Võrde on kahe suhte võrdsus, näiteks \(2:3 = 8:12\). Võrrete lahendamiseks on vaja vaid ühte tööriista — võrde põhiomadust: välisliikmete korrutis võrdub keskliikmete korrutisega. Koolis nimetatakse seda ristkorrutise reegliks. Allpool selgitame, mis on suhe ja võrde, kuidas leida tundmatut liiget, mille poolest erineb võrdeline seos pöördvõrdelisest, ning vaatame läbi ülesanded retseptide, mõõtkava, hinna ja protsentide kohta koos 10-ülesandelise treeningmooduliga.
Mis on suhe ja võrde
Kahe arvu suhe on nende jagatis. Suhe \(2:3\) (loetakse „kaks kolmele“) näitab, mitu korda on üks arv teisest suurem või millise osa üks arv teisest moodustab. Seda saab kirjutada kahel viisil: \(2:3\) või murruna \(\frac{2}{3}\) — need on üks ja sama.
Võrde on kahe suhte võrdsus:
Võrdes on kokku neli arvu ja neil on oma nimetused. Kirjutise äärtes olevad arvud on välisliikmed, keskel olevad arvud on keskliikmed. Võrde on õige, kui mõlemad suhted võrduvad ühe ja sama arvuga.
Võrde põhiomadus: ristkorrutise reegel
Võrde põhiomadus: välisliikmete korrutis võrdub keskliikmete korrutisega.
Kuidas see tekib? Korrutame võrduse \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) mõlemad pooled suurusega \(b \cdot d\). Vasakul taandub \(b\), paremal \(d\) ja järele jääb täpselt \(a \cdot d = c \cdot b\). See pole mingi maagia, vaid võrduste tavaline omadus.
Just seda nimetavad õpilased võrrete lahendamiseks ristkorrutise abil: arvud korrutatakse diagonaalselt, risti. Omadus töötab ka vastupidi: kui nelja arvu puhul (millest ükski pole null) kehtib \(a \cdot d = b \cdot c\), siis saab neist koostada õige võrde.
Siit tuleneb kaks oskust: kontrollida, kas võrde on õige, ja leida selles tundmatu arv.
Kuidas leida võrde tundmatut liiget
Põhiomadusest tuleneb kaks lühikest reeglit:
- tundmatu välisliige = keskliikmete korrutis : tuntud välisliige;
- tundmatu keskliige = välisliikmete korrutis : tuntud keskliige.
Neid pole vaja peast õppida. Piisab ühest universaalsest võttest: korruta risti, saa võrdus kujul «arv \(\cdot\, x\) = arv» ja jaga. Vaatame seda samm-sammult võrde \(x : 7 = 12 : 21\) näitel.
Viimane samm — kontroll — võtab viis sekundit ja aitab vältida peaaegu kõiki arvutusvigu, seega ära jäta seda vahele.
Võrdeline ja pöördvõrdeline seos
Kahte suurust nimetatakse võrdelisteks, kui ühe suurendamisel mitu korda suureneb teine sama palju kordi. Ostsid kaks korda rohkem vihikuid — maksid kaks korda rohkem. Selliste suuruste suhe on konstantne.
Suurused on pöördvõrdelised, kui ühe suurendamisel mitu korda väheneb teine sama palju kordi. Kaks korda rohkem töölisi — kaks korda vähem päevi sama töö jaoks. Selliste suuruste korrutis on konstantne.
