Võrrand on kaks avaldist, mis on ühendatud märgiga \(<\), \(>\), \(\le\) või \(\ge\). Võrrandi lahendamine tähendab kõigi muutuja väärtuste leidmist, mille korral see muutub tõeseks arvuliseks võrrandiks. Vastuseks ei ole üks arv, vaid terve hulk: vahemik arvteljel või vahemike ühend. Sellel lehel on kogutud andmebaas, mis on ühine kõikidele võrranditüüpidele: kuidas märke lugeda, millised teisendused on lubatud, miks märk pöördub negatiivse arvuga jagamisel ja kuidas vastust õigesti kirjutada. Ja edasi – ülevaade kõikidest võrranditüüpidest koos linkidega üksikasjalike analüüside ja enesekontrolli harjutustega.
Mida tähendab võrrandi lahendamine
Võrrandi lahendus on mis tahes muutuja väärtus, mis muudab võrrandi tõeseks arvuliseks võrrandiks. Ja võrrandi lahendamine tähendab kõigi selliste väärtuste leidmist ja nende hulgana kirjutamist.
Võrdle võrrandiga. Võrrandi \(2x = 8\) vastus on üks arv \(x = 4\). Võrrandi \(2x < 8\) vastus on lõpmata palju arve: sobivad nii \(3\), \(0\), \(-100\) kui ka \(3{,}999\). Neid ükshaaval kirjutada pole võimalik, seetõttu vormistatakse vastus vahemikuna: \(x < 4\), st \((-\infty;\ 4)\).
Konkreetse arvu lahendiks olemist on lihtne kontrollida: asenda see muutuja asemele ja vaata, kas saite tõeseks arvuliseks võrrandiks.
- \(x = 1\) võrrandis \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — tõene, seega \(1\) — lahendus.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — väär, seega \(5\) pole lahendus.
Kahte võrrandit nimetatakse samaväärseteks, kui nende lahendihulgad langevad kokku. Kogu võrrandi lahendamine on järjestikune üleminek lihtsamale samaväärsele võrrandile, kuni vasakule jääb üksik \(x\).
Võrrandimärgid: ranged ja mitteranged
Märke on neli ja sellest, kumb neist on, sõltub nii vastus kui ka vormistus. Ranged märgid \(<\) ja \(>\) ise piirpunkti vastusesse ei võta, mitteranged \(\le\) ja \(\ge\) — võtavad.
See erinevus kandub läbi kogu lahenduse: range märk annab välja "tühja" punkti teljel ja ümmarguse sulu vastuses, mitterange – täidetud punkti ja kandilise sulu.
| Märk | Kuidas loetakse ja mida annab vastuses |
|---|---|
| < | väiksemrangepunkt tühi, sulg ümar |
| > | suuremrangepunkt tühi, sulg ümar |
| ≤ | väiksem või võrdnemitterangepunkt täidetud, sulg kandiline |
| ≥ | suurem või võrdnemitterangepunkt täidetud, sulg kandiline |
Samaväärsed teisendused: mida võib võrrandiga teha
Võrrandiga võib teha peaaegu sama, mis võrrandiga, kuid ühe olulise täiendusega. Liita ja lahutada võib vabalt: kui mõlemale poolele liita või mõlemast poolest lahutada sama arv, lahendihulk ei muutu. Just nii "teisaldatakse" liidetavad üle märgi, muutes nende plussi miinuseks.
Aga korrutamine ja jagamine sõltuvad teguri märgist. Mõlemat poolt negatiivse arvuga korrutades või jagades muutub võrrandimärk vastupidiseks: \(<\) muutub \(>\), \(\le\) muutub \(\ge\) ja vastupidi. Põhjus on näha arvudel: tõesest \(3 < 5\) saab pärast korrutamist \(-1\)ga \(-3\) ja \(-5\), aga \(-3 > -5\) — arvude järjekord pöördus.
