Vieta teoreem seob ruutvõrrandi juured selle kordajatega: taandatud võrrandi \(x^2 + px + q = 0\) korral on juurte summa \(-p\) ja korrutis \(q\). See võimaldab juuri leida peast – valides, ilma diskriminandita. Sellel lehel on täpsed valemid taandatud ja üldkuju jaoks, pöördteoreem, juurte leidmise algoritm, lahendatud näited ja interaktiivne treening.
Mis on Vieta teoreem
Vieta teoreem on reegel, mis seob ruutvõrrandi juured selle kordajatega. See kõlab järgmiselt: kui \(x_1\) ja \(x_2\) on taandatud ruutvõrrandi \(x^2 + px + q = 0\) juured, siis
Sõnadega: juurte summa on võrdne teise kordajaga vastupidise märgiga, juurte korrutis aga vabaliikmega. Miinusmärk summas on kogu teema kõige olulisem koht: kirjutatakse just \(-p\), mitte \(p\).
Üldkuju võrrandi \(ax^2 + bx + c = 0\) (kus \(a \neq 0\)) korral saadakse valemid, jagades \(a\)-ga:
Teoreem kehtib ainult siis, kui reaalsed juured on olemas, s.t. \(D \ge 0\). Kui diskriminant on negatiivne, pole midagi valida: reaalarve sellise summaga ja sellise korrutisega ei eksisteeri.
Taandatud võrrand ja üldkuju: kus on vaja jagada a-ga
Taandatud nimetatakse ruutvõrrandit, mille korral \(x^2\) ees olev kordaja on üks: \(x^2 + px + q = 0\). Just selle võrrandi korral on Vieta teoreem kõige lühem, seetõttu alustatakse juurte leidmist alati taandamisest.
Kui \(a \neq 1\), jagatakse võrrand kõigepealt liikmeti \(a\)-ga. Näiteks \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) muutub pärast jagamist 3-ga võrrandiks \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), s.t. \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Siit \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) ja \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Sama mõtet võib kirjutada kohe üldkuju jaoks, võrrandit taandamata: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Kõige sagedamini esinev viga on kasutada „lühemaid“ valemeid \(-p\) ja \(q\) taandamata võrrandi korral ja saada summa 10 asemel \(\frac{10}{3}\).
Pöördteoreem Vieta
Vieta teoreemil on pöördteoreem, ja just see võimaldab võrrandeid valides lahendada. See kõlab järgmiselt: kui arvud \(m\) ja \(n\) on sellised, et
siis \(m\) ja \(n\) on võrrandi \(x^2 + px + q = 0\) juured.
Erinevus on põhimõtteline. Otsene teoreem läheb juurtest kordajateni: juured on juba teada, saame seose nende vahel. Pöörde teoreem läheb kordajatest juurteni: oleme arvanud paari arve õige summaga ja õige korrutisega – ja meil on täielik õigus nimetada neid juurteks, midagi muud tõestama ei pea.
Siit tuleneb ka kasulik reegel: kui \(x_1\) ja \(x_2\) on juured, siis polünoom laguneb teguriteks \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Näiteks \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Juure leidmine Vieta teoreemiga: algoritm
Juure leidmine on teoreemi peamine praktiline rakendus. See töötab kiiremini kui diskriminant, kui juured on täisarvud, ja võtab viis sammu.
Juure märgid kordajate p ja q järgi
Juba enne leidmist saab aru, millised märgid juurtel on – piisab p ja q märkide vaatamisest. See lühendab oluliselt otsingut: kohe on näha, kas otsida paari kahest positiivsest arvust, kahest negatiivsest või erineva märgiga arvudest.
| p ja q | Juur(ed) | Näide |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | mõlemad > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | mõlemad < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | erineva märgiga | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 ja −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Vieta teoreem või diskriminant: mida valida
Ruutvõrrandi lahendivalem diskriminandi kaudu \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) töötab alati, kuid nõuab arvutusi. Vieta teoreem töötab hetkega, kuid ainult siis, kui juured on äraarvatavad – tavaliselt on need väikesed täisarvud.
Praktiline reegel on järgmine:
- võrrand on taandatud, ja \(q\) jaguneb väikesteks teguriteks → proovi Vieta abil leidmist, vastus tuleb peast;
- kordajad on suured või murrulised, juured ei arva ära 10–15 sekundiga → arvuta diskriminant;
- vaja on ainult juurte arvu või juurte märke, aga juuri ennast pole vaja → piisab D-st ja ülaltoodud märkidest.