Peamine erinevus ilmneb võrde koostamisel. Võrdelise seose puhul koostatakse võrde «nii nagu on»: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Pöördvõrdelise seose puhul teine suhe pööratakse ümber: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Miks? Pöördvõrdelise seose puhul on korrutis konstantne: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Jagame mõlemad pooled \(a_2 \cdot b_1\)-ga — ja saamegi \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Seega pole «pööramine» mingi maagiline reegel, vaid tagajärg sellest, et konstantseks jääb korrutis, mitte suhe.
| Tunnus | Võrdeline | Pöördvõrdeline |
|---|---|---|
| Seos | rohkem → rohkem | rohkem → vähem |
| Konstantne | suhe a : b | korrutis a × b |
| Kirje | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Näide | 3 pliiatsit — 90 €, 5 pliiatsit — 150 € | 4 maalrit — 9 päeva, 6 maalrit — 6 päeva |
Kuidas koostada võrde ülesande jaoks: retsept, mõõtkava, hind
Võrdeülesandeid lahendatakse ühe stsenaariumi järgi:
- Kirjuta tingimus kahte veergu nii, et samad suurused oleksid üksteise all (portsjonid portsjonite all, grammid grammide all).
- Tähista otsitav \(x\)-iga.
- Määra seose tüüp: kujuta ette, et suurendad esimest suurust, ja vaata, kas teine suureneb või väheneb.
- Koosta võrde — pöördvõrdelise seose puhul pööra teine suhe ümber.
- Lahenda ristkorrutisega ja kontrolli, kas vastus on mõistlik.
Näitame retsepti peal. 4 portsjoni pannkookide jaoks on vaja 300 g jahu — kui palju jahu on vaja 6 portsjoni jaoks? Portsjoneid on rohkem, seega on ka jahu rohkem: seos on võrdeline, võrde koostatakse «nii nagu on»:
6 portsjoni jaoks on vaja 450 g jahu. Vastus on mõistlik: portsjoneid sai poolteist korda rohkem ja jahu läks ka poolteist korda rohkem.
Samamoodi lahendatakse ülesandeid mõõtkava kohta (kaugus kaardil suhtub kaugusesse maastikul samamoodi nagu 1 mõõtkava arvusse) ja hinna kohta (kauba kogus suhtub kogusesse samamoodi nagu maksumus maksumusse). Täielikud lahendused on toodud allpool.
Protsendid võrde kaudu
Protsent on arvu sajandikosa, seega taandub iga lihtne protsendiülesanne võrdele:
Kusagil on üks neljast arvust tundmatu — selle leiamegi ristkorrutisega.
Osa leidmine. Kui palju on 15% 240-st? Koostame \(x : 240 = 15 : 100\), seega \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) ja \(x = 36\).
Terviku leidmine. Arv 21 moodustab 35% mingist arvust. Koostame \(21 : x = 35 : 100\), seega \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) ja \(x = 60\).
Protsendi leidmine. Mitu protsenti moodustab 18 arvust 45? Koostame \(18 : 45 = p : 100\), seega \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) ja \(p = 40\), ehk 40%.
Üks võte — kolm erinevat tüüpi ülesannet, midagi pole vaja juurde õppida. Eraldi tasub vaadata vaid küsimust «mitme protsendi võrra suurus kasvas või vähenes»: seal leitakse esmalt muutus ja seejärel jagatakse see esialgse väärtusega — see on juba protsentuaalse muutuse valem, mitte lihtne võrde.
Võrrete lahendamise näited samm-sammult
Näide 1. Tundmatu keskliige
Ülesanne. Leia võrde tundmatu liige \(15 : x = 45 : 24\).
1. samm. Määrame, kus on milline liige. Välisliikmed on 15 ja 24, keskliikmed \(x\) ja 45.
2. samm. Rakendame põhiomadust: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), ehk \(360 = 45x\).
3. samm. Jagame: \(x = 360 : 45 = 8\).
Kontroll. \(15 : 8 = 1{,}875\) ja \(45 : 24 = 1{,}875\) — suhted on võrdsed.
Vastus: \(x = 8\).
Näide 2. Võrdeline seos: hind ja kogus
Ülesanne. Kuus vihikut maksavad 2,10 €. Kui palju maksavad 10 samasugust vihikut?
1. samm. Vihikuid on rohkem — maksumus on suurem, seega on seos võrdeline.