Sama juhtub, kui vahetada vasak ja parem pool: \(7 < y\) saab \(y > 7\).
| Mida teeme mõlema poolega | Mis saab märgiga |
|---|---|
| Liidame või lahutame sama arvu või avaldise | märk jääb samaks |
| Korrutame või jagame positiivse arvuga | märk jääb samaks |
| Korrutame või jagame negatiivse arvuga | märk muutub |
| Vahetame vasaku ja parema poole | märk muutub |
| Korrutame või jagame muutuja sisaldava avaldisega (x − 2) | nii ei saa |
Kuidas vastust kirjutada: arvtelje ja vahemikud
Kui muutuja on üksi jäänud, on lahendus peaaegu valmis – jääb vaid vormistada. Kõige mugavam on vastus kõigepealt arvteljele märkida, ja alles teljelt lugeda vahemik.
Kirjutamisreegleid on vaid kolm, ja need ei muutu võrrandi tüübist sõltumata:
- ümar sulg — punkt ei kuulu vastusesse (range märk, tühi punkt);
- kandiline sulg — punkt kuulub vastusesse (mitterange märk, täidetud punkt);
- lõpmatuses on sulg alati ümar: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — kujul \([-\infty;\ 4]\) pole olemas, lõpmatus pole arv ja seda ei saa saavutada.
Kui lahenduseks osutusid kaks telje tükki, ühendatakse need ühendusmärgiga \(\cup\): näiteks \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Võrrandite tüübid ja nende lahendamise viisid
Võrrandeid eristatakse selle järgi, kuidas muutuja neisse siseneb — kas ta on esimeses astmes, ruudujuurde all, nimetajas või mooduli sees. Just see määrab lahendusviisi, seetõttu on iga lahenduse esimene samm võrrandi tüübi tuvastamine. Üldine loogika edasi on üks: viia võrrand kujule "avaldis võrreldakse nulliga", seejärel rakendada selle tüübile sobivat võtet. Tüüpide ja meetodite kokkuvõte – allolevas tabelis.
Eraldi tasub meelde jätta, kuidas moodul avatakse – tabel seda ei sisalda. Kui \(a > 0\), siis võrrand \(|f(x)| < a\) on samaväärne kaksikvõrrandiga \(-a < f(x) < a\) (saadakse süsteem), ja \(|f(x)| > a\) – kogumiga \(f(x) < -a\) või \(f(x) > a\) (saadakse vahemike ühend). Kui aga \(a < 0\), pole üldse millelegi mõelda: moodul on mittenegatiivne, seetõttu \(|f(x)| < a\) lahendusi pole, ja \(|f(x)| > a\) kehtib kõigi lubatud \(x\) korral.
Irratsionaalseid (juurega) ja eksponentvõrrandeid käsitletakse gümnaasiumis: tavapärastele teisendustele lisandub töö lubatud väärtuste piirkonnaga.
Üksikute tüüpide üksikasjalikud analüüsid: lineaarvõrrandid, ratsionaalvõrrandid ja intervallimeetod, ja ruutkolmliikme juuri on mugav leida Vieta valemi järgi.
| Tüüp | Kuidas näeb välja ja millega lahendatakse |
|---|---|
| Lineaarne | ax + b > 0teisendame liidetavad ja jagame x kordajaga |
| Ruut- | ax2 + bx + c > 0leiame kolmliikme juured ja vaatame parabooli |
| Murrulised-ratsionaalsed | P(x) / Q(x) ≥ 0intervallimeetod, nimetaja nullkohad tühjendame |
| Mooduliga | | f(x) | < aavame mooduli definitsiooni järgi |
| Süsteem | kaks võrrandit looksuludegalahendame kumbagi, võtame ühisosa |
Võrrandite süsteemid ja kogumid
Sageli laguneb üks võrrand kaheks ja siis on oluline mitte segi ajada, mida saadud hulkadega teha.
Süsteem (looksulud) tähendab „nii see kui ka too samaaegselt“. Lahendame kumbagi võrrandit eraldi, märgime mõlemad vastused ühele teljele ja võtame ühisosa. Kui ühist osa pole, süsteemil lahendusi pole.
Kogum (kandiline sulg) tähendab „või üks, või teine“. Siin võetakse ühisosa – kõik, mis on värvitud vähemalt ühe vastusega. Kogum tekib näiteks mooduli märgi „suurem“ korral.