Kasulik on ka kombinatsioon: arvutasid diskriminandi ja leidsid juured — kontrolli vastust Vieta abil. Summa peaks andma \(-p\), korrutis \(q\). Selline kontroll võtab paar sekundit ja püüab kinni peaaegu iga aritmeetilise vea.
Näited Vieta teoreemi abil lahendamisest
Näide 1. Juurte leidmine: mõlemad juured on positiivsed
Lahenda \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
1. samm. Võrrand on taandatud: \(p = -9\), \(q = 20\).
2. samm. Kontrollime diskriminanti: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — kaks juurt on olemas.
3. samm. Kirjutame seosed: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
4. samm. Vaatame üle arvu 20 tegurid: \(1\cdot 20\) (summa 21), \(2\cdot 10\) (summa 12), \(4\cdot 5\) (summa 9) — viimane paar sobib. Mõlemad tegurid on positiivsed, sest \(q > 0\), aga \(p < 0\).
5. samm. Kontroll sisestamisega. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Vastus: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Näide 2. Erineva märgiga juured
Lahenda \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
1. samm. Võrrand on taandatud: \(p = 3\), \(q = -28\).
2. samm. \(q < 0\), seega juured on erineva märgiga ja diskriminant on eeldatavalt positiivne: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
3. samm. Seosed: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
4. samm. Arvu 28 tegurid: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Vajalik on vahe 3 — sobib paar 4 ja 7. Kuna summa on negatiivne, võtame suurema absoluutarvuga juure miinusmärgiga: \(4\) ja \(-7\).
5. samm. Kontroll. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Vastus: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Näide 3. Üldkuju võrrand (a ≠ 1)
Lahenda \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
1. samm. Kordaja \(a = 3\), seetõttu ei saa kasutada „lühemaid“ valemeid \(-p\) ja \(q\). Kasutame üldkuju: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
2. samm. Korrutis on 1 — seega juured on vastastikused: kui üks on \(t\), siis teine on \(\tfrac{1}{t}\). Summa \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) viitab \(t = 3\), sest \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
3. samm. Kontroll sisestamisega. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Vastus: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Näide 4. Koosta võrrand tema juurte järgi
Ülesanne. Koosta taandatud ruutvõrrand, mille juured on \(-4\) ja \(6\).
1. samm. Arvutame summa ja korrutise: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
2. samm. Pöördteoreemi Vieta järgi kordajad on \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) ja \(q = x_1 x_2 = -24\). Siin peitub peamine lõks: \(p\) on summa vastupidise märgiga.
3. samm. Kirjutame võrrandi: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
4. samm. Kontroll sisestamisega. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Vastus: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Sama tulemuse annab ka teguriteks lahutamine \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Näide 5. Kontrolli kellegi teise vastust Vieta teoreemiga
Ülesanne. Õpilane lahendas võrrandi \(x^2 + 5x + 6 = 0\) ja kirjutas vastuseks: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Kontrolli, kas ta eksis.
1. samm. Vieta järgi peaks olema \(x_1 + x_2 = -p = -5\) ja \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
2. samm. Pakutud vastuse korral korrutis klapib (\(2\cdot 3 = 6\)), aga summa mitte: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Seega vastus on vale: märk on kadunud.
3. samm. Otsime õiget paari: vaja on arve, mille korrutis on 6 ja summa -5 — need on \(-2\) ja \(-3\) (mõlemad negatiivsed, sest \(q > 0\) ja \(p > 0\)).
4. samm. Kontroll sisestamisega. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Vastus: õiged juured on \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Levinumad vead Vieta teoreemiga töötamisel
-
Kaotatakse miinus summa juures: kirjutatakse $x_1 + x_2 = p$ asemel $x_1 + x_2 = -p$.
Miinusmärk on ainult summa juures, korrutis võetakse sama märgiga: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Kontrolli lihtsa võrrandiga \(x^2 - 5x + 6 = 0\): siin \(p = -5\), juurte summa on 5, ja juured on tõepoolest 2 ja 3.
-
Kasutatakse valemeid $-p$ ja $q$ taandamata võrrandi korral: $2x^2 - 9x + 4 = 0$ korral öeldakse „summa 9, korrutis 4“.
Kuni \(a \neq 1\), kehtivad üldkuju valemid: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Juured siin on 4 ja \(\tfrac{1}{2}\), mitte 4 ja 1. Või jaga kõigepealt kogu võrrand \(a\)-ga.
-
Valitakse juuri, kontrollimata diskriminanti: $x^2 + x + 1 = 0$ korral üritatakse leida arve paari summaga $-1$ ja korrutisega $1$.
