Tehete järjekord on reeglite kogum, mis ütleb, millist matemaatilise avaldise osa tuleb esimesena arvutada. Kõige levinum viis selle meeldejätmiseks on PEMDAS: Parentheses (sulgud), Exponents (astendajad), Multiplication (korrutamine) ja Division (jagamine), Addition (liitmine) ja Subtraction (lahutamine). Järgi seda järjekorda ja igal avaldisel on täpselt üks õige vastus. Sellelt lehelt leiad PEMDAS-i reegli samm-sammulise selgituse, lahendatud näited sulgude ja astendajatega, õpilaste kõige sagedasemad vead ja interaktiivse viktoriini koheseks harjutamiseks.
Mida PEMDAS tähendab: tehete järjekord
PEMDAS on mnemooniline reegel tehete sooritamise järjekorra jaoks. Paljud õpilased mäletavad seda ingliskeelse fraasiga "Please Excuse My Dear Aunt Sally." Liigu redelil ülevalt alla:
- P — Parentheses (Sulgud). Tee esimesena kõik, mis on rühmitussümbolite sees: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (Astendajad). Seejärel astmed ja juured, näiteks 3² või √9.
- M ja D — Multiplication (Korrutamine) ja Division (Jagamine). Neil on sama prioriteet. Tee neid koos, liikudes vasakult paremale.
- A ja S — Addition (Liitmine) ja Subtraction (Lahutamine). Ka neil on sama prioriteet. Tee neid viimasena, samuti vasakult paremale.
Kõige olulisem mõte, millest paljud õpilased valesti aru saavad: PEMDAS ei ole kuus eraldi sammu. Korrutamine ei tule alati enne jagamist ja liitmine ei tule alati enne lahutamist. Kumbki paar on üks tase ja taseme sees liigud lihtsalt vasakult paremale.
Vasakult paremale reegel (M/D ja A/S on võrdsed)
Kuna korrutamine ja jagamine on samal tasemel, teed neid selles järjekorras, nagu need ette tulevad, lugedes vasakult paremale — mitte "kõik korrutamised, siis kõik jagamised". Sama kehtib liitmise ja lahutamise kohta.
Klassikaline lõks on 20 ÷ 4 × 5. Kui teeksid korrutamise esimesena (4 × 5 = 20), saaksid 20 ÷ 20 = 1 — mis on vale. Kuna jagamine on vasakul, teed selle esimesena: 20 ÷ 4 = 5, siis 5 × 5 = 25. Sama loogika kehtib avaldise 10 − 6 + 2 puhul: liigu vasakult paremale, et saada 4 + 2 = 6, mitte 10 − 8 = 2.
PEMDAS vs BODMAS: sama reegel, erinev nimi
Ühendkuningriigis, Austraalias ja paljudes teistes riikides õpetatakse sama reeglit nimega BODMAS (mõnikord BIDMAS või BEDMAS). Tähed näevad välja erinevad, kuid järjekord on identne — muutub ainult sõnavara.
- B — Brackets (Sulgud) on sama mis P — Parentheses.
- O — Orders (Järjestused) (või I — Indices (Astendajad), E — Exponents) tähendab astmeid ja juuri.
- DM ja MD on sama võrdse prioriteediga paar, mida tehakse vasakult paremale.
- AS on liitmine ja lahutamine, mida tehakse vasakult paremale.
Seega annavad PEMDAS ja BODMAS alati sama vastuse. Allpool olev võrdlus reastab need täht-tähelt.
| Samm | PEMDAS | BODMAS | Mida teed |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | Sulgude sees esimesena |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | Astmed ja juured |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | Võrdne prioriteet, vasakult → paremale |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | Võrdne prioriteet, vasakult → paremale |
Tehete järjekorra näited (samm-sammult)
Näide 1. Korrutamine enne liitmist
Avaldis: 3 + 4 × 2
1. samm — Sulud / Astendajad: siin neid pole, liigu edasi.
2. samm — Korrutamine / Jagamine: 4 × 2 = 8. Avaldis on nüüd 3 + 8.
3. samm — Liitmine / Lahutamine: 3 + 8 = 11.
Levinud vale vastus on 14, mis tuleb 3 + 4 esimesena liitmisest. Korrutamine peab toimuma enne liitmist.
Näide 2. Sulud, astendajad, siis vasakult paremale
Avaldis: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
1. samm — Sulud: 6 + 2 = 8. Nüüd: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
2. samm — Astendajad: 3² = 9. Nüüd: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
3. samm — Korrutamine / Jagamine (vasakult paremale): 8 × 9 = 72, siis 72 ÷ 4 = 18. Nüüd: 18 − 5.
4. samm — Liitmine / Lahutamine: 18 − 5 = 13.