Eraldi tasub mainida kaksikvõrrand kujul \(-3 < 2x + 1 \le 7\): see on süsteemi lühike kirjapilt. Teisendusi tehakse kohe kõigi kolme osa suhtes – lahutatakse, jagatakse, ja negatiivse arvuga jagamisel pööratakse mõlemad märgid koos.
Võrrandite lahendamise näited
Näide 1. Kontrolli, kas arv on lahendus
Ülesanne. Kas \(x = -1\) on võrrandi \(3x + 5 \ge 1\) lahendus?
Samm 1. Asendame \(-1\) muutuja \(x\) asemele: \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Samm 2. Võrdleme parema poolega: \(2 \ge 1\) — tõene arvuline võrrand.
Vastus. Jah, \(-1\) on üks lahenditest. Kuid võrrandi lahendamine tähendab kõigi selliste arvude leidmist, mitte üheainsa: siin on vastus \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Näide 2. Lineaarvõrrand märgimuutusega
Ülesanne. Lahenda \(7 - 3x < 1\).
Samm 1. Teisendame \(7\) paremale (st lahutame mõlemast poolest \(7\) – võrrandimärk ei muutu): \(-3x < 1 - 7\), seega \(-3x < -6\).
Samm 2. Jagame mõlemad pooled arvuga \(-3\). Jagaja on negatiivne, seetõttu märk pöördub: \(x > 2\).
Samm 3. Märgime teljel: tühi punkt \(2\) juures, värvime kõik paremale.
Vastus. \(x > 2\), st \(x \in (2;\ +\infty)\).
Näide 3. Ruutvõrrand
Ülesanne. Lahenda \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Samm 1. Leiame kolmliikme juured: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), kust \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Samm 2. \(x^2\) kordaja on positiivne, seetõttu parabooli harud on ülespoole suunatud: juurte vahel on kolmliige negatiivne, juurtest väljaspool – positiivne.
Samm 3. Vajame märki \(\le 0\), st negatiivseid väärtusi ja ise juuri (mitterange märk) – võtame juurte vahelise lõigu koos otspunktidega.
Vastus. \(x \in [-1;\ 5]\).
Näide 4. Võrrand mooduliga
Ülesanne. Lahenda \(|x + 1| > 4\).
Samm 1. Moodul on suurem positiivsest arvust – tähendab, et avaldis mooduli sees on kas suurem kui \(4\) või väiksem kui \(-4\). Saame kogumi: \(x + 1 > 4\) või \(x + 1 < -4\).
Samm 2. Lahendame kumbagi: esimesest \(x > 3\), teisest \(x < -5\).
Samm 3. See on kogum, seetõttu võtame vahemike ühendi, mitte ühisosa.
Vastus. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Näide 5. Võrrandite süsteem
Ülesanne. Lahenda süsteem \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Samm 1. Esimene võrrand: \(2x > -4\), jagame positiivse \(2\)ga – märk jääb samaks, \(x > -2\).
Samm 2. Teine võrrand: \(x \le 4\).
Samm 3. Märgime mõlemad vastused ühele teljele ja võtame ühisosa – ala, mis on värvitud kaks korda. Vasak piir ei kuulu (range märk), parem kuulub (mitterange).
Vastus. \(x \in (-2;\ 4]\).
Sagedased vead võrrandite lahendamisel
-
Jagati negatiivse arvuga ja jäeti endine märk.
Korrutamisel ja jagamisel mõlemat poolt negatiivse arvuga muutub märk tingimata vastupidiseks. Siit \(-5x \ge 10\) saab \(x \le -2\), mitte \(x \ge -2\). Kontrollida saab asendamisega: \(x = -3\) annab \(15 \ge 10\) – tõene, seega õige vastus on tõesti „väiksem või võrdne“.
-
Kirjutatakse kandiline sulg lõpmatuses: $[-\infty;\ 7]$.
Lõpmatus pole arv, seda ei saa „saavutada“, seetõttu on sulg \(\infty\) juures alati ümar: \((-\infty;\ 7]\). Kandiline sulg pannakse ainult lõpliku piiri juurde, mis kuulub vastusesse.
-
Segamini pannakse sulgude tüüp ja punkti tüüp: range märk vormistatakse kandilise suluga.