2. samm. Kirjutame tingimuse nii, et samad suurused oleksid kõrvuti, ja koostame võrde «nii nagu on»:
3. samm. Ristkorrutis: \(6x = 10 \cdot 2,10 = 21,00\), seega \(x = 21,00 : 6 = 3,50\).
Kontroll. Üks vihik maksab \(2,10 : 6 = 0,35\) €, kümme vihikut aga \(0,35 \cdot 10 = 3,50\) €. Klapib.
Vastus: 3,50 €.
Näide 3. Pöördvõrdeline seos: töölised ja päevad
Ülesanne. Kaheksa töölist täidavad tellimuse 15 päevaga. Mitu päeva kulub sama tellimuse täitmiseks 12 töölisel, kui nad töötavad sama kiirusega?
1. samm. Töölisi on rohkem — päevi kulub vähem. Seos on pöördvõrdeline.
2. samm. Koostame võrde, pöörates teise suhte ümber:
Siin on \(x\) päevade arv 12 töölise jaoks ja 15 päevade arv 8 töölise jaoks: nad vahetasid kohad, sest seos on pöördvõrdeline.
3. samm. Ristkorrutis: \(8 \cdot 15 = 12x\), ehk \(120 = 12x\) ja \(x = 10\).
Kontroll. Korrutis on konstantne: \(8 \cdot 15 = 120\) ja \(12 \cdot 10 = 120\). Klapib ja vastus on mõistlik — päevi kulus vähem.
Vastus: 10 päeva.
Näide 4. Kaardi mõõtkava
Ülesanne. Kaardi mõõtkava on \(1 : 200\,000\). Kaugus asulate vahel kaardil on 7 cm. Kui suur on vahemaa nende vahel maastikul?
1. samm. Mõõtkava \(1 : 200\,000\) tähendab: 1 cm kaardil vastab 200 000 cm maastikul. See on valmis suhe.
2. samm. Koostame võrde:
3. samm. Ristkorrutis: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), ehk \(x = 1\,400\,000\) cm.
4. samm. Teisendame mugavamatesse ühikutesse: ühes kilomeetris on 100 000 cm, seega \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Vastus: 14 km.
Näide 5. Protsendid võrde kaudu
Ülesanne. Klassis on 25 õpilast, matkale läks neist 60%. Mitu inimest läks matkale?
1. samm. Tervik on kõik 25 õpilast, neile vastab 100%. Otsitav osa on \(x\) inimest, sellele vastab 60%.
2. samm. Koostame võrde «osa : tervik = protsent : 100»:
3. samm. Ristkorrutis: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), seega \(x = 15\).
Kontroll. 15 inimest 25-st on \(15 : 25 = 0,6\), ehk täpselt 60%.
Vastus: 15 inimest.
Sagedased vead võrrete lahendamisel
-
Korrutatakse arvud «piki», mitte risti: võrdes 5 : 2 = 20 : 8 arvutatakse 5 · 2 ja 20 · 8.
Põhiomadus seob välisliikmed keskliikmetega, ehk arvud diagonaalselt: 5 · 8 = 40 ja 2 · 20 = 40. Korrutised on võrdsed — võrde on õige. Aga 5 · 2 ja 20 · 8 pole võrdsed ja ei ütle midagi.
-
Pöördvõrdelise seose ülesandes koostatakse «võrdeline» võrde. Kuus pumpa täidavad basseini 10 tunniga; kirje 6 : 15 = 10 : x annab 25 tundi 15 pumba jaoks.
Pumpasid on rohkem — aega peaks kuluma vähem, aga tuli rohkem: seega on võrde koostatud vales suunas. Teine suhe tuleb ümber pöörata: 6 : 15 = x : 10, siis 15x = 60 ja x = 4 tundi. Kontrolli alati vastust terve mõistusega.
-
Pärast «ristkorrutist» jagatakse vastupidi: võrdusest 8x = 96 saadakse x = 8 : 96.
x-i leidmiseks jagatakse korrutis kordajaga, mis seisab x-i kõrval: x = 96 : 8 = 12. Kasulik harjumus on asendada leitud arv tagasi: 8 · 12 = 96, kõik on õige.