Näide 3. Vasakult paremale lõks
Avaldis: 20 ÷ 4 × 5
Siin pole sulge ega astendajaid, seega liigume otse korrutamise ja jagamise juurde. Neil on võrdne prioriteet, seega loeme vasakult paremale.
1. samm: 20 ÷ 4 = 5 (jagamine on kõige vasakpoolsem). Nüüd: 5 × 5.
2. samm: 5 × 5 = 25.
Kui oleksid korrutanud esimesena (4 × 5 = 20), oleksid saanud 20 ÷ 20 = 1 — klassikaline viga. Tähtede järjekord M-siis-D ei tähenda, et korrutamine on tähtsam; vasakult paremale reegel kehtib.
Levinud PEMDAS-i vead
-
Arvamine, et korrutamine tuleb alati enne jagamist (või liitmine enne lahutamist) tänu tähtede järjekorrale M-D ja A-S.
Korrutamine ja jagamine on võrdsed, samuti liitmine ja lahutamine. Mõlema paari sees liigu vasakult paremale. Avaldises 20 ÷ 4 × 5 jagad esimesena, sest see on vasakul, saades 25 — mitte 1.
-
Vasakult paremale reegli eiramine lahutamisel, mistõttu loetakse 10 − 6 + 2 kui 10 − 8 = 2.
Liigu vasakult paremale: 10 − 6 = 4, siis 4 + 2 = 6. Liitmine ei "hüppa järjekorras ette" temast vasakul asuvast lahutamisest.
-
Sulgude vahelejätmine või nende viimasena tegemine, kuna need asuvad avaldise keskel.
Rühmitussümbolid on alati esimesed, olenemata sellest, kus nad asuvad. Avaldises 2 × (3 + 4) arvutad 3 + 4 = 7 enne korrutamist, saades 14 — mitte 2 × 3 + 4 = 10.
-
Astendaja mõjuala valesti lugemine, koheldes −3² ja (−3)² kui sama asja.
Astendaja kehtib ainult vahetult tema all oleva numbri kohta. −3² tähendab −(3²) = −9, samas kui (−3)² tähendab (−3)(−3) = 9. Kasuta sulge, kui soovid, et märk oleks kaasatud.
-
Pesastatud sulgude lahendamine väljast sissepoole.
Alusta kõige sisemisest rühmast ja liigu väljapoole. Avaldises 2 × [3 + (4 − 1)] tee 4 − 1 = 3 esimesena, siis 3 + 3 = 6, siis 2 × 6 = 12.
Korduma kippuvad küsimused
Mida PEMDAS tähistab?
PEMDAS tähistab Parentheses (sulud), Exponents (astendajad), Multiplication and Division (korrutamine ja jagamine), Addition and Subtraction (liitmine ja lahutamine). See on järjekord, milles matemaatilist avaldist lahendatakse. Paljud õpilased mäletavad seda fraasiga "Please Excuse My Dear Aunt Sally."
Mis vahe on PEMDAS-il ja BODMAS-il?
Matemaatikas vahet pole — ainult nimedes. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) on kasutusel Ühendkuningriigis ja paljudes teistes riikides, samas kui PEMDAS on kasutusel USA-s. Brackets on sama mis sulud ja Orders (või Indices) on sama mis astendajad. Mõlemad annavad iga avaldise puhul identse vastuse.
Kas korrutamine tuleb PEMDAS-is alati enne jagamist?
Ei. Korrutamisel ja jagamisel on võrdne prioriteet. Teed seda, mis tuleb vasakult paremale lugedes esimesena. Näiteks avaldises 20 ÷ 4 × 5 jagad esimesena, sest see on vasakul, siis korrutad, saades 25.
Miks meil üldse tehete järjekorda vaja on?
Ilma kokkulepitud järjekorrata võiks sama avaldis anda erinevatele inimestele erinevaid vastuseid. Näiteks 3 + 4 × 2 oleks 11, kui korrutad esimesena, või 14, kui liidad esimesena. PEMDAS tagab, et igal avaldisel on täpselt üks õige tulemus.
Kuidas käsitleda astendajaid ja miinusmärke koos?
Astendaja kehtib ainult vahetult tema all oleva väärtuse kohta. Seega −3² võrdub −(3 × 3) = −9, sest astendaja seondub 3-ga enne miinusmärgi rakendamist. Kui soovid, et miinus oleks kaasatud, kirjuta (−3)², mis võrdub 9. Sulud kontrollivad, mida astendaja katab.
Mida teha pesastatud sulgudega?
Tööta kõige sisemisest rühmast väljapoole. Avaldises 2 × [3 + (4 − 1)] tee esimesena 4 − 1 = 3, siis 3 + 3 = 6, siis 2 × 6 = 12. Iga rühmituse kiht lahendatakse enne seda ümbritsevat.
