Ruutfunktsiooni valem lahendab iga ruutvõrrandi kujul \(ax^2 + bx + c = 0\) (kus \(a \neq 0\)). Selle lahendid on antud valemiga \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Sellel lehel näete, mida iga osa tähendab, kuidas valemit samm-sammult kasutada, kuidas diskriminant ütleb teile, kui palju lahendeid oodata, ja täielikult lahendatud näiteid — lisaks interaktiivne treener, et saaksite kohe harjutada.
Mis on ruutfunktsiooni valem
Ruutvõrrand on iga võrrand, mida saab kirjutada standardkujul \(ax^2 + bx + c = 0\), kus \(a\), \(b\) ja \(c\) on arvud ning \(a \neq 0\). Arve \(a\), \(b\) ja \(c\) nimetatakse kordajateks: \(a\) on \(x^2\) kordaja, \(b\) on \(x\) kordaja ja \(c\) on vabaliige.
Ruutfunktsiooni valem annab lahendid (juured) otse nende kolme kordaja abil — tegurdamist pole vaja. See töötab iga ruutvõrrandi puhul, isegi nende puhul, mida ei saa kenasti tegurdada.
Kust see tuleb (tuletus): valem on see, mida saate, kui teisendate täisruuduks üldvõrrandi. Jagage \(ax^2 + bx + c = 0\) arvuga \(a\), viige vabaliige üle, lisage mõlemale poolele \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\), et saada täisruut, ja võtke ruutjuur. Tulemuseks on üks valem allpool, mis kehtib iga \(a\), \(b\), \(c\) korral.
Diskriminant: lahendite arv
Ruutjuure all olev osa, \(b^2 - 4ac\), nimetatakse diskriminandiks (sageli tähistatud kui \(D\)). Te ei pea kogu valemit lõpuni arvutama, et teada saada, kui palju lahendeid võrrandil on — diskriminandi märk ütleb teile seda kohe.
Kuna negatiivse arvu reaalsest ruutjuurt ei saa võtta, jagab \(D\) märk iga ruutvõrrandi täpselt kolme juhuks: kaks lahendit, üks korduv lahend või ühtegi reaallahendit. Graafiliselt on see koht, kus parabool \(y = ax^2 + bx + c\) kohtub x-teljega — kaks korda, üks kord (tipus) või mitte kunagi.
| Diskriminant D = b² − 4ac | Reaalsed lahendid | Mida saate |
|---|---|---|
| D > 0 | Kaks erinevat reaallahendit | Parabool lõikab x-telge kaks korda. Kasutage mõlemat märki: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Üks reaallahend (korduv) | Parabool puudutab x-telge oma tipus. ± kaob: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Ühtegi reaallahendit pole | Parabool ei puuduta x-telge kunagi. Negatiivse arvu reaalsest ruutjuurest pole olemas. |
Kuidas kasutada ruutfunktsiooni valemit: sammud
Ruutfunktsiooni valemit kasutatakse alati samamoodi. Järgige neid viit sammu järjekorras ja see ei vea teid kunagi alt — kõige raskem osa on lihtsalt kordajate (koos nende märkidega) õigesti lugemine.
Ruutfunktsiooni valemi näited (samm-sammult)
Näide 1. Kaks reaallahendit (D > 0)
Lahendage \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Samm 1–2. See on juba standardkujul, seega lugege kordajad: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Samm 3. Diskriminant: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Samm 4. \(D = 25 > 0\), seega on kaks erinevat reaallahendit.
Samm 5. Asendage: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Kasutades plussmärki: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Kasutades miinusmärki: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Lahendid: \(x = 3\) ja \(x = \tfrac{1}{2}\).
Näide 2. Üks korduv lahend (D = 0)
Lahendage \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Samm 1–2. Standardkuju juba olemas: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Samm 3. Diskriminant: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Samm 4. \(D = 0\), seega on täpselt üks reaallahend (korduv lahend). \(\pm\) termin kaob, kuna \(\sqrt{0} = 0\).
Samm 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Lahend: \(x = 3\) (see ruutvõrrand on täisruut \((x-3)^2 = 0\)).
