaris – siis see jagub 6-ga.
Vaja on mõlemat tingimust korraga: nii 2-ga kui ka 3-ga. Arv 7124 on paaris, kuid selle numbrite summa 14 ei jagu 3-ga, seega 6-ga see ei jagu. Ja vastupidi: 3471 läbib kolme tunnuse (summa 15, 3471 : 3 = 1157), kuid on paaritu – 6-ga see ka ei jagu.
-
4-ga jaguvuse jaoks vaadatakse ühte viimast numbrit: „8 jagub 4-ga, seega ka 9138 sobib“.
Nelja jaoks võetakse KAKS viimast numbrit. Arvul 9138 on need 38, ja 38 ei jagu 4-ga. Õige näide: arvu 9136 saba on 36, 36 : 4 = 9, seega 9136 : 4 = 2284. Kaheksa jaoks on saba veel pikem – kolm numbrit.
-
Jaguvuse tunnust 9 järgi kontrollitakse viimase numbri järgi: otsitakse arve, mis lõppevad 9 või 0-ga.
Viimane number üheksa jaoks pole oluline. Arvutatakse kõigi numbrite summa: arvu 4563 summa on 18, summa jagub 9-ga – ja arv jagub (4563 : 9 = 507), kuigi lõpeb 3-ga.
-
Arvatakse, et kui arv jagub 3-ga, siis jagub see ka 9-ga.
Töötab ainult ühes suunas: jagub 9-ga → jagub ka 3-ga. Vastupidine pole tõsi. Arvu 8241 numbrite summa on 15: jagub 3-ga (8241 : 3 = 2747), aga 9-ga mitte.
-
11 järgi tunnuse jaoks liidetakse lihtsalt kõik numbrid, nagu 3 ja 9 järgi.
11 järgi summa on vahelduva märgiga: numbrid liidetakse lõpust alates, muutes märki iga numbri järel. Arvu 6479 jaoks on see 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → jagub (6479 : 11 = 589). Tavaline numbrite summa siin on 26 ja ei ütle midagi.
-
Jaguvuse tunnust aetakse segi ise jagamisega: küsimusele „kas 5391 jagub 9-ga“ vastatakse „jah, 18“.
18 on numbrite summa, tunnuse vahetulemus. Jagatise arvutatakse eraldi: 5391 : 9 = 599. Tunnus vastab ainult „jagub / ei jagu“.
Küsimused ja vastused
Mis on jaguvuse tunnus lihtsate sõnadega?
See on reegel, mille järgi saab teada, kas arv jagub täpselt, ilma jagamist sooritamata. Tavaliselt piisab arvu viimaste numbrite vaatamisest või kõigi selle numbrite liitmisest.
Kuidas teada saada, kas arv jagub 3-ga?
Liida kõik arvu numbrid. Kui saadud summa jagub 3-ga, siis jagub ka arv ise 3-ga. Näiteks arvu 2571 numbrite summa on 2 + 5 + 7 + 1 = 15, ja 15 jagub 3-ga → 2571 : 3 = 857.
Mille poolest erineb jaguvuse tunnus 3 järgi tunnusest 9 järgi?
Reegel on sama – arvutatakse numbrite summa, kuid seda kontrollitakse erinevate arvude järgi: kolme puhul peab summa jaguma 3-ga, üheksa puhul – 9-ga. Seetõttu jagub iga arv, mis jagub 9-ga, ka 3-ga, aga vastupidi mitte alati: arvu 9420 numbrite summa 15 jagub 3-ga (9420 : 3 = 3140), kuid mitte 9-ga.
Mida teha, kui numbrite summa osutus suureks?
Rakenda tunnust uuesti – juba summale. Arvu 777 771 numbrite summa on 36, arvu 36 summa on 3 + 6 = 9. Üheksa jagub 9-ga, seega jagub ka algne arv 9-ga (ja ühtlasi 3-ga): 777 771 : 9 = 86 419.
Kas on olemas jaguvuse tunnus 7 järgi?
Lihtsat reeglit nagu numbrite summa seitsmel pole, ja kooli jaguvuse tunnuste tabelisse seda ei kanta. On olemas võte: eemalda viimane number, kahekordista see ja lahuta saadud arv jäägist. Näiteks arvu 343 puhul: eemaldame 3, kahekordistame – 6, arvutame 34 − 6 = 28. Arv 28 jagub 7-ga, seega ka 343 jagub: 343 : 7 = 49.
Millised on jaguvuse tunnused 12, 15 ja 45 järgi?
Need on liittunnused – arv peab läbima korraga kaks tunnust: 12 järgi – jaguma 3-ga ja 4-ga, 15 järgi – 3-ga ja 5-ga, 45 järgi – 5-ga ja 9-ga. Oluline on, et tegurid oleksid üksteisega "kõrvutiolevad" (vastastikku algarvud): 12 = 2 · 6 lahutus pole sobiv, sest 18 jagub nii 2-ga kui ka 6-ga, kuid 12-ga ei jagu.
Mis klassis õpitakse jaguvuse tunnuseid?
- klassis matemaatikatundides: esmalt tunnused 10, 5 ja 2 järgi, seejärel 3 ja 9 järgi. Tunnused 4, 8, 11 ja 25 järgi käsitletakse tavaliselt lisaks – need tulevad kasuks murdude lihtsustamisel ja olümpiaadidel.
