Astmete omadused on kaheksa reeglit, mille järgi astmeid korrutatakse, jagatakse, astendatakse ja lihtsustatakse. Sellel lehel on kõik valemid koondatud ühte tabelisse: sama alusega astmete korrutis ja jagatis, astme astendamine, korrutise ja jagatise astendamine, null-, negatiivne ja murdastendaja. Iga omadus on lahti seletatud koos põhjendusega, miks see töötab, edasi on samm-sammult näited, sagedaste märgiveade analüüs ja interaktiivne treening, kus saab kohe ennast proovile panna.
Mis on aste: alus ja astendaja
Aste on sama teguri korduvkorrutamise lühike kirjapilt. Kirjapilt \(a^n\) tähendab, et arv \(a\) korrutatakse iseendaga \(n\) korda:
Siin \(a\) on astme alus (arv, mida korrutatakse) ja \(n\) on astendaja (näitab, mitu korda korrutatakse). Näiteks \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): alus on 3, astendaja on 4.
Kaks kirjapilti, mis tasub kohe meelde jätta: \(a^1 = a\) (üks arvu koopia) ja \(a^2\) — "ruut", \(a^3\) — "kuup". Kõik alltoodud reeglid töötavad just aluste ja astendajatega: ühed omadused nõuavad samu aluseid, teised — samu astendajaid. Nende kahe juhtumi eristamine on olulisem kui valemite päheõppimine.
Kõik astmete omadused: valemite tabel
Kaheksa peamist astmete omadust on mugav hoida silme ees ühes tabelis. Esimesed viis kehtivad iga astendaja puhul ja viimased kolm laiendavad astme mõistet null-, negatiivse ja murdastendajaga astmetele.
| Omadus | Valem |
|---|---|
| Korrutis samad alused — astendajad liidame | am · an = am+n |
| Jagatis samad alused — astendajad lahutame | am : an = am−n |
| Astme astendamine astendajad korrutame | (am)n = amn |
| Korrutise astendamine iga tegur — astmesse | (ab)n = anbn |
| Jagatise astendamine lugeja ja nimetaja — astmesse | (a/b)n = an/bn |
| Nullastendaja iga arv, välja arvatud null, annab ühe | a0 = 1 |
| Negatiivne astendaja pöörame murruks | a−n = 1/an |
| Murdastendaja see on n-astme juur | am/n = ⁿ√(am) |
Sama alusega astmete korrutamine ja jagamine
Need on kaks kõige sagedasemat tehet astmetega.
Korrutamisel astendajad liidetakse, alus ei muutu:
Miks nii: esimeses teguris on \(m\) sama arvu, teises — \(n\), kokku on neid \(m+n\). Näiteks \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
Jagamisel astendajad lahutatakse (jagaja astendaja lahutatakse jagatava astendajast):
Näiteks \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
Tähtis: astmete liitmisel ja lahutamisel astendajaid ei liideta. Avaldist \(2^3 + 2^4\) ei saa kuidagi üheks astmeks kokku võtta: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), samas kui \(2^7 = 128\). Omadused kehtivad ainult korrutamise ja jagamise puhul.
Alus korrutamisel samuti ei muutu. \(2^3 \cdot 2^4\) on \(2^7\), mitte \(4^7\): liidame astendajad ja aluse kirjutame lihtsalt ümber.
Astme astendamine, korrutise astendamine ja jagatise astendamine
Astme astendamine — astendajad korrutatakse:
Näiteks \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
Korrutise astendamine — astmesse tõstetakse iga tegur:
Näiteks \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
Jagatise astendamine — astmesse tõstetakse nii lugeja kui ka nimetaja:
Näiteks \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
Viimaseid kahte valemit kasutatakse sageli paremalt vasakule — siis võimaldavad need korrutada erinevate alustega, kuid sama astendajaga astmeid: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
Ja kui alused on erinevad ja astendajad samuti erinevad, siis avaldis tavaliselt taandatakse ühisele alusele: märgitakse, et arvud on sama arvu astmed. Näiteks \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), ja korrutis \(4^3 \cdot 8^2\) muutub avaldiseks $(2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}.
Null- ja negatiivne astendaja
Iga arv, välja arvatud null, nullastmes on võrdne ühega:
See ei ole väljamõeldis, vaid jagamisreegli tagajärg: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), kuid sama jagatis on \(216 : 216 = 1\). Seega \(6^0 = 1\). Avaldis \(0^0\) ei ole määratud.
Negatiivne astendaja tähendab ühte, mis on jagatud astmega:
Näiteks \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), ja \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01\).