Range märk (\(<\), \(>\)) – piir ei kuulu vastusesse: tühi punkt teljel ja ümar sulg. Mitterange (\(\le\), \(\ge\)) – piir kuulub vastusesse: täidetud punkt ja kandiline sulg. Kontroll on lihtne: asenda algne võrrand piirarvuga ja vaata, kas sai tõene.
-
Korrutatakse mõlemat poolt muutuja sisaldava avaldisega, et „vabaneda murrust“.
Sellise avaldise märk pole teada, seetõttu pole selge, kas märki pöörata või mitte – teisendus pole samaväärne. Selle asemel teisendatakse kõik ühte poolde, viiak ühisele murrule ja rakendatakse intervallimeetodit.
-
Vastuseks kirjutatakse üks arv: „$x = 3$“ hulga asemel.
Võrrandi lahendus on hulk väärtusi. Kirjuta see vahemikuna: \(x > 3\), st \((3;\ +\infty)\). Üks arv võib olla ainult vastuse element, mitte ise vastus.
-
Süsteemi puhul võetakse ühend, kogumi puhul – ühisosa.
Süsteemi (looksulud, „ja“) – ühisosa, vahemike ühine osa. Kogumi (kandiline sulg, „või“) – ühendus \(\cup\) märgiga. Ja veel: kujul „\(-2 < x > 5\)“ pole mõtet – selline vastus vormistatakse kahe vahemiku ühendina.
Küsimused ja vastused
Mida tähendab võrrandi lahendamine?
Võrrandi lahendamine tähendab kõigi muutuja väärtuste leidmist, mille korral see muutub tõeseks arvuliseks võrrandiks, ja nende hulgana kirjutamist. Vastuseks on vahemik või vahemike ühend, mitte eraldi arv.
Millised võrrandid on olemas?
Avaldise tüübi järgi eristatakse lineaarseid (\(ax + b > 0\)), ruut- (\(ax^2 + bx + c > 0\)), murrulisi-ratsionaalseid (muutuja nimetajas), mooduliga, irratsionaalseid ja eksponentvõrrandeid. Eraldi eristatakse võrrandite süsteeme ja kogumeid. Märgi järgi jagatakse rangeteks (\(<\), \(>\)) ja mitterangeteks (\(\le\), \(\ge\)).
Millal võrrandimärk muutub vastupidiseks?
Kahel juhul: kui mõlemat poolt korrutatakse või jagatakse negatiivse arvuga ja kui vasak ja parem pool vahetatakse. Liitmisel, lahutamisel ja positiivse arvuga jagamisel jääb märk samaks.
Millal on sulg ümar ja millal kandiline?
Ümar – kui piiripunkt ei kuulu vastusesse (range märk, tühi punkt teljel). Kandiline – kui kuulub (mitterange märk, täidetud punkt). Lõpmatuses \(+\infty\) ja \(-\infty\) on sulg alati ümar.
Mille poolest erineb võrrandi lahendamine võrrandi lahendamisest?
Teisendused on peaaegu samad, kuid võrrandi vastus koosneb tavaliselt üksikutest arvudest, võrrandi vastus aga tervetest vahemikest. Lisaks on võrrandil märgimuutuse reegel negatiivse arvuga korrutamisel ja jagamisel, mida võrranditel pole.
Millist võrrandit nimetatakse murruliseks ja kus seda käsitletakse?
Murruliseks (murruliseks-ratsionaalseks) nimetatakse võrrandit, milles muutuja on nimetajas – näiteks \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); nimetaja tõttu tekib sellel lubatud väärtuste piirkond ja tavalise jagamisega seda lahendada ei saa. Samm-sammult algoritm näidetega – eraldi materjalis ratsionaalvõrrandid ja intervallimeetod.
Mis klassis õpitakse võrrandite lahendamist?
Lineaarvõrrandeid ja arvvahemikke käsitletakse 8. klassis (Merzljaki järgi – 9. klassis), ruut- ja murrulisi-ratsionaalseid võrrandeid intervallimeetodiga – 8.–9. klassis, irratsionaalseid ja eksponentvõrrandeid – gümnaasiumis.