-
Ei ühtlustata mõõtühikuid. Mõõtkava 1 : 50 000 ülesandes, kui kaardil on 3 cm, kirjutatakse vastuseks «1,5» ilma ühikuteta või nimetatakse seda meetriteks.
Esmalt arvutame nendes ühikutes, milles on antud mõõtkava: 3 · 50 000 = 150 000 cm. Ja alles siis teisendame: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Ühikud vastuses on sama tähtsad kui arv ise.
-
Segatakse suhe ja võrde: palve peale koostada võrde kirjutatakse üks suhe «12 : 4».
Suhe on üks jagatis: 12 : 4 = 3. Võrde on kahe suhte võrdsus, selles on tingimata neli arvu ja võrdusmärk: 12 : 4 = 30 : 10 (kontrollime: 12 · 10 = 120 ja 4 · 30 = 120).
Küsimused ja vastused
Mille poolest erineb suhe võrdest?
Suhe on kahe arvu jagatis, näiteks 12 : 4. Võrde on kahe suhte võrdsus, selles on neli arvu: 12 : 4 = 30 : 10. Suhe vastab küsimusele «mitu korda», aga võrde väidab, et kaks sellist võrdlust annavad sama tulemuse.
Mis on võrde välis- ja keskliikmed?
Kirjutises a : b = c : d on välisliikmed need, mis asuvad äärtes, ehk a ja d. Keskliikmed on need, mis asuvad keskel, ehk b ja c. Kui võrde on kirjutatud murdudena, on välisliikmed esimese murru lugeja ja teise murru nimetaja, keskliikmed aga esimese murru nimetaja ja teise murru lugeja.
Kuidas kontrollida, kas võrde on õige?
Korruta risti ja võrdle korrutisi. Näiteks 9 : 12 = 15 : 20 puhul arvutame 9 · 20 = 180 ja 12 · 15 = 180 — arvud on võrdsed, seega on võrde õige. Kui korrutised on erinevad, pole võrde õige.
Kas võrde liikmeid tohib omavahel vahetada?
Jah, kui teha seda reeglite järgi. Õiges võrdes võib vahetada välisliikmeid, võib vahetada keskliikmeid või võib pöörata mõlemad pooled korraga ümber — võrde jääb õigeks. Võrdest 4 : 6 = 10 : 15 saame 4 : 10 = 6 : 15 või 6 : 4 = 15 : 10 — korrutis diagonaalselt on kõikjal 60. Aga ainult ühte arvu ümber tõsta ei tohi.
Mida tähendab «lahendada võrde risti»?
See on kõnekeelne nimetus võrde põhiomadusele. Arvud korrutatakse diagonaalselt, risti: välisliige välisliikmega ja keskliige keskliikmega. Tekib ühe tundmatuga võrrand, mis lahendatakse ühe jagamisega. Mingit eraldi «ristmeetodit» peale põhiomaduse ei ole.
Kuidas aru saada, kas ülesandes on võrdeline või pöördvõrdeline seos?
Suurenda mõttes esimest suurust 2 korda ja vaata teist. Kui see kasvas samuti kaks korda — on seos võrdeline, võrde koostatakse «nii nagu on». Kui see vähenes kaks korda — on seos pöördvõrdeline, teine suhe tuleb ümber pöörata. Veel üks tunnus: võrdelise seose puhul on suuruste suhe konstantne, pöördvõrdelise puhul nende korrutis.
Kuidas lahendada protsendiülesandeid võrde kaudu?
Koosta võrde «osa : tervik = protsent : 100» ja leia tundmatu risti korrutades. Näiteks 12% 350-st: saame x : 350 = 12 : 100, seega 100x = 4200 ja x = 42. Sama meetodiga leitakse ka tervik tuntud osa järgi ja protsent ise.