Mugav järeldus: murd negatiivse astendajaga pööratakse ümber, ja astendaja muutub positiivseks:
Miinus astendajas ei tee arvu negatiivseks. Avaldis \(2^{-3}\) on positiivne murd \(\frac{1}{8}\), mitte \(-8\). Astendaja märk vastutab «ümberpööramise» eest, mitte tulemuse märgi eest.
Peamine: kõik kaheksa tabelis toodud omadust kehtivad ka null- ja negatiivse astendaja puhul — näiteks $x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}.
Murdastendaja ja juured
Murdastendaja on teine viis juure kirjutamiseks:
Murru nimetaja näitab juure astet, lugeja — juurealuse avaldise astet. Näited: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
Piirang: paarisarvulise nimetaja \(n\) korral peab alus olema mittenegatiivne (\(a \geqslant 0\)) — paarisastme juurt negatiivsest arvust koolikursuses ei leita.
Miks seda vaja on: murdastendajatega kehtivad täpselt samad omadused, seega on juuri mugav korrutada ja jagada, teisendades need astmeteks. Näiteks $\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}.
Negatiivse arvu aste: kus märk kaob
Kui alus on negatiivne, sõltub tulemuse märk astendaja paarsusest:
- paarisastendaja — tulemus on positiivne: \((-3)^2 = 9\);
- paaritu astendaja — tulemus on negatiivne: \((-3)^3 = -27\).
Eriti oluline on eristada kirjapilte sulgudega ja ilma sulgudeta: \((-3)^2 = 9\), aga \(-3^2 = -9\). Teisel juhul tõstetakse ruutu ainult kolm, miinus jääb ette. See on kõige sagedasem märgikaotus kontrolltöödes.
Eraldi on kasulik meeles pidada miinus ühe astmeid: \((-1)^{100} = 1\), aga \((-1)^{101} = -1\) — paarisastendaja annab \(+1\), paaritu annab \(-1\).
Tehete järjekord astmetega avaldistes
Kui avaldises on nii astmed kui ka tavalised tehted, on järjekord selline: kõigepealt sulud, seejärel astmed ja juured, siis korrutamine ja jagamine ning alles lõpus liitmine ja lahutamine.
Näiteks \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): kõigepealt tõstame ruutu ja alles siis korrutame ja liidame.
Näited: kuidas rakendada astmete omadusi
Näide 1. Korrutamine ja jagamine ühes avaldises
Ülesanne. Lihtsusta \(x^7 \cdot x^4 : x^9\).
Samm 1. Korrutamine: alused on samad, astendajad liidame — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
Samm 2. Jagamine: astendajad lahutame — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
Vastus. \(x^2\) (kui \(x \neq 0\)).
Näide 2. Korrutise astendamine koefitsiendiga
Ülesanne. Tõsta astmesse \((3a^4)^3\).
Samm 1. Astmesse tõstetakse iga tegur: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
Samm 2. Arvutame eraldi: \(3^3 = 27\), ja astme astendamisel astendajad korrutatakse — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
Vastus. \(27a^{12}\). Sagedane viga siin on unustada kolm kuupi tõsta ja kirjutada \(3a^{12}\).
Näide 3. Negatiivne astendaja korrutises
Ülesanne. Arvuta \(8^{-2} \cdot 8^{5}\).
Samm 1. Alused on samad — liidame astendajad tavalise reegli järgi, miinus osaleb lihtsalt liitmises: \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
Samm 2. \(8^3 = 512\).
Vastus. \(512\). Märkus: \(8^{-2}\) murruks teisendamine ei olnud vajalik — astmete omadused kehtivad negatiivsete astendajate puhul otse.
Näide 4. Murd negatiivse astendajaga
Ülesanne. Arvuta \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\).
Samm 1. Negatiivne astendaja pöörab murru ümber: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
Samm 2. Tõstame ruutu lugeja ja nimetaja: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
Vastus. \(\frac{25}{4} = 6,25\).
Näide 5. Murdastendaja
Ülesanne. Arvuta \(81^{\frac{3}{4}}\).
Samm 1. Astendaja nimetaja — juure aste: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
Samm 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\), sest \(3^4 = 81\).
Samm 3. Jääb üle tõsta kuupi: \(3^3 = 27\).
Vastus. \(27\). Juurt on mugavam leida esimesena — arvud tulevad väiksemad, kui esmalt arvutada \(81^3\).
Näide 6. Kombineeritud avaldis
Ülesanne. Arvuta \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\).
Samm 1. Astme astendamine lugejas: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
Samm 2. Sama alusega astmete jagamine: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
Samm 3. \(3^2 = 9\).
Vastus. \(9\). Üldreegel: kõigepealt lihtsustame sulud ja astme astmed, seejärel tegeleme korrutamise ja jagamisega.
Sagedased vead astmetega tehete puhul
-
Liidetakse astendajad astmete **liitmisel**: kirjutatakse $2^2 + 2^2 = 2^4$.