Veendu kõigepealt, et juured on olemas: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), reaalseid juuri pole, leidmine pole võimalik. Vieta teoreem töötab ainult juhul, kui \(D \ge 0\).
-
Valitakse paar ainult korrutise järgi, kontrollimata summat: $x^2 - 8x + 12 = 0$ korral võetakse 3 ja 4, sest nende korrutis on 12.
Kontrollida tuleb mõlemat seost korraga. Võrrandi \(x^2 - 8x + 12 = 0\) korral annavad korrutise 12 paarid (1; 12), (2; 6), (3; 4), aga summa 8 annab ainult paar 2 ja 6. Kontroll: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) ja \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Koostatakse võrrand juurte järgi, võetakse $p$ võrdseks summaga: juurte 2 ja 5 korral kirjutatakse $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Kordaja \(p\) on võrdne summaga vastupidise märgiga: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), s.t. \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Sisestamine kinnitab: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Arvatakse, et Vieta teoreem kehtib ainult täisarvuliste juurte korral, ja ei kasutata seda vastuse kontrollimiseks.
Seosed \(x_1 + x_2 = -p\) ja \(x_1 x_2 = q\) kehtivad mis tahes reaalarvude juurte korral — täisarvuliste, murruliste ja irratsionaalsete. Lihtsalt peast leidmine on mugav täisarvude korral, aga ülejäänud juhtudel jääb teoreem kiireks vastuse kontrollimise viisiks, mis on leitud diskriminandi abil.
Küsimused ja vastused
Kuidas kõlab Vieta teoreem lihtsate sõnadega?
Kui taandatud ruutvõrrandil \(x^2 + px + q = 0\) on juured, siis nende summa on võrdne teise kordajaga vastupidise märgiga, ja korrutis on võrdne vabaliikmega: \(x_1 + x_2 = -p\) ja \(x_1 x_2 = q\).
Kui suured on võrrandi $ax^2 + bx + c = 0$ juurte summa ja korrutis?
Üldkuju võrrandi korral on juurte summa \(-\dfrac{b}{a}\) ja korrutis \(\dfrac{c}{a}\). Need valemid saadakse taandatud juhust, jagades kogu võrrand \(a\)-ga.
Mille poolest erineb pöördteoreem Vieta otsesest teoreemist?
Otsene teoreem läheb juurtest kordajateni: teades juuri, saame summa \(-p\) ja korrutise \(q\). Pöörde teoreem läheb vastupidi: kui arvude paar annab vajaliku summa ja vajaliku korrutise, siis need arvud ongi võrrandi juured. Just pöörde teoreem võimaldab võrrandeid valides lahendada.
Kuidas leida juured Vieta teoreemiga?
Taandage võrrand kujule \(x^2 + px + q = 0\), veenduge, et \(D \ge 0\), kirjutage välja \(x_1 + x_2 = -p\) ja \(x_1 x_2 = q\), vaadake üle arvu \(q\) teguriteks lahutused paarideks ja valige see paar, mille summa on \(-p\). Näiteks võrrandi \(x^2 + 6x + 8 = 0\) korral on vaja arve, mille korrutis on 8 ja summa \(-6\) — need on \(-2\) ja \(-4\).
Kas Vieta teoreem töötab, kui kordaja $x^2$ ees ei ole üks?
Jah, aga üldkuju valemites: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Lühikesed valemid \(-p\) ja \(q\) kehtivad ainult taandatud võrrandi korral, seetõttu jagatakse võrrand \(a\)-ga, kui \(a \neq 1\).
Mida teha, kui juured Vieta teoreemiga ei arva ära?
See tähendab, et juured pole täisarvud või neid pole üldse olemas. Arvutage diskriminant: kui \(D < 0\), siis reaalseid juuri pole, aga kui \(D \ge 0\), siis leidke juured valemiga \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) ja kontrollige vastust Vieta teoreemiga.
Kuidas määrata juurte märgid, võrrandit lahendamata?
p ja q märkide järgi, kui \(D \ge 0\): kui \(q > 0\) ja \(p < 0\) — mõlemad juured on positiivsed; kui \(q > 0\) ja \(p > 0\) — mõlemad juured on negatiivsed; kui \(q < 0\) — juured on erineva märgiga; kui \(q = 0\) — üks juurtest on null.
Mis klassis õpetatakse Vieta teoreemi?
- klassis algebra tundides, kohe pärast ruutvõrrandeid ja diskriminanti. Edaspidi kasutatakse seda ruutkolmliikme teguriteks lahutamisel \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), parameetriga juurte uurimisel ning OGE ja EGE ülesannetes.