Näide 3. Ühtegi reaallahendit pole (D < 0)
Lahendage \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Samm 1–2. Standardkuju: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Samm 3. Diskriminant: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Samm 4. \(D = -16 < 0\). Kuna te ei saa negatiivse arvu reaalsest ruutjuurt võtta, pole sellel võrrandil ühtegi reaallahendit — selle parabool ei lõika kunagi x-telge.
Samm 5. Reaallahendite jaoks pole edasist tööd vaja. (Kui olete kompleksarvudega tutvunud, on lahendid \(x = -1 \pm 2i\), kuid reaalse vastuse jaoks peatume siin.)
Levinumad vead ruutfunktsiooni valemi kasutamisel
-
b märgi vale määramine, eriti kui b on negatiivne.
Valem algab −b-ga. Kui b = −7, siis −b = +7 — kaks miinusmärki tühistavad teineteist. Kirjutage asendus täielikult välja, nt. −(−7), enne lihtsustamist.
-
± unustamine ja ainult ühe lahendi esitamine.
Kui D > 0, annab ± kaks vastust: üks plussmärgi ja üks miinusmärgi korral. Arvutage alati mõlemad: (−b + √D)/(2a) ja (−b − √D)/(2a), välja arvatud juhul, kui D = 0.
-
Täisnurga ainult osa jagamine 2a-ga.
Kogu lugeja, −b ± √D, jagatakse 2a-ga — mitte ainult √D osa. Hoidke seda ühe murruna: (−b ± √D) / (2a).
-
Diskriminandi vale arvutamine, kui a või c on negatiivne.
D = b² − 4ac valemis, 4ac lahutamine, kui a·c on negatiivne, tegelikult liidab. Võrrandi 3x² − 2x − 1 korral on −4·3·(−1) = +12, seega D = 4 + 12 = 16, mitte 4 − 12.
-
Valemi rakendamine enne võrrandi viimist standardkujule.
Viige kõik liikmed ühele poolele, et võrrand oleks kujul ax² + bx + c = 0. Näiteks x² = 5x − 6 tuleb enne a, b, c lugemist muuta kujuks x² − 5x + 6 = 0.
Korduma kippuvad küsimused
Mis on ruutfunktsiooni valem?
Ruutfunktsiooni valem on x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). See annab iga ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 (kus a ≠ 0) lahendid otse kordajatest a, b ja c.
Kuidas kasutada ruutfunktsiooni valemit samm-sammult?
Kirjutage võrrand standardkujule ax² + bx + c = 0, määrake a, b ja c koos nende märkidega, arvutage diskriminant D = b² − 4ac, kontrollige selle märki, et näha, mitu lahendit on, seejärel asendage valemisse x = (−b ± √D) / (2a) ja lihtsustage mõlemat pluss- ja miinusversiooni.
Mis on diskriminant ja miks see on oluline?
Diskriminant on D = b² − 4ac, ruutjuure all olev avaldis. Selle märk näitab reaallahendite arvu ilma arvutust lõpetamata: D > 0 annab kaks reaallahendit, D = 0 annab ühe korduva lahendi ja D < 0 annab ühtegi reaallahendit.
Millal peaksin kasutama ruutfunktsiooni valemit tegurdamise asemel?
Tegurdamine on kiire, kui ruutvõrrand tegurdub väikeste täisarvudega. Ruutfunktsiooni valem töötab iga ruutvõrrandi puhul, sealhulgas nende puhul, mida ei saa kenasti tegurdada või millel on irratsionaalsed või mitte-täisarvulised lahendid, seega on see usaldusväärne tagavara, kui tegurdamine pole ilmne.
Kust pärineb ruutfunktsiooni valem?
See tuletatakse üldvõrrandist ax² + bx + c = 0 täisruuduks teisendamise teel: jagage a-ga, täitke ruut, lisades (b/2a)², kirjutage vasak pool ümber täisruuduks ja võtke mõlemalt poolt ruutjuur. Tulemuseks on ruutfunktsiooni valem.
Kas ruutfunktsiooni valem võib anda vastust?
Kui diskriminant on negatiivne (D < 0), pole reaallahendit, kuna te ei saa negatiivse arvu reaalsest ruutjuurt võtta. Võrrandil on siiski kaks komplekslahendit, kuid reaallahendeid pole — graafiliselt ei puuduta parabool lihtsalt x-telge.