Astendajad liidetakse ainult korrutamisel. Siin aga \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), aga \(2^4 = 16\) — võrdus on vale. Astmete summat ei saa üldse üheks astmeks kokku võtta, seda saab ainult sulgude ette tuua: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
-
Korrutatakse ka aluseid: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
Astmete korrutamisel jääb alus samaks, muutub ainult astendaja: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
-
Arvatakse, et $(a+b)^n = a^n + b^n$, ajades summa korrutisega segamini.
Astet saab «jaotada» ainult korrutisele: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — õige. Aga \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), samas kui \(2^2 + 3^2 = 13\). Summa jaoks on vaja lühendatud korrutamise valemeid, mitte astmete omadusi.
-
Arvatakse, et $a^0 = 0$.
Vastupidi: iga arv, välja arvatud null, nullastmes on võrdne ühega — \(9^0 = 1\). Nulli annab tulemuseks ainult alus ise, mis on null (\(0^n = 0\), kui \(n > 0\)), aga avaldis \(0^0\) ei ole määratud.
-
Lahutatakse astendajad vastupidises järjekorras: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
Jagaja astendaja lahutatakse jagatava astendajast, mitte vastupidi: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). Järjekord on siin sama oluline kui tavalises lahutamises.
-
Arvatakse, et negatiivne astendaja teeb arvu negatiivseks: $2^{-2} = -4$.
Negatiivne astendaja tähendab murdu, mitte miinust: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Tulemus jääb positiivseks.
-
Kaotatakse negatiivse aluse märk: kirjutatakse $(-4)^2 = -16$.
Paarisastendaja korral miinus «kaob»: \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). Aga kirjapilt ilma sulgudeta tähendab midagi muud: \(-4^2 = -(4^2) = -16\). Sulud otsustavad kõik.
Küsimused ja vastused astmete omaduste kohta
Kas astendajad liidetakse või korrutatakse korrutamisel?
Sama alusega astmete korrutamisel liidetakse astendajad, ja alus ise ei muutu: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Näiteks \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). Astendajad korrutatakse teisel juhul — kui astendatakse astet: \((a^m)^n = a^{mn}\).
Kas astendajad liidetakse või lahutatakse jagamisel?
Lahutatakse: jagaja astendaja lahutatakse jagatava astendajast, \(a^m : a^n = a^{m-n}\), kui \(a \neq 0\). Näiteks \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
Millega võrdub arv nullastmes?
Ühele, kui alus ei ole null: \(a^0 = 1\). See tuleneb jagamisreeglist — jagatis \(a^n : a^n\) on võrdne nii \(a^0\) kui ka ühega samaaegselt. Avaldis \(0^0\) ei ole koolikursuses määratud.
Kuidas vabaneda negatiivsest astendajast?
Pöörata avaldis murruks: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Näiteks \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). Kui alus on ise murd, siis see lihtsalt pööratakse ümber ja astendaja muutub positiivseks.
Mis on astme alus ja astendaja?
Avaldises \(a^n\) on arv \(a\) — astme alus, st tegur, mis kordub; \(n\) — astendaja, see näitab, mitu sellist tegurit on. Avaldises \(5^4\) on alus 5, astendaja on 4 ja väärtus ise on 625.
Kas erinevate alustega astmeid saab korrutada?
Üheks astmeks saab kokku võtta, kui astendajad langevad kokku: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). Näiteks \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). Kui nii alused kui ka astendajad on erinevad, taandatakse avaldis esmalt ühisele alusele (kui see on võimalik), vastasel juhul jäetakse see nii, nagu on.
Mitu astmete omadust kokku on?
Põhilisi — kaheksa: sama alusega astmete korrutis ja jagatis, astme astendamine, korrutise astendamine, jagatise astendamine, nullastendaja, negatiivne astendaja ja murdastendaja. Erinevates õpikutes rühmitatakse neid erinevalt, seega esineb sõnastusi «viis omadust» või «kümme omadust», kuid sisu on sama — kogu kokkuvõte on ülaltoodud tabelis.
Mida tähendab murdastendaja?
Juur. Murru nimetaja — juure aste, lugeja — juurealuse avaldise aste: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Näiteks \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Paarisarvulise nimetaja korral peab alus olema mittenegatiivne.
Millises klassis astmete omadusi õpitakse?
Naturaalarvulise astendajaga aste ja selle põhiomadused läbitakse 7. klassi algebras, negatiivse täisarvulise astendajaga aste — 8. klassis, ja ratsionaalse (murd)astendajaga aste ning juured — 9.–11. klassides. Need samad omadused on vajalikud OGE ja EGE eksamitel avaldiste teisendamisel.
